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  • 多元函数微积分总结
    2021-04-20 14:30:40

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    1、中北大学高等数据MATLAB验证性实验7多元函数微积分学MATLAB实验报告格式 实验课程: ____________________ 专 业: _____ 制药工程 ___ __ __ 班 级: _____ 14040242__ __ __ __ 学 号: _____ _ 14040242 xx_ _ _____ 姓 名: _______x x xxxxx ________ 中北大学理学院 目录 实验七 多元函数微积分学 .3 【实验类型】 .3 【实验学时】 .3 【实验目的】 .3 【实验内容】 .3 【实验方法与步骤】 .4 一、实验的基本理论与方法 .4 二、实验使用的 Matlab。

    2、 函数 .6 【实验练习】 .6 实验七 七 多元函数微积分学 【实验类型】 验证性 【实验学时】 2 学时 【实验目的】 1.掌握使用 MATLAB 求多元函数的偏导及高阶偏导数; 2.通过使用 MATLAB 的一些基本功能(主要是计算功能),理解和掌握重积分、曲线积分、曲面积分的相关基本概念及其相应的计算方法; 3.会用 MATLAB 计算立体的体积、曲面的面积等应用问题。 【实验内容】 1.使用 MATLAB 掌握多元函数的各阶偏导数以及一元隐函数导数的方法; 2.使用 MATLAB 掌握二重积分的直角坐标、极坐标的计算方法; 3.使用 MATLAB 掌握三重积分的直角坐标、柱面坐标、球。

    3、面坐标的计算方法; 4.使用 MATLAB 掌握曲面柱体体积的计算方法; 5.使用 MATLAB 掌握空间曲面面积的计算方法; 6.使用 MATLAB 掌握第一、二类曲线积分的计算方法; 7.使用 MATLAB 掌握平面区域的计算方法; 8.使用 MATLAB 掌握第一、二类曲面积分的计算方法; 【实验方法与步骤】 (对于必须编写计算机程序的实验,要附上学生自己编写的程序) 一、实验的基本理论与方法 1、二重积分的直角坐标计算方法: (1) 若1 2( , )| , ( ) ( ) D x y a x b y x y y x = ,则 21( )( )( , )d d d ( , )db y 。

    4、xa y xDf x y x y x f x y y = (2)若1 2( , )| , ( ) ( ) D x y c y d x y x x y = ,则 21( )( )( , )d d d ( , )dd x yc x yDf x y x y y f x y x = 2、二 重 积 分 的 极 坐 标 计 算 方 法 : 若1 2 1 2( , )| , ( ) ( ) D r r r r q q q q q q = ,则 2 21 1( )( )( , )d d ( cos , sin ) d d d ( cos , sin )drrD Df x y x y f r r r r f 。

    5、r r rq qq qq q q q q q = = 3、曲面柱体的体积:一曲面( , ) 0 z f x y = 为顶,为 D 底的曲顶柱体的体积: ( , )d dDV f x y x y = 4、曲面的面积:设曲面 S 由( , ) z f x y =给出, D 为曲面 S 在 XOY 面上的投影区域,则曲面 S 的面积 2 21 ( , ) ( , )d dx yDS f x y f x y x y = + + 5、球面坐标、柱面坐标和直角坐标系的关系: 直角坐标与柱面坐标的关系:cossin (0 2, )x ry r zz zqq q= = - += 直角坐标与球面坐标的关系:si。

    6、n cossin sin (0 2,0 )cosx ry rz rj qj q q jj= = = 6、第一类曲线积分的概念及其计算方法:若函数( , ) f x y在光滑曲线弧 L 上连续, L 的参数方程为( ),( )( )x x tty y ta b= =,且( ), ( ) x t y t在 , a b上具 有 连 续 导 数 ,2 2 ( ) ( ) 0 x t y t + , 则 2 2( , ) ( ( ), ( ) ( ) ( )Lf x y ds f x t y t x t y t dtba= + 。 7、若平面区域 D 的面积为 A,边界曲线为 L,则有 12LA xdy。

    7、 ydx = - 8、定理(Green 公式)设函数( , ), ( , ) P x y Q x y及其一阶偏导数在区域 D上连续,则公式 L DQ PPdx Qdy dxdyx y + = - 成立,其中 L 是区域 D 的边界,它是分段光滑的,方向取正向。 9、平面曲线积分与路径无关的条件(略) 10、两类曲面积分的概念及其计算方法(略) 的 二、实验使用的 Matlab 函数 1.计算偏导数: diff(f,x,n), 求nnfx,其中( , ) f f x y =; diff(diff(f,x),y),求2fx y ,其中( , ) f f x y =。 2.计算累次积分: int(i。

    8、nt(f,x,a,b),y,c,d), 其中( , ), ( , ) f f x y x a b = , ( , ) y c d ; int(int(int(f,x,a,b),y,c,d),z,e,f ) , 其 中( , , ) , ( , ) f f x y z x a b = , ( , ) y c d ,( , ) z e f 。 【实验 练习 】 要求:在 MATLAB 中编写下述练习题的程序,然后运行,将源程序及运行结果保存,并以实验报告形式交回。 练习 1 计算下列函数的偏导数 (1)2 21zx y=+; (2)y z xux y z= + -; (3)zyu x =.练习 2。

    9、 求由下列方程所确定的隐函数的导数 (1)2 4 33 4 0 x y x y + - =,求dydx ; (2)2 0xy ze z e-+ - =,求,z zx y .练习 3 计算下列二重积分 (1)cos220 04 1 d r drpqq - ; (2)2 2( )Dx y dxdy +, :1 2, 2 D x x y x ; (3)2 2( )Dx y dxdy +,2 2: D x y x + .练习 4 求下面曲面所围成立体的体积 (1)2 2x yz e -=,0 z =,2 2 2x y R + =; (2)2 2z x y = +,2y x =,1 y =,0 z =.练习 5 计算下列三重积分 (1)2 3 d d dxy z x y zW,其中 W 由平面z xy =与平面y x =、1 x=和0 z =所围成的闭区域; (2)xydvW, W 由2 21, 1, 0, 0, 0 x y z z x y + = = = = =围成; (3)2 2 2x y z dvW+ +, W 由2 2 2x y z z + + =围成.练习 6 计算曲线积分2 2( )LI x y ds = +,其中 L 是圆心在(R,0),半径为 R 的上半圆周.。

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    前言

    本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。

    如有缺漏错误,欢迎补充指正!

    多元函数微分学

    出题角度大概分为三个类型:

    1. 对多元函数微分各个概念的掌握
    2. 对多元微分计算的掌握
    3. 极值与最值

    (一)概念掌握

    与一元函数微分学相同,学习多元函数微分学将沿着函数→极限→连续→偏导数→可导性→可微性脉络进行学习。出题角度也是从这里面挑一个到多个进行考察。

    既然是考查对概念的掌握,所以多为存在性题目,考察的点也多为零点,需要利用各概念的定义进行求解。

    1)讨论二重极限

    极限形式全部是分数形式,对,我还没有遇到其它形式。但是,有时候(比如判断可微时),可自己构造简单的二元函数,对选项进行排除。

    计算二重极限的思路:

    1. 首先判断二重极限是否存在,利用不同路径判断极限不同或不存在。
    2. 若判断出不存在,结束。如果第一步不能判断出不存在,继续求解。
    3. 有界变量和无穷小量之积为无穷小量。
    4. 夹逼原理,利用基本不等式和带有绝对值的基本不等式放缩。
    5. 转化或看作一元函数极限,利用一元函数极限方法求解。

    2)讨论二元函数连续性

    讨论某一点(95%为零点)连续性,利用定义,即二重极限在该否存在且等于该点的函数值和求解二重极限,即可解出。

    3)讨论二元函数偏导数

    讨论某一点(95%为零点)对于x,y的偏导数是否存在,利用定义,求解一元函数极限,即可解出。

    讨论某一点的偏导数是否连续,求出偏导,再讨论偏导数的连续性。

    4)讨论二元函数可导性

    可导性和偏导数联系紧密,判断可导即判断两个一阶偏导数是否存在。

    另外,在多元函数中,可导不一定连续,连续不一定可导,与一元函数中“可导一定连续,连续不一定可导”有差别。

    连续定义中的极限为二重极限,即x,y可以从任意方向逼近所要求的点。而可导的定义只要求了对x的偏导和对y的偏导,在其它方向没有要求,所以可导不一定连续

    对于“连续不一定可导”可参照一元函数的方法,将z = |x|视为二元函数,在(0,0)处,对x的偏导不存在,z在(0,0)处不可导。z在(0,0)处的二重极限为0,函数值为0,z在(0,0)处连续。

    5)讨论二元函数可微性

    可微性是概念中较难重点的一部分,讨论多元函数的可微性,有必要条件充分条件,但是没有充要条件。讨论可微性主要靠多元函数可微的定义
    必要条件: 两个一阶偏导数在(x,y)处存在。
    充要条件: 两个一阶偏导数(x,y)处连续。
    定义:
    在这里插入图片描述

    (二)多元函数微分计算

    1)具体复合导数

    • 偏导数就把多元函数看作一元函数求解。
    • 如果是特定点的高阶偏导,可以在适当的阶段带入非微分变量具体值,简化计算。
    • 同一函数的两个混合偏导数如果在点(x,y)都连续,那么混合偏导数相等。这是一个很常用的结论,经常在全微分证明题中使用。
    • 在全微分中,可以用第三点求解待定系数。

    2)由偏导数或微分求原函数

    • 逐步求积分,结合题中所给的条件求解。
    • 唯一需要注意的一点是求积分时,如果对y求积分,积分后的常数项应为φ(x)。

    3)抽象多元函数

    • 间接变量和直接变量直接给出的情况,分析变量之间的关系,画出树形图,利用树形图和链式法则求偏导。
    • 间接变量和直接变量没有直接给出的情况,分析各变量之间的关系,必要时交换直接和间接变量或改写原函数中的u,v。一般来说,如果偏导数中对ξ,η变量进行微分,ξ,η应是树形图中的叶节点。
    • 因为是抽象微分,常常与微分方程相联系。
    • 抽象利用求偏微分公式,与题目中提供的条件一起,证明某些结论(难点)。

    4)多元隐函数

    如果F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数,多元函数类似。

    隐函数求偏导主要有以下三种方式:

    1. 利用隐函数求导公式(简洁但容易漏变量之间的关系,只适用于 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,且求解形式不涉及第4个变量,比如 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy d z d x \frac{dz}{dx} dxdz)
    2. 方程两段求导,解出所求偏导数(同上,适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z) F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,求解形式一般涉及等号左边的变量,比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu
    3. 利用微分形式不变性,方程两端微分(相对麻烦但不容易漏掉条件,适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z) F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式.,求解形式一般涉及等号左边的变量,比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu

    使用哪一种方式与搞清楚各变量是否相关相比显得不是很重要。

    1. 如果一个等式中只涉及两个变量,那么必定相关。比如 f ( x , y ) = 0 {f(x,y) = 0} f(x,y)=0, f {f} f x x x求导为 f f f 1 ′ + f 2 ′ d x d y _{1}^{'}+f_{2}^{'}\frac{dx}{dy} 1+f2dydx.
    2. 同理,涉及三个变量的两个等式,可以确定任意变量对其它变量的一元函数。
    3. 如果变量和等式继续增多,一般性方法便是画复合函数中的树形图,帮助理解。
    4. 在抽象函数中,变量之间是否相关同样取决于题目中所要求的量。比如函数x+y+z+u = 0,如果题目中给的是 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z),求 d u du du,那么x,y,z就没有相关关系,u分别与x,y,z有相关关系;如果题目中给的是 z = f ( x , y , u ) {z = f(x,y,u)} z=f(x,y,u),求 d z dz dz,这种情况下x,y,u就没有相关关系,z分别与x,y,u有相关关系。

    (三)极值与最值

    1)求解无条件极值

    求多元函数无条件极值的步骤比较固定,且函数为二元函数且类似 z = z ( x , y ) , z = f ( x , y ) z= z(x,y),z =f(x,y) z=z(x,y),z=f(x,y)形式,可能为复合函数或隐函数。

    z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)为例

    1. f x ′ = 0 , f y ′ = 0 f_{x}^{'} = 0,f_{y}^{'} = 0 fx=0,fy=0,求得所有驻点
    2. 对每个驻点求出二阶偏导数 A = f x x ′ ′ , B = f x y ′ ′ , C = f y y ′ ′ A = f_{xx}^{''} ,B = f_{xy}^{''} ,C = f_{yy}^{''} A=fxx,B=fxy,C=fyy
    3. 利用极值的充分条件,通过 A C − B 2 AC-B^2 ACB2的正负和 A A A的正负判断驻点是否为极值(只适用于二元函数)
    4. 如果 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 ACB2=0,则利用极值的定义判断是否为极值

    2)判断特定点是否为极值点

    这种题型涉及极限多元极值的定义,利用极限可构造 f ( x , y ) = 表 达 式 + o ( p ) f(x,y) = 表达式 + o(p) f(x,y)=+o(p)形式,帮助判断。

    3)条件极值最值问题(拉格朗日乘数法) (重点)

    a. 直接求条件最值

    利用拉格朗日乘数法

    b. 解析几何直接求条件最值
    1. 求出所有可能极值点(驻点和一阶偏导不存在的点)的函数值
    2. 求出有界闭区域边界上的最值
    3. 第一步第二步的所有值进行比较,最大的值即为最大值,最小即为最小值
    c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)

    确定目标函数,将题目中的条件与最值上靠,只要建立起函数与条件函数,接下来就是用拉格朗日乘数法求最值。如果解只有一个,并且问题本身允许极值存在,那么所求最值就在这个唯一可能取得极值的点上取得。

    d. 条件极值证明题(最灵活、最难)

    利用拉格朗日乘数法证明不等式,难点在于证明不等式有多种方法,思考的时候不会一开始就想到条件极值。另外就是目标函数和条件函数也需自己构造。

    关于条件极值的应用题和证明题还比较生疏,包括上一节常微分方程的应用题,需要进行专题复习。

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  • 多元函数微积分.doc

    2021-09-10 03:41:11
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  • 多元函数微积分复习概要.pdf
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  • 高等数学积分理解复习 看文章目录复习!!! 平面直线、平面曲线方程: 共性:二元函数,用f(x,y)=0或y=f(x)表示 特性: 平面直线——变量呈线性关系Ax+By+C=0 平面曲线——变量x与y呈非线性关系(甚至不是函数,可能...

    多元函数微积分学

    一、多元函数微分学

    1.1、多元函数微分学概念

    连续、可偏导、可微、方向导数存在的定义

    在这里插入图片描述

    多元函数可微、可偏导、连续的关系

    在这里插入图片描述

    可微=>可偏导(可导指两个偏导数存在,反之不成立,例如定义域只在两个坐标轴)
    可微=>连续(反之不成立,例如墙角的折叠的面,连续但不可微)

    复合函数求偏导(链式法则)、全微分的计算

    在这里插入图片描述

    隐函数求偏导(隐函数存在定理、等式两边求导法)

    隐函数存在定理可以通过把一个变量看作其他变量的函数证明
    在这里插入图片描述

    1.2 方向导数、梯度的计算

    物理意义:
    一元函数求导数是描述在线上的点在坐标轴方向的变化率
    二元函数求偏导数是描述面上的点在坐标轴方向的变化率
    二元函数求方向导数描述面上的点沿着任意一个指定方向的变化率
    方向导数标量,描述沿着某个方向的变化率
    梯度矢量,描述多元函数变化率最大的方向
    综上:沿着梯度矢量的方向,方向导数标量取最大值

    计算梯度:

    用来计算方向导数的梯度不能化简!
    梯度函数:通过标量方程求偏导数组成的矢量函数,
    某点的梯度:是一个确定的矢量,梯度函数带入点的坐标(二维或三维)

    计算方向导数:

    影响大小因素——点的坐标即梯度,单位方向向量(方向余弦)
    方向导数函数:梯度函数 点积 方向余弦
    某点、某方向的方向导数:该点梯度 点积 某方向方向余弦
    某点方向导数最大值:该点梯度 点积 沿梯度方向余弦=梯度模
    在这里插入图片描述

    1.3 法向量、方向余弦、梯度

    在这里插入图片描述

    圆锥举例——曲面上点梯度与曲线的法向量的关系:
    平面曲线:二元方程 y 2 + x 2 = 1 y^2+x^2=1 y2+x2=1
    空间曲面:二元函数 f = x 2 + y 2 f=x^2+y^2 f=x2+y2,三元方程 f − y 2 − x 2 = 0 f-y^2-x^2=0 fy2x2=0
    空间曲面求梯度 δ ( f ) δ ( x ) i + δ ( f ) δ ( y ) j \frac{\delta(f)}{\delta(x)}i+\frac{\delta(f)}{\delta(y)}j δ(x)δ(f)i+δ(y)δ(f)j
    平面曲线是空间曲面的一个特例,一条等高线,垂直等高线变化最快
    曲面上的点增长最快的方向,投影就是曲线的法向
    知乎:梯度与面的法向量的关系

    1.4 梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot)

    梯度、散度、旋度专题

    1.5 多元函数极值问题

    无条件极值

    在这里插入图片描述

    条件极值(拉格朗日乘数法)

    解拉格朗日乘数法的方程:相似的因式作差
    得到所以可能的极值点,然后自己带入判断是极大还是极小值
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    限定条件的最值问题(驻点+偏导不存在+每个边界)

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    二、多元函数积分学:先用对称性质

    2.0、积分的对称性(奇偶对称性与轮换对称性)

    1.定积分、二重、三重、第一型曲线曲面积分的对称性

    被积函数的奇偶对称性是关于某个变量的,例:f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)
    被积区域的对称性是关于某个轴(面)可以翻转过来,例:[-1,1]的区域
    eg:y=|x|在-1到1上积分,等于两倍的在[0,1]上积分
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    2.第二型曲线曲面积分的对称性

    如果被积变量中不含那个积分变量,那肯定没有对称性
    其他与前面结论相反:偶函数是0.奇函数是2倍

    2.1、一重积分:对f(x)积分,被积区域是坐标轴

    1.物理意义:

    平面上的直线或曲线与坐标轴围成的面积

    2.定积分的应用:

    1、定积分定义

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    2、旋转体的体积

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    3、旋转体的表面积

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    3.重积分的应用

    形心或质心、转动惯量
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    2.2、二重积分:对f(x,y)积分,被积区域是平面

    1.计算方法:

    1.直角坐标系:穿线法
    2.极坐标系:注意半径的起始大小,对于圆心不在原点的圆同样适用
    3.换元法(雅克比行列式)
    在这里插入图片描述

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    2.物理意义

    1:求密度不均匀的的质量(f(x,y)表示密度)
    2:求以曲面为顶的柱体的体积(f(x,y)表示高度)
    注1:被积函数为1,就是被积区域的面积 或 高度为1的柱体体积
    注2:二重积分上限大于下限,二次积分上限不一定大于下限

    2.3、三重积分: 对f(x,y,z)积分,被积区域是立体

    1.计算方法:先积的变量转化为后积的变量

    1.直角坐标系:转换为二重积分

    1)先一后二法:投影法

    直角坐标系
    “先一”: 上下限是x、y表达式,积分结果只含x、y
    " 后二":投影的二重积分,可能用到极坐标

    柱面坐标系:先一后二的变形 ( x , y , z ) 变 成 ( θ , r , z ) (x,y,z)变成(\theta,r,z) (x,y,z)(θ,r,z)
    “先z”:积分上下限是两个面z=z2(x,y),z=z1(x,y)用(r, θ \theta θ
    ρ 与 θ 适 用 于 g x 2 + y 2 或 者 被 积 区 域 是 柱 体 \rho与 \theta 适用于g\sqrt{x^2+y^2}或者被积区域是柱体 ρθgx2+y2

    2)先二后一法:切苹果

    “先二”: ( x , y , z ) 变 成 ( z , θ , r ) (x,y,z)变成(z,\theta,r) (x,y,z)(z,θ,r)
    被积函数含x、y,可能用到极坐标上限变成含z的式子(z当成常数)
    被积函数是1,"先二"就变成每层苹果的面积可以由含z的式子代替!!
    “后一”:z上下限是常数的定积分

    3)球面坐标系

    r 与 θ 与 ϕ 适 用 于 f ( x 2 + y 2 + z 2 ) 或 者 被 积 分 区 域 是 球 体 、 锥 体 r与 \theta 与\phi 适用于f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})或者被积分区域是球体、锥体 rθϕf(x2+y2+z2 )

    2.物理意义:

    求密度不均匀的立体的质量(f(x,y,z)表示密度)
    注:被积函数为1,就是被积区域的体积

    2.4、第一类曲线积分:

    1.定义:

    对弧长的曲线积分,被积区域是无方向曲线L,微元ds

    2.物理意义:

    给平面曲线的密度f(x,y)或空间曲线的密度f(x,y,z),求曲线的质量
    注:被积函数为1,求曲线的弧长

    3.计算方法:ds转化为dx,再定积分

    参数方程换元,弧微分ds=勾股定理dx与dy
    空间曲线如何转化为参数方程:令某个变量为t,计算剩下两个变量如何用t表示
    在这里插入图片描述
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    2.6、第一类曲面积分:

    1.定义:

    对面积的曲面积分,被积区域是无方向曲面S,微元dS

    2.物理意义:

    对给定空间曲面的密度f(x,y,z),计算该曲面的质量。
    注:被积函数为1就是求曲面的面积

    3.计算方法:ds转化为dxdy,再二重积分

    曲面微分dS 乘以 曲面上一点的在z轴的方向余弦=平面微分dxdy
    z=z(x,y)的方向余弦cos r通过法向量得到
    在这里插入图片描述
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    2.5、第二类曲线积分:对矢量的第一类曲线积分

    1.定义:

    对坐标的曲线积分是对矢量的第一类曲线积分
    被积区域分解到坐标轴,被积函数的坐标轴分量分别积分
    在这里插入图片描述

    2.物理意义:

    力的矢量拉着物体沿着曲线运动所做的功,将沿切向的小段位移分解到垂直的坐标轴上;同时将小段作用力也分解到垂直的坐标轴上,坐标轴分别作积分再求和得到总功。已知路径曲线方程,已知x,y两个方向的力分量或者x,y,z三个方向的力的分量,求功(有方向)

    3.基本计算方法:dx与dy转化为dt,转化到定积分

    参数方程换元
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    4. 平面曲线的格林公式:转化到二重积分

    1.封闭第二类平面曲线积分转化到二重积分
    2.条件:平面封闭曲线、正向、具有一阶连续偏导数
    在这里插入图片描述

    5.空间曲线的斯托克斯公式:转化到某类曲面积分

    1.封闭第二类曲线积分(=封闭对矢量的第一类曲线积分)=旋度矢量的第一类曲面积分=第二类曲面积分
    2.条件:空间封闭曲线、正向、具有一阶连续偏导数

    转化为对矢量的第一类曲面积分:
    通过右手定则选定一个面的方向,称为这个曲面的正向
    然后转化为第二类曲面积分的计算
    在这里插入图片描述
    转化为第二类曲面积分:
    在这里插入图片描述

    注:

    1.封闭的曲线满足使用格林公式或斯托克斯公式可以使用这两个公式
    2.不封闭曲线如果满足积分与路径无关条件好算(本质还是格林或斯托克斯公式)
    题型:补线法、挖孔法、补面法、挖洞法

    2.7、第二类曲面积分:对矢量的第一类曲面积分

    1.定义

    点在直线上与点在某个面上有不同的价值
    1.对坐标的曲面积分,被积区域分解到坐标平面
    面的两个相反的法向量对应面的不同侧
    在这里插入图片描述

    2.物理意义:

    在曲面上每一点的法向量与速度矢量做点积得到通量
    给x,y,z分别方向上的流速,告诉你面方程,指定方向,求流量

    3.基本计算方法:三个化为一个(方向余弦的关系),换元转化到二重积分

    在这里插入图片描述
    注:
    1.如果计算三个投影,不如利用方向余弦转换为计算一个投影
    2.流量结果可正可负:
    通过题干条件,确定曲面是哪一侧
    根据曲面方向(法向量)与坐标轴夹角cosr,决定添加正负号
    eg:
    方向向量与坐标轴的三个正向都相同,则肯定为正
    方向向量与坐标轴的三个正向都相反,则肯定为负
    投影到xoy面,则判断这一侧的法向量朝上为正

    在这里插入图片描述

    4.高斯公式:转化到三重积分

    1.封闭第二类曲面积分(=封闭对矢量的第一类曲面积分)=散度的三重积分
    2.空间闭区域;具有一阶连续偏导数;曲面外侧
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    注:
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    展开全文
  • m4-多元函数微积分
  • 利用Matlab优化多元函数微积分教学的研究与实践
  • 利用Matlab优化多元函数微积分教学的研究与实践.pdf
  • 微积分第八章多元函数微积分学.pdf
  • 成考专起点升本数学(二)第四章+多元函数微积分初步.docx
  • 极限:设函数 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 在去心邻域 DDD 有定义,M0(x0,y0)M_0(x_0, y_0)M0​(x0​,y0​) 是 DDD 的内点或边界点,M(x,y)∈DM(x,y) \in DM(x,y)∈D, lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A<=>∀ϵ>0...

    多元微分

    1. 极限偏导可微

    极限:设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在去心邻域 D D D 有定义, M 0 ( x 0 , y 0 ) M_0(x_0, y_0) M0(x0,y0) D D D 的内点或边界点, M ( x , y ) ∈ D M(x,y) \in D M(x,y)D
    lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = A < = > ∀ ϵ > 0 , ∃ σ > 0 , 0 < ∣ M M 0 ∣ = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < σ , 有 ∣ f ( x , y ) − A ∣ < ϵ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=A<=>\forall \epsilon>0, \exists \sigma>0, 0<|MM_0|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\sigma,有|f(x,y)-A|<\epsilon (x,y)(x0,y0)limf(x,y)=A<=>ϵ>0σ>00<MM0=(xx0)2+(yy0)2 <σf(x,y)A<ϵ

    连续:设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0, y_0) P0(x0,y0) 某个实心邻域有定义
    lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) (x,y)(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)

    偏导
    函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处对 x x x 的偏导数,可记为 f x ′ ( x 0 , y 0 ) f_{x}^{'}(x_0,y_0) fx(x0,y0) ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial f}{\partial x}|_{(x_0,y_0)} xf(x0,y0) ∂ z ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)} xz(x0,y0)

    f x ′ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}^{'}(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x} fx(x0,y0)=Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)

    函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处对 y y y 的偏导数,可记为 f y ′ ( x 0 , y 0 ) f_{y}^{'}(x_0,y_0) fy(x0,y0) ∂ f ∂ y ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial f}{\partial y}|_{(x_0,y_0)} yf(x0,y0) ∂ z ∂ y ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)} yz(x0,y0)

    f y ′ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y f_{y}^{'}(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)}{\Delta y} fy(x0,y0)=Δy0limΔyf(x0,y0+Δy)f(x0,y0)

    可微:函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y) 全增量 Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y) 表示为 Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ) Δz=AΔx+BΔy+o((Δx)2+(Δy)2 ) 则函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y) 可微, A Δ x + B Δ y A\Delta x + B\Delta y AΔx+BΔy 为全微分, ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} (Δx)2+(Δy)2 可记为 ρ \rho ρ

    2. 复合函数求导

    链式求导

    • z = f ( u , v ) , u = ϕ ( t ) , v = ψ ( t ) z=f(u,v), u=\phi(t),v=\psi(t) z=f(u,v),u=ϕ(t),v=ψ(t),则 z = f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] z=f[\phi(t), \psi(t)] z=f[ϕ(t),ψ(t)] d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t \frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} dtdz=uzdtdu+vzdtdv

    • z = f ( u , v ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ) z=f(u,v), u=\phi(x,y),v=\psi(x,y) z=f(u,v),u=ϕ(x,y),v=ψ(x,y),则 z = f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] z=f[\phi(x,y), \psi(x,y)] z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)] ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x , ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} xz=uzxu+vzxvyz=uzyu+vzyv

    • z = f ( u , v ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( y ) z=f(u,v), u=\phi(x,y),v=\psi(y) z=f(u,v),u=ϕ(x,y),v=ψ(y),则 z = f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( y ) ] z=f[\phi(x,y), \psi(y)] z=f[ϕ(x,y),ψ(y)] ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x , ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v d v d y \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy} xz=uzxuyz=uzyu+vzdydv

    符号 f ′ f^{'} f

    • z = f ( u , v ) , f ( x ) = { u = u ( x , y ) v = v ( x , y ) , f 1 ′ ( u , v ) = ∂ f ∂ u , f 2 ′ ( u , v ) = ∂ f ∂ v z=f(u,v),f(x)= \begin{cases} u=u(x,y)\\ v=v(x,y) \end{cases},f_{1}^{'}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u},f_{2}^{'}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial v} z=f(u,v)f(x)={u=u(x,y)v=v(x,y)f1(u,v)=uff2(u,v)=vf,分别简记为 f 1 ′ f_{1}^{'} f1 f 2 ′ f_{2}^{'} f2

    ∂ z ∂ x = f 1 ′ ∂ u ∂ x + f 2 ′ ∂ v ∂ x , ∂ z ∂ y = f 1 ′ ∂ u ∂ y + f 2 ′ ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial x} =f_{1}^{'}\frac{\partial u}{\partial x}+f_{2}^{'}\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =f_{1}^{'}\frac{\partial u}{\partial y}+f_{2}^{'}\frac{\partial v}{\partial y} xz=f1xu+f2xvyz=f1yu+f2yv

    • 书写混淆时, f 1 ′ ( u , v ) f_{1}^{'}(u,v) f1(u,v) 不可简记为 f 1 ′ f_{1}^{'} f1,如 z = f ( x + y , f ( x , y ) ) z=f(x+y, f(x,y)) z=f(x+y,f(x,y))

    全微分

    • 隐函数 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0的全微分, F x ′ d x + F y ′ d y + F z ′ d z = 0 F_{x}^{'}dx+F_{y}^{'}dy+F_{z}^{'}dz=0 Fxdx+Fydy+Fzdz=0
    • 全微分: d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy dz=xzdx+yzdy

    3. 多元函数极值

    无条件极值

    • 必要条件: f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 偏导为0或不存在
    • 充分条件: f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f_x^{'}(x_0,y_0)=0, f_y^{'}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = A , f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = B , f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = C f_{xx}^{''}(x_0,y_0)=A, f_{xy}^{''}(x_0,y_0)=B, f_{yy}^{''}(x_0,y_0)=C fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C
      Δ = A C − B 2 { > 0 A<0 极大值,A>0 极小值 < 0 非极值 = 0 方法失效 \Delta=AC-B^2 \begin{cases} > 0 & \text{A<0 极大值,A>0 极小值} \\ < 0 & \text{非极值}\\ =0 & \text{方法失效} \end{cases} Δ=ACB2>0<0=0A<0 极大值,A>0 极小值非极值方法失效

    条件极值:求函数 f f f 在条件函数 ϕ \phi ϕ 的极值和最值

    • 拉格朗日乘数法:
      F ( x , y , z , λ ) = f ( x , y , z ) + λ ϕ ( x , y , z ) F(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z) F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z),列方程组 F x ′ = 0 、 F y ′ = 0 、 F z ′ = 0 、 F λ ′ = 0 F_{x}^{'}=0、F_{y}^{'}=0、F_{z}^{'}=0、F_{\lambda}^{'}=0 Fx=0Fy=0Fz=0Fλ=0

    • 欧拉定理:
      F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z) k k k 次齐次函数,且 F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z) 有一阶偏导,则 x F x ′ + y F y ′ + z F z ′ = k F ( x , y , z ) xF_{x}^{'}+yF_{y}^{'}+zF_{z}^{'}=kF(x,y,z) xFx+yFy+zFz=kF(x,y,z),故 F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z) 值可表示成为 λ \lambda λ,并且 λ \lambda λ可用行列式求得

    • 直接代入法:
      设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 和条件函数 ϕ ( x , y ) \phi(x,y) ϕ(x,y) 是关于 x , y x,y x,y 的二元函数,则 y y y 可表示成为 x x x 代入 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),一元函数极值法求出极值和端点值

    多元积分

    1. 概念和性质

    概念:设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在有界闭区域 D D D 上有定义,区域 D D D 任意划分为内任意 n n n 小区域: Δ σ 1 , Δ σ 2 , . . . , Δ σ n \Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, ... , \Delta \sigma_{n} Δσ1,Δσ2,...,Δσn,每个 Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi 任取一点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi),记 d i d_i di Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi 半径, λ = m a x { d 1 , d 2 , . . . , d n } \lambda = max\{ d_1, d_2, ..., d_n \} λ=max{d1,d2,...,dn} lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i = ∬ f ( x , y ) d σ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i=\iint f(x,y)d\sigma λ0limi=1nf(ξi,ηi)Δσi=f(x,y)dσ

    性质 ∬ D [ f ( x , y ) + g ( x , y ) ] d σ = ∬ D f ( x , y ) d σ + ∬ D g ( x , y ) d σ \iint_{D} [f(x,y)+g(x,y)]d\sigma =\iint_{D} f(x,y) d\sigma+\iint_{D} g(x,y)d\sigma D[f(x,y)+g(x,y)]dσ=Df(x,y)dσ+Dg(x,y)dσ ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D 1 f ( x , y ) d σ + ∬ D 2 f ( x , y ) d σ , ∬ D d σ = σ \iint_{D} f(x,y)d\sigma=\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2} f(x,y)d\sigma,\iint_{D} d\sigma = \sigma Df(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσDdσ=σ

    2. 积分对称性

    普通对称性

    • D D D 关于 y y y 轴对称, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 关于 x x x 奇偶性
    • D D D 关于 x x x 轴对称, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 关于 y y y 奇偶性

    轮换对称性

    • D D D 关于 y = x y=x y=x 轴对称,则 ∬ f ( x , y ) d σ = ∬ f ( y , x ) d σ \iint f(x,y) d\sigma=\iint f(y,x) d\sigma f(x,y)dσ=f(y,x)dσ
    • D D D 关于 y = − x y=-x y=x 轴对称,则 ∬ f ( x , y ) d σ = ∬ f ( − y , − x ) d σ \iint f(x,y) d\sigma=\iint f(-y,-x) d\sigma f(x,y)dσ=f(y,x)dσ

    3. 直角和极坐标系

    直角坐标系

    • X型区域 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 1 ( x ) f ( x , y ) d y \iint_{D} f(x,y) d\sigma=\int_{a}^{b} dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_1(x)}f(x,y) dy Df(x,y)dσ=abdxϕ1(x)ϕ1(x)f(x,y)dy
      在这里插入图片描述
    • Y型区域 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 1 ( y ) f ( x , y ) d x \iint_{D} f(x,y) d\sigma=\int_{c}^{d} dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_1(y)}f(x,y) dx Df(x,y)dσ=cddyψ1(y)ψ1(y)f(x,y)dx
      在这里插入图片描述

    极坐标系 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r d θ \iint_{D} f(x,y) d\sigma = \iint_{D} f(rcosθ, rsinθ)rdrdθ Df(x,y)dσ=Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

    • ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r ( 极 点 O 在 区 域 D 外 ) \iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{α}^{\beta}dθ\int_{r_1(θ)}^{r_2(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D外) Df(x,y)dσ=αβdθr1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)

    • ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ 0 r ( θ ) f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r ( 极 点 O 在 区 域 D 边 界 ) \iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{α}^{\beta}dθ\int_{0}^{r_(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D边界) Df(x,y)dσ=αβdθ0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)

    • ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 r ( θ ) f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r ( 极 点 O 在 区 域 D 内 ) \iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{0}^{2\pi}dθ\int_{0}^{r_(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D内) Df(x,y)dσ=02πdθ0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)

    4. 坐标系相互转换

    ① 公式 { x = r c o s θ y = r s i n θ \begin{cases} x = rcosθ \\ y = rsinθ \end{cases} {x=rcosθy=rsinθ ② 画好区域 D D D 图形,确定上下限转化

    5. 交换积分次序

    固定 x x x 扫描 y y y
    ∫ 0 1 d y ∫ 0 y f ( x , y ) d x → ∫ d x ∫ f ( x , y ) d y \int_{0}^{1 }dy \int_{0}^{y} f(x,y)dx \to \int dx \int f(x,y)dy 01dy0yf(x,y)dxdxf(x,y)dy
    在这里插入图片描述
    固定 r r r 扫描 θ θ θ
    ∫ − π 4 π 2 d θ ∫ 0 2 c o s θ f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r → ∫ r d r ∫ f ( r c o s θ , r s i n θ ) d θ \int_{-\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} }dθ \int_{0}^{2cosθ} f(rcosθ, rsinθ)rdr \to \int rdr \int f(rcosθ, rsinθ)dθ 4π2πdθ02cosθf(rcosθ,rsinθ)rdrrdrf(rcosθ,rsinθ)dθ
    在这里插入图片描述
    极坐标换序时,固定 r r r 长度从一端扫到另一端。上图中间弧线为界,左侧 θ θ θ 和右侧 θ θ θ 起始大小不同,所以需要拆分为两个积分。

    参考资料

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