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  • 多元函数的基本概念

    2020-08-29 14:54:11
    基本概念 邻域 去心邻域 内点 外点 边界点 孤立点 聚点 开集 闭集 区域 联通的 开区域 闭曲域 有界集 无界集 n维空间 有界 有上界 有下届 多元初等函数 多元函数的极限 多元函数的连续性

    基本概念

    邻域
    去心邻域

    内点
    外点
    边界点
    孤立点
    聚点

    开集
    闭集

    区域

    连通的:D内任意两点,均可用包含在D内的折线连接起来,则称开集D是连通的。
    开区域(区域):连通的开集。
    闭曲域:区域D与他边界的并集。

    有界集
    无界集

    n维空间

    有界
    有上界
    有下届

    多元初等函数

    多元函数的极限

    多元函数的连续性

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  • 多元函数

    2019-03-16 15:25:32
    边界点:任意P的邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点,则P为E的边界点 边界:E的所有边界点的集合 聚点:P的任意去心领域总有E中的点,则P是E的聚点 聚点可以属于E,也可以不属于E 开集:E的点全是E的内点,则E为...

    多元函数

    概念

    1. 邻域和去心邻域
    2. 内点:存在P的邻域全属于E,则P为E的内点
    3. 外点:存在P的邻域与E相交为空集,则P为E的外点
    4. 边界点:任意P的邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点,则P为E的边界点
    5. 边界:E的所有边界点的集合
    6. 聚点:P的任意去心领域总有E中的点,则P是E的聚点
      聚点可以属于E,也可以不属于E
      在这里插入图片描述
    7. 开集:E的点全是E的内点,则E为开集
    8. 闭集:E的边界属于E,则E为闭集
    9. 联通集:E的任何两点能用线连接且线属于E,则E为连通集
      联通的闭集不一定是闭区域
    10. 开区域:简称区域。连通的开集为开区域。
    11. 闭区域:开区域连同它的边界称为闭区域。
      在这里插入图片描述
    12. 有界集:存在正数,使平面点集E与坐标原点的距离均小于这个数,则E为有界集
    13. 无界集:任取正数,总存在平面点集E中的一点与原点距离大于这个数,则E为无界集
      不是有界集就是无界集

    二元函数

    定义域、自变量、因变量不介绍了。说实话定义我也看不懂…
    我理解为:由两个自变量的函数。区别于一元函数的一个自变量一个因变量,二元函数需要明确两个量才能被准确表示,比如并联后的电阻等
    由于定义域可由两个自变量的关系得出(比如x+y>0),因此二元函数可以表示一个图形区域而不仅仅是曲线
    注意此时仍是在平面而不是空间
    同理可以构造出多元函数,可形成n维空间

    极限

    二元函数的极限称为二重极限,由x,y分别趋近于两个数表示。
    求法与一元函数类似,可以运用函数的连续性直接带入,更重要的是利用等价无穷小

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  • 一、平面点集 去心邻域:比对数轴的去心邻域概念,平面上一个的去心邻域就是以该为中心取一个大于0的值为半径的圆标识...多元函数的概念 多元函数:还是比对一元函数理解,一元函数是有一个自变量x和一个因变量y

    一、平面点集

    • 去心邻域:比对数轴的去心邻域概念,平面上一个点的去心邻域就是以该点为中心取一个大于0的值为半径的圆标识的范围(不包括圆心点和邻域边界)

    • 邻域:去心邻域+圆心点

    • 开集:所谓开集,即点集无孤立点,同时点集无边界点,比对开区间,即开集取不到边界,对于点集内任意点M,存在δ>0,使M的邻域包含于该点集内。

    • 连通:点集没有被完全分隔开

    • 开区域:连通的开集

    • 闭区域:开区域+区域边界

    多元函数的概念

    • 多元函数:还是比对一元函数理解,一元函数是有一个自变量x和一个因变量y,伴随x的变化,总存在唯一的y与之对应(x与y之间带关系可以是一对一、多对一但不能一对多);多元函数就是自变量不止一个,仅此而已
    • 定义域:自变量的取值范围
    • 值域:定义域中所有自变量的值对应的所有的函数值组成的集合

    多元函数的极限

    emmm,我们还是比对一元函数带极限来理解吧,我这边做个简单回顾,如果忘记了,请翻阅本系列博客第一章

    • 一元函数的极限在这里插入图片描述
    • 二元函数的极限在这里插入图片描述

    是不是差不多?是差不多,唯一不同的地方,一元函数取去心邻域时可以看作实在数轴上取,二元函数取去心邻域就变成了我们本篇中介绍的去心邻域的状态了,是这样的在这里插入图片描述

    注解

    二元函数和一元函数的去心邻域取法的不同决定了二元函数(或者说多元函数)极限的复杂性,我们看上面这个图,研究一元函数带极限时,只要讨论函数在某一点的左右极限就可以了,但是对于多元函数,我们根据上面带图可以看出,极限的方向有无数个。

    例题

    例1在这里插入图片描述
    例2在这里插入图片描述
    例3在这里插入图片描述

    四、多元函数的连续性与性质

    • 连续性:极限值=函数值,由于上述带一元函数与多元函数的差异,所以多元函数不用考虑左右极限

    多元函数在有界闭区域上的性质
    比对一元函数在闭区间上的性质

    • 最值定理
    • 有界定理
    • 介值定理
    • 零点定理

    本篇完。

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  • 极限:设函数 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 在去心邻域 DDD 有定义,M0(x0,y0)M_0(x_0, y_0)M0​(x0​,y0​) 是 DDD 内点或边界点,M(x,y)∈DM(x,y) \in DM(x,y)∈D, lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A<=>∀ϵ>0...

    多元微分

    1. 极限偏导可微

    极限:设函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在去心邻域 DD 有定义,M0(x0,y0)M_0(x_0, y_0)DD 的内点或边界点,M(x,y)DM(x,y) \in D
    lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=A<=>ϵ>0σ>00<MM0=(xx0)2+(yy0)2<σf(x,y)A<ϵ\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=A<=>\forall \epsilon>0, \exists \sigma>0, 0<|MM_0|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\sigma,有|f(x,y)-A|<\epsilon

    连续:设函数 z=f(x,y)z=f(x,y)P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0) 某个实心邻域有定义
    lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)

    偏导
    函数 z=f(x,y)z=f(x,y)(x0,y0)(x_0,y_0) 处对 xx 的偏导数,可记为 fx(x0,y0)f_{x}^{'}(x_0,y_0)fx(x0,y0)\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}zx(x0,y0)\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}

    fx(x0,y0)=limΔx0f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)Δxf_{x}^{'}(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x}

    函数 z=f(x,y)z=f(x,y)(x0,y0)(x_0,y_0) 处对 yy 的偏导数,可记为 fy(x0,y0)f_{y}^{'}(x_0,y_0)fy(x0,y0)\frac{\partial f}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}zy(x0,y0)\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}

    fy(x0,y0)=limΔy0f(x0,y0+Δy)f(x0,y0)Δyf_{y}^{'}(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)}{\Delta y}

    可微:函数 z=f(x,y)z=f(x,y)(x,y)(x,y) 全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y) 表示为 Δz=AΔx+BΔy+o((Δx)2+(Δy)2)\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ) 则函数 z=f(x,y)z=f(x,y)(x,y)(x,y) 可微,AΔx+BΔyA\Delta x + B\Delta y 为全微分,(Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} 可记为 ρ\rho

    2. 复合函数求导

    链式求导

    • z=f(u,v),u=ϕ(t),v=ψ(t)z=f(u,v), u=\phi(t),v=\psi(t),则 z=f[ϕ(t),ψ(t)]z=f[\phi(t), \psi(t)] dzdt=zududt+zvdvdt\frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}

    • z=f(u,v),u=ϕ(x,y),v=ψ(x,y)z=f(u,v), u=\phi(x,y),v=\psi(x,y),则 z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)]z=f[\phi(x,y), \psi(x,y)] zx=zuux+zvvxzy=zuuy+zvvy\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}

    • z=f(u,v),u=ϕ(x,y),v=ψ(y)z=f(u,v), u=\phi(x,y),v=\psi(y),则 z=f[ϕ(x,y),ψ(y)]z=f[\phi(x,y), \psi(y)] zx=zuuxzy=zuuy+zvdvdy \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy}

    符号 ff^{'}

    • z=f(u,v)f(x)={u=u(x,y)v=v(x,y)f1(u,v)=fuf2(u,v)=fvz=f(u,v),f(x)= \begin{cases} u=u(x,y)\\ v=v(x,y) \end{cases},f_{1}^{'}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u},f_{2}^{'}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial v},分别简记为 f1f_{1}^{'}f2f_{2}^{'}

    zx=f1ux+f2vxzy=f1uy+f2vy\frac{\partial z}{\partial x} =f_{1}^{'}\frac{\partial u}{\partial x}+f_{2}^{'}\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =f_{1}^{'}\frac{\partial u}{\partial y}+f_{2}^{'}\frac{\partial v}{\partial y}

    • 书写混淆时, f1(u,v)f_{1}^{'}(u,v) 不可简记为 f1f_{1}^{'},如 z=f(x+y,f(x,y))z=f(x+y, f(x,y))

    全微分

    • 隐函数 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0的全微分,Fxdx+Fydy+Fzdz=0F_{x}^{'}dx+F_{y}^{'}dy+F_{z}^{'}dz=0
    • 全微分:dz=zxdx+zydydz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy

    3. 多元函数极值

    无条件极值

    • 必要条件:f(x,y)f(x,y) 偏导为0或不存在
    • 充分条件:fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0f_x^{'}(x_0,y_0)=0, f_y^{'}(x_0,y_0)=0fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=Cf_{xx}^{''}(x_0,y_0)=A, f_{xy}^{''}(x_0,y_0)=B, f_{yy}^{''}(x_0,y_0)=C
      Δ=ACB2{>0A<0 极大值,A>0 极小值<0非极值=0方法失效\Delta=AC-B^2 \begin{cases} > 0 & \text{A<0 极大值,A>0 极小值} \\ < 0 & \text{非极值}\\ =0 & \text{方法失效} \end{cases}

    条件极值:求函数 ff 在条件函数 ϕ\phi 的极值和最值

    • 拉格朗日乘数法:
      F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z)F(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z),列方程组 Fx=0Fy=0Fz=0Fλ=0F_{x}^{'}=0、F_{y}^{'}=0、F_{z}^{'}=0、F_{\lambda}^{'}=0

    • 欧拉定理:
      F(x,y,z)F(x,y,z)kk 次齐次函数,且 F(x,y,z)F(x,y,z) 有一阶偏导,则 xFx+yFy+zFz=kF(x,y,z)xF_{x}^{'}+yF_{y}^{'}+zF_{z}^{'}=kF(x,y,z),故 F(x,y,z)F(x,y,z) 值可表示成为λ\lambda,并且λ\lambda可用行列式求得

    • 直接代入法:
      设函数 f(x,y)f(x,y) 和条件函数 ϕ(x,y)\phi(x,y) 是关于 x,yx,y 的二元函数,则 yy 可表示成为 xx 代入 f(x,y)f(x,y),一元函数极值法求出极值和端点值

    多元积分

    1. 概念和性质

    概念:设函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在有界闭区域 DD 上有定义,区域 DD 任意划分为内任意 nn 小区域:Δσ1,Δσ2,...,Δσn\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, ... , \Delta \sigma_{n},每个 Δσi\Delta \sigma_i 任取一点 (ξi,ηi)(\xi_i,\eta_i),记 did_iΔσi\Delta \sigma_i 半径,λ=max{d1,d2,...,dn}\lambda = max\{ d_1, d_2, ..., d_n \} limλ0i=1nf(ξi,ηi)Δσi=f(x,y)dσ\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i=\iint f(x,y)d\sigma

    性质D[f(x,y)+g(x,y)]dσ=Df(x,y)dσ+Dg(x,y)dσ\iint_{D} [f(x,y)+g(x,y)]d\sigma =\iint_{D} f(x,y) d\sigma+\iint_{D} g(x,y)d\sigma Df(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσDdσ=σ \iint_{D} f(x,y)d\sigma=\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2} f(x,y)d\sigma,\iint_{D} d\sigma = \sigma

    2. 积分对称性

    普通对称性

    • DD 关于 yy 轴对称,f(x,y)f(x,y) 关于 xx 奇偶性
    • DD 关于 xx 轴对称,f(x,y)f(x,y) 关于 yy 奇偶性

    轮换对称性

    • DD 关于 y=xy=x 轴对称,则 f(x,y)dσ=f(y,x)dσ\iint f(x,y) d\sigma=\iint f(y,x) d\sigma
    • DD 关于 y=xy=-x 轴对称,则 f(x,y)dσ=f(y,x)dσ\iint f(x,y) d\sigma=\iint f(-y,-x) d\sigma

    3. 直角和极坐标系

    直角坐标系

    • X型区域 Df(x,y)dσ=abdxϕ1(x)ϕ1(x)f(x,y)dy\iint_{D} f(x,y) d\sigma=\int_{a}^{b} dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_1(x)}f(x,y) dy
      在这里插入图片描述
    • Y型区域 Df(x,y)dσ=cddyψ1(y)ψ1(y)f(x,y)dx\iint_{D} f(x,y) d\sigma=\int_{c}^{d} dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_1(y)}f(x,y) dx
      在这里插入图片描述

    极坐标系Df(x,y)dσ=Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ\iint_{D} f(x,y) d\sigma = \iint_{D} f(rcosθ, rsinθ)rdrdθ

    • Df(x,y)dσ=αβdθr1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)\iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{α}^{\beta}dθ\int_{r_1(θ)}^{r_2(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D外)

    • Df(x,y)dσ=αβdθ0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)\iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{α}^{\beta}dθ\int_{0}^{r_(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D边界)

    • Df(x,y)dσ=02πdθ0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)\iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{0}^{2\pi}dθ\int_{0}^{r_(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D内)

    4. 坐标系相互转换

    ① 公式 {x=rcosθy=rsinθ\begin{cases} x = rcosθ \\ y = rsinθ \end{cases} ② 画好区域 DD 图形,确定上下限转化

    5. 交换积分次序

    固定 xx 扫描 yy
    01dy0yf(x,y)dxdxf(x,y)dy\int_{0}^{1 }dy \int_{0}^{y} f(x,y)dx \to \int dx \int f(x,y)dy
    在这里插入图片描述
    固定 rr 扫描 θθ
    π4π2dθ02cosθf(rcosθ,rsinθ)rdrrdrf(rcosθ,rsinθ)dθ\int_{-\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} }dθ \int_{0}^{2cosθ} f(rcosθ, rsinθ)rdr \to \int rdr \int f(rcosθ, rsinθ)dθ
    在这里插入图片描述
    极坐标换序时,固定 rr 长度从一端扫到另一端。上图中间弧线为界,左侧 θθ 和右侧 θθ 起始大小不同,所以需要拆分为两个积分。

    参考资料

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空空如也

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多元函数的边界点