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  • MATLAB多元函数导数极值或最优值 实验六 多元函数的极值 【实验目的】 1....计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数 步...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gifMATLAB多元函数导数求极值或最优值

    实验六 多元函数的极值 【实验目的】 1. 多元函数偏导数的求法。 2. 多元函数自由极值的求法 3. 多元函数条件极值的求法. 4. 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 求函数的极值点和极值 【实验准备】 1.计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数 步骤2.求解正规方程,得到驻点 步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数 步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值, 为极大值;,如果,判别法失效,需进一步判断; 如果,则该驻点不是极值点. 2.计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 设函数在有界区域上连续,则在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步骤为: 步骤1. 计算在内所有驻点处的函数值; 步骤2. 计算在的各个边界线上的最大值和最小值; 步骤3. 将上述各函数值进行比较,最终确定出在内的最大值和最小值。 3.函数求偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。 diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。 jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。 可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息 【实验方法与步骤】 练习1 求函数的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即再求解正规方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令,当方程组不存在符号解时,solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为: >>clear; >>[x,y]=solve( 4*x^3-8*y=0 , -8*x+4*y=0 , x , y ) 结果有三个驻点,分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数: >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知和都是函数的极小值点,而点Q(0,0)不是极值点,实际上,和是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z) >>xlabel( x ),ylabel( y ),zlabel( z ) 结果如图6.1 图6.1 函数曲面图 可在图6.1种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值. >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel( x ),ylabel( y ) 结果如图6.2 图6.2 等值线图 由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点. 练习2 求函数在条件下的极值构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数 >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k) 得再解正规方程 >>clear; syms x y k >>[x,y,k]=solve( y+k=0 , x+k=0 , x+y-1=0 , x , y , k ) 得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值. 练习3 抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 这个问题实际上就是求函数 在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数 >>clear; syms x y z u v >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v) 得 再解正规方程 >>clear; >>[x,y,z,u,v]=solve( 2*x+2*x*u+v=0 , 2*y+2*y*u+v=0 , 2*z-u+v=0 , x^2+y^2-z=0 , x+y+z-1=0 , x , y , z , u , v ) 得 上面就是Lagrange函数的稳定点,求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值(因为函数在有界闭集,上连续,从而存在最大值与最小值),故由 求得的两个函数值,可得椭圆到原点的最长距离为,最短距离为。 练习4 求函数在上半圆上的最大值和最小值。 首先画出等高线进行观测,相应的MATLAB程序代码为: >>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel( x ),ylabel( y ) 结果如图6.3 图6.3 等值线 观测图6.3可看出,在区域内部有唯一的驻点,大约位于在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值,大约位于。下面通过计算加以验证。 求函数在区域内的驻点,计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果得解正规方程 >>clear; [x,y]=solve( 2*x-4=0 , 2*y-2=0 , x , y ) 得驻点为(2,1),相应的函数值为2。 求函数在直线边界上的最大值和最小值。将代入原函数,则二元函数变为一元函数 首先观测此函数图形,相应的MATLAB程序代码为: >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y);

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  • matlab鱼群算法求多元函数极值的演示视频 源码进我主页下载
  • 本资源为自己编写的遗传算法求多元函数极值的Matlab代码,共大家共同学习和研究。
  • PSO是寻优算法中比较简单的一种,本文用Python简单实现了PSO算法,用来求解一个五元函数的最大值,并与MATLAB的fmincon函数的运行结果做比较。

    PSO算法算是寻优算法中比较简单的一种,其大概思想是:
    在这里插入图片描述
    现在我们计算:
    在这里插入图片描述
    的最大值,每一个变量的取值范围都是(1,25)。
    Python代码为:

    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    @Time : 2020/9/13 10:08
    @Author :KI 
    @File :pso.py
    @Motto:Hungry And Humble
    
    """
    import math
    import random
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import pylab as mpl
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    
    
    class PSO:
        def __init__(self, dimension, time, size, low, up, v_low, v_high):
            # 初始化
            self.dimension = dimension  # 变量个数
            self.time = time  # 迭代的代数
            self.size = size  # 种群大小
            self.bound = []  # 变量的约束范围
            self.bound.append(low)
            self.bound.append(up)
            self.v_low = v_low
            self.v_high = v_high
            self.x = np.zeros((self.size, self.dimension))  # 所有粒子的位置
            self.v = np.zeros((self.size, self.dimension))  # 所有粒子的速度
            self.p_best = np.zeros((self.size, self.dimension))  # 每个粒子最优的位置
            self.g_best = np.zeros((1, self.dimension))[0]  # 全局最优的位置
    
            # 初始化第0代初始全局最优解
            temp = -1000000
            for i in range(self.size):
                for j in range(self.dimension):
                    self.x[i][j] = random.uniform(self.bound[0][j], self.bound[1][j])
                    self.v[i][j] = random.uniform(self.v_low, self.v_high)
                self.p_best[i] = self.x[i]  # 储存最优的个体
                fit = self.fitness(self.p_best[i])
                # 做出修改
                if fit > temp:
                    self.g_best = self.p_best[i]
                    temp = fit
    
        def fitness(self, x):
            """
            个体适应值计算
            """
            x1 = x[0]
            x2 = x[1]
            x3 = x[2]
            x4 = x[3]
            x5 = x[4]
            y = math.floor((x2 * np.exp(x1) + x3 * np.sin(x2) + x4 + x5) * 100) / 100
            # print(y)
            return y
    
        def update(self, size):
            c1 = 2.0  # 学习因子
            c2 = 2.0
            w = 0.8  # 自身权重因子
            for i in range(size):
                # 更新速度(核心公式)
                self.v[i] = w * self.v[i] + c1 * random.uniform(0, 1) * (
                        self.p_best[i] - self.x[i]) + c2 * random.uniform(0, 1) * (self.g_best - self.x[i])
                # 速度限制
                for j in range(self.dimension):
                    if self.v[i][j] < self.v_low:
                        self.v[i][j] = self.v_low
                    if self.v[i][j] > self.v_high:
                        self.v[i][j] = self.v_high
    
                # 更新位置
                self.x[i] = self.x[i] + self.v[i]
                # 位置限制
                for j in range(self.dimension):
                    if self.x[i][j] < self.bound[0][j]:
                        self.x[i][j] = self.bound[0][j]
                    if self.x[i][j] > self.bound[1][j]:
                        self.x[i][j] = self.bound[1][j]
                # 更新p_best和g_best
                if self.fitness(self.x[i]) > self.fitness(self.p_best[i]):
                    self.p_best[i] = self.x[i]
                if self.fitness(self.x[i]) > self.fitness(self.g_best):
                    self.g_best = self.x[i]
    
        def pso(self):
            best = []
            self.final_best = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
            for gen in range(self.time):
                self.update(self.size)
                if self.fitness(self.g_best) > self.fitness(self.final_best):
                    self.final_best = self.g_best.copy()
                print('当前最佳位置:{}'.format(self.final_best))
                temp = self.fitness(self.final_best)
                print('当前的最佳适应度:{}'.format(temp))
                best.append(temp)
            t = [i for i in range(self.time)]
            plt.figure()
            plt.plot(t, best, color='red', marker='.', ms=15)
            plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
            plt.margins(0)
            plt.xlabel(u"迭代次数")  # X轴标签
            plt.ylabel(u"适应度")  # Y轴标签
            plt.title(u"迭代过程")  # 标题
            plt.show()
    
    
    if __name__ == '__main__':
        time = 50
        size = 100
        dimension = 5
        v_low = -1
        v_high = 1
        low = [1, 1, 1, 1, 1]
        up = [25, 25, 25, 25, 25]
        pso = PSO(dimension, time, size, low, up, v_low, v_high)
        pso.pso()
    
    

    运行结果:
    在这里插入图片描述
    收敛过程:
    在这里插入图片描述
    可以看出,不到10次就收敛了。

    matlab代码:

    z=@(x)-(x(2)*exp(x(1))+x(3)*sin(x(2))+x(4)*x(5));
    x0=[1;1;1;1;1];
    [x,feval]=fmincon(z,x0,[],[],[],[],[1;1;1;1;1],[25;25;25;25;25])
    

    运行结果:

    x =
    
       25.0000
       25.0000
       13.1400
        1.0002
        1.0002
    
    
    feval =
    
      -1.8001e+12
    
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  • matlab鱼群算法求多元函数极值的演示视频+程序
  • 可实现对多元函数求极值的文化算法,函数自设定,亲测可用,记得改数据
  • PSO粒子群算法求解多元函数极值代码
  • 本资源为采用模拟退火算法多元函数极值问题。提供了暴力解法的代码和模拟退火算法的代码,通过对比可以发现模拟退火算法可以在时间上得到极大的提高。
  • 从这一讲开始,我们来讨论如何利用迭代法去寻找多元函数极值点,我们首先从最基础的梯度下降法入手。梯度下降法的思路非常清晰明了,且实现过程也比较简单,是求解无约束最优化问题中的一种最常用、最基础的迭代...

    从这一讲开始,我们来讨论如何利用迭代法去寻找多元函数的极值点,我们首先从最基础的梯度下降法入手。梯度下降法的思路非常清晰明了,且实现过程也比较简单,是求解无约束最优化问题中的一种最常用、最基础的迭代方法。

    1.梯度概念回顾

    在梯度下降法当中,顾名思义,梯度是其中最为重要的核心工具和武器。因此,我们有必要回顾一下关于梯度的一些重要概念和特性:

    首先,多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在点$p_0$处的梯度$\nabla f$是一个$n$维向量:$\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}&\frac{\partial f}{\partial x_2}&\frac{\partial f}{\partial x_3}&...&\frac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix}^T$;

    其次,多元函数$f$在点$p_0$处的梯度向量与该函数过点$p_0$处的等位线的切线向量相互正交;

    最重要的是,沿着梯度$\nabla f$向量方向,函数$f$的值的增长速度最快,相对应的,沿着负梯度,也就是$-\nabla f$向量的方向,函数$f$的值下降的最快。

    2.类比盲人下山的例子

    为了形象的描述这个算法的思想和过程,我们举一个盲人下山的例子:

    利用迭代法,在一个多元函数上去探索极小值的过程,我们可以把他想象成一个盲人下山的过程,盲人看不到整个山的全貌,不清楚全局,拥有的能力只是去感知他所站立位置四周的坡度,而他的目标却是要下到山的最低点。

    假设盲人站在山的任意一个位置点,开始下山的过程,首先他感知一下自己四周的山坡,选择坡度最陡峭的一个方向,然后沿着这个方向走一小步,到达一个新的位置点,然后不断重复上面的“感知坡度”-“选择最陡峭的方向”-“走一小步”的过程,不断更新自己的位置点。

    最终什么时候停下来呢?那应该是在盲人身处某个点的时候发现四周坡度已经很“平”了,他就判断自己下到了山底,此时就能停下来了。

    3.梯度下降法的算法思路

    那么,有了上面的思维过程打基础,我们再来实际理解梯度下降法就不难了:

    我们从随机的初始点$p_0$开始迭代,这就好比那个盲人站在了山上的任意一个位置点上。函数的极小值点在哪,最终该往哪走?我们也不知道,我们就好比那个盲人什么也看不到一样。

    但是,我们也可以利用梯度这个工具来找到$p_0$邻域内具体哪个方向上函数的下降速度最快,即$-\nabla f$负梯度向量的方向,我们沿着他来微小的更新我们取值点的位置,就好比盲人沿着最陡峭的方向走了一小步。

    我们就不停的重复“计算梯度”-“沿着负梯度的方向”-“更新位置值”的过程,直到突然间我们发现,梯度已经很小了,小于我们预设的阈值,此时的位置点就认定为我们找到的函数的局部极小值点,这就好比盲人发现四周的坡度已经很平了。

    梯度下降法的背后,其实还是离不开多元函数的一阶泰勒展开以及函数的线性近似的思想:

    就拿简单的二元函数来说,$f(x_1,x_2)$在点$p_0$处的一阶泰勒展开式为:$f(p)\approx f(p_0)+\nabla f(p_0)(p-p_0)$,这个泰勒近似是在$p_0$的小的邻域范围内近似效果较好,因此迭代的步子不能迈得过大,太大的话$p_0$处的梯度的精度就失效了。

    那么进一步的,从点$p_0$处迭代到下一个点$p_1$,二者之间的迭代关系具体是怎样的呢?

    很显然,按照我们前面所说的,我们是按照负梯度$-\nabla f$的向量方向,从点$p_0$走到了点$p_1$,那么向量$p_1-p_0$的方向就和$p_0$处的梯度方向正好反向,在表达式上满足下面的关系:

    $\frac{p_1-p_0}{|p_1-p_0|}=-\frac{\nabla f(p_0)}{|\nabla f(p_0)|}$

    我们对表达式稍作调整,就有:$p_1-p_0=-\frac{\nabla f(p_0)}{|\nabla f(p_0)|}|p_1-p_0|$。

    此时,进一步进行整理,迭代的关系初见雏形:$p_1=p_0-\frac{\nabla f(p_0)}{|\nabla f(p_0)|}|p_1-p_0|$。

    最后,我们令:$\lambda_0=\frac{|p_1-p_0|}{|\nabla f(p_0)|}$,整个迭代的关系就简化成了如下的形式:

    $p_1=p_0-\nabla f(p_0)\lambda_0$。

    我们把他一般化,就有了最终的迭代公式:$p_{k+1}=p_k-\nabla f(p_k)\lambda_k$。

    此时,距离问题的彻底解决似乎还有一道坎没有跨过,那就是这个$\lambda_k$,他是什么?他应该确定为多少?这都是一个未知的问题。

    这个$\lambda_k$,我们称之为学习率,他是迭代步长与梯度向量模的比值,我们一般把学习率设置为一个比较小的固定常数。

    这样,一方面能够满足迭代精度的要求,另一方面还可以动态调整迭代的步长,当坡度陡峭、梯度值较大时,我们的步长相应变大,快速下山,而当我们快要接近山底,坡度变得平缓,梯度变小的时候,步长也相应变小,以免一大步跨过极小值点的情况发生。

    4.梯度下降法的代码实现

    通过上面的理论知识的讲解,我们对梯度下降法的原理应该已经掌握的比较透彻了。那么接下来我们实际动手,用python语言来实际操练一下这个极值点迭代求取的常用算法:

    我们举一个例子$f(x_1,x_2)=\frac{1}{5}x_1^2+x_2^5$,下面就来求这个简单的二元函数的极小值点。

    在这个实际的例子中,我们令初始的迭代点为$p_0=[3,4]$,学习率$\lambda_k=0.1$,如果梯度的模长小于阈值$\epsilon=0.0001$时则停止迭代。我们按照梯度下降法的基本思路来寻找函数的极小值点:

    代码片段:

    ```

    from matplotlib import pyplot as plt

    import numpy as np

    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

    fig = plt.figure()

    ax = Axes3D(fig)

    def f(p):

    return 0.2 * p[0] ** 2 + p[1] ** 2

    def numerical_gradient(f, P):

    h = 1e-6

    x = P[0]

    y = P[1]

    dx = (f(np.array([x + h / 2, y])) - f(np.array([x - h / 2, y]))) / h

    dy = (f(np.array([x, y + h / 2])) - f(np.array([x, y - h / 2]))) / h

    return np.array([dx, dy])

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  • python遗传算法求解函数极值问题
  • python遗传算法求函数极值
  • 利用 斐波那契算法 黄金分割法 搜索区间法 求函数极值
  • 看到多元函数条件极值的题目,常用拉格朗日乘数法对号入座。但有时候如坐针毡,因为这种看似万能的方法计算量太大了。解方程解的生无可恋是常态。所以我总结了一些解条件极值的小技巧,希望对大家有所帮助。 总的来...

    看到多元函数条件极值的题目,常用拉格朗日乘数法对号入座。但有时候如坐针毡,因为这种看似万能的方法计算量太大了。解方程解的生无可恋是常态。所以我总结了一些解条件极值的小技巧,希望对大家有所帮助。

    总的来说,思路分为五种:

    1.从前几个式子中找出 x,y,z 之间的关系,然后带入到 φ ( x , y , z ) = 0 \varphi (x,y,z)=0 φ(x,y,z)=0 中解出来;
    2.先求出 λ \lambda λ 的值,化简式子。
    3.目标函数的极值可以用 λ \lambda λ 表示,然后只用求 λ \lambda λ 即可;
    4.转换目标函数,使拉氏函数变的简单。
    5.降维转变为一元函数求极值。
    以下八种技巧都是围绕上面五点进行展开的。
    (文末彩蛋:利用不等式解最值)

    技巧一:硬核作差法

    先用二元函数举例来说明此技巧:

    技巧简介:

    在这里插入图片描述
    这个方法可以去除 λ \lambda λ,进而转变为不含 λ \lambda λ的式子,再与 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 配合(两个方程,两个未知数),从而解出 x , y x,y x,y。例题如下所示:

    例题一:

    题型一

    通过该方法,可以轻松得到 x , y x,y x,y 之间的关系,此时再带入到 x 2 y 2 − x 4 − y 2 = 0 x^{2}y^{2}-x^{4}-y^{2}=0 x2y2x4y2=0 中,即可解出对应的 x , y x,y x,y
    对于三元函数类似,只不过这时候要作差两次,如下例题:

    例题二:

    在这里插入图片描述
    此时作差了两次,这里需要注意作差的式子要灵活选择,选取不当会导致计算量增大。
    比如本题如果选择 : L x ′ φ y ′ − L y ′ φ x ′ : L_{x}^{'}\varphi_{y}^{'}-L_{y}^{'}\varphi_{x}^{'} LxφyLyφx L y ′ φ z ′ − L z ′ φ y ′ L_{y}^{'}\varphi_{z}^{'}-L_{z}^{'}\varphi_{y}^{'} LyφzLzφy 则不容易解出来。
    另外需要注意这种解法不会漏解,但是有可能会增解。例如本题 x = ± 10 , y = z = 0 x=\pm\sqrt{10},y=z=0 x=±10 y=z=0 就是多出来的解。

    技巧二:单项连等法

    目标函数是 f ( x , y , z ) = m x a y b z c f(x,y,z)=mx^{a}y^{b}z^{c} f(x,y,z)=mxaybzc 时( m , a , b , c 均 不 为 0 m,a,b,c 均不为0 m,a,b,c0),可以尝试使用。

    例题三:

    在这里插入图片描述
    就是构造出相等的项,将其放在等号一边之后连等就可以了。该方法可以通过讨论消除 λ \lambda λ ,进而变成不含 λ \lambda λ 的连等式或直接得到 λ = 0 \lambda =0 λ=0 。其中本题的连等式可以写成两个等式,因此本题也可以看成是变成了三个方程三个未知数的形式。
    即: 1. x 2 a 2 = y 2 b 2 ; 2. y 2 b 2 = z 2 c 2 ; 3. x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 − 1 = 0 1. \frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{y^{2}}{b^{2}} ;2. \frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}} ;3. \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1=0 1.a2x2=b2y2;2.b2y2=c2z2;3.a2x2+b2y2+c2z21=0

    技巧三:对称作差法:

    目标函数 f 和约束条件中的 φ \varphi φ关于 y = x y=x y=x z = x z=x z=x 对称,则可以考虑使用。
    函数关于 y = x y=x y=x 对称,就是互换函数中的 x x x y y y 表达式不变。关于 z = x z=x z=x 对称同理。

    技巧简述:

    1. f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) φ ( x , y , z ) \varphi(x,y,z) φ(x,y,z)关于 y = x y=x y=x对称:
    我们需要做的是让 L x ′ = 0 L_{x}^{'}=0 Lx=0 减去 L y ′ = 0 L_{y}^{'}=0 Ly=0 ,得到的式子可以变形成: ( y − x ) ( 整 式 ) = 0 (y-x)(整式)=0 (yx)()=0 ,从而简化计算。同时如果其中有 y≠x 的解,则将它的 x , y x,y xy 互换后则是另一个解。
    例如: ( x , y , z ) = ( a , b , c ) (x,y,z)=(a,b,c) (x,y,z)=(a,b,c)是其中一个解,那么 ( x , y , z ) = ( b , a , c ) (x,y,z)=(b,a,c) (x,y,z)=(b,a,c) 一定也是另一个解。
    2.若 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) φ ( x , y , z ) \varphi(x,y,z) φ(x,y,z)关于 y = z y=z y=z 对称:
    则让 L y ′ = 0 减 去 L z ′ = 0 L_{y}^{'}=0 减去 L_{z}^{'}=0 Ly=0Lz=0 ,得到的式子可以变形成: ( y − z ) ( 整 式 ) = 0 (y-z)(整式)=0 (yz)()=0 。同时如果其中有 y ≠ z y≠z y=z 的解,则将它的 y , z y,z y,z 互换后则是另一个解。
    2.若 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) φ ( x , y , z ) \varphi(x,y,z) φ(x,y,z)即关于 y = x y=x y=x 对称又关于 y = z y=z y=z 对称:
    同时进行上面两个操作。

    例题四:

    题型四

    本题使用该技巧变形成了 ( x − y ) ( 2 λ − z 3 ) = 0 (x-y)(2\lambda-z^{3})=0 (xy)(2λz3)=0 ,但 2 λ − z 3 = 0 2\lambda-z^{3}=0 2λz3=0 是不成立的,因此可以得到 y = x y=x y=x 这个式子。这也是很多人所说的取巧的方法:若 f f f φ \varphi φ 关于 y = x y=x y=x 对称,则就可以得到 y = x y=x y=x 这个式子。这个方法虽然有时候非常有效,但是有点像赌博,就是赌后面乘的那个式子不能为0。
    当然,本题由于目标函数是 x y z 3 xyz^{3} xyz3 ,因此直接用技巧二也能算出来,并且更简单,有兴趣的小伙伴可以自行做下。

    技巧四:行列式求解法:

    如果求出来的 L x ′ = 0 , L y ′ = 0 L_{x}^{'}=0 , L_{y}^{'}=0 Lx=0,Ly=0 , L z ′ = 0 L_{z}^{'}=0 Lz=0 组成的为线性方程组,则可以根据线性代数知识解决,以题为例,如下所示:

    例题五:

    题型五

    由于 x 2 + y 2 + z 2 − 10 = 0 x^{2}+y^{2}+z^{2}-10=0 x2+y2+z210=0的存在,将导致 x , y , z x,y,z x,y,z 不可能同时为0,因此 ( 1 )   ( 3 ) (1)~(3) (1) (3)式所组成的线性方程组一定有非0解,因此就是系数行列式为0,即可将 λ \lambda λ 解出,减少未知数的个数,进而容易求解。

    技巧五:齐次构造法

    如果目标函数 f f f 是齐次的,同时约束条件可以转化成齐次函数 g ( x , y , z ) = c g(x,y,z)=c g(x,y,z)=c 的形式。
    齐次函数说白了,就是每一项中变量的指数和都相等。 比如: g ( x , y ) = x 2 + y 2 + x y g(x,y)=x^{2}+y^{2}+xy g(x,y)=x2+y2+xy 就是2次齐次函数

    技巧简述:

    若此时目标函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) m m m次齐次函数, g ( x , y , z ) g(x,y,z) g(x,y,z) n n n次齐次函数 ( m , n ≠ 0 ) ( m,n≠0 ) (m,n=0),则可以构造出这个式子: f ( x , y , z ) = − c n m λ f(x,y,z)=-\frac{cn}{m}\lambda f(x,y,z)=mcnλ 。此时再求出 λ \lambda λ 的值即可求出目标函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 的最值。

    构造原理:

    构造过程

    所以该方法只需求 λ \lambda λ 即可,但是有时候 λ \lambda λ 并不好求。但有一种情况 λ \lambda λ 好求:求出来的 L x ′ = 0 , L y ′ = 0 , L z ′ = 0 L_{x}^{'}=0 , L_{y}^{'}=0 , L_{z}^{'}=0 Lx=0,Ly=0,Lz=0组成的为线性方程组时。因为这个时候可以用行列式解出 λ \lambda λ (技巧四)。

    例题六:

    题型六

    由此可见,在这种情况下,能够很快的求出我们的最值。但如果想要求最值点的话,就要麻烦一些了。

    技巧六:目标函数转换法

    如果可导函数 g ( x ) g(x) g(x) 在目标函数值域内是单调的。那么求目标函数的极值点可以转化为求 g ( 目 标 函 数 ) g(目标函数) g() 的极值点。
    比如求 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)= \sqrt{x^{2}+y^{2}} f(x,y)=x2+y2 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 下的极值点,可以转变为求 [ f ( x , y ) ] 2 = x 2 + y 2 在 φ ( x , y ) = 0 [f(x,y)]^{2}=x^{2}+y^{2} 在 \varphi(x,y)=0 [f(x,y)]2=x2+y2φ(x,y)=0 下的极值点。其中 g ( x ) = x 2 g(x)=x^{2} g(x)=x2 ,其可导且在 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 值域内 ( [ 0 , + ∞ ) ) ( [0,+\infty) ) ([0,+))单调递增。

    例题七:

    题型七

    该技巧需要注意,求出来极值点后要带入到目标函数中得到极值,而不是带入到 g ( 目 标 函 数 ) g(目标函数) g() 中,这点需要注意。
    本题也可以设 g ( x ) = 1 x g(x)=\frac{1}{x} g(x)=x1 ,此时可以转变为求 x y z xyz xyz 的极值点即可。

    技巧七:带入降维法:

    把约束条件 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0看成一个隐函数,如果这个隐函数可以显化,则可以将显化后的函数带入到目标函数中,进而可以"降维"成一元函数,从而利用一元函数知识求极值(求导,单调性)。

    例题八:

    题型八

    技巧八:参数降维法:

    若约束条件中的 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 ,可以转变成形如: a x 2 + b y 2 = 1 ax^{2}+by^{2}=1 ax2+by2=1 (其中a,b大于0),则可以设 x = c o s θ a x=\frac{cos\theta}{\sqrt{a}} x=a cosθ , y = s i n θ b y=\frac{sin\theta}{\sqrt{b}} y=b sinθ ,再带入到目标函数中,继而解决问题。

    例题九:

    题型九

    彩蛋技巧:不等式求解法

    数学基础比较好的可以了解此方法:
    就是直接用不等式解决最值问题,简单粗暴。

    例题十:

    在这里插入图片描述

    例题十一:

    在这里插入图片描述

    到这里方法基本就讲完了,但是我还想补充几点:

    1.技巧是死的,人是活的,在解题中要灵活的运用技巧。选择合适的技巧和方法尤为重要,而如何合适选择,则要根据自己的经验来确定。因此如果这块比较薄弱,那么建议多做这块的题,然后结合本篇文章再进行归纳和总结,生成自己的经验与技巧。
    2.解题时,有可能会出现增解的情况,例如技巧一中的情况。所以平时解出极值点之后,建议再带点到每个方程中演算一下。这样也能检查自己的结果是否正确,是一个比较好的习惯。
    3.暑假接近尾声。后半程的复习,就不光是要求速度,还要要求质量,做好针对基础和题目的查漏补缺工作,才是解题能力提升的最坚实阶梯。

    我是煜神学长,考研我们一起加油!!!

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