精华内容
下载资源
问答
  • 更多相关内容
  • 初等数学里,二次函数的极值问题,就是典型的非线性最优化问题。比如,求函数 f(x)=x2−2x+4f(x)=x^2-2x+4 的最小值,该问题我们可表示为: minx∈Rf(x)=x2−2x+4 \min_{x \in R} \ \ f(x) = x^2-2x+4 全局极小...

    这篇笔记,来自我对支持向量机(SVM)算法原理的学习。支持向量机算法最终归结为二次规划问题,研究二次规划问题,必须先从一般的最优化问题开始分析。如无特别声明,本文最优化问题特指寻求目标函数最小值。

    一元函数最优化问题,可以简单归结为极值点必须满足下面两个条件:

    d f d x = 0 (1) \frac{df}{dx}=0\tag{1} dxdf=0(1)
    d 2 f d x 2 > 0 (2) \frac{d^2f}{dx^2}>0 \tag{2} dx2d2f>0(2)

    #条件推广:一阶导数为零
    二元函数情形,很容易得到第一个条件(1)式的推广形式:
    ∂ f ∂ x = 0 , ∂ f ∂ y = 0 (3) \frac{\partial f}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial y}=0\tag{3} xf=0,yf=0(3)

    #条件推广:二阶导数为正
    我们可以认为,沿任意方向 ( d x 1 , d x 2 ) = ( cos ⁡ α d t , sin ⁡ α d t ) (dx_1, dx_2)=(\cos\alpha dt, \sin \alpha dt) (dx1,dx2)=(cosαdt,sinαdt),都有
    d 2 f d t 2 > 0 (4) \frac{d^2 f}{d t^2} > 0\tag{4} dt2d2f>0(4)

    下面我们推导一下,看看有什么结果,
    d f d t = ∂ f ∂ x 1 d x 1 d t + ∂ f ∂ x 2 d x 2 d t = ∂ f ∂ x 1 cos ⁡ α + ∂ f ∂ x 2 sin ⁡ α (5) \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{dx_1}{dt} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{dx_2}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial x_2}\sin \alpha\tag{5} dtdf=x1fdtdx1+x2fdtdx2=x1fcosα+x2fsinα(5)
    $$
    \frac{d2f}{dt2}=…=\frac{\partial^2 f}{\partial x_12}\cos2 \alpha

    • \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}\cos \alpha \sin \alpha
    • \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}\cos \alpha \sin \alpha
    • \frac{\partial^2 f}{\partial x_22}\sin2 \alpha \tag{6}
      $$

    对于所有的 α \alpha α ,要求上式恒大于零,那么函数的这四个二阶偏导应该满足什么条件呢?

    #Hessian矩阵
    d = ( cos ⁡ α , sin ⁡ α ) d=(\cos \alpha, \sin \alpha) d=(cosα,sinα),则有,
    d T ( ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ) d > 0 (7) d^T \left( \begin{matrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_2} \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} \end{matrix} \right) d > 0\tag{7} dT(x122fx2x12fx1x22fx222f)d>0(7)
    其中,矩阵
    H ( f ) = ( ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ) (8) H(f)=\left( \begin{matrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_2} \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} \end{matrix} \right)\tag{8} H(f)=(x122fx2x12fx1x22fx222f)(8)
    称为 Hessian 矩阵,如果函数 f ( x ) f(x) f(x)二阶导数连续,则该矩阵实对称矩阵。我们看到,二元函数取得极小值的另一个条件的推广形式是,函数的 Hessian 矩阵是正定矩阵。其实,这个结论很容易推广到 n n n 原函数。

    由前面讨论可知,(7)式表示函数在方向 d d d 的二阶导数,这算是 Hessian 矩阵的几何意义吧。

    #多元函数极值的判定
    如果实值多元函数 f ( x ) f(x) f(x) 二阶连续可导,并且在临界点 x ‾ \overline x x 处梯度(一阶导数)等于0,即 ∇ f ( x ‾ ) = 0 \nabla f(\overline x)=0 f(x)=0 , 为驻点。仅通过一阶导数无法判断在临界点 处是极大值还是极小值。

    f ( x ) f(x) f(x) x ‾ \overline x x 点处的 Hessian 矩阵为 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 。由于 f ( x ) f(x) f(x) x ‾ \overline x x 点处连续,所以 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 是一个 n × n n \times n n×n 的对称矩阵。对于 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) ,有如下结论:

    1. 如果 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 是正定矩阵,则临界点 x ‾ \overline x x 处是一个局部的极小值。
    2. 如果 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 是负定矩阵,则临界点 x ‾ \overline x x 处是一个局部的极大值。
    3. 如果 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 是不定矩阵,则临界点 x ‾ \overline x x 处不是极值。

    #正定矩阵的判定

    接下来的问题就是如何判断一个矩阵是否为正定矩阵了,这方面参考资料很多,本文不再赘述。


    原创不易,如有帮助,敬请点赞、关注、收藏,谢谢支持!

    展开全文
  • 个人用英文详细推导证明了“海森矩阵正定是多元函数具有极小值的充要条件”,从一阶导数开始分析,推广至n阶多元函数,利用了泰勒展开定理。
  • 转载自: ...Hessian Matrix(海森矩阵) Hessian Matrix,译作黑塞矩阵、海森矩阵、...是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。Hessian Matrix最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,...

    转载自:
    https://blog.csdn.net/guoyunfei20/article/details/78246699

    Hessian Matrix(海森矩阵)
    Hessian Matrix,译作黑塞矩阵、海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等。是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。Hessian Matrix最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,并以其名字命名。

    Hessian Matrix常用于牛顿法解决优化问题,利用Hessian Matrix可判定多元函数的极值问题。

    在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到Hessian Matrix。

    一、二元函数的Hessian Matrix

    由高等数学知识可知,若一元函数f(x)在点X0的某个邻域内具有任意阶导数,则f(x)在点X0处的泰勒展开式为:
    在这里插入图片描述

    对于二元函数在点在这里插入图片描述处的泰勒展开式为:
    在这里插入图片描述

    将上式写成矩阵的形式:

    在这里插入图片描述

    上式缩写为:

    在这里插入图片描述

    其中:

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述就是在这里插入图片描述在点在这里插入图片描述处的Hessian Matrix,它是函数在这里插入图片描述在点在这里插入图片描述处的二阶导数组成的方阵。

    二、多元函数的Hessian Matrix

    将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数,则 在这里插入图片描述在点在这里插入图片描述处的泰勒展开式的矩阵形式为:
    在这里插入图片描述

    其中:在这里插入图片描述

    ,它是在这里插入图片描述在这里插入图片描述处的梯度。

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述处的Hessian Matrix。

    三、利用Hessian Matrix判定多元函数的极值

    设n多元实函数 在这里插入图片描述在点在这里插入图片描述的邻域内有二阶连续偏导,若有:
    在这里插入图片描述


    在这里插入图片描述

    则:

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 海森矩阵(Hessian matrix)

    千次阅读 2012-11-01 16:40:40
    在数学中,海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下: 如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即: H(f)ij(x) = DiDjf(x)其中 ....

    转自:http://hi.baidu.com/imheaventian/item/c8591b19907bd816e2f98612

     

    在数学中,海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下:

    f(x_1, x_2, \dots, x_n),

    如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即:


    H(f)ij(x) = DiDjf(x)

    其中 x = (x_1, x_2, \dots, x_n),即

    H(f) = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\  \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\  \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}

    可见,多元函数的二阶导数就是一个海森矩阵
     海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

     

    混合偏导数和海森矩阵的对称性

    海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的,那么求导顺序没有区别,即

    \frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)

    上式也可写为

    f_{xy} = f_{yx} \,

    在正式写法中,如果 f 函数在区域 D 内连续并处处存在二阶导数,那么 f的海森矩阵在 D 区域内为对称矩阵。


     

    给定二阶导数连续的函数,海森矩阵的行列式,可用于分辨 f 的临界点是属于鞍点还是极值点。

    对于 f 的临界点 (x0,y0) 一点,有 \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} = \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} = 0,然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。

    H = \begin{vmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x})^2

        H > 0 :若\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0,则(x0,y0)是局部极小点;若\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0,则(x0,y0)是局部极大点。
        H < 0 :(x0,y0)是鞍点。
        H = 0 :二阶导数无法判断该临界点的性质,得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。

     

    MATLAB中获得Hessian矩阵:

    The Hessian of a scalar valued function f:Rn

    展开全文
  • 理解雅可比矩阵和海森矩阵

    千次阅读 2020-04-05 12:31:22
    目录对二维度图像来说海森矩阵表达 对二维度图像来说 二阶导数表示的导数的变化规律,如果函数是一条曲线,且曲线存在二阶导数,那么二阶导数表示的是曲线的曲率,曲率越大,曲线越是弯曲。以此类推,多维空间中的一...
  • 梯度下降与海森矩阵

    千次阅读 2020-03-21 10:17:25
    海森矩阵condition number很大时,一阶梯度下降收敛很慢,无论是对鞍点还是局部极值点而言都不是个好事。 鞍点 $f'(x)=0$时函数不一定抵达局部最优解,还可能是鞍点(见上图),此时还必须根据二阶导数确定。 ...
  • 黑塞矩阵(海森矩阵) 1. 引入:函数展开 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 处可导,则在点 x0x_0x0​ 的某邻域内,可以用下式表示原函数值 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+o(x−x0),   x→...
  • 雅可比矩阵与海森矩阵

    千次阅读 2019-02-23 10:30:13
    在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的... 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数的导数。   即: 假设F: Rn→Rm是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。这个函数F由m个实函数组成: ...
  • Hessian矩阵多元函数极值

    千次阅读 2017-11-02 20:33:02
    海塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵。尽管它是一个具有悠久历史的数学成果,但是在机器学习和图像处理(例如SIFT和SURF特征检测)中,我们也常常遇到它。所以本文...
  • 【傻瓜攻略】深度学习之海森矩阵(九)

    万次阅读 多人点赞 2018-06-06 21:48:56
    本来这一章应该接着上一章进行优化算法的介绍的。但是,后来我发现接下去的很多算法都是与海森矩阵紧密相关的,所以在这一章先介绍海森矩阵,牛顿算法...可以利用海森矩阵进行多元函数的极值判断。参考:https://b...
  • 文章目录一、 Jacobian二、雅可比矩阵2.1、雅可比行列式三、 海森Hessian矩阵3.1、海森矩阵在牛顿法中的应用3.1.1、 泰勒公式3.1.2、 求解方程3.1.3、 最优化 一、 Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以...
  • 泰勒公式和海森矩阵(Hessian-matrix)

    千次阅读 2019-11-06 18:02:05
    这个公式来自于微积分的泰勒定理(Taylor’s theorem),泰勒定理描述了一个可微函数,如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数...
  • 可见,多元函数的二阶导数就是一个海森矩阵 海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。 混合偏导数和海森矩阵的对称性 海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的,...
  • 梯度、雅克比矩阵、海森矩阵多元泰勒公式

    千次阅读 多人点赞 2019-03-24 09:43:13
    ∂xn​∂ym​​​⎦⎥⎥⎥⎤​   从表达式来看,是对多个y和多个x之间的关系,这表示的并不是多元函数,而是多元函数方程组之间的偏导关系。   海森矩阵的表达式为: [∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2...∂2f∂x1∂xn∂2f...
  • 对于多元函数f(x1,x2,x3……xn)二阶连续可导,并且在临界点M=(x1,x2,x3……xn)处梯度为0,M为驻点,仅通过一阶导数无法判断是否为极大、小值点。 记M处的海森矩阵为H(M),由于f(X)在M点连续,所以H(M)是一个(n*n...
  • 海森矩阵和半正定矩阵

    千次阅读 2019-03-19 23:08:00
    多元函数的Hessian矩阵就类似一元函数的二阶导。 多元函数Hessian矩阵半正定就相当于一元函数二阶导非负,半负定就相当于一元函数二阶导非正。如果这个类比成立的话,凸函数的Hessian恒半正定就非常容易理解了——...
  • 首先来看看最优化的定义:对于目标函数f(x),如果f(x)在x上的值比在x邻近的其他点的值更小,那么f(x)可能是一个局部最小值(local minimum)。如果f(x)在x上的值是目标函数在整个定义域上的最小值,那么f(x)是全局...
  • Jacobian矩阵和Hessian矩阵 原地址:http://jacoxu.com/jacobian%e7%9f%a9%e9%98%b5%e5%92%8chessian%e7%9f%a9%e9%98%b5/  转载自 jacoxu的博客  1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定...
  • 黑塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵, 描述了函数的局部曲率 。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,并以其名字命名。...
  • 海森矩阵(Hessian Matrix)与泰勒展开式

    千次阅读 2019-11-11 09:15:06
    海森矩阵(Hessian Matrix)与泰勒展开式 1.一元展开式 2.多元展开式
  • 海森(hessian)矩阵

    2021-04-05 23:32:58
    ... 0.基本介绍 黑塞矩阵(Hessian Matrix),是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化
  • 【fishing-pan:...而海森矩阵本身也包含了大量的数学知识,例如泰勒展开、多元函数求导、矩阵、特征值等。写这篇博客的目的,就是想从原理和实现上讲一讲Hessian Matrix,肯定有不足的地方,希望大家...
  • 前言 Hessian Matrix(海森矩阵)在图像处理...而海森矩阵本身也包含了大量的数学知识,例如泰勒展开、多元函数求导、矩阵、特征值等。写这篇博客的目的,就是想从原理和实现上讲一讲Hessian Matrix,肯定有不足的...
  • 二次型多元函数极值Hessian矩阵正定矩阵如何判断一个矩阵是否是正定的,负定的,还是不定的呢?一个最常用的方法就是顺序主子式。实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的各顺序主子式都大于零。当然这个判定方法的计算...
  • 这个例子效果并没有给出的结果那么好,但是Hessian矩阵的生成可以参考 前言 Hessian Matrix(海森矩阵)在图像处理中有...而海森矩阵本身也包含了大量的数学知识,例如泰勒展开、多元函数求导、矩阵、特征值等。写...
  • 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式. 还有, 在代数几何中, 代数曲线的雅可比量表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代数群, 曲线可以嵌入其中. 它们全部都以数...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,310
精华内容 524
关键字:

多元函数海森矩阵