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  • 2020-11-13 08:31:47
    Created with Raphaël 2.2.0 函数 F(X) Jacobian(X0)=0 Hessian(X0)=0 无法判断 X0是否为极值点 Hessian 为正(负)定矩阵 是极小(大)值点 X0 不是极值点 yes no yes no yes no
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    高数 第九章 第八节 多元函数的极值及其求法

    重点:判断极值,求极值(代入法、拉格朗日乘数法)

    一、极值定义
    在这里插入图片描述

    二、求极值
    一般利用偏导来求极值,定理如下:
    在这里插入图片描述
    即:函数在点(x。,y。)处有偏导且有极值则该点处偏导为0

    求法一,解方程组代入点求解极值:
    在这里插入图片描述
    极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点

    例题如下:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    求法二,拉格朗日乘数法求条件极值

    1、条件极值与无条件极值:除限制在函数定义域内以外没有其他条件的是无条件极值,对自变量有附加条件的为有条件极值
    2、拉格朗日乘数法:
    若求函数f(x,y)极值的限制条件为Φ(x,y)=0,则令:
    F(x,y)=f(x,y)+λ(Φ(x,y)),(其中F(x,y)称为拉格朗日函数,λ称为拉格朗日乘子)
    令Fx(x,y)=0;Fy(x,y)=0;Fλ(x,y)=0;求解此方程组,所得点即为其可能极值点

    例题如下:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 多元函数极值与AAA及Δ=B2−4AC\Delta =B^2-4ACΔ=B2−4AC的关系

    多元函数极值与 A A A Δ = B 2 − A C \Delta =B^2-AC Δ=B2AC的关系

    结论:
    Δ = B 2 − A C < 0 \Delta =B^2-AC < 0 Δ=B2AC<0时, A > 0 A>0 A>0取极小值, A < 0 A<0 A<0取极大值
    Δ = B 2 − A C > 0 \Delta =B^2-AC > 0 Δ=B2AC>0时,无极值
    Δ = B 2 − A C = 0 \Delta =B^2-AC = 0 Δ=B2AC=0时,需要进一步讨论,一般从极值定义去讨论

    那么,这个结论是怎么来的?

    对于一元函数 f ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ( x ) > 0 f'(x) = 0,f''(x)>0 f(x)=0,f(x)>0取极小值, f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)<0 f(x)<0取极大值。
    对于多元函数 ∂ f ∂ l = 0 , ∂ 2 f ∂ l 2 > 0 \dfrac{\partial f}{\partial l} = 0,\dfrac{\partial^2 f}{\partial l^2}>0 lf=0,l22f>0取极小值, ∂ 2 f ∂ l 2 < 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial l^2}<0 l22f<0取极大值。
    求多元函数极值时,我们关注的不是偏导数而是方向导数,因为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)沿任意方向都可以变化,而偏导数只描述了沿x,y方向的变化,方向导数则可描述随意方向。

    ∂ f ∂ l = ▽ f ⋅ ( c o s α , c o s β ) = f x ′ c o s α + f y ′ c o s β \dfrac{\partial f}{\partial l} = \bigtriangledown f·(cos\alpha,cos\beta) = f'_xcos\alpha+f'_ycos\beta lf=f(cosα,cosβ)=fxcosα+fycosβ
    g ( x , y ) = ∂ f ∂ l = f x ′ c o s α + f y ′ c o s β g(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial l} = f'_xcos\alpha+f'_ycos\beta g(x,y)=lf=fxcosα+fycosβ
    ∂ g ∂ l = ▽ g ⋅ ( c o s α , c o s β ) = c o s 2 β [ f x x ′ ′ ( c o s α c o s β ) 2 + 2 f x y ′ ′ c o s α c o s β + f y y ′ ′ ] \dfrac{\partial g}{\partial l} = \bigtriangledown g·(cos\alpha,cos\beta) = cos^2\beta[f''_{xx}(\dfrac{cos\alpha}{cos\beta})^2+2f''_{xy}\dfrac{cos\alpha}{cos\beta}+f''_{yy}] lg=g(cosα,cosβ)=cos2β[fxx(cosβcosα)2+2fxycosβcosα+fyy]
    ∂ 2 f ∂ l 2 = c o s 2 β [ f x x ′ ′ ( c o s α c o s β ) 2 + 2 f x y ′ ′ c o s α c o s β + f y y ′ ′ ] \dfrac{\partial^2 f}{\partial l^2} =cos^2\beta[f''_{xx}(\dfrac{cos\alpha}{cos\beta})^2+2f''_{xy}\dfrac{cos\alpha}{cos\beta}+f''_{yy}] l22f=cos2β[fxx(cosβcosα)2+2fxycosβcosα+fyy]
    A = f x x ′ ′ , B = f x y ′ ′ , C = f y y ′ ′ A =f''_{xx},B =f''_{xy},C = f''_{yy} A=fxx,B=fxy,C=fyy

    要使得 ∂ 2 f ∂ l 2 > 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial l^2}>0 l22f>0,则 A > 0 , Δ < 0 A>0,\Delta<0 A>0,Δ<0,应该注意的是 Δ < 0 \Delta<0 Δ<0这个条件是必须满足的,因为 ∂ 2 f ∂ l 2 > 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial l^2}>0 l22f>0是一个恒成立问题。
    其他情况同理。

    展开全文
  • 本篇中我们主要总结一下多元函数的代数应用——多元函数找寻极值点。 在开始之前,先做一个回顾,还是老规矩,我们以一元函数极值比对多元函数的这一部分内容。 回顾 一元函数极值的定义 在y=f(x)上一点x0的去心...

    本篇中我们主要总结一下多元函数的代数应用——多元函数找寻极值点。

    在开始之前,先做一个回顾,还是老规矩,我们以一元函数的极值比对多元函数的这一部分内容。

    回顾

    • 一元函数极值的定义
      • 在y=f(x)上一点x0的去心邻域内,有f(x)<f(x0),则称f(x0)为y=f(x)的极大值,x0为y=f(x)的极大值点;
      • 在y=f(x)上一点x0的去心邻域内,有f(x)>f(x0),则称f(x0)为y=f(x)的极小值,x0为y=f(x)的极小值点;
    • 判别法
      • 第一充分条件:通过一阶导数的正负反映函数增减性判断极值点;
      • 第二充分条件:
        • f’(x0)=0,f’’(x0)<0,则f(x0)为极大值,x0为极大值点
        • f’(x0)=0,f’’(x0)>0,则f(x0)为极小值,x0为极小值点

    回顾就到这里,再细一点的内容请参阅3.5 极值与最值

    多元函数极值

    多元函数极值我们分为两个情况。
    无条件极值
    在这里插入图片描述

    无条件极值的判别步骤
    在这里插入图片描述

    例题

    例1
    在这里插入图片描述

    条件极值

    Case 1
    在这里插入图片描述
    求条件极值的步骤:
    第一步:使用拉格朗日乘除法构造函数
    在这里插入图片描述
    第二步,求三个偏导数,令之等于0,解出x,y在这里插入图片描述
    解出x,y后可能会得到不止一组点,此时,将之代入,最大的就是最大值,最小的就是最小值,反正就是全部代进去。

    例题

    例2
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    Case 2
    条件极值的第二种形式,约束条件是一个方程组在这里插入图片描述
    步骤类似在这里插入图片描述
    以上就是本篇的全部内容,无条件极值的情况要算ABC判别式,条件极值就是构造方程然后解方程组就行了。

    本篇完。

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多元函数无条件极值判别法

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