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  • 约束条件多元函数极值的充分条件问题通常是采用二阶微分法来判断,该方法原理虽然简单,但计算量大,尤其是随着变量和约束条件个数的增加,要计算出d2 L并判断出其符号就显得更加困难而不可行。文章用Lagrange乘数法...
  • 构造拉格朗日方程:设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0,为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点,先做拉格朗日函数  ,其中λ为参数。 求分别对应的偏导,=0,求出极值点,运算比较...

    拉格朗日乘数法:

    构造拉格朗日方程:设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0,为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点,先做拉格朗日函数

      ,其中λ为参数。

    求分别对应的偏导,=0,求出极值点,运算比较

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  • 多元函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 %% clear f=@(x)x(1)^3-x(2)^3+3*x(1)^2+3*x(2)^2-9*x(1); g=@(x)-f(x); [xmin,ymin]=fminunc(f,rand(2,1)) %求极小值点 [xmax,ymax]=fminsearch(g,rand(2,1)) %求极大值...

    求多元函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值

    %%
    clear
    f=@(x)x(1)^3-x(2)^3+3*x(1)^2+3*x(2)^2-9*x(1);
    
    g=@(x)-f(x);
    [xmin,ymin]=fminunc(f,rand(2,1))   %求极小值点
    [xmax,ymax]=fminsearch(g,rand(2,1)) %求极大值点
    >>>>>>>>>>>>结果>>>>>>>>>>>
    xmin =
        1.0000
       -0.0000
    ymin =
       -5.0000
    xmax =
    
       -3.0000
        2.0000
    ymax =
    
      -31.0000    %这是-f(x)的最小值,即f(x)的最大值为31
    

    下面给出验证f(x)的极小值的过程

    %%
    x=[-2:0.01:2;-2:0.01:2];
    [x,y]=meshgrid(x(1,:),x(2,:));      
    %在三维空间坐标系中先构建xy平面,
    ... x刻画的是x轴的范围-2~2,y刻画的是y轴范围-2~2,形成很多网格坐标
    f=x.^3-y.^3+3*(x.^2)+3*(y.^2)-9*x;     %这里注意是 .^
    mesh(x,y,f)
    
    >>>>>>>>>>>>>下面我们来找f的最小值>>>>>>>>>>>>
    >> min(min(f))
    ans =
    
        -5                      %f的最小值是-5
    >> [row,column]=find(f==-5)
    
    row =
       201
                          %最小值在f矩阵的(201,301)位置
    column =
       301
       
    >> xpois=x(201,301)  
    %x行数是可以任意的,因为其值由列的位置决定
    xpois =
    
         1
    
    >> ypois=y(201,301)
    %y列数是可以任意的,因为其值由行的位置决定
    ypois =
    
         0
    

    函数 f 的图像
    在这里插入图片描述

    %%
    x=[-2:0.1:2;-2:0.1:2];
    [x,y]=meshgrid(x(1,:),x(2,:));      
    %在三维空间坐标系中先构建xy平面,
    ... x刻画的是x轴的范围-2~2,y刻画的是y轴范围-2~2,形成很多网格坐标
    f=x.^3-y.^3+3*(x.^2)+3*(y.^2)-9*x;   %这里注意是 .^
    minval=min(min(f))
    [row,column]=find(f==-5)
    mesh(x,y,f)
    text(x(row,column),y(row,column),minval,'最小值','Fontsize',20,'color','r');
    

    在这里插入图片描述

    L = length(X)
    返回 X 中最大数组维度的长度,返回的是一个数。对于向量,长度仅仅是元素数量。
    对于具有更多维度的数据,长度为 max(size(X))。空数组的长度为零。

    X = rand 返回一个在区间 (0,1) 内均匀分布的随机数.
    X = rand(n) 返回一个 n×n 的随机数矩阵。

    整数:
    X = randi(imax) 返回一个介于 1 和 imax 之间的伪随机整数
    X =randi(imax,n) 返回 n×n 矩阵,其中包含从区间 [1,imax] 的均匀离散分布中得到的伪随机整数。
    r = randi([-5,5],10,1) 生成一个由样本区间 [-5,5] 中均匀分布的随机整数组成的 10×1 列向量

    size(x)
    返回一个行向量,其元素是 A 的相应维度的长度。例如,
    如果 A 是一个 3×4 矩阵,则 size(A) 返回行向量
    [3 4]
    如果 A 是一个 1x4 矩阵,则 size(A) 返回行向量
    [1 4]

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  • 多元函数极值问题

    2020-05-17 22:11:45
    多元函数极值问题 可以分为以下三个方面 无约束极值问题 等式约束条件极值问题 不等式约束条件极值问题 无约束条件多元函数极值

    多元函数极值问题可以分为以下三个方面

    1. 无约束极值问题
    2. 等式约束条件极值问题
    3. 不等式约束条件极值问题

    无约束条件的多元函数极值

    问题描述:假设多元函数f(x_1,x_2,\cdots,x_n)对其所有自变量都连续,且具有连续的一阶和二阶连续偏导数,将所有自变量x_1,x_2,\cdots,x_n记为向量\mathbf x的形式,则问题被描述为求\mathbf x,使得\mathbf x=\mathbf x^*时,f(\mathbf x)达到极小值,记为

    \min_x f(x)

    注:函数极小值时一个相对的概念,定义为:若存在一个\varepsilon >0,由\left | \mathbf x-\mathbf x^* \right |\leq \varepsilon所规定的\mathbf x^*的邻域内总有y(\mathbf x^*)\leq y(\mathbf x),则称点\mathbf x^*是函数y(\mathbf x)的一个相对极小点,简称为极小点。

    无约束条件时的多元函数极小值问题的解\mathbf x^*满足如下必要条件

    \frac{df(\mathbf x)}{d \mathbf x}\left|_{\mathbf x=\mathbf x^*}\right.=0

    \frac{df^2(\mathbf x)}{d \mathbf xd\mathbf x^T}\left|_{\mathbf x=\mathbf x^*}\right.\geq0

    含有等式约束条件的多元函数极值

    问题描述为

    \min_x f(\mathbf x)\\ s.t. \mathbf g(\mathbf x)=0

    其中\mathbf g(\mathbf x)p维的向量变量\mathbf x的向量函数,并假定其连续可微;\mathbf g(\mathbf x)=0为等式约束条件。

    解法:拉格朗日乘子法

    引入拉格朗日乘子\lambda=\left[\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_p \right ]^T,定义拉格朗日函数

    L(\mathbf x,\lambda)=f(\mathbf x)+\lambda^T\mathbf g(\mathbf x)

    求解该极值的必要条件为

    \frac{\partial L(\mathbf x^*,\lambda)}{\partial \mathbf x}=0, \mathbf g(\mathbf x^*)=0\\ \frac{\partial^2L(\mathbf x^*,\lambda)}{\partial x\partial x^T}\geq 0

    含有等式约束条件的多元函数极值

    问题描述为

    \min_x f(\mathbf x)\\ s.t. \mathbf g(\mathbf x)\leq 0

    其中\mathbf g(\mathbf x)p维的向量变量\mathbf x的向量函数,并假定其连续可微;\mathbf g(\mathbf x)\leq 0为不等式约束条件。

    KKT定理:对于上述不等式约束条件下的极值函数问题一定存在p个不同时为零的数\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p满足

    • \lambda^T\mathbf g(\mathbf x^*)=0 \quad \lambda_i\geq 0,i=1,2,\cdots,p
    • \frac{\partial L(\mathbf x^*,\lambda)}{\partial \mathbf x}=\frac{df(\mathbf x^*)}{d\mathbf x}+\sum^p_{i=1}\lambda_i\frac{d\mathbf g_i(\mathbf x^*)}{d\mathbf x}=0
    • \mathbf g_i(\mathbf x^*)\leq 0 \quad i=1,2,\cdots,p

    其中\lambda=\left[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p \right ]^T为KKT乘子向量;L(\mathbf x,\lambda)=f(\mathbf x)+\lambda^T\mathbf g(\mathbf x)为KKT函数。

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  • 多元函数的极值

    万次阅读 2018-08-18 09:59:26
    多元函数的极值 定义 z=f(x,y) (x,y)∈∈\inD,M0(x0,y0)∈D(M0是D的内点),U(M0,δ(域))⊂DM0(x0,y0)∈D(M0是D的内点),U(M0,δ(域))⊂DM_0(x_0,y_0)\in D(M_0是D的内点) ,U(M_0,\delta(域))\subset D 若f(x0,y0x...
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    模拟退火算法解多元函数 题目: F(x)=11.16386−0.0903x1−0.1487x2−0.0664x3+0.09074x4−2.452∗10−4x1x2+6.228∗10−5x1x3+2.457∗10−3x1x4+3.8688∗10−3x2x3−6.471∗10−3x2x4−1.451∗10−3x3x4F(x)=11....
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