张辉 陈春梅 景慧丽
摘  要：多元隐函授的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要内容。该文介绍了計算由一个方程所确定的二元隐函数的二阶偏导数的4种方法，旨在对隐函数的偏导数问题有更深的理解和掌握。
关键词：隐函数  偏导数  链式法则  微分法
中图分类号：O13    文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2020)01(b)-0222-02
多元隐函数的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要内容。隐函数存在定理2[1]提供了由一个方程所确定的二元隐函数的偏导数的计算公式，假设三元函数F(x，y，z)具有二阶连续偏导数，在一定条件[1]下，方程F(x，y，z)=0唯一确定一个具有连续偏导数的二元函数z=f(x，y)，且有而对于z=f(x，y)二阶偏导数的计算，教材上并没有给出求解方法和公式，同时也是大部分大学一年级学生面临的一个难点问题。为了解决上述问题，该文主要介绍4种计算此二元隐函数z=f(x，y)二阶偏导数的方法，给出相应的求解思路和计算公式，供初学者参考学习。
从以上4种方法的分析可以看出，微分法在求二元隐函数的二阶偏导数问题中有着显著优点，它比链式法则和偏导数求导法则要方便一些;特别是在变量间的关系较复杂时，微分法无须判断各变量之间的内在关系，只需将各变量一律看作成相互独立的自变量，再对等式两边的表达式同时求解微分或全微分，这样既简化了问题，也不容易出错。事实上，在大学数学课程的学习中，对于同一个具体问题，如果从不同的角度去分析，采用不同的处理方式或途径去解决就能得到不同的求解方法，通过比较可以选择便捷高效的方法，并在不断的分析比较中，使得学生将所学知识融会贯通、熟练掌握。
参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学(下册)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.
[2] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析(下册)[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

前三张图片是一样的，第一张图片有一个错误，Δy改为Δv，第二张和第三张已改过来了。
因为拍的不清楚（手机像素差，自己拍照技术也不好），所以有很多内容是重复的（相同的拍了好几张），拍的不清楚的部分，可以对照着看。
先看一些小东西，主要是对比一下这三种情况（见下图）：
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
当对自变量x求偏导时，把y当做常量，即Δy＝0
最后看一个提高版的：
总结一下，对x求偏导其实可以当作只对x求导数，y不变。从而我们再求偏导数自认为满足的求导法则，其实在一定条件下是满足的。理论分析便是我们以上讨论（见上面的图，好多，感觉自己挺腻害。膨胀了    ）
关于全微分的补充知识：
doubt3：可微分（二元函数的全微分）的充分条件​zhuanlan.zhihu.com

 

1. 问题引入——一元复合函数的求导法则：依次求导，沿线相乘（链式法则）



 

2. 多元复合函数的几种情形（一个自变量的情形；多个自变量的情形）



 

3. 多元复合函数求导数的链式法则（树形图方法：沿线相乘，分线相加）：一个自变量的情形





 

4. 两个自变量的情形





 

6. 其他情形







 

7. 一阶微分形式不变性



 

8. 全微分形式不变性





 

解方程组f,(x,y)=0,f,(x,y)=0求出实数解，得驻点，第二步对于每一个驻点(xo,yo)，求出二阶偏导数的值A、第三步定出AC-B2的符号，再判定是否是极值。
二元函数定义
设平面点集D包含于R2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数。且称D为f的定义域，P对应的z为f在点P的函数值，记作z=f(x,y)；全体函数值的集合称为f的值域。
一般来说，二元函数是空间的曲面，如双曲抛物面(马鞍形)z=xy。二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量，可以认为是三维的函数，空间函数。
二元函数求极值的步骤
二元函数的条件
1、二元函数可微的充要条件：[f(x+dx,y+dy)-f(x,y)]是[(x²+y²)^1/2]的高阶无穷小。
2、二元函数可微的必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
3、二元函数可微的充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续，则该函数在这点可微。
4、多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点(x0，y0)的两个偏导数都存在。
5、设平面点集D包含于R²，若按照某对应法则f，D中每一点P(x，y)都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数。