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2019-05-08 16:25:15更多相关内容
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多元函数极值、Hessian矩阵、正定矩阵
2016-11-29 14:36:30初等数学里,二次函数的极值问题,就是典型的非线性最优化问题。比如,求函数 f(x)=x2−2x+4f(x)=x^2-2x+4 的最小值,该问题我们可表示为: minx∈Rf(x)=x2−2x+4 \min_{x \in R} \ \ f(x) = x^2-2x+4 全局极小...这篇笔记,来自我对支持向量机(SVM)算法原理的学习。支持向量机算法最终归结为二次规划问题,研究二次规划问题,必须先从一般的最优化问题开始分析。如无特别声明,本文最优化问题特指寻求目标函数最小值。
一元函数最优化问题,可以简单归结为极值点必须满足下面两个条件:
d f d x = 0 (1) \frac{df}{dx}=0\tag{1} dxdf=0(1)
d 2 f d x 2 > 0 (2) \frac{d^2f}{dx^2}>0 \tag{2} dx2d2f>0(2)#条件推广:一阶导数为零
二元函数情形,很容易得到第一个条件(1)式的推广形式:
∂ f ∂ x = 0 , ∂ f ∂ y = 0 (3) \frac{\partial f}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial y}=0\tag{3} ∂x∂f=0,∂y∂f=0(3)#条件推广:二阶导数为正
我们可以认为,沿任意方向 ( d x 1 , d x 2 ) = ( cos α d t , sin α d t ) (dx_1, dx_2)=(\cos\alpha dt, \sin \alpha dt) (dx1,dx2)=(cosαdt,sinαdt),都有
d 2 f d t 2 > 0 (4) \frac{d^2 f}{d t^2} > 0\tag{4} dt2d2f>0(4)下面我们推导一下,看看有什么结果,
d f d t = ∂ f ∂ x 1 d x 1 d t + ∂ f ∂ x 2 d x 2 d t = ∂ f ∂ x 1 cos α + ∂ f ∂ x 2 sin α (5) \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{dx_1}{dt} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{dx_2}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial x_2}\sin \alpha\tag{5} dtdf=∂x1∂fdtdx1+∂x2∂fdtdx2=∂x1∂fcosα+∂x2∂fsinα(5)
$$
\frac{d2f}{dt2}=…=\frac{\partial^2 f}{\partial x_12}\cos2 \alpha- \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}\cos \alpha \sin \alpha
- \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}\cos \alpha \sin \alpha
- \frac{\partial^2 f}{\partial x_22}\sin2 \alpha \tag{6}
$$
对于所有的 α \alpha α ,要求上式恒大于零,那么函数的这四个二阶偏导应该满足什么条件呢?
#Hessian矩阵
令 d = ( cos α , sin α ) d=(\cos \alpha, \sin \alpha) d=(cosα,sinα),则有,
d T ( ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ) d > 0 (7) d^T \left( \begin{matrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_2} \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} \end{matrix} \right) d > 0\tag{7} dT(∂x12∂2f∂x2∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22∂2f)d>0(7)
其中,矩阵
H ( f ) = ( ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ) (8) H(f)=\left( \begin{matrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_2} \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} \end{matrix} \right)\tag{8} H(f)=(∂x12∂2f∂x2∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22∂2f)(8)
称为 Hessian 矩阵,如果函数 f ( x ) f(x) f(x)二阶导数连续,则该矩阵实对称矩阵。我们看到,二元函数取得极小值的另一个条件的推广形式是,函数的 Hessian 矩阵是正定矩阵。其实,这个结论很容易推广到 n n n 原函数。由前面讨论可知,(7)式表示函数在方向 d d d 的二阶导数,这算是 Hessian 矩阵的几何意义吧。
#多元函数极值的判定
如果实值多元函数 f ( x ) f(x) f(x) 二阶连续可导,并且在临界点 x ‾ \overline x x 处梯度(一阶导数)等于0,即 ∇ f ( x ‾ ) = 0 \nabla f(\overline x)=0 ∇f(x)=0 , 为驻点。仅通过一阶导数无法判断在临界点 处是极大值还是极小值。记 f ( x ) f(x) f(x) 在 x ‾ \overline x x 点处的 Hessian 矩阵为 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 。由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 x ‾ \overline x x 点处连续,所以 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 是一个 n × n n \times n n×n 的对称矩阵。对于 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) ,有如下结论:
- 如果 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 是正定矩阵,则临界点 x ‾ \overline x x 处是一个局部的极小值。
- 如果 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 是负定矩阵,则临界点 x ‾ \overline x x 处是一个局部的极大值。
- 如果 H ( x ‾ ) H(\overline x) H(x) 是不定矩阵,则临界点 x ‾ \overline x x 处不是极值。
#正定矩阵的判定
接下来的问题就是如何判断一个矩阵是否为正定矩阵了,这方面参考资料很多,本文不再赘述。
原创不易,如有帮助,敬请点赞、关注、收藏,谢谢支持!
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Hessian矩阵与多元函数极值Second-order sufficient optimality conditions.pdf
2020-07-02 10:31:59个人用英文详细推导证明了“海森矩阵正定是多元函数具有极小值的充要条件”,从一阶导数开始分析,推广至n阶多元函数,利用了泰勒展开定理。 -
Hessian Matrix(海森矩阵)
2019-03-05 09:23:03转载自: ...Hessian Matrix(海森矩阵) Hessian Matrix,译作黑塞矩阵、海森矩阵、...是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。Hessian Matrix最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,...转载自:
https://blog.csdn.net/guoyunfei20/article/details/78246699Hessian Matrix(海森矩阵)
Hessian Matrix,译作黑塞矩阵、海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等。是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。Hessian Matrix最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,并以其名字命名。Hessian Matrix常用于牛顿法解决优化问题,利用Hessian Matrix可判定多元函数的极值问题。
在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到Hessian Matrix。
一、二元函数的Hessian Matrix
由高等数学知识可知,若一元函数f(x)在点X0的某个邻域内具有任意阶导数,则f(x)在点X0处的泰勒展开式为:
对于二元函数在点
处的泰勒展开式为:
将上式写成矩阵的形式:
上式缩写为:
其中:
就是
在点
处的Hessian Matrix,它是函数
在点
处的二阶导数组成的方阵。
二、多元函数的Hessian Matrix
将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数,则
在点
处的泰勒展开式的矩阵形式为:
其中:
,它是
在
处的梯度。
为
在
处的Hessian Matrix。
三、利用Hessian Matrix判定多元函数的极值
设n多元实函数
在点
的邻域内有二阶连续偏导,若有:
且
则:
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海森矩阵(Hessian matrix)
2012-11-01 16:40:40在数学中,海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下: 如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即: H(f)ij(x) = DiDjf(x)其中 ....转自:http://hi.baidu.com/imheaventian/item/c8591b19907bd816e2f98612
在数学中,海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下:
如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即:
H(f)ij(x) = DiDjf(x)
其中,即
可见,多元函数的二阶导数就是一个海森矩阵
海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。混合偏导数和海森矩阵的对称性
海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的,那么求导顺序没有区别,即上式也可写为
在正式写法中,如果 f 函数在区域 D 内连续并处处存在二阶导数,那么 f的海森矩阵在 D 区域内为对称矩阵。
给定二阶导数连续的函数
,海森矩阵的行列式,可用于分辨 f 的临界点是属于鞍点还是极值点。
对于 f 的临界点 (x0,y0) 一点,有,然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。
H > 0 :若
,则(x0,y0)是局部极小点;若
,则(x0,y0)是局部极大点。
H < 0 :(x0,y0)是鞍点。
H = 0 :二阶导数无法判断该临界点的性质,得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。MATLAB中获得Hessian矩阵:
The Hessian of a scalar valued function f:Rn
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