偏导数全导数
 
偏导数
 
由于是二元函数，有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导，如偏x导数、偏y导数。
 
高阶偏导数
 
对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例，偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。
 
 定理：如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续，那么他们两个相等。
 
全微分
 
与一元函数类似，由于有两个变量，x或y的增量称为偏增量，单单对x或y的微分称为偏微分。
 若x，y同时增加，称为全增量。
 全微分定义见下图
 
 
定理
 
如果函数在该点可微分，那么其在该点的偏导数一定存在，且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数（叠加定理）
 （全微分存在，函数可微分，偏导数一定存在；偏导数存在，全微分不一定存在）
 
如果函数在该点偏导数连续，那么函数在该点可微分
 
多元复合函数求导
 
一元函数与多元函数复合
 
先对多元函数微分，再把每个函数看成一元函数进行求导
 
 
多元函数与多元函数复合
 
如果对x求导，就先对所有函数微分，再把每个函数对x微分，最后相加。对y同理。
 
 
其他情形
 
当多元函数与一元或者多元函数复合时，可能所导变量在某个函数中不存在
 
 不管那种情况，都有一下规律：
 把最外层函数里的一个一个函数看过来，如果这个函数不存在所导变量，就不理他看下一个（微分后为0）。如果有，就先把最外层函数对其微分，如果里面这个函数是一元函数，就对变量求导；如果是多元，就对变量微分。
 
多元函数二阶求导
 
为方便起见，做出如下定义：有z=f(u,v)。f1’(u,v)=fu(u,v)——f对u求偏导;f2’=fv(u,v)——f对v求偏导;f12’’(u,v)=fuv(u,v)等等…
 先求一阶偏导，再根据公式求二阶偏导数。需要注意的是此处求出来的是一阶偏导对变量的微分。由于一阶偏导内涵中间变量u、v，因此要再进行微分将一阶偏导对变量的微分变成二阶偏导。
 
隐函数求导
 
 
方程组
 

 在求解的时候可以把行列式右边的常数和所求的变量前的系数代换，利用行列式法则求解。
 以下给出例题
 

 
隐函数求偏导数。如图，为什么F对x求偏导能把z看成常数？z不是对x的导数吗~？
 
对于三元函数F来说，x,y,z的地位是一样的，都是自变量。F对自变量x求偏导数，自变量y,z自然是被看作常量。
 
您好，隐函数对方程两边x求导，那如果方程中有常数，该怎么处理啊？
 
常数导数为 0 啊 。
 
多元函数的隐函数求导何时将z看成常数，何时看成变量 5分
 
不是吧？啥公式啊把z看成常数啊，你是说dz吗？这个是求微分，所以是dz-ysinxydx=e^zdz,然后求出dz/dx。其实你可以一直把z看成x,y的函数啊，这样就是dz/dx-ysinxy=e^zdz/dx,然后求出dz/dx。二阶导的时候就要用到乘法法则了，所以是d^2z/dx^2-y^2cosxy=e^zdz/dxdz/dx+e^zd^2z/dx^2,右边是两项，来自乘法法则。你可以一直把z看成x,y的函数，不管求几次导
 
关于隐函数微分，请问如图两题为什么对X求导时，一道题y可看做常数，另外一道的题目看做y’
 
注意一个是y为x的函数
 
y求导出来当然是dy/dx
 
即y^2导数为2y *y'
 
而另一个是F(x,y)
 
即x和y的二元函数
 
所以Fx和Fy都是求偏导数
 
利用微分法求隐函数的导数。求由方程x^2+y^2=R^2(R为常数)确定的隐函数y的导数dy/dx
 
2x+2yy'=0
 
y'= -x/y
 
隐函数对X求二阶偏导时，为什么一阶的时候把y当常数，但求二阶X偏导时，却把Y的导数写成y'(=dy/dx)
 
解答：
 
这个问题中，出现了好几个概念错误。
 
1、y = f(x)，这是函数的一般抽象表示，而不表示隐函数表示法；
 
2、y对x求导，可以写成y‘，也可以写成dy/dx;
 
3、隐函数的表示可以是：u(x,y) = c
 
y对x的求导：∂u/∂x + (∂u/∂y)dy/dx = 0, dy/dx = -(∂u/矗∂x)/(∂u/∂x)
 
4、对x求偏导时，y当成常数；对y求偏导时，x当成常数。
 
5、无论u对x求多少次偏导后，原则上仍然是x、y的函数；同样地，
 
无论u对y求多少次偏导后，原则上仍然是x、y的函数；同样地，
 
无论u对x、对y求多少次混合偏导后，原则上仍然是x、y的函数。
 
所以，“为什么一阶当常数 二阶当Y’” 这句话不成立。
 
6、国内喜欢用y'表示dy/dx，这是国内的一个系统性的普遍的坏习惯，
 
坏处有二：
 
一是葬送了对导数的悟性，尤其到微分方程时，天然的悟性都葬送了；
 
二是无法准确区别，尤其在高阶导数中，如∂²u/∂²x，∂²u/∂²y，∂²u/∂x∂y，
 
明明不可以再用y’表示，但是仍然有很多数学教师继续误导学生，
 
全国性的误导之深，之广，令人吃惊！
 
太多的庸师毒害了太多的莘莘学子！！
 
隐函数求导的疑问
 
你的想法是对的，其实问题很基本，z是x，y的函数，那么无论对x还是y求导，z都不能看作常数，而x，y之间是相互独立的变量，所以对y求导时视x为常数，反之同理
 
隐函数求二阶对X偏导时，为什么一阶的时候把Y当常数，但求二阶X偏导时，却把Y的导数当成Y‘
 
一阶的时候，是将y当成x的函数，因此此时应该对锭进行求导，拟题目中的表述是错误的，y的导函数仍然是关于x的函数
 
第三题怎么做啊？隐函数的问题。x的y次方，y在这里作为常数还是未知数？两边求导得到什么？求解答困惑
 
蒽
 
二元隐函数求二阶偏导数，为什么在求一阶偏导数的时候把z看做常数求x的偏导数，而求二阶偏导数的时候就 10分
 
不会的，二元隐函数 F(x,y) = 0 哪来 z？能给具体的吗？

偏导数
 
 
 
注意：偏导数的表示是一个整体
 并且这种情况只能用定义来做
 
 
1.偏导数的概念
 
2.偏导数的几何意义
 
对多元函数而言，即使函数的各个偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续。
 即是可导不一定连续
 
3.高级偏导数
 
四个二阶偏导数
 其中二三叫做混合偏导数
 二阶及二阶以上的叫做高阶偏导数
 
一元复合函数推广
 
1.复合函数的求导法则
 

 
 
 
 
 推广：对于多元函数自变量大于两个的时候也成立。
 
2.求导法则的应用
 

 
 
 
 
 
3.全微分形式不变性
 

 
 
 
注意