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  • 如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日一题呆哥解析:这是一道求多元函数最值下的关系问题像这种题,我们要如何去找到突破点呢?必须要明确的是,如何去利用已知条件构造一...

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    如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日一题

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    呆哥解析:

    这是一道求多元函数最值下的关系问题

    像这种题,我们要如何去找到突破点呢?

    必须要明确的是,如何去利用已知条件构造一个含有两个变量的一元函数

    因此我们首选的方法当然是:齐次化

    齐次化的意思就是让两个变量组合成一种形式,从而得到一个单变量的函数,那么怎么齐次化呢?

    首先我们这样试试:

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    这样一来的好处是什么呢?好处是比较明显的:

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    可以看到,我们通过多除一个分母,使得上下同除一个变量的平方之后,全部转化为了同一个变量

    我们称之为完成了齐次化

    接下来,根据题意,就是只需要找出最小值的情况即可了

    我们先把函数构造出来,求导来找出最小值:

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    可见,当以下情况时,就会有最小值:

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    因此答案就是:

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    明日预告:

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  • 同时,多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法,而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此,怎样求多元函数的最值,是是高考考生们必须具备的解题技能。二、常见的解题方法有哪些?导数法、消元法、均值...

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    一、多元函数求最值问题

    多元函数是高等数学中的重要概念之一,但随着新课程的改革,高中数学与大学数学知识的衔接,多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现。

    同时,多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法,而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此,怎样求多元函数的最值,是是高考考生们必须具备的解题技能。

    二、常见的解题方法有哪些?

    导数法、消元法、均值不等式法(“1”代换)、换元法(整体换元 三角换元)、数形结合法、柯西不等式法、向量法等

    主要思想方法:数形结合、化归思想等。

    三、题目案例分析

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    【评析】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数,再用单调性或基本不等式求解,二是直接用基本不等式,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过不等式的途径进行。

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    【评注】在求有些多元函数的最值时,恰当构造向量模型,利用向量数量积的性质,常可使复杂问题变得简单明了,使繁琐的解题显得巧妙自然。

    当然,在这一道题目的求解过程中,需要注意的是运用了一个不等式,这个不等式可以直接运用,并很快求出答案。此不等式常用语分数不等式里面来去解题。

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    【评注】该解法利用条件将不等式放缩后,通过消元,转化为一元函数,再用基本不等式求解。

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    【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想,将二元函数的最值转化为一元函数的最值,从而利用导数研究函数最值,但在处理过程中充分考虑变量的取值范围,否则容易出错。

    在求解最值的时候,可以使用消元法。消元法就是通过简单的构造和化简,来构造一个只含有一个参数变量的函数式,这样一来,就能够求出新构造出来的函数最值。

    本题就是令K=x/y,然后代入原式,得到了一个新函数。同时,需要注意K的取值范围,是(0,1)。

    例2: 已知任意非零实数x,y满足3x^2+4xy≤λ(x^2+y^2)恒成立,则实数λ的最小值为____.

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    【评注】关注各项系数,直接利用基本不等式放缩,构思巧妙。

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    【评注】根据条件进行放缩,利用配方法解决问题。不过,这道题目里面,也含有一些消元法的思想,就是尽量把三个参数变成两个参数来求解。

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    【评注】根据条件进行放缩,关注到基本不等式,同时有整体配方思想。

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    【评注】直接利用基本不等式解决问题。

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  • 使用遗传算法求解多元函数最值(实例)使用遗传算法求解多元函数最值使用遗传算法求解多元函数最值使使用用遗遗传传算算法法求求解解多多元元函函数数最最值值这是我们的待求解问题模型,下面是我们的实现代码:...

    使用遗传算法求解多元函数最值(实例)

    使用遗传算法求解多元函数最值

    使用遗传算法求解多元函数最值

    使使用用遗遗传传算算法法求求解解多多元元函函数数最最值值

    这是我们的待求解问题模型,下面是我们的实现代码:

    package test;

    import java.util.Random;

    public class GA {

    public static final int varnum=5;//变量的个数

    public static final double []lower=new double[varnum];

    public static final double []uper=new double[varnum];

    public static final int POP_SIZE=80;//种群数目

    public static final double[][]initpop=new double[varnum][POP_SIZE];

    public static final int M=22; //每一个变量编码位数

    public static String[]pop=new String[POP_SIZE];//种群编码

    public static double[][]result=new double[varnum][POP_SIZE];//种群代表的结果

    public static final int LENGTH=M*varnum;//编码长度,因为要精确到小数点后六位,所以编为22位长,22*i,i

    为变量个数

    public static final int MJ2=4194304;//2^22

    public static double[]fitness=new double[POP_SIZE];//存放种群适应度

    public static final double PC=0.35;//交叉率

    public static final double PM=0.08;//变异率

    public static double[]p=new double[POP_SIZE];//轮盘赌方法个体适应度概率(按比例的适应度分配)

    public static double[]q=new double[POP_SIZE];//q[i]是前n项p之和(累积概率)

    public static Random random=new Random();//用于产生随机数的工具

    public static Best best=new Best();//记录最佳答案的对象

    public GA(double initpop[][])

    {

    for (int i = 0; i < initpop.length; i++) {

    for(int j=0;j

    result[i][j]=initpop[i][j];

    }

    }

    }

    public void encoding()

    {

    for (int i = 0; i < POP_SIZE; i++) {

    pop[i]="";

    for(int j=0;j

    double d1=((initpop[j][i]-lower[j])/(uper[j]-lower[j]))*(MJ2-1);

    String GeneCode=Integer.toBinaryString((int)d1);

    if(GeneCode.length()

    int k=M-GeneCode.length();

    for(int l=0;l

    GeneCode="0"+GeneCode;

    }

    }

    pop[i]+=GeneCode;

    }

    }

    }

    public void decoding()//将2进制编码转换为10进制

    {

    for (int i = 0; i < pop.length; i++) {

    for(int j=0;j

    int k=Integer.parseInt((pop[i].substring(j*22, (j+1)*22-1)), 2);

    result[j][i]=lower[j]+k*(uper[j]-lower[j]

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  • 如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日一题呆哥解析:今天的是一道求多元函数最值问题这种多元函数看上去就很复杂,我们该如何处理呢?分母的两个根号的积看上去有点规律,...

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    如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日一题

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    呆哥解析:

    今天的是一道求多元函数最值的问题

    这种多元函数看上去就很复杂,我们该如何处理呢?

    分母的两个根号的积看上去有点规律,所以我们尝试因式分解成两个根号的平方和

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    检验一下,这是没问题的!

    那么我们就可以进一步化简原式了:

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    那么这里平方下我们就可以进行均值操作了

    关键是如何进行均值操作会比较方便呢

    分母的根号我们是不要最好,那么我们先换掉它:

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    我们看到,分子和分母的平方可能会有一点联系,因为到时候我们待定一个形式的时候,可能可以消掉平方和

    具体列写一下大家可能会更清楚一些:

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    这里我们待定一个大于等于号(当然也有可能是小于等于)

    然后再待定一个常数,因为我们等会消掉平方和之后,可能还需要再平方一下消掉后面的根号积

    稍微化简一下就是:

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    这里我们不用犹豫,肯定就是直接把常数减过去平方了:

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    这里我们看出,在有些项消掉之后,就会形成完全平方式!

    为了使得最后的不等式可以凑成完全平方式,我们这里的待定常数最好的应该是可以和右侧的常数消掉,也就是,9!

    也就是:

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    那么我们就得到一个很好看的形式了:

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    应当注意的是,这里的第二个均值不等式的取等条件,和上面我们的那个均值不等式是互相独立的

    也就是可以同时取到的!

    那么答案就出来了:

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    明日预告:

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多元函数最值问题