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  • MATLAB中regress函数用法(多元线性回归)

    万次阅读 多人点赞 2018-08-24 19:56:47
    在matlab中用regress()函数可以求多元线性方程的系数 最近写题目经常碰到,记下一些关键的地方 以下为我使用该函数求得的一个多元线性函数的例子代码,x1-x4都是用xlsread()函数读取表格信息 x1=xlsread('data...

    在matlab中用regress()函数可以求多元线性方程的系数

    最近写题目经常碰到,记下一些关键的地方

    以下为我使用该函数求得的一个多元线性函数的例子代码,x1-x4都是用xlsread()函数读取表格信息

    x1=xlsread('dataimport.xls','sheet2','C2:C836');
    x2=xlsread('dataimport.xls','sheet2','D2:D836');
    x3=xlsread('dataimport.xls','sheet2','E2:E836');
    x4=xlsread('dataimport.xls','sheet2','F2:F836');
    Y=xlsread('dataimport.xls','sheet2','B2:B836');
    X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4];
    %X=[x1',x2',x3',x4',x5'];%要是列向量
    %Y=y';
    [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);

    大家需要注意的是每组数据需要是列向量,即x1-x4和Y应该是列向量,ones(size(x))是一列与数据组数等长的单位列向量,目的是产生常数项,如果没有常数项,则可以去掉

    [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,   X,alpha)

    说明:b是线性方程的系数估计值,并且第一值表示常数,第二个值表示回归系数。bint是系数估计值的置信度为95%的置信区间,r表示残差,rint表示各残差的置信区间,stats是用于检验回归模型的统计量,有三个数值其中有表示回归的R2统计量和F以及显著性概率P值,alpha为置信度。相关系数r^2越大,说明回归方程越显著;与F对应的概率P<alpha时候拒绝H0,回归模型成立。

    笔者初学matlab,如有错误请不惜赐教

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  • 线性变换是最基本的多元函数。因此要学习多元函数,首先需要对线性变换做一个彻底的了解。本文依然从代数学的角度去阐述线性变换的性质。自从泛函分析这门学科提出以来,代数学与分析学的联系越来越紧密。因此,多...

    线性变换是最基本的多元函数。因此要学习多元函数,首先需要对线性变换做一个彻底的了解。本文依然从代数学的角度去阐述线性变换的性质。自从泛函分析这门学科提出以来,代数学与分析学的联系越来越紧密。因此,多学习一些代数学的知识,很有必要。代数学其实并不难学,任何的代数学系统,都不是凭空捏造的。它只是我们熟知的数学运算的一个概括总结而已。例如,对我们的实数运算法则进行抽象,便有了域的概念。对我们n维实数空间进行抽象,便有了线性空间的概念。为什么线性空间的向量没有乘法运算的概念?因为我们的n维实数向量,没有乘法。虽然两个实数向量有点积,叉积运算,但是这两个运算都不满足封闭性,更找不到幺元。点积,叉积运算当然很重要,但是那与域上的乘法有本质区别。所以要研究它们,需要新的代数系统。这是后话。因此,学习代数学需要结合我们熟知的具体的代数系统,对比参照,方不至于迷失。

    线性变换的定义如下。

    定义. 设V和W都是域F上的有限维线性空间。那么我们称L:V\mapsto W是线性的,如果对于任意的\alpha,\beta\in F

    L(\alpha \cdot v_1 + \beta \cdot v_2)=\alpha \cdot L(v_1) + \beta \cdot L(v_2)

    对所有的v_1,v_2\in V成立.

     

    例.  当V=R^n, W=R^m且F取实数域R,对那么任意的实矩阵M_{m\times n},有

    L(x)=Mx

    是一个线性映射。

     

    上面的例子说明,一个矩阵可以诱导出一个线性变换。事实上,对任意的线性变换L:R^n\mapsto R^m都可以由一个实矩阵唯一确定。这是一个非常重要的性质,它告诉我们,线性变换的性质可以从矩阵的性质推导而来。这也是矩阵论的最大意义所在。

    定理. 设L: R^n\mapsto R^m是一个线性变换,那么存在唯一的矩阵M_{m\times n}使得

    L(x)=Mx对任意的x\in R^n成立。

    证明. 存在性. 设e_1,e_2,...,e_n是线性空间R^n上的单位基向量。换句话说向量e_i的第i个元素为1,其他元素为0。对任意的i,记

    L_i = L(e_i)

    那么矩阵M=[L_1,L_2,...,L_n]即满足条件。为了验证这点。对任意的x\in R^n,都有

    x=\sum_{i=1}^n x_i e_i

    这里的x_i是x的第i个分量。因此

    L(x)=\sum_{i=1}^n x_i \cdot L(e_i)= \sum_{i=1}^n x_i \cdot Li = Mx

    唯一性。设M' 也是满足题设条件的矩阵。分别记M_{i,j}M'_{i,j}是矩阵M和M'的第i行j列的元素。那么

    M'_{i,j}=e_i^TM'e_j=e_i^{T} L_j=e_i^T M e_j=M_{i,j}

    故M=M'。定理证毕。

     

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  • 在上一篇博文中,我们介绍了线性变换的一个最基本的性质,即任何一个线性变换L,都存在唯一的矩阵M,满足L(x)=Mx。由此,建立了线性变换与矩阵的紧密联系。这样,我们也理解了,为什么在线性代数这门学科里,我们...

    在上一篇博文中,我们介绍了线性变换的一个最基本的性质,即任何一个线性变换L,都存在唯一的矩阵M,满足L(x)=Mx。由此,建立了线性变换与矩阵的紧密联系。这样,我们也理解了,为什么在线性代数这门学科里,我们需要花费那么多的篇幅去研究矩阵。其实,研究矩阵的性质,就是在研究线性变换的性质。本文将列举一些事例,来说明这一点。

    为了简化起见,我们假设后文中的所有线性变换都是R^n \mapsto R^n,这样线性变换矩阵是一个n \times n的方阵。

    线性变换的加法与矩阵加法

    设线性L_1L_2的矩阵分别为M_1M_2。那么L=L_1+L_2也是一个线性变换,这里的L满足

    L(x)=L_1(x)+L_2(x).

    L的线性变换矩阵为M=M_1 + M_2.

    线性变换的复合与矩阵乘法

    设线性L_1L_2的矩阵分别为M_1M_2。那么L=L_1\circ L_2也是一个线性变换,这里的L满足

    L(x)=L_1(L_2(x)).

    L的线性变换矩阵为M=M_1 M_2.

    为了证明这一点,利用线性变换矩阵的性质,我们有

    L(x)=L_1(L_2(x))=L_1(M_2x)=M_1(M_2x)=(M_1M_2)x.

    恒等变换与单位阵

    如果线性变换L满足L(x)=x,那么我们称L是一个恒等变换。此时L的线性变换矩阵是一个单位阵。

    为了说明这点,我们假设线性变换矩阵M=[v_1,v_2,...,v_n],那么我们有

    v_i=L(e_i)=e_i

    这里的e_i是第i个分量为1,其他分量为0的单位基向量。于是

    M=[e_1,e_2,...,e_n]

    是一个单位阵。

    象空间维数与矩阵的秩

    我们假设线性变换L的矩阵为M=[v_1,v_2,...,v_n],那么很显然L的象空间是span(v_1,v_2,...,v_n)。这进一步说明,线性变换象空间的维数就是矩阵M的秩。

    满秩矩阵与一一变换

    我们说线性变换L是一一变换,如果它满足:

    1)对任意的y\in R^n都存在x\in R^n使得L(x)=y;

    2)L(x_1)=L(x_2)当且仅当x_1=x_2

    接下来,我们证明L是一一变换当且仅当M满秩。

    “当”。若M满秩,则span(v_1,v_2,...,v_n)维数为n,也即span(v_1,v_2,...,v_n)=R^n。这样,对任意的y\in R^n,都存在\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n使得

    y=\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \alpha_n v_n

    x=(\alpha_1,...,\alpha_n)^T=\alpha_1 e_1+...+\alpha_n e_n,便有L(x)=y。这证明了性质1)。

    为证明性质2。设x_1=(\alpha_1,...,\alpha_n),y_1=(\beta_1,...,\beta_n)L(x_1)=L(x_2)。那么

    L(x_1-x_2)=L(x_1)-L(x_2)=\mathbf{0}

    这说明

    (*)                 (\alpha_1-\beta_1)v_1+...+(\alpha_n-\beta_n)v_n=\mathbf{0}

    但是span(v_1,v_2,...,v_n)维数为n,因此v_1,v_2,...,v_n线性独立。这样,要使(*)式成立,必须有\alpha_1-\beta_1=...=\alpha_n-\beta_n=0,也即x_1=x_2。性质2)成立。

    这样L是一个一一映射。

    “仅当”。我们用反证法。假设M不是满秩,那么span(v_1,v_2,...,v_n)维数小于n。因此存在n长向量y满足y\notin span(v_1,v_2,...,v_n),也即y不属于L的象空间。故L不是一一映射。

    结论证毕。

     

    逆变换与逆矩阵

    若L是一一变换,那么对于任意的y存在唯一的x满足L(x)=y。此时,我们可以定义L的逆变换L^{-1},它满足

    L^{-1}(y)=x当且仅当L(x)=y。

    可以很容易证明,L^{-1}也是一个线性变换。为了求出L^{-1}的线性变换矩阵N,我们令K=L\circ L^{-1},那么很显然K是一个恒等变换。所以,K的线性变换矩阵MN是一个单位阵,这里的M是线性变换L的矩阵。于是我们有N=M^{-1}

     

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多元函数的线性化