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  • 多元函数中的偏导数全导数以及隐函数

    万次阅读 多人点赞 2019-03-31 22:48:01
    以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。 定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。 全微分 与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单...

    偏导数全导数

    偏导数

    由于是二元函数,有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导,如偏x导数、偏y导数。

    高阶偏导数

    对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。
    在这里插入图片描述
    定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。

    全微分

    与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单对x或y的微分称为偏微分
    若x,y同时增加,称为全增量
    全微分定义见下图
    在这里插入图片描述

    定理
    1. 如果函数在该点可微分,那么其在该点的偏导数一定存在,且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数(叠加定理)
      (全微分存在,函数可微分,偏导数一定存在;偏导数存在,全微分不一定存在)
      在这里插入图片描述
    2. 如果函数在该点偏导数连续,那么函数在该点可微分

    多元复合函数求导

    一元函数与多元函数复合

    先对多元函数微分,再把每个函数看成一元函数进行求导
    在这里插入图片描述

    多元函数与多元函数复合

    如果对x求导,就先对所有函数微分,再把每个函数对x微分,最后相加。对y同理。
    在这里插入图片描述

    其他情形

    当多元函数与一元或者多元函数复合时,可能所导变量在某个函数中不存在
    在这里插入图片描述
    不管那种情况,都有一下规律:
    把最外层函数里的一个一个函数看过来,如果这个函数不存在所导变量,就不理他看下一个(微分后为0)。如果有,就先把最外层函数对其微分,如果里面这个函数是一元函数,就对变量求导;如果是多元,就对变量微分。

    多元函数二阶求导

    为方便起见,做出如下定义:有z=f(u,v)。f1’(u,v)=fu(u,v)——f对u求偏导;f2’=fv(u,v)——f对v求偏导;f12’’(u,v)=fuv(u,v)等等…
    先求一阶偏导,再根据公式求二阶偏导数。需要注意的是此处求出来的是一阶偏导对变量的微分。由于一阶偏导内涵中间变量u、v,因此要再进行微分将一阶偏导对变量的微分变成二阶偏导。

    隐函数求导

    在这里插入图片描述

    方程组

    在这里插入图片描述
    在求解的时候可以把行列式右边的常数和所求的变量前的系数代换,利用行列式法则求解。
    以下给出例题
    在这里插入图片描述

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  • 多元函数求偏导问题是多元函数微分学中的一项重点和难点内容。在求解这类题目时, 既要严 格区分自变量与中间变量, 而且要注意不能丢掉偏导函数作为复合函数时的偏导数
  • 多元函数概念和偏导数

    千次阅读 2020-04-21 14:56:48
    偏导数 ...对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续。 即是可导不一定连续 3.高级偏导数 四个二阶偏导数 其中二三叫做混合偏导数 二阶及二阶以上的叫做高阶偏导数 ...

    偏导数

    注意:偏导数的表示是一个整体
    并且这种情况只能用定义来做

    1.偏导数的概念

    2.偏导数的几何意义

    对多元函数而言,即使函数的各个偏导数都存在,也不能保证函数在该点连续。
    即是可导不一定连续

    3.高级偏导数

    四个二阶偏导数
    其中二三叫做混合偏导数
    二阶及二阶以上的叫做高阶偏导数

    一元复合函数推广

    1.复合函数的求导法则

    在这里插入图片描述
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    推广:对于多元函数自变量大于两个的时候也成立。

    2.求导法则的应用

    在这里插入图片描述
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    3.全微分形式不变性

    在这里插入图片描述
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    注意

    在这里插入图片描述

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  • matlab求解多元函数偏导数diff

    千次阅读 2020-06-14 15:43:58
    本博文源于matlab求解多元函数导数。涉及求一阶/求多阶/求向量偏导数/求隐函数导数

    本博文源于matlab求解多元函数导数。涉及求一阶/求多阶/求向量偏导数/求隐函数导数

    多元函数的偏导数

    diff(f(x,y,z),变量名)
    

    例子 求x^2+lny+根号z的偏导数

    在这里插入图片描述

    >> syms x
    >> syms y
    >> syms z
    >> du_dx = diff(x^2+log(y)+sqrt(z),x)
     
    du_dx =
     
    2*x
     
     
    >> du_dz = diff(x^2+log(y)+sqrt(z),z)
     
    du_dz =
     
    1/2/z^(1/2)
     
     
    >> 
    

    求高阶偏导数

    diff(f(x,y,z),变量名,n)
    

    例子:将上面的函数求4阶

    >> du_dz = diff(x^2+log(y)+sqrt(z),z,4)
     
    du_dz =
     
    -15/16/z^(7/2)
     
     
    

    求多元向量函数的偏导数

    利用Jacobian矩阵求解

    jacobian([f,g,h],[x,y,z]).
    

    例子:求u的向量偏导数

    在这里插入图片描述

    syms x y z;
    >> jacobian([x^2+sin(y),y^2+sin(z),z^2+sin(x)],[x,y,z])
     
    ans =
     
    [    2*x, cos(y),      0]
    [      0,    2*y, cos(z)]
    [ cos(x),      0,    2*z]
     
     
    >> 
    

    求隐函数形式偏导数

    在这里插入图片描述

    例子1:求dy/dz

    在这里插入图片描述

    >> syms x y
    >> F=x^2*exp(-2*y)-5;
    >> dy_dx=-diff(F,x)/diff(F,y)
     
    dy_dx =
     
    1/x
     
     
    >> 
    

    例子:求偏导数

    在这里插入图片描述

    >> syms x y
    >> F=x^2*exp(-2*y-2*z)-5;
    >> dz_dy=-diff(F,y)/diff(F,z)
     
    dz_dy =
     
    -1
     
     
    >> 
    
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  • 对于二元函数而言:可导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何...
  • 多元函数微分学之偏导数

    万次阅读 2018-07-23 17:26:10
    偏导数的概念 本质上就是求一元函数的导,只不过是把其他变量看作常数就行了。 在图像上显示可以想象下,例如z=f(x,y)这是一个三维 图形,然后对x求偏导其实就这一点所在的平行于zx平面的切面是投影到z,x上的...
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  • 二元函数偏导数的几何意义

    万次阅读 2018-04-17 22:09:38
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  • 多元复合函数的偏导数问题引入多元复合函数的求导法则定理1(一个自变量的情形)定理2(两个自变量的情形)多元函数求导法则应用例1例2例3例4例5多元函数一阶微分形式不变性例6 问题引入 多元复合函数的求导法则 ...
  • 为什么偏导数连续,函数就可微?

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果函数 的偏导数 、 在点 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后...
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  • sympy解二元函数偏导数,Python

    千次阅读 2020-01-18 00:55:05
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  • 235 答案解析 假设构造出一个函数的方法还是比较简单的
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空空如也

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