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  • 张辉 陈春梅 景慧丽摘 要:多元隐函授的求导...关键词:隐函数 偏导数 链式法则 微分法中图分类号:O13 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2020)01(b)-0222-02多元隐函数的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要...

    张辉 陈春梅 景慧丽

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    摘  要:多元隐函授的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要内容。该文介绍了計算由一个方程所确定的二元隐函数的二阶偏导数的4种方法,旨在对隐函数的偏导数问题有更深的理解和掌握。

    关键词:隐函数  偏导数  链式法则  微分法

    中图分类号:O13    文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2020)01(b)-0222-02

    多元隐函数的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要内容。隐函数存在定理2[1]提供了由一个方程所确定的二元隐函数的偏导数的计算公式,假设三元函数F(x,y,z)具有二阶连续偏导数,在一定条件[1]下,方程F(x,y,z)=0唯一确定一个具有连续偏导数的二元函数z=f(x,y),且有而对于z=f(x,y)二阶偏导数的计算,教材上并没有给出求解方法和公式,同时也是大部分大学一年级学生面临的一个难点问题。为了解决上述问题,该文主要介绍4种计算此二元隐函数z=f(x,y)二阶偏导数的方法,给出相应的求解思路和计算公式,供初学者参考学习。

    从以上4种方法的分析可以看出,微分法在求二元隐函数的二阶偏导数问题中有着显著优点,它比链式法则和偏导数求导法则要方便一些;特别是在变量间的关系较复杂时,微分法无须判断各变量之间的内在关系,只需将各变量一律看作成相互独立的自变量,再对等式两边的表达式同时求解微分或全微分,这样既简化了问题,也不容易出错。事实上,在大学数学课程的学习中,对于同一个具体问题,如果从不同的角度去分析,采用不同的处理方式或途径去解决就能得到不同的求解方法,通过比较可以选择便捷高效的方法,并在不断的分析比较中,使得学生将所学知识融会贯通、熟练掌握。

    参考文献

    [1] 同济大学数学系.高等数学(下册)[M].7版.北京:高等教育出版社,2014.

    [2] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析(下册)[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

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  • 先看一些小东西,主要是对比一下这三种情况(见下图):当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0当...

    前三张图片是一样的,第一张图片有一个错误,Δy改为Δv,第二张和第三张已改过来了。

    因为拍的不清楚(手机像素差,自己拍照技术也不好),所以有很多内容是重复的(相同的拍了好几张),拍的不清楚的部分,可以对照着看。

    先看一些小东西,主要是对比一下这三种情况(见下图):

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    当对自变量x求偏导时,把y当做常量,即Δy=0

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    最后看一个提高版的:

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    总结一下,对x求偏导其实可以当作只对x求导数,y不变。从而我们再求偏导数自认为满足的求导法则,其实在一定条件下是满足的。理论分析便是我们以上讨论(见上面的图,好多,感觉自己挺腻害。膨胀了 )

    关于全微分的补充知识:

    doubt3:可微分(二元函数的全微分)的充分条件zhuanlan.zhihu.com

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  • 1. 问题引入——一元复合...3. 多元复合函数求导数的链式法则(树形图方法:沿线相乘,分线相加):一个自变量的情形 4. 两个自变量的情形 6. 其他情形 7. 一阶微分形式不变性 8. 全微...

     

    1. 问题引入——一元复合函数的求导法则:依次求导,沿线相乘(链式法则)

     

    2. 多元复合函数的几种情形(一个自变量的情形;多个自变量的情形)

     

    3. 多元复合函数求导数的链式法则(树形图方法:沿线相乘,分线相加):一个自变量的情形

     

    4. 两个自变量的情形

     

    6. 其他情形

     

    7. 一阶微分形式不变性

     

    8. 全微分形式不变性

     

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  • 解方程组f,(x,y)=0,f,(x,y)=0出实数解,得驻点,第二步对于每一个驻点(xo,yo),出二阶偏导数的值A、第三步定出AC-B2的符号,再判定是否是极值。二元函数定义设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P...

    解方程组f,(x,y)=0,f,(x,y)=0求出实数解,得驻点,第二步对于每一个驻点(xo,yo),求出二阶偏导数的值A、第三步定出AC-B2的符号,再判定是否是极值。

    二元函数定义

    设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域。

    一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy。二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量,可以认为是三维的函数,空间函数。

    二元函数求极值的步骤

    二元函数的条件

    1、二元函数可微的充要条件:[f(x+dx,y+dy)-f(x,y)]是[(x²+y²)^1/2]的高阶无穷小。

    2、二元函数可微的必要条件:若函数在某点可微,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

    3、二元函数可微的充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续,则该函数在这点可微。

    4、多元函数可微的充分必要条件是f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在。

    5、设平面点集D包含于R²,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。

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  • 第6

    2019-12-27 11:19:55
    第三十六节:多元函数全微分在近似计算中的应用,多元复合函数求偏导法则 第三十七节:对多元复合函数求偏导的理解及例题 第三十八节:多元函数全微分的一阶形式不变形及例题,方程确定多元函数的概念 第三十九节:...
  • 定义法(二) 显函数求偏导(三) 复合函数求偏导(四) 隐函数求偏导(一) 公式法(1) 一个方程(2) 方程组(二) 一般方法(五) 变换求偏导3 求偏导反问题 (由偏导求原函数)6 求极值的方法(一) 无条件极值(二) 条件极值7 重要...
  • 这节课主要介绍了偏导数,多元复合函数求导法则,方向导数与梯度,多元函数泰勒公式,多元函数的极值,矩阵的求导等知识点。 掌握目标: 1、了解偏导数的概念,掌握法 2、掌握复合偏导数的法 3、掌握方向导数和...
  • 链式求导法则

    千次阅读 2019-01-26 13:13:54
    本文只总结了多元复合函数的链式求导法则(一元的更简单就不写了) 直接结合一个例子结合复合结构图来说这个问题 Z = F(U,V,W)  ...例如Z对x的偏导  有句经典的话就是 求导就是走路,有几条...
  • 考研数学

    2019-09-09 21:08:17
    拐点一元函数积分学不定积分反常积分定积分应用微分方程一阶微分方程的解法可降阶的微分方程二阶线性微分方程的解法多元函数的极限 多元函数偏导数 全微分多元复合函数求导法则 隐函数求导公式多元函...
  • 利用多项式类型无穷小,可以定义无穷小的阶数 两边夹定理/夹逼定理 重要极限 微分学 函数的高阶导数 初等函数的导数 多元函数-偏导数 高阶偏导偏导数的例子 下面不是log,而是ln 求导法则 导数例子 泰勒级数...
  • 逻辑回归

    2016-03-28 20:56:00
    1.数学基础 导数(derivative) 导数...一元函数就是二阶导,多元函数就是二阶偏导组成的矩阵.向量函数最小值时用的,矩阵正定是最小值存在的充分条件。 示例 参考地址: 凸函数和Hessian矩阵 转载于:https://ww...
  • ; margin-right:0cm">三、考试内容与要求</strong></p> ; margin-right:0cm">第一章 函数极限与连续 ; margin-right:0cm">(一)考试内容 ... margin-right:0cm">一元函数的概念,...偏导数的概念...
  • 高等数学(下)学习

    2020-08-27 14:40:21
    8.8多元函数极值及其法 第九章 9.1二重积分概念 9.2二重积分的计算法 9.3二重积分的应用 9.4三重积分的概念及其计算法 9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 第十章 10.1对弧长的曲线...
  • 3-多元函数求极值 4-Hession 矩阵 5-最小二乘法 6-拉格朗日乘子法 7-泰勒公式 8-矩阵基础知识 9-矩阵的特征值和特征向量分解 10-连续型随机变量分布 11-离散型随机变量分布 12-极大似然估计 13-矩估计 14-假设检验 ...
  • 多元函数的导数:梯度(偏导数)、二阶导数和hess矩阵 l为什么需要使用矩阵表达多元函数? 方便计算、简洁 l二次型梯度特别简单(需要了解:张矩阵)、 泰勒级数和极值: l实际中我们想一个函数的...
  • 机器学习吴恩达笔记

    2020-04-29 19:00:03
    更新参数 链式法则求偏导。 继续循环 参数也就是对应的特征,特征选取,每次要计算完所有的才能更新一次参数 矩阵运算 由一元扩展到多元,输入矩阵维度变多了而已。这里在数据的处理上应该注意特征的缩放,也就是...
  • 19.2.2 多元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系 19.2.3 思考题 19.2.4 练习题 §19.3 复合函数求导链式法则 19.3.1 复合函数偏导数的链式法则 19.3.2 例题 19.3.3 齐次函数 19.3.4 练习题 519.4.向量值...
  • 2. 复合函数求偏导数 3. 隐函数求偏导数 4. 高阶偏导数 4.二元函数的极值 1. 极值的基本概念 2. 无限制条件求极值 3. 有限制条件求极值 练习题七 8.二重积分 1.二重积分的基本概念 1. 二重积分的引入 2. 二重积分的...
  • 张宇带你学高数

    2018-06-11 13:35:26
    第九章 多元函数微分法及其应用 9.1.极限与连续 9.1.1.二重极限 定义 性质 沿任何路径得到的极限相同 一元函数极限的对应性质 9.1.2.连续 定义 有界闭区域上连续函数的性质 9.2.偏导数与全微分 9.2.1.偏导数 定义 ...

空空如也

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多元函数求偏导法则