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  • 数学及应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用.doc
  • 多元函数的几何应用

    千次阅读 2019-04-10 19:40:44
    多元函数的几何应用 向量值函数 将函数值化为n维向量。一元数量函数的推广为一元向量值函数。 终端曲线:向量的终点的轨迹。(感觉是数量函数的图形)也称为向量值函数的图形 包括极限、求导、连续在内的定义与数量...

    多元函数的几何应用

    向量值函数

    将函数值化为n维向量。一元数量函数的推广为一元向量值函数。
    终端曲线:向量的终点的轨迹。(感觉是数量函数的图形)也称为向量值函数的图形
    包括极限、求导、连续在内的定义与数量函数相似

    几何意义

    在这里插入图片描述
    例如已知关于t的运动轨迹,其一阶求导的切向量切向量为速度向量,二阶求导为加速度向量。

    空间曲线的切线和法平面

    先求导向量,将导向量作为方向向量,利用点向式方程求得切线,与切线垂直的平面即为法平面
    在这里插入图片描述

    另外两种形式

    在这里插入图片描述

    曲面的的切平面和法线

    在这里插入图片描述
    当然有特殊情况:z=f(x,y),此时构造新的函数F(x,y,z)=f(x,y)-z,不同的是fz(x,y,z)的值恒为-1,如下所示
    并且给出方向余弦的表达
    在这里插入图片描述

    方向导数

    在这里插入图片描述

    个人理解的几何意义

    偏导数:函数在某点处延坐标轴正向,随着该自变量的变化,而引起的函数值的变化率.
    方向导数:函数在某点的任一方向上,随着该自变量的变化,而引起的函数值的变化率.
    当方向导数的方向是沿坐标轴时,其值与偏导数相同

    梯度

    在这里插入图片描述

    1. 当梯度和方向向量的角度θ=0°,即两者方向相同时,函数f(x,y)增加最快。函数在这个方向的方向导数达到最大值,为梯度的模
    2. 当梯度和方向向量的角度θ=180°,即两者方向相反时,函数f(x,y)减小最快。函数在这个方向的方向导数达到最小值,为梯度的模的负数
    3. 当梯度和方向向量的角度θ=90°,即两者方向正交时,函数f(x,y)变化率为0。函数在这个方向的方向导数为0

    实际上,对于梯度的理解可以类似地看成地理中的等高线。沿某一方面高度的变化就是该方向的梯度。自然是沿垂直等高线的方向高度增加或减少最快(对应1,2),沿着等高线高度不变(对应3)。

    数量场和向量场

    对于空间G内,任意一点M都有一个确定的数量f(M),那么在这个空间G内就确定了一个数量场,如温度场、密度场
    如果每点M确定的f(M)是向量F(M),则称在空间G内确定了一个向量场,如力场、速度场
    如果向量场F(M)是某个数量函数的梯度,则称该数量函数是向量场F(M)的势函数,称向量场为势场
    任意一个向量场并不一定都是势场

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  • 本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用。讨论中,我们主要以二元函数为主,因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题,而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。 建议同学们在学习中,...

    §8.1  多元函数的基本概念

    本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用。讨论中,我们主要以二元函数为主,因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题,而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。

    建议同学们在学习中,注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较,区别并理解二者之间的“同中之异,异中之同”,这样会大大地提高学习效率。

    一、区域

    1、邻域

    平面上的一点,是某一正数,与点距离小于的点的全体,称为点邻域,记为 。

    即    

    或    

    几何上,面上以点为中心,为半径的圆内部的点的全体。

    以后,若不需要强调邻域的半径时,可用表示点的邻域。

    2、区域

    是平面上的一个点集,是平面上的一点,若存在点的某一邻域,使,则称内点

    如果点集的点都是内点,则称开集

    例如,点集便是一个开集。

    如果点的任一邻域内既有属于的点,又有不属于的点(点本身可以属于,也可以不属于),则称的 边界点

    的边界点的全体称为边界

    例如,点集的边界是圆周

    是开集,若对于内任何两点,都可以用完全属于的折线连结起来,则称开集连通的

    连通的开集称之为区域开区域

     

    例如,点集均是区域。

    开区域连同它的边界一起,则称之为闭区域

    例如,与 均是闭区域。

    对于点集,若存在正数,使一切点与某一定点间的距离不超过,即 , 则称有界点集;否则称无界点集

    例如,是有界开区域, 而是无界开区域。

    【例】说明点集的特征。

    开集,但非连通,且是无界的点集。

    3、聚点

    是平面上的一个点集,是平面上的一个点,若点的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集,则称聚点

    显然,的内点一定是的聚点;

    的边界点可能是的聚点,也可能不是的;的聚点可能是中的一点,也可能不是中的点。

    例如,,但的聚点;

    而直线上的任意点既是的边界点,也是的聚点。

    4、n维空间

    数轴上的点与实数具有一一对应的关系,从而全体实数表示数轴上一切点所构成的集合,即直线

    在平面引入直角坐标系之后,平面上的点与二元数组形成了一一对应,从而,二元数组的全体表示平面一切点的集合,即平面

    在空间引入直角坐标系之后,空间的点与三元数组形成了一一对应,从而,三元数组的全体表示空间一切点的集合,即空间

    一般地,

    为取定的一个自然数,称元数组的全体为维空间,而每个元数组称为维空间中的一个点,数称为该点的第个坐标,维空间记为

    维空间中的两点之间的距离规定为

    很明显,当时,上式便是解析几何中关于直线,平面,空间内两点间的距离

    前面究平面点集所陈述的一系列概念,均可类似地推广到维空间。

    例如:设是某一正数,则内的点集

    称为点邻域。

    以点的邻域概念为基础,便可完全类似地定义内点、边界点、区域、聚点等等一系列概念,这里不再赘述。

    二、多元函数概念

    实际问题中,经常会遇到多个变量之间的依赖关系。

    【例1】圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系

    这里,当在集合内取定一对值时,的对应值就随之确定了。

    【例2】设是电阻并联之后的总电阻,则它们之间具有关系

    这里,当在集合内取定一对值时,的对应值也就随之确定了。

    抽出这些具体例子所蕴藏的内涵,我们可给出二元函数的定义。

    【定义】

    是平面上的一个点集,如果对于每个点,变量按照一定法则总有确定的值与之对应,则称是变量的二元函数(或点的函数),并记为

          (或    )

    点集称为该函数的定义域, 称为自变量称为因变量,而数集称为该函数的值域

    【注记一】的函数有时也记为这样的形式

    请注意,这种记号中的两个的含义是不同的,左边的是因变量,右边的是对应法则。尽管我们的记号发生了混写,但对它们的涵义要“胸中有数”。

    【注记二】一般地,把定义中的平面点集换成维空间内的点集,可类似地定义元函数元函数也可简记为,这里,点,当时,元函数也就是一元函数,当时,元函数统称为多元函数。

    【注记三】多元函数的定义域约定

    在讨论多元函数时,以这个算式有确定值的自变量取值点集为该函数的定义域。

    例如,函数的定义域应认为是

    而函数的定义域为

    【注记四】函数的几何意义

    设函数的定义域为,对于任取点,其对应的函数值为,于是得到了空间内的一点。当遍取定义域内一切点时,得到了空间点集

    这个点集称之为二元函数的图形, 通常我们称二元函数的图形是一张空间曲面

    【注记五】介绍计算机作图

    1、对区域用直线,作剖分,得到面上的格点。这些格点有一部分在区域内,有一部分在区域之外。

    2、计算函数在这些格点处的值,对区域之外的格点,函数无定义,计算机会自动进行判断,在作图时自动处理。

    3、在空间直角坐标系中画出这些点,并用网状线将这些点联结起来,张成一块曲面。

    三、多元函数的极限

    先讨论二元函数时的极限。

    【描述性的定义】

    设函数的定义域为,点的聚点,对于任意点,当点以任何方式趋近于点时,对应的函数值无限地趋近于一个确定的常数,则称常数为函数时的极限,记作

    或  

    对于这一定义,我们给出如下几点重要注解。

    【注一】是区域的聚点,则它可能属于,也可能不属于,但在任意的邻域内总有内的无限多个点,因此,

    取点   总是可行的。

    例如,对于极限,这里,是函数的定义域的聚点。

    【注二】,表示点以任何方式趋近于点,在内,趋近于点是沿“四面八方”的各种各样路径来逼近的,而在一元函数的极限中,的方式仅有沿数轴这一种路径,因此,二元函数的极限与一元函数的极限相比较,它是一种“全面极限”,比一元函数极限复杂得多。通常我们称它为二重极限

    【例1】求二重极限

    解:

    【注三】二重极限是一种全面极限,当  以某几条特殊路径趋近于时,即使函数无限地趋近于某一确定常数,并不能断定函数的极限存在。

    反过来,如果当沿两条不同路径趋近于点时,函数趋近于不同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在。

    【例2】试证明函数在原点的二重极限不存在。

    证明:若点沿路径趋向于原点时,有

    若点沿路径趋向于原点时,有

    这表明,当点仅以两种特殊的路径趋近于原点时,函数的极限值不相等。据二重极限的定义可知,

    不存在。

    判定函数的二重极限不存在的常用方法

    设法选择面上过点的两条曲线,使极限的值不相等。

    【例3】求 

    解:

    而当时,

    由两边夹法则,有  

    故  

    函数的二重极限的概念不难推广到更多元函数的极限,这里从略。

    四、多元函数的连续性

    利用多元函数极限的概念,可定义多元函数的连续性。

    【定义】设元函数的定义域为的聚点,且

    若     

    则称元函数在点连续

    是开区域或闭区域,若函数上各点处都连续,则称函数上连续,或称上的连续函数

    是函数定义域内的聚点,如果在点处不连续,则称它为函数间断点

    【例4】设函数

    试证明:原点是其间断点。

    证明:二重极限是不存在的,事实上

    如图所示,取过原点的路径为任意实数 ),有

    此极限值与参数的取值有关,随着的不同而不同,因此二重极限

    不存在,点是函数的间断点。

    与闭区间上一元连续函数的性质相类似,在有界的闭区域上,多元连续函数也有如下性质。

    【最大值与最小值定理】

    在有界闭区域上的多元连续函数,在上至少取得它的最大值和最小值各一次。

    【介值定理】

    在有界闭区域上的多元连续函数,若在上取得两个不同的函数值,则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

    特别地,有界闭区域上的多元连续函数可取得它的最小值与最大值之间的任何一个值。

    可以证明,一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数。据极限运算法则,进一步可证明,多元连续函数的和、差、积为连续函数,在分母不为零处,连续函数的商也是连续函数,多元函数的复合函数也是连续函数。

    多元初等函数是指这样的函数:

    它是由一个式子所表示的多元函数,而这个式子是由常数及含多个自变量的基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成。

    例如,下述函数均为多元初等函数

      ,     ,   

    据多元连续函数和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性,再考虑到基本初等函数的连续性,我们得出如下结论

    一切多元初等函数在其定义区域内是连续的

    【注】这里的定义区域是指含在定义域内的任一区域。

    因此,对于多元初等函数,如果要求它在一点处的极限值,而又在此函数的定义区域内,则其极限值就等于函数在该点的函数值,亦即

    【例】求二重极限 

    却是区域,且,所以是函数的一个定义区域,且点,故

    【注】若不引进区域,也可用下述方法来判定函数在点处的连续性。

    因点是函数定义域内点,故存在的某一邻域,而任何邻域都是区域,所以便是函数的一个定义区域,又因是初等函数,因此,在点处连续。

    据上述注记,我们有处理这类情况的一般方法:

    时,如果是初等函数,且定义域的内点,则在点处连续,于是

    【例5】求二重极限  

    解:

     

    】原极限中是沿除去轴、轴之外的任何路径趋近于原点,而使用变量替换之后,的路径改变成了,这与二重极限定义不符。

    另一方面,并不等价。






    §8.2  偏导数

    一、偏导数定义、计算法及几何意义

    1、定义

    由于多元函数的自变量不止一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。本节,我们以二元函数为例,考虑二元函数关于其中一个自变量的变化率的问题。

    若只有自变量变化,而自变量固定(即看作常量),这时,就成了一元函数,这个函数对于的导数,就称之为二元函数对于的偏导数。

    【定义】设函数在点的某一邻域内有定义,当固定在,而处有增量时,相应地函数有增量

    如果极限

    存在,则称此极限为函数在点处对偏导数,并记作

    即                   (1)

    类似地,函数在点处对的偏导数定义为

    如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在,那未这个偏导数就是的函数,称它为函数对自变量偏导函数,记作 

    类似地,可以定义函数对自变量的偏导函数,并记作

    由偏导函数概念可知,在点处对的偏导数,其实就是偏导函数在点处的函数值;就是偏导函数在点处的函数值。

    在不产生混淆的情况下,我们以后把偏导函数也简称为偏导数。

    2、计算法

    的偏导数,并不需要新的方法,因为这里只有一个自变量在变化,另一自变量被看成是固定的,所以仍然是一元函数的导数。

    时,把看作常量,而对求导数;

    时,把看作常量,而对求导数。

    显然,偏导数的概念可推广到三元以上的函数情形。

    例如,三元函数在点处对的偏导数是如下极限

    【例1】求在点处的偏导数。

    解法一】  ,  

    则   ,  

    【解法二】  , 

    则 

    注:求多元函数在某点处的偏导数时,解法二有时会方便一些。

    【例2】设  ( ,为任意实数 )

    求证:

    证明:

    【例3】已知理想气体的状态方程为为常量 ),

    求证: 

    证明: 

    故 

    注:偏导数的记号应看作一个整体性的符号(不能看成商的形式),这与一元函数导数可看作函数微分与自变量微分之商是有区别的。

    3、几何意义

    同样,偏导数表示曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。

    4、二元函数的偏导数与连续性之间的关系

    一元函数在某点可导,则函数在该点一定连续;若函数在某点不连续,则函数在该点一定不可导。对于二元函数来说,情况就不同了。

    二元函数在点处的偏导数,仅仅是函数沿两个特殊方向( 平行于轴、轴 )的变化率;而函数在点连续,则要求点沿任何方式趋近于点时,函数值趋近于,它反映的是函数点处的一种“全面”的性态。

    因此,二元函数在某点偏导数与函数在该点的连续性之间没有联系。

    【反例一】讨论函数

    在点处的偏导数与连续性。

    解:

    函数沿过原点的直线趋近于原点时,其极限值与参数有关,故二重极限不存在,函数在原点自然是不连续的。

    函数关于自变量是对称的,故

    此例表明,二元函数在一点不连续,但其偏导数却存在。 

    【反例二】讨论函数

    在点处的偏导数与连续性。

    解:显然,,函数在原点连续。

    不存在,

    据对称性,也不存在。

    此例表明,二元函数在一点连续,但在该点的偏导数不存在

    在几何上,曲面可看成是折线轴旋转而成的锥面,点是曲面的尖点

    二、高阶偏导数

    设函数在区域内具有偏导数

    于是,在均是的函数,若这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数的二阶偏导数

    按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数

    其中:称二阶混合偏导数,类似地,可得到三阶、四阶和更高阶的导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

    对于二阶偏导数的符号,有必要引入如下简洁记法:

    在不特别需要写出函数自变量时,二阶偏导数的符号还可简单的记成

    【例4】求函数的二阶偏导数。

    解:

    此例中的两个二阶混合偏导数相等,即,这并不是某种偶然的巧合,其实,我们有如下定理。

    【定理】如果函数的两个二阶混合偏导数在区域内连续,那未在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

    这一结论表明,有二阶混合偏导数连续的条件下,它与求导次序无关。

    对于二元以上的函数,我们可类似地定义高阶偏导数,而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

    必须指出,定理中所要求的条件连续是必要的,改变这一条件,定理的结论不真。

    【例5】证明函数

    在原点处的两个二阶混合偏导数存在,但不相等。

    证明:当时,

     

    时,

    从而  

    注意到,将函数中的变量对调,函数却改变符号,于是有

    这里 ,  显然,两个一阶偏导函数在原点是不连续的。

     

    【例6】证明函数 (这里 )满足拉普拉斯方程

    证明 

    由于函数关于自变量是对称的,因此

    ,    

    故  








    §8.3  全微分

    一、全微分的定义

    给定二元函数,且 均存在,由一元微分学中函数增量与微分的关系,有

    上述二式的左端分别称之为二元函数偏增量,而右端称之为二元函数偏微分

    为了研究多元函数中各个自变量都取得增量时,因变量所获得的增量,即全增量的问题,我们先给出函数的全增量的概念。

    【定义】 设二元函数在点的某邻域内有定义,点为该邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之差

    为函数在点处对应于自变量增量全增量,记作

    即                           (1)

    一般说来,全增量的计算往往较复杂,参照一元函数微分的做法,我们希望用自变量增量的线性函数来近似地代替,特引入下述定义。

    【定义】如果函数在点的全增量

    可表示成为 

                                (2)

    其中,,为不依赖于,而仅有关,

    则称函数在点可微分

    称为函数在点处的全微分,记作

    二、函数可微分的条件

    【定理一】(必要条件

    如果函数在点处可微分,则函数在点处的偏导数必定存在,且函数在点的全微分为

                                           (3)

    证明:设函数在点可微分。于是,对点某一邻域内的任意一点,(2)式总成立。

    特别地,当时,(2)式也成立,这时,即

    于是  

    从而,偏导数存在且等于

    同理可证 

    故(3)式成立。

    【定理二】(充分条件

    如果函数的偏导数在点连续,则函数在该点可微分。

    证明:因在点的偏导数,连续,故在点的某一邻域内,存在。

    为该邻域内任意一点,则

       

    应用拉格朗日中值定理有

    在点连续,于是

    ,其中

    于是 

    同理可证

    ,其中 .

    于是,全增量可表示成为

    而    

    ,即时,它是趋近于零的。

    因此   

    故函数  在点  可微分。

    三、几个关系

    (1)、若函数在点可微分,则函数在该点连续

    事实上,

    则 

     

    注意到  等价

    (2)、函数的偏导数存在只是函数全微分存在的必要条件,而不是充分条件。

    【反例一】函数

    在点处有

    类似地  

    从而   

    考虑点沿直线趋近于,则

    它不能随而趋近于,即当时,

    并不是一个较高阶的无穷小,因此,函数在点的全微分不存在。

    (3)、若函数在点可微分,则偏导数,在该点存在但不一定连续。

    【反例二】函数

    在点可微分,但偏导数在点处不连续。

    证明:

    ( 当  时 )

    故函数处的微分存在,且 

    而 

    当点沿直线趋向于时,极限

    不存在。故  不存在,在点处不连续。

    综合上述讨论,我们有结论

    最后,我们指出:上述概念、定理及结论均要相应地推广到二元以上的函数。习惯上,我们用,并称为自变量,的微分,这样函数的全微分可写成

                                        (4)

    通常,我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,即(4)式称之为二元函数微分的叠加原理。

    叠加原理也适用于二元以上函数的情形,如果三元函数可微分,那么

    【例1】求函数  的全微分。

    解: 因  ,  ,  

    则  

    例2计算函数 在点  处的全微分。

    解: ,    

    ,  

    故  




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  • 本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用。讨论中,我们主要以二元函数为主,因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题,而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。 建议同学们在学习中,...

    §8.1  多元函数的基本概念

    本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用。讨论中,我们主要以二元函数为主,因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题,而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。

    建议同学们在学习中,注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较,区别并理解二者之间的“同中之异,异中之同”,这样会大大地提高学习效率。

    一、区域

    1、邻域

    平面上的一点,是某一正数,与点距离小于的点的全体,称为点邻域,记为

    即   

    或   

    几何上,面上以点为中心,为半径的圆内部的点的全体。

    以后,若不需要强调邻域的半径时,可用表示点的邻域。

    2、区域

    是平面上的一个点集,是平面上的一点,若存在点的某一邻域,使,则称内点

    如果点集的点都是内点,则称开集

    例如,点集便是一个开集。

    如果点的任一邻域内既有属于的点,又有不属于的点(点本身可以属于,也可以不属于),则称边界点

    的边界点的全体称为边界

    例如,点集的边界是圆周

    是开集,若对于内任何两点,都可以用完全属于的折线连结起来,则称开集连通的

    连通的开集称之为区域开区域

     

    例如,点集均是区域。

    开区域连同它的边界一起,则称之为闭区域

    例如,均是闭区域。

    对于点集,若存在正数,使一切点与某一定点间的距离不超过,即 , 则称有界点集;否则称无界点集

    例如,是有界开区域, 而是无界开区域。

    【例】说明点集的特征。

    开集,但非连通,且是无界的点集。

    3、聚点

    是平面上的一个点集,是平面上的一个点,若点的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集,则称聚点

    显然,的内点一定是的聚点;

    的边界点可能是的聚点,也可能不是的;的聚点可能是中的一点,也可能不是中的点。

    例如,,但的聚点;

    而直线上的任意点既是的边界点,也是的聚点。

    4、n维空间

    数轴上的点与实数具有一一对应的关系,从而全体实数表示数轴上一切点所构成的集合,即直线

    在平面引入直角坐标系之后,平面上的点与二元数组形成了一一对应,从而,二元数组的全体表示平面一切点的集合,即平面

    在空间引入直角坐标系之后,空间的点与三元数组形成了一一对应,从而,三元数组的全体表示空间一切点的集合,即空间

    一般地,

    为取定的一个自然数,称元数组的全体为维空间,而每个元数组称为维空间中的一个点,数称为该点的第个坐标,维空间记为

    维空间中的两点之间的距离规定为

    很明显,当时,上式便是解析几何中关于直线,平面,空间内两点间的距离

    前面究平面点集所陈述的一系列概念,均可类似地推广到维空间。

    例如:设是某一正数,则内的点集

    称为点邻域。

    以点的邻域概念为基础,便可完全类似地定义内点、边界点、区域、聚点等等一系列概念,这里不再赘述。

    二、多元函数概念

    实际问题中,经常会遇到多个变量之间的依赖关系。

    【例1】圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系

    这里,当在集合内取定一对值时,的对应值就随之确定了。

    【例2】设是电阻并联之后的总电阻,则它们之间具有关系

    这里,当在集合内取定一对值时,的对应值也就随之确定了。

    抽出这些具体例子所蕴藏的内涵,我们可给出二元函数的定义。

    【定义】

    是平面上的一个点集,如果对于每个点,变量按照一定法则总有确定的值与之对应,则称是变量的二元函数(或点的函数),并记为

          (或   )

    点集称为该函数的定义域称为自变量称为因变量,而数集称为该函数的值域

    【注记一】的函数有时也记为这样的形式

    请注意,这种记号中的两个的含义是不同的,左边的是因变量,右边的是对应法则。尽管我们的记号发生了混写,但对它们的涵义要“胸中有数”。

    【注记二】一般地,把定义中的平面点集换成维空间内的点集,可类似地定义元函数元函数也可简记为,这里,点,当时,元函数也就是一元函数,当时,元函数统称为多元函数。

    【注记三】多元函数的定义域约定

    在讨论多元函数时,以这个算式有确定值的自变量取值点集为该函数的定义域。

    例如,函数的定义域应认为是

    而函数的定义域为

    【注记四】函数的几何意义

    设函数的定义域为,对于任取点,其对应的函数值为,于是得到了空间内的一点。当遍取定义域内一切点时,得到了空间点集

    这个点集称之为二元函数的图形, 通常我们称二元函数的图形是一张空间曲面

    【注记五】介绍计算机作图

    1对区域用直线,作剖分,得到面上的格点。这些格点有一部分在区域内,有一部分在区域之外。

    2计算函数在这些格点处的值,对区域之外的格点,函数无定义,计算机会自动进行判断,在作图时自动处理。

    3在空间直角坐标系中画出这些点,并用网状线将这些点联结起来,张成一块曲面。

    三、多元函数的极限

    先讨论二元函数时的极限。

    【描述性的定义】

    设函数的定义域为,点的聚点,对于任意点,当点以任何方式趋近于点时,对应的函数值无限地趋近于一个确定的常数,则称常数为函数时的极限,记作

    或 

    对于这一定义,我们给出如下几点重要注解。

    【注一】是区域的聚点,则它可能属于,也可能不属于,但在任意的邻域内总有内的无限多个点,因此,

    取点   总是可行的。

    例如,对于极限,这里,是函数的定义域的聚点。

    【注二】,表示点以任何方式趋近于点,在内,趋近于点是沿“四面八方”的各种各样路径来逼近的,而在一元函数的极限中,的方式仅有沿数轴这一种路径,因此,二元函数的极限与一元函数的极限相比较,它是一种“全面极限”,比一元函数极限复杂得多。通常我们称它为二重极限

    【例1】求二重极限

    解:

    【注三】二重极限是一种全面极限,当  以某几条特殊路径趋近于时,即使函数无限地趋近于某一确定常数,并不能断定函数的极限存在。

    反过来,如果当沿两条不同路径趋近于点时,函数趋近于不同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在。

    【例2】试证明函数在原点的二重极限不存在。

    证明:若点沿路径趋向于原点时,有

    若点沿路径趋向于原点时,有

    这表明,当点仅以两种特殊的路径趋近于原点时,函数的极限值不相等。据二重极限的定义可知,

    不存在。

    判定函数的二重极限不存在的常用方法

    设法选择面上过点的两条曲线,使极限的值不相等。

    【例3】求

    解:

    而当时,

    由两边夹法则,有 

    故  

    函数的二重极限的概念不难推广到更多元函数的极限,这里从略。

    四、多元函数的连续性

    利用多元函数极限的概念,可定义多元函数的连续性。

    【定义】设元函数的定义域为的聚点,且

    若    

    则称元函数在点连续

    是开区域或闭区域,若函数上各点处都连续,则称函数上连续,或称上的连续函数

    是函数定义域内的聚点,如果在点处不连续,则称它为函数间断点

    【例4】设函数

    试证明:原点是其间断点。

    证明:二重极限是不存在的,事实上

    如图所示,取过原点的路径( 为任意实数 ),有

    此极限值与参数的取值有关,随着的不同而不同,因此二重极限

    不存在,点是函数的间断点。

    与闭区间上一元连续函数的性质相类似,在有界的闭区域上,多元连续函数也有如下性质。

    【最大值与最小值定理】

    在有界闭区域上的多元连续函数,在上至少取得它的最大值和最小值各一次。

    【介值定理】

    在有界闭区域上的多元连续函数,若在上取得两个不同的函数值,则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

    特别地,有界闭区域上的多元连续函数可取得它的最小值与最大值之间的任何一个值。

    可以证明,一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数。据极限运算法则,进一步可证明,多元连续函数的和、差、积为连续函数,在分母不为零处,连续函数的商也是连续函数,多元函数的复合函数也是连续函数。

    多元初等函数是指这样的函数:

    它是由一个式子所表示的多元函数,而这个式子是由常数及含多个自变量的基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成。

    例如,下述函数均为多元初等函数

      ,     ,  

    据多元连续函数和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性,再考虑到基本初等函数的连续性,我们得出如下结论

    一切多元初等函数在其定义区域内是连续的

    【注】这里的定义区域是指含在定义域内的任一区域。

    因此,对于多元初等函数,如果要求它在一点处的极限值,而又在此函数的定义区域内,则其极限值就等于函数在该点的函数值,亦即

    【例】求二重极限

    却是区域,且,所以是函数的一个定义区域,且点,故

    【注】若不引进区域,也可用下述方法来判定函数在点处的连续性。

    因点是函数定义域内点,故存在的某一邻域,而任何邻域都是区域,所以便是函数的一个定义区域,又因是初等函数,因此,在点处连续。

    据上述注记,我们有处理这类情况的一般方法:

    时,如果是初等函数,且定义域的内点,则在点处连续,于是

    【例5】求二重极限 

    解:

     

    】原极限中是沿除去轴、轴之外的任何路径趋近于原点,而使用变量替换之后,的路径改变成了,这与二重极限定义不符。

    另一方面,并不等价。

     

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    §8.8  多元函数极值及其求法

    一、多元函数的极值

    1、多元函数极值定义

    设函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式

    则称函数在点极大值

    如果都适合不等式

    则称函数在点极小值

    极大值与极小值统称为函数的极值;使函数取得极值的点称为极值点

    注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至元函数。

    【例1】讨论下述函数在原点是否取得极值。

    (1)、

    (2)、

    (3)、

    解:由它们的几何图形可知:

    是开口向上的旋转抛物面,在取得极小值;

    是开口向下的锥面,在取得极大值;

    马鞍面, 在不取得极值。

    2、函数取得极值的必要条件

    【定理一】设函数在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即

    【证明】不妨设在点处有极大值。

    依极值定义,点的某一邻域内的一切点适合不等式

    特殊地,在该邻域内取,而的点,也应有不等式

    这表明:一元函数处取得极大值,因而必有

    同理可证

    【注一】当时, 曲面在点处有切平面

    此切平面平行于水平面面。

    例如,在点取得极小值, 它在点处,

    其切平面为

    即        

    此切平面就是(面)。

    使同时成立的点,称为函数驻点

    【注二】定理一表明,可(偏)导函数的极值点必为驻点,反过来,函数的驻点却不一定是极值点。例如,在点不取得极值,但却是驻点。这告诉我们,驻点仅仅是函数可疑的极值点,要判断它是否真为极值点,需要另作判定。

    【注三】偏导数不存在的点也是函数的可疑极值点。

    例如,在点有极大值,但

     不存在。

    当然,也不存在。

    当然,定理一的结论也可推广至元函数。

    3、函数取得极值的充分条件

    【定理二】设函数在点的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,又  ,记

     ,  ,

    则函数在处是否取得极值的条件如下

    (1)、时具有极值,且当时有极大值,

     当时有极小值;

    (2)、时没有极值;

    (3)、时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定。

    对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:

    【例2】求函数的极值。

    解:函数具有二阶连续偏导数, 故可疑的极值点只可能为驻点,

    先解方程组

    求出全部驻点为

    再求二阶偏导数

    在点处,

    函数取得极小值

    在点处,

    函数不取得极值;

    在点处,

    函数不取得极值;

    在点处,

    函数取得极大值 

    二、多元函数的最值

    1、有界区域上连续函数的最值确定

    如果二元函数有界闭区域连续,则在上必定取得最值。使函数取得最值的点既可能在的内部,也可能在的边界上。

    若函数在的内部取得最值,那未这个最值也是函数的极值。而函数取得极值的点使的驻点或使不存在的点。

    若函数在的边界上取得最值,可根据的边界方程,将化成定义在某个闭区间上的一元函数,进而利用一元函数求最值的方法求出最值。

    综合上述讨论,有界闭区域上的连续函数最值求法如下:

    (1)、求出在的内部,使,同时为零的点及使不存在的点;

    (2)、计算出的内部的所有可疑极值点处的函数值;

    (3)、求出的边界上的最值;

    (4)、比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值;最小者便是函数在上的最小值。

    【例3】求二元函数在矩形区域

    上的最值。

    解:

    得驻点,且

    在边界 上,,

     且

    在边界上,   , 则

    在边界 上, , 则 ,

    则 

    在边界上,  , 因

    , 故单调增加, 从而

    比较上述讨论, 有

     为最大值,

     为最小值。

    2、开区域上函数的最值确定

    求函数在开区域上的最值十分复杂。

    但是,当所遇到的实际问题, 据问题的性质可断定函数的最值一定在上取得,而函数在上又只有一个驻点, 那么就可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值。

    【例4】某厂要用铁板做成一个体积为立方米的有盖长方体水箱, 当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能用料最省?

    令 

    解方程组得唯一驻点 ,

    据问题的实际背景, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域内取得,又函数在内只有唯一的驻点, 因此, 可断定当 时, 取得最小值。

    这表明: 当水箱的长、宽、高分别为米时, 所用材料最省, 此时的最小表面积为

    三、条件极值与拉格朗日乘数法

    前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为无条件极值

    但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。

    例如: 求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。

    若设长方体的长宽高分别为,则其表面积为

    这里除了外,还需满足限制条件

    象这类自变量有附加条件的极值称为条件极值

    有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例;但对一些复杂的问题,条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。

    1、函数取得条件极值的必要条件

    欲寻求函数                                     (1)

    在限制条件                                         (2)

    下的取得条件极值的条件。

    函数若是在处取得条件极值,那么它必满足方程(2),即

                                       (3)

    另外,方程(2)可确定一个隐函数,将之代入(1)有

                                      (4)

    这样,函数(1)在取得条件极值,也就相当于函数(4)在处取得无条件极值。

    据一元函数取得极值的必要条件有

                 (5)

    由(2)式有

    代入到第(5)式有

                       (6)

    由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点取得条件极值的必要条件,只是这一式子的形式不够工整,不便于记忆,为此,我们作适当的变形。

    令  ,有

    这三个式子恰好是函数

    的三个偏导数在点的值。

    2、拉格朗日乘数法

    要求函数在限制条件下的可能极值点,可先作拉氏函数

    再解方程组

    求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点

    【注记】拉氏乘数法可推广到一般元函数或限制条件多于一个的情形:

    例如:求    在限制条件

    下的极值。

    作拉氏函数

    解方程组

    这样求出就是可疑极值点的坐标。

     

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