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  • 多元函数的极值

    万次阅读 2018-08-18 09:59:26
    多元函数的极值 定义 z=f(x,y) (x,y)∈∈\inD,M0(x0,y0)∈D(M0是D的内),U(M0,δ(域))⊂DM0(x0,y0)∈D(M0是D的内),U(M0,δ(域))⊂DM_0(x_0,y_0)\in D(M_0是D的内) ,U(M_0,\delta(域))\subset D 若f(x0,y0x...

    多元函数的极值

    定义

    z=f(x,y) (x,y) D, M0(x0,y0)D(M0D),U(M0,δ())D M 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D ( M 0 是 D 的 内 点 ) , U ( M 0 , δ ( 域 ) ) ⊂ D

    若f( x0,y0 x 0 , y 0 )是函数z=f(x,y)在 U(M0,δ) U ( M 0 , δ ) 中的最大值,则称f( x0,y0 x 0 , y 0 )为极大值

    若f( x0,y0 x 0 , y 0 )是函数z=f(x,y)在 U(M0,δ) U ( M 0 , δ ) 中的最小值,则称f( x0,y0 x 0 , y 0 )为极小值

    也就是区间的最大值和最小值

    极值是局部概念,极值必须在定义域的内部取得,极值点必须是定义域的内点,定义域的便接到不可能是极值点。

    极值的必要条件

    一元极值必要条件

    y=f(x),f( x0 x 0 )是极值,且f’( x0 x 0 )存在,则f’( x0 x 0 )=0

    导数为0是函数取得极值的必要条件

    驻点 x0 x 0

    可导的极值点必为驻点,极值点不一定为驻点,驻点也不一定为极值点。

    定理一(极值的必要条件)

    设z=f(x,y)在点( x0,y0 x 0 , y 0 )处取得极值,且偏导数$f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)存在,

    fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ( x 0 , y 0 ) = 0

    证明

    设z=f(x,y)在点( x0,y0 x 0 , y 0 )处取得极大值

    则一元函数z=f(x, y0 y 0 )=g(x),在点x= x0 x 0 处取得极大值

    由于一元函数极值必要条件 fx(x0,y0)=g(x0)=0 f x ( x 0 , y 0 ) = g ( x 0 ) = 0

    同理可得 fy(x0,y0)=0 f y ( x 0 , y 0 ) = 0

    多元函数取得极值的必要条件是梯度为零向量

    驻点

    驻点就是梯度为零向量的点

    非极值点的驻点称为鞍点

    推论

    有偏导数的极值点必为驻点

    极值的充分条件

    一元函数的充分条件

    f’( x0 x 0 )=0

    f”( x0 x 0 )>0 =>f( x0 x 0 )是极小值

    f”( x0 x 0 )<0 =>f( x0 x 0 )是极大值

    #### 定理二(二元函数极值的充分条件)

    设函数z=f(x,y)在点( x0,y0 x 0 , y 0 )的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 fx f x ( x0,y0 x 0 , y 0 )=0, fy f y ( x0,y0 x 0 , y 0 )=0,令

    fxx f x x ( x0,y0 x 0 , y 0 )=A, fxy f x y ( x0,y0 x 0 , y 0 )=B, fyy f y y ( x0,y0 x 0 , y 0 )=C,

    则f(x,y)在( x0,y0 x 0 , y 0 )处是否取得极值的条件如下

    1.AC- B2 B 2 >0是具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值

    2.AC- B2 B 2 <0时没有极值

    3.AC- B2 B 2 =0时可能有,可能没有

    例子

    f(x,y)= x4+y44xy x 4 + y 4 − 4 x y 求极值

    先求驻点

    fx(x,y)=4x34y=0 f x ( x , y ) = 4 x 3 − 4 y = 0

    fy(x,y)=4y34x=0 f y ( x , y ) = 4 y 3 − 4 x = 0

    得驻点(0,0),(1,1),(-1,-1)

    求二阶

    A= fxx=12X2 f x x = 12 X 2

    B= fxy=4 f x y = − 4

    C= fyy=12y2 f y y = 12 y 2

    AC- B2=144x2y216 B 2 = 144 x 2 y 2 − 16

    (0,0):16<0无极值

    (1,1):144-16>0,A=12>0 极小值

    同理(-1,-1)极小值点

    hesse矩阵

    若H( x0,y0 x 0 , y 0 )是正定矩阵

    fxx f x x ( x0,y0 x 0 , y 0 )>0 (A>0)

    [fxx(x0,y0)fyx(x0,y0)fxy(x0,y0)fyy(x0,y0)]>0 [ f x x ( x 0 , y 0 ) f x y ( x 0 , y 0 ) f y x ( x 0 , y 0 ) f y y ( x 0 , y 0 ) ] > 0

    AC- B2 B 2 >0

    则f( x0,y0 x 0 , y 0 )是极小值

    若H( x0,y0 x 0 , y 0 )是负定矩阵

    fxx f x x ( x0,y0 x 0 , y 0 )<0 (A<0)

    [fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)fxy(x0,y0)fyy(x0,y0)]>0 [ f x y ( x 0 , y 0 ) f x y ( x 0 , y 0 ) f y x ( x 0 , y 0 ) f y y ( x 0 , y 0 ) ] > 0

    AC- B2 B 2 >0

    则f( x0,y0 x 0 , y 0 )是极大值

    推广到n元

    z= f(x1,x2,...,xn) f ( x 1 , x 2 , . . . , x n )

    M0(x01,x02,...,x0n) M 0 ( x 1 0 , x 2 0 , . . . , x n 0 )

    f(M0)=0 ∇ f ( M 0 ) = 0

    fx1x1fx2x1...fxnx1fx1y2fx2x2...fxnx2............fx1xnfx2xn...fxnxn>0 [ f x 1 x 1 f x 1 y 2 . . . f x 1 x n f x 2 x 1 f x 2 x 2 . . . f x 2 x n . . . . . . . . . . . . f x n x 1 f x n x 2 . . . f x n x n ] > 0

    若H( M0 M 0 )是正定矩阵,则f( M0 M 0 )是极小值

    若H( M0 M 0 )是负定矩阵,则f( M0 M 0 )是极大值。

    多元函数最值

    定义

    函数f(x,y)在以区域D上的最大(最小)的函数值称为函数在该区域上的最大(最小)值,简称最值。

    最值是个整体概念

    极值是个局部概念。

    函数f(x,y)在一区域D上的最值可以在区域内部渠道(也是极值)。也可以在区别边界取到。

    求法

    1.求出定义域内部可能的极值点

    2.求出定义域的边界上可能的最值点

    3.比较上述各点处函数值的大小,得到最大最小值。

    由于多元函数的定义域边界有无穷多个点,由此,求多元函数的最值比较复杂。如果根据问题知道,最值出现在定义域内部,则可避免边界点的讨论。

    例子

    要做一个容积为V的无盖长方形水箱。问水箱的长宽高各取多大,才能使用料最省?

    面积公式:S=xy+2(xz+yz)

    由xyz=V得z= Vxy V x y

    带入面积公式

    S= xy+2(Vy+Vx)(x<x,y,+) x y + 2 ( V y + V x ) ( x < x , y , + ∞ )

    定义域是开区域,最值在区域内取到

    11.求驻点

    Sx=y2Vx2=0 ∂ S ∂ x = y − 2 V x 2 = 0

    Sy=2Vy2=0 ∂ S ∂ y = − 2 V y 2 = 0

    驻点( 2V3,2V3 2 V 3 , 2 V 3 )

    A= Sxx=4Vx3=2 S x x = 4 V x 3 = 2

    B=Sxy=1 B = S x y = 1

    C=Syy=4Vy3=2 C = S y y = 4 V y 3 = 2

    B2AC=14 B 2 − A C = 1 − 4 <0

    A=2>0

    S取得极小值

    x=2V3,y=2V3,z=vxy=2V32 x = 2 V 3 , y = 2 V 3 , z = v x y = 2 V 3 2 时,最省。

    条件极值及拉格朗日乘数法

    条件极值

    如果对自变量作一定的限制,则相应的极值问题就是条件极值问题。

    上面的水箱例子是将条件极值转化为无条件极值。可以通过拉格朗日乘数法求。

    条件极值必要条件

    函数

    z=f(x,y)

    在条件

    φ(x,y)=0 φ ( x , y ) = 0

    下取得极值的必要条件

    推导:

    z0=f(x0,y0) z 0 = f ( x 0 , y 0 ) 是z=f(x,y)在条件 φ(x,y) φ ( x , y ) =0下的极值

    φ(x,y) φ ( x , y ) =0 确定了一元隐函数y=y(x)

    z=f(x,y(x))

    在点x= x0 x 0 处取得极值

    利用一元函数极值的必要条件求导,并令导数为0

    z=f(x,y(x))

    dzdx=fx1+fydydx=0 d z d x = f x ∗ 1 + f y ∗ d y d x = 0

    fx(x0,y0)+fy(x0,y0)y(x0)=0 f x ( x 0 , y 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) ∗ y ′ ( x 0 ) = 0

    y(x0)=fx(x0,y0)fy(x0,y0) y ′ ( x 0 ) = − f x ( x 0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 )

    隐函数y=y(x)求导

    y(x0)=φx(x0,y0)φy(x0,y0) y ′ ( x 0 ) = − φ x ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 )

    fx(x0,y0)fy(x0,y0)=φx(x0,y0)φy(x0,y0) f x ( x 0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) = φ x ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 )

    fx(x0,y0)φx(x0,y0)=fy(x0,y0)φy(x0,y0) f x ( x 0 , y 0 ) φ x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 )

    即向量{ fx(x0,y0),fy(x0,y0) f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) }和向量{ φx(x0,y0),φy(x0,y0) φ x ( x 0 , y 0 ) , φ y ( x 0 , y 0 ) }平行

    可以写成

    f(x0,y0)//φ(x0,y0) ∇ f ( x 0 , y 0 ) / / ∇ φ ( x 0 , y 0 )

    等价于 λ0 ∃ λ 0 使

    f(x0,y0)=λ0φ(x0,y0) ∇ f ( x 0 , y 0 ) = − λ 0 ∇ φ ( x 0 , y 0 )

    f(x0,y0)+λ0φ(x0,y0)=0 ∇ f ( x 0 , y 0 ) + λ 0 ∇ φ ( x 0 , y 0 ) = 0

    梯度运算法则:

    (f,λφ)=0 ∇ ( f , λ φ ) = 0

    f(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y) f ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y )

    f(x0,y0,λ)=0 ∇ f ( x 0 , y 0 , λ ) = 0

    (x0,y0,λ) ( x 0 , y 0 , λ ) f(x,y,λ) f ( x , y , λ ) 驻点

    所以必要条件为:

    λ0 ∃ λ 0 使 (x0,y0,λ0) ( x 0 , y 0 , λ 0 ) 为拉格朗日函数 (x,y,λ) ( x , y , λ ) 的驻点

    拉格朗日乘子法

    求法

    求函数z=f(x,y)在条件 φ(x,y)=0 φ ( x , y ) = 0 下的极值

    1.作拉格朗日函数

    f(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y) f ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y )

    2.求 f(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y) f ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) 的驻点

    根据多元函数极值的必要条件

    Fx=fx(x,y)+λφx(x,y)=0 F x = f x ( x , y ) + λ φ x ( x , y ) = 0

    Fy=fy(x,y)+λφy(x,y)=0 F y = f y ( x , y ) + λ φ y ( x , y ) = 0

    Fλ=φ(x,y)=0 F λ = φ ( x , y ) = 0 约束条件

    解以上方程组,得驻点 (x0,y0,λ) ( x 0 , y 0 , λ )

    3. (x0,y0) ( x 0 , y 0 ) 便是可能的条件极值点,可根据实际问题判断f (x0,y0) ( x 0 , y 0 ) 为条件极值。

    思路

    利用拉格朗日乘数,将目标函数(二元函数)与约束条件结合起来构造拉格朗日函数(三元函数)

    从而将二元函数的条件极值转成三元函数的无条件极值。

    例子

    要做一个容积为V的无盖长方形水箱。问水箱的长宽高各取多大,才能使用料最省?

    求函数S=xy+2(xz+yz)

    在约束条件

    xyz=V下的最小值

    作拉格朗日函数

    F=xy+2(xz+yz)+λ(xyz-V)

    求F的驻点

    Fx F x =y+2z+λyz=0

    Fy F y =x+2z+λxz=0

    Fz F z =2x+2y+λxy=0

    Fλ F λ =xyz-V=0

    x=y

    z=1/2x

    λx=-4

    x=y= 2V3 2 V 3

    z= 122V3 1 2 2 V 3

    多个约束条件

    函数u=f(x,y,z)

    在两个约束条件

    G(x,y,z)=0

    H(x,y,z)=0

    的极小值

    作拉格朗日函数

    F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λG(x,y,z)+μH(x,y,z)

    求F的驻点就可以得到

    minx min x f(x)

    s.t. hi(x)=0 h i ( x ) = 0 i=1,2,…,m

    构建拉格朗日函数

    L(x,λ)=f(x)+i=1mλihi(x) L ( x , λ ) = f ( x ) + ∑ i = 1 m λ i h i ( x )

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  • 多元函数

    千次阅读 2019-03-16 15:25:32
    多元函数 概念 邻域和去心邻域 内点:存在P的邻域全属于E,则P为E的内点 外点:存在P的邻域与E相交为空集,则P为E的外点 边界点:任意P的邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点,则P为E的边界点 边界:E的所有边界...

    多元函数

    概念

    1. 邻域和去心邻域
    2. 内点:存在P的邻域全属于E,则P为E的内点
    3. 外点:存在P的邻域与E相交为空集,则P为E的外点
    4. 边界点:任意P的邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点,则P为E的边界点
    5. 边界:E的所有边界点的集合
    6. 聚点:P的任意去心领域总有E中的点,则P是E的聚点
      聚点可以属于E,也可以不属于E
      在这里插入图片描述
    7. 开集:E的点全是E的内点,则E为开集
    8. 闭集:E的边界属于E,则E为闭集
    9. 联通集:E的任何两点能用线连接且线属于E,则E为连通集
      联通的闭集不一定是闭区域
    10. 开区域:简称区域。连通的开集为开区域。
    11. 闭区域:开区域连同它的边界称为闭区域。
      在这里插入图片描述
    12. 有界集:存在正数,使平面点集E与坐标原点的距离均小于这个数,则E为有界集
    13. 无界集:任取正数,总存在平面点集E中的一点与原点距离大于这个数,则E为无界集
      不是有界集就是无界集

    二元函数

    定义域、自变量、因变量不介绍了。说实话定义我也看不懂…
    我理解为:由两个自变量的函数。区别于一元函数的一个自变量一个因变量,二元函数需要明确两个量才能被准确表示,比如并联后的电阻等
    由于定义域可由两个自变量的关系得出(比如x+y>0),因此二元函数可以表示一个图形区域而不仅仅是曲线
    注意此时仍是在平面而不是空间
    同理可以构造出多元函数,可形成n维空间

    极限

    二元函数的极限称为二重极限,由x,y分别趋近于两个数表示。
    求法与一元函数类似,可以运用函数的连续性直接带入,更重要的是利用等价无穷小

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  • §8.8 多元函数极值及其求法 一、多元函数的极值 1、多元函数极值定义 设函数在的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的,如果都适合不等式 则称函数在取极大值; 如果都适合不等式 则称函数在取极小...

    §8.8  多元函数极值及其求法

    一、多元函数的极值

    1、多元函数极值定义

    设函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式

    则称函数在点极大值

    如果都适合不等式

    则称函数在点极小值

    极大值与极小值统称为函数的极值;使函数取得极值的点称为极值点

    注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至元函数。

    【例1】讨论下述函数在原点是否取得极值。

    (1)、

    (2)、

    (3)、

    解:由它们的几何图形可知:

    是开口向上的旋转抛物面,在取得极小值;

    是开口向下的锥面,在取得极大值;

    马鞍面, 在不取得极值。

    2、函数取得极值的必要条件

    【定理一】设函数在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即

    【证明】不妨设在点处有极大值。

    依极值定义,点的某一邻域内的一切点适合不等式

    特殊地,在该邻域内取,而的点,也应有不等式

    这表明:一元函数处取得极大值,因而必有

    同理可证

    【注一】当时, 曲面在点处有切平面

    此切平面平行于水平面面。

    例如,在点取得极小值, 它在点处,

    其切平面为

    即        

    此切平面就是(面)。

    使同时成立的点,称为函数驻点

    【注二】定理一表明,可(偏)导函数的极值点必为驻点,反过来,函数的驻点却不一定是极值点。例如,在点不取得极值,但却是驻点。这告诉我们,驻点仅仅是函数可疑的极值点,要判断它是否真为极值点,需要另作判定。

    【注三】偏导数不存在的点也是函数的可疑极值点。

    例如,在点有极大值,但

     不存在。

    当然,也不存在。

    当然,定理一的结论也可推广至元函数。

    3、函数取得极值的充分条件

    【定理二】设函数在点的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,又  ,记

     ,  ,

    则函数在处是否取得极值的条件如下

    (1)、时具有极值,且当时有极大值,

     当时有极小值;

    (2)、时没有极值;

    (3)、时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定。

    对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:

    【例2】求函数的极值。

    解:函数具有二阶连续偏导数, 故可疑的极值点只可能为驻点,

    先解方程组

    求出全部驻点为

    再求二阶偏导数

    在点处,

    函数取得极小值

    在点处,

    函数不取得极值;

    在点处,

    函数不取得极值;

    在点处,

    函数取得极大值 

    二、多元函数的最值

    1、有界区域上连续函数的最值确定

    如果二元函数有界闭区域连续,则在上必定取得最值。使函数取得最值的点既可能在的内部,也可能在的边界上。

    若函数在的内部取得最值,那未这个最值也是函数的极值。而函数取得极值的点使的驻点或使不存在的点。

    若函数在的边界上取得最值,可根据的边界方程,将化成定义在某个闭区间上的一元函数,进而利用一元函数求最值的方法求出最值。

    综合上述讨论,有界闭区域上的连续函数最值求法如下:

    (1)、求出在的内部,使,同时为零的点及使不存在的点;

    (2)、计算出的内部的所有可疑极值点处的函数值;

    (3)、求出的边界上的最值;

    (4)、比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值;最小者便是函数在上的最小值。

    【例3】求二元函数在矩形区域

    上的最值。

    解:

    得驻点,且

    在边界 上,,

     且

    在边界上,   , 则

    在边界 上, , 则 ,

    则 

    在边界上,  , 因

    , 故单调增加, 从而

    比较上述讨论, 有

     为最大值,

     为最小值。

    2、开区域上函数的最值确定

    求函数在开区域上的最值十分复杂。

    但是,当所遇到的实际问题, 据问题的性质可断定函数的最值一定在上取得,而函数在上又只有一个驻点, 那么就可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值。

    【例4】某厂要用铁板做成一个体积为立方米的有盖长方体水箱, 当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能用料最省?

    令 

    解方程组得唯一驻点 ,

    据问题的实际背景, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域内取得,又函数在内只有唯一的驻点, 因此, 可断定当 时, 取得最小值。

    这表明: 当水箱的长、宽、高分别为米时, 所用材料最省, 此时的最小表面积为

    三、条件极值与拉格朗日乘数法

    前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为无条件极值

    但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。

    例如: 求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。

    若设长方体的长宽高分别为,则其表面积为

    这里除了外,还需满足限制条件

    象这类自变量有附加条件的极值称为条件极值

    有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例;但对一些复杂的问题,条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。

    1、函数取得条件极值的必要条件

    欲寻求函数                                     (1)

    在限制条件                                         (2)

    下的取得条件极值的条件。

    函数若是在处取得条件极值,那么它必满足方程(2),即

                                       (3)

    另外,方程(2)可确定一个隐函数,将之代入(1)有

                                      (4)

    这样,函数(1)在取得条件极值,也就相当于函数(4)在处取得无条件极值。

    据一元函数取得极值的必要条件有

                 (5)

    由(2)式有

    代入到第(5)式有

                       (6)

    由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点取得条件极值的必要条件,只是这一式子的形式不够工整,不便于记忆,为此,我们作适当的变形。

    令  ,有

    这三个式子恰好是函数

    的三个偏导数在点的值。

    2、拉格朗日乘数法

    要求函数在限制条件下的可能极值点,可先作拉氏函数

    再解方程组

    求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点

    【注记】拉氏乘数法可推广到一般元函数或限制条件多于一个的情形:

    例如:求    在限制条件

    下的极值。

    作拉氏函数

    解方程组

    这样求出就是可疑极值点的坐标。

     

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  • 文章目录前言多元函数微分学 前言 本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。 如有缺漏错误,...

    前言

    本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。

    如有缺漏错误,欢迎补充指正!

    多元函数微分学

    出题角度大概分为三个类型:

    1. 对多元函数微分各个概念的掌握
    2. 对多元微分计算的掌握
    3. 极值与最值

    (一)概念掌握

    与一元函数微分学相同,学习多元函数微分学将沿着函数→极限→连续→偏导数→可导性→可微性脉络进行学习。出题角度也是从这里面挑一个到多个进行考察。

    既然是考查对概念的掌握,所以多为存在性题目,考察的点也多为零点,需要利用各概念的定义进行求解。

    1)讨论二重极限

    极限形式全部是分数形式,对,我还没有遇到其它形式。但是,有时候(比如判断可微时),可自己构造简单的二元函数,对选项进行排除。

    计算二重极限的思路:

    1. 首先判断二重极限是否存在,利用不同路径判断极限不同或不存在。
    2. 若判断出不存在,结束。如果第一步不能判断出不存在,继续求解。
    3. 有界变量和无穷小量之积为无穷小量。
    4. 夹逼原理,利用基本不等式和带有绝对值的基本不等式放缩。
    5. 转化或看作一元函数极限,利用一元函数极限方法求解。

    2)讨论二元函数连续性

    讨论某一点(95%为零点)连续性,利用定义,即二重极限在该否存在且等于该点的函数值和求解二重极限,即可解出。

    3)讨论二元函数偏导数

    讨论某一点(95%为零点)对于x,y的偏导数是否存在,利用定义,求解一元函数极限,即可解出。

    讨论某一点的偏导数是否连续,求出偏导,再讨论偏导数的连续性。

    4)讨论二元函数可导性

    可导性和偏导数联系紧密,判断可导即判断两个一阶偏导数是否存在。

    另外,在多元函数中,可导不一定连续,连续不一定可导,与一元函数中“可导一定连续,连续不一定可导”有差别。

    连续定义中的极限为二重极限,即x,y可以从任意方向逼近所要求的点。而可导的定义只要求了对x的偏导和对y的偏导,在其它方向没有要求,所以可导不一定连续

    对于“连续不一定可导”可参照一元函数的方法,将z = |x|视为二元函数,在(0,0)处,对x的偏导不存在,z在(0,0)处不可导。z在(0,0)处的二重极限为0,函数值为0,z在(0,0)处连续。

    5)讨论二元函数可微性

    可微性是概念中较难重点的一部分,讨论多元函数的可微性,有必要条件充分条件,但是没有充要条件。讨论可微性主要靠多元函数可微的定义
    必要条件: 两个一阶偏导数在(x,y)处存在。
    充要条件: 两个一阶偏导数(x,y)处连续。
    定义:
    在这里插入图片描述

    (二)多元函数微分计算

    1)具体复合导数

    • 偏导数就把多元函数看作一元函数求解。
    • 如果是特定点的高阶偏导,可以在适当的阶段带入非微分变量具体值,简化计算。
    • 同一函数的两个混合偏导数如果在点(x,y)都连续,那么混合偏导数相等。这是一个很常用的结论,经常在全微分证明题中使用。
    • 在全微分中,可以用第三点求解待定系数。

    2)由偏导数或微分求原函数

    • 逐步求积分,结合题中所给的条件求解。
    • 唯一需要注意的一点是求积分时,如果对y求积分,积分后的常数项应为φ(x)。

    3)抽象多元函数

    • 间接变量和直接变量直接给出的情况,分析变量之间的关系,画出树形图,利用树形图和链式法则求偏导。
    • 间接变量和直接变量没有直接给出的情况,分析各变量之间的关系,必要时交换直接和间接变量或改写原函数中的u,v。一般来说,如果偏导数中对ξ,η变量进行微分,ξ,η应是树形图中的叶节点。
    • 因为是抽象微分,常常与微分方程相联系。
    • 抽象利用求偏微分公式,与题目中提供的条件一起,证明某些结论(难点)。

    4)多元隐函数

    如果F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数,多元函数类似。

    隐函数求偏导主要有以下三种方式:

    1. 利用隐函数求导公式(简洁但容易漏变量之间的关系,只适用于 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,且求解形式不涉及第4个变量,比如 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy d z d x \frac{dz}{dx} dxdz)
    2. 方程两段求导,解出所求偏导数(同上,适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z) F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,求解形式一般涉及等号左边的变量,比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu
    3. 利用微分形式不变性,方程两端微分(相对麻烦但不容易漏掉条件,适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z) F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式.,求解形式一般涉及等号左边的变量,比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu

    使用哪一种方式与搞清楚各变量是否相关相比显得不是很重要。

    1. 如果一个等式中只涉及两个变量,那么必定相关。比如 f ( x , y ) = 0 {f(x,y) = 0} f(x,y)=0, f {f} f x x x求导为 f f f 1 ′ + f 2 ′ d x d y _{1}^{'}+f_{2}^{'}\frac{dx}{dy} 1+f2dydx.
    2. 同理,涉及三个变量的两个等式,可以确定任意变量对其它变量的一元函数。
    3. 如果变量和等式继续增多,一般性方法便是画复合函数中的树形图,帮助理解。
    4. 在抽象函数中,变量之间是否相关同样取决于题目中所要求的量。比如函数x+y+z+u = 0,如果题目中给的是 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z),求 d u du du,那么x,y,z就没有相关关系,u分别与x,y,z有相关关系;如果题目中给的是 z = f ( x , y , u ) {z = f(x,y,u)} z=f(x,y,u),求 d z dz dz,这种情况下x,y,u就没有相关关系,z分别与x,y,u有相关关系。

    (三)极值与最值

    1)求解无条件极值

    求多元函数无条件极值的步骤比较固定,且函数为二元函数且类似 z = z ( x , y ) , z = f ( x , y ) z= z(x,y),z =f(x,y) z=z(x,y),z=f(x,y)形式,可能为复合函数或隐函数。

    z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)为例

    1. f x ′ = 0 , f y ′ = 0 f_{x}^{'} = 0,f_{y}^{'} = 0 fx=0,fy=0,求得所有驻点
    2. 对每个驻点求出二阶偏导数 A = f x x ′ ′ , B = f x y ′ ′ , C = f y y ′ ′ A = f_{xx}^{''} ,B = f_{xy}^{''} ,C = f_{yy}^{''} A=fxx,B=fxy,C=fyy
    3. 利用极值的充分条件,通过 A C − B 2 AC-B^2 ACB2的正负和 A A A的正负判断驻点是否为极值(只适用于二元函数)
    4. 如果 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 ACB2=0,则利用极值的定义判断是否为极值

    2)判断特定点是否为极值点

    这种题型涉及极限多元极值的定义,利用极限可构造 f ( x , y ) = 表 达 式 + o ( p ) f(x,y) = 表达式 + o(p) f(x,y)=+o(p)形式,帮助判断。

    3)条件极值最值问题(拉格朗日乘数法) (重点)

    a. 直接求条件最值

    利用拉格朗日乘数法

    b. 解析几何直接求条件最值
    1. 求出所有可能极值点(驻点和一阶偏导不存在的点)的函数值
    2. 求出有界闭区域边界上的最值
    3. 第一步第二步的所有值进行比较,最大的值即为最大值,最小即为最小值
    c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)

    确定目标函数,将题目中的条件与最值上靠,只要建立起函数与条件函数,接下来就是用拉格朗日乘数法求最值。如果解只有一个,并且问题本身允许极值存在,那么所求最值就在这个唯一可能取得极值的点上取得。

    d. 条件极值证明题(最灵活、最难)

    利用拉格朗日乘数法证明不等式,难点在于证明不等式有多种方法,思考的时候不会一开始就想到条件极值。另外就是目标函数和条件函数也需自己构造。

    关于条件极值的应用题和证明题还比较生疏,包括上一节常微分方程的应用题,需要进行专题复习。

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