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  • 多元函数中的偏导数全导数以及隐函数

    万次阅读 多人点赞 2019-03-31 22:48:01
    以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。 定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。 全微分 与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单...

    偏导数全导数

    偏导数

    由于是二元函数,有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导,如偏x导数、偏y导数。

    高阶偏导数

    对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。
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    定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。

    全微分

    与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单对x或y的微分称为偏微分
    若x,y同时增加,称为全增量
    全微分定义见下图
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    定理
    1. 如果函数在该点可微分,那么其在该点的偏导数一定存在,且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数(叠加定理)
      (全微分存在,函数可微分,偏导数一定存在;偏导数存在,全微分不一定存在)
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    2. 如果函数在该点偏导数连续,那么函数在该点可微分

    多元复合函数求导

    一元函数与多元函数复合

    先对多元函数微分,再把每个函数看成一元函数进行求导
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    多元函数与多元函数复合

    如果对x求导,就先对所有函数微分,再把每个函数对x微分,最后相加。对y同理。
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    其他情形

    当多元函数与一元或者多元函数复合时,可能所导变量在某个函数中不存在
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    不管那种情况,都有一下规律:
    把最外层函数里的一个一个函数看过来,如果这个函数不存在所导变量,就不理他看下一个(微分后为0)。如果有,就先把最外层函数对其微分,如果里面这个函数是一元函数,就对变量求导;如果是多元,就对变量微分。

    多元函数二阶求导

    为方便起见,做出如下定义:有z=f(u,v)。f1’(u,v)=fu(u,v)——f对u求偏导;f2’=fv(u,v)——f对v求偏导;f12’’(u,v)=fuv(u,v)等等…
    先求一阶偏导,再根据公式求二阶偏导数。需要注意的是此处求出来的是一阶偏导对变量的微分。由于一阶偏导内涵中间变量u、v,因此要再进行微分将一阶偏导对变量的微分变成二阶偏导。

    隐函数求导

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    方程组

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    在求解的时候可以把行列式右边的常数和所求的变量前的系数代换,利用行列式法则求解。
    以下给出例题
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  • 函数求偏导数。如图,为什么F对x求偏导能把z看成常数?z不是对x的导数吗~?对于三元函数F来说,x,y,z的地位是一样的,都是自变量。F对自变量x求偏导数,自变量y,z自然是被看作常量。您好,隐函数对方程两边x求导,...

    隐函数求偏导数。如图,为什么F对x求偏导能把z看成常数?z不是对x的导数吗~?

    对于三元函数F来说,x,y,z的地位是一样的,都是自变量。F对自变量x求偏导数,自变量y,z自然是被看作常量。

    您好,隐函数对方程两边x求导,那如果方程中有常数,该怎么处理啊?

    常数导数为 0 啊 。

    多元函数的隐函数求导何时将z看成常数,何时看成变量 5分

    不是吧?啥公式啊把z看成常数啊,你是说dz吗?这个是求微分,所以是dz-ysinxydx=e^zdz,然后求出dz/dx。其实你可以一直把z看成x,y的函数啊,这样就是dz/dx-ysinxy=e^zdz/dx,然后求出dz/dx。二阶导的时候就要用到乘法法则了,所以是d^2z/dx^2-y^2cosxy=e^zdz/dxdz/dx+e^zd^2z/dx^2,右边是两项,来自乘法法则。你可以一直把z看成x,y的函数,不管求几次导

    关于隐函数微分,请问如图两题为什么对X求导时,一道题y可看做常数,另外一道的题目看做y’

    注意一个是y为x的函数

    y求导出来当然是dy/dx

    即y^2导数为2y *y'

    而另一个是F(x,y)

    即x和y的二元函数

    所以Fx和Fy都是求偏导数

    利用微分法求隐函数的导数。求由方程x^2+y^2=R^2(R为常数)确定的隐函数y的导数dy/dx

    2x+2yy'=0

    y'= -x/y

    隐函数对X求二阶偏导时,为什么一阶的时候把y当常数,但求二阶X偏导时,却把Y的导数写成y'(=dy/dx)

    解答:

    这个问题中,出现了好几个概念错误。

    1、y = f(x),这是函数的一般抽象表示,而不表示隐函数表示法;

    2、y对x求导,可以写成y‘,也可以写成dy/dx;

    3、隐函数的表示可以是:u(x,y) = c

    y对x的求导:∂u/∂x + (∂u/∂y)dy/dx = 0, dy/dx = -(∂u/矗∂x)/(∂u/∂x)

    4、对x求偏导时,y当成常数;对y求偏导时,x当成常数。

    5、无论u对x求多少次偏导后,原则上仍然是x、y的函数;同样地,

    无论u对y求多少次偏导后,原则上仍然是x、y的函数;同样地,

    无论u对x、对y求多少次混合偏导后,原则上仍然是x、y的函数。

    所以,“为什么一阶当常数 二阶当Y’” 这句话不成立。

    6、国内喜欢用y'表示dy/dx,这是国内的一个系统性的普遍的坏习惯,

    坏处有二:

    一是葬送了对导数的悟性,尤其到微分方程时,天然的悟性都葬送了;

    二是无法准确区别,尤其在高阶导数中,如∂²u/∂²x,∂²u/∂²y,∂²u/∂x∂y,

    明明不可以再用y’表示,但是仍然有很多数学教师继续误导学生,

    全国性的误导之深,之广,令人吃惊!

    太多的庸师毒害了太多的莘莘学子!!

    隐函数求导的疑问

    你的想法是对的,其实问题很基本,z是x,y的函数,那么无论对x还是y求导,z都不能看作常数,而x,y之间是相互独立的变量,所以对y求导时视x为常数,反之同理

    隐函数求二阶对X偏导时,为什么一阶的时候把Y当常数,但求二阶X偏导时,却把Y的导数当成Y‘

    一阶的时候,是将y当成x的函数,因此此时应该对锭进行求导,拟题目中的表述是错误的,y的导函数仍然是关于x的函数

    第三题怎么做啊?隐函数的问题。x的y次方,y在这里作为常数还是未知数?两边求导得到什么?求解答困惑

    二元隐函数求二阶偏导数,为什么在求一阶偏导数的时候把z看做常数求x的偏导数,而求二阶偏导数的时候就 10分

    不会的,二元隐函数 F(x,y) = 0 哪来 z?能给具体的吗?

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  • 多元函数概念和偏导

    千次阅读 2020-04-21 14:56:48
    偏导数 ...对多元函数而言,即使函数的各个偏导数都存在,也不能保证函数在该点连续。 即是可导不一定连续 3.高级偏导数 四个二阶偏导数 其中二三叫做混合偏导数 二阶及二阶以上的叫做高阶偏导数 ...

    偏导数

    注意:偏导数的表示是一个整体
    并且这种情况只能用定义来做

    1.偏导数的概念

    2.偏导数的几何意义

    对多元函数而言,即使函数的各个偏导数都存在,也不能保证函数在该点连续。
    即是可导不一定连续

    3.高级偏导数

    四个二阶偏导数
    其中二三叫做混合偏导数
    二阶及二阶以上的叫做高阶偏导数

    一元复合函数推广

    1.复合函数的求导法则

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    推广:对于多元函数自变量大于两个的时候也成立。

    2.求导法则的应用

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    3.全微分形式不变性

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    注意

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    千次阅读 2021-03-29 15:26:44
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    2021-01-30 15:17:05
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    2021-10-11 21:48:48
    多元函数求导法则.doc
  • 多元复合函数的求导法则.ppt
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空空如也

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多元函数求偏导法则