在matlab中用regress（）函数可以求多元线性方程的系数

最近写题目经常碰到，记下一些关键的地方

以下为我使用该函数求得的一个多元线性函数的例子代码，x1-x4都是用xlsread()函数读取表格信息

x1=xlsread('dataimport.xls','sheet2','C2:C836');

x2=xlsread('dataimport.xls','sheet2','D2:D836');

x3=xlsread('dataimport.xls','sheet2','E2:E836');

x4=xlsread('dataimport.xls','sheet2','F2:F836');

Y=xlsread('dataimport.xls','sheet2','B2:B836');

X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4];

%X=[x1',x2',x3',x4',x5'];%要是列向量

%Y=y';

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);

大家需要注意的是每组数据需要是列向量，即x1-x4和Y应该是列向量，ones(size(x))是一列与数据组数等长的单位列向量，目的是产生常数项，如果没有常数项，则可以去掉

[b，bint，r,rint，stats]=regress(Y,   X，alpha)


说明：b是线性方程的系数估计值，并且第一值表示常数，第二个值表示回归系数。bint是系数估计值的置信度为95％的置信区间，r表示残差，rint表示各残差的置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量，有三个数值其中有表示回归的R2统计量和F以及显著性概率P值，alpha为置信度。相关系数r^2越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率P<alpha时候拒绝H0，回归模型成立。

笔者初学matlab，如有错误请不惜赐教

线性变换是最基本的多元函数。因此要学习多元函数，首先需要对线性变换做一个彻底的了解。本文依然从代数学的角度去阐述线性变换的性质。自从泛函分析这门学科提出以来，代数学与分析学的联系越来越紧密。因此，多学习一些代数学的知识，很有必要。代数学其实并不难学，任何的代数学系统，都不是凭空捏造的。它只是我们熟知的数学运算的一个概括总结而已。例如，对我们的实数运算法则进行抽象，便有了域的概念。对我们n维实数空间进行抽象，便有了线性空间的概念。为什么线性空间的向量没有乘法运算的概念？因为我们的n维实数向量，没有乘法。虽然两个实数向量有点积，叉积运算，但是这两个运算都不满足封闭性，更找不到幺元。点积，叉积运算当然很重要，但是那与域上的乘法有本质区别。所以要研究它们，需要新的代数系统。这是后话。因此，学习代数学需要结合我们熟知的具体的代数系统，对比参照，方不至于迷失。

线性变换的定义如下。

定义. 设V和W都是域F上的有限维线性空间。那么我们称是线性的，如果对于任意的有



对所有的成立.

 

例.  当且F取实数域R，对那么任意的实矩阵，有

L(x)=Mx

是一个线性映射。

 

上面的例子说明，一个矩阵可以诱导出一个线性变换。事实上，对任意的线性变换都可以由一个实矩阵唯一确定。这是一个非常重要的性质，它告诉我们，线性变换的性质可以从矩阵的性质推导而来。这也是矩阵论的最大意义所在。

定理. 设是一个线性变换，那么存在唯一的矩阵使得

L(x)=Mx对任意的成立。

证明. 存在性. 设是线性空间上的单位基向量。换句话说向量的第i个元素为1，其他元素为0。对任意的i，记

，

那么矩阵即满足条件。为了验证这点。对任意的，都有



这里的是x的第i个分量。因此

。

唯一性。设M' 也是满足题设条件的矩阵。分别记和是矩阵M和M'的第i行j列的元素。那么

。

故M=M'。定理证毕。

 

在上一篇博文中，我们介绍了线性变换的一个最基本的性质，即任何一个线性变换L，都存在唯一的矩阵M，满足L(x)=Mx。由此，建立了线性变换与矩阵的紧密联系。这样，我们也理解了，为什么在线性代数这门学科里，我们需要花费那么多的篇幅去研究矩阵。其实，研究矩阵的性质，就是在研究线性变换的性质。本文将列举一些事例，来说明这一点。

为了简化起见，我们假设后文中的所有线性变换都是，这样线性变换矩阵是一个的方阵。

线性变换的加法与矩阵加法

设线性和的矩阵分别为和。那么也是一个线性变换，这里的L满足

.

L的线性变换矩阵为.

线性变换的复合与矩阵乘法

设线性和的矩阵分别为和。那么也是一个线性变换，这里的L满足

.

L的线性变换矩阵为.

为了证明这一点，利用线性变换矩阵的性质，我们有

.

恒等变换与单位阵

如果线性变换L满足L(x)=x，那么我们称L是一个恒等变换。此时L的线性变换矩阵是一个单位阵。

为了说明这点，我们假设线性变换矩阵，那么我们有



这里的是第i个分量为1，其他分量为0的单位基向量。于是



是一个单位阵。

象空间维数与矩阵的秩

我们假设线性变换L的矩阵为，那么很显然L的象空间是。这进一步说明，线性变换象空间的维数就是矩阵M的秩。

满秩矩阵与一一变换

我们说线性变换L是一一变换，如果它满足：

1）对任意的都存在使得L(x)=y；

2）当且仅当。

接下来，我们证明L是一一变换当且仅当M满秩。

“当”。若M满秩，则维数为n，也即。这样，对任意的，都存在使得

。

令，便有L(x)=y。这证明了性质1）。

为证明性质2。设且。那么

。

这说明

(*)                 

但是维数为n，因此线性独立。这样，要使(*)式成立，必须有，也即。性质2）成立。

这样L是一个一一映射。

“仅当”。我们用反证法。假设M不是满秩，那么维数小于n。因此存在n长向量y满足，也即y不属于L的象空间。故L不是一一映射。

结论证毕。

 

逆变换与逆矩阵

若L是一一变换，那么对于任意的y存在唯一的x满足L(x)=y。此时，我们可以定义L的逆变换，它满足

当且仅当L(x)=y。

可以很容易证明，也是一个线性变换。为了求出的线性变换矩阵N，我们令，那么很显然K是一个恒等变换。所以，K的线性变换矩阵MN是一个单位阵，这里的M是线性变换L的矩阵。于是我们有。

 

这里以二元函数为例，介绍两种方法求表达式，后续有好的技巧将会更新。

方法一：拼凑法



方法二：换元法