结论（一元函数范畴内）

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；

 

这个就不多说了。。。

 

下面是多元函数的关系

 

先上图

很显然函数连续，可导，可微和偏导数连续的关系可以从图中看出

函数连续不一定的函数可微（例子：y=|x|)

函数连续不一定函数可导  （例子：y=|x|当x=0时 y不可导）

函数可导不一定连续

可导指的是偏导数存在,即沿x轴,y轴方向的导数存在（注意只有两个方向）,但是二元函数的连续性是从各个方向,以任何形式来取极限的,所以从这个方面来讲,多元函数可导不一定能保证其连续,如果是可微就可以推出连续,因为可微就考察了所有方向.

 

函数可导不一定可微 这个记住就好

详细可以看：https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962

函数可微不一定偏导数连续

（例：　首先,

　　　　Df(0,0)/Dx = lim(x→0) [f(x,0) - f(0,0)]/x = lim(x→0) xsin(1/x^2) = 0,

　　　　Df(0,0)/Dy = lim(y→0) [f(x,0) - f(0,0)]/y = lim(y→0) ysin(1/y^2) = 0,

其次,记 ρ = √(x^2 + y^2),则

　　　　{f(x,y) - f(0,0) - [Df(0,0)/Dx]Δx - [Df(0,0)/Dy]Δy}/ρ

　    　= ρsin(1/ρ^2) →0 (ρ → 0),

根据全微分的定义,得知函数 f 在 (0,0) 可微.但 Df(x,y)/Dx 和 Df(x,y)/Dy 在 (0,0) 不连续（留给你）.）

 

 

 

 

 

 

 

 

另外：一阶偏导数存在不一定可微，必须要连续才是可微的必要条件

多元函数的可微性见链接

结论（一元函数范畴内）
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；
这个就不多说了。。。
下面是多元函数的关系


先上图
很显然函数连续，可导，可微和偏导数连续的关系可以从图中看出
函数连续不一定的函数可微（例子：y=|x|)
函数连续不一定函数可导  （例子：y=|x|当x=0时 y不可导）
函数可导不一定连续
可导指的是偏导数存在,即沿x轴,y轴方向的导数存在（注意只有两个方向）,但是二元函数的连续性是从各个方向,以任何形式来取极限的,所以从这个方面来讲,多元函数可导不一定能保证其连续,如果是可微就可以推出连续,因为可微就考察了所有方向.
函数可导不一定可微 这个记住就好
详细可以看：https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962
函数可微不一定偏导数连续
（例：　首先,

　　　　Df(0,0)/Dx = lim(x→0) [f(x,0) - f(0,0)]/x = lim(x→0) xsin(1/x^2) = 0,

　　　　Df(0,0)/Dy = lim(y→0) [f(x,0) - f(0,0)]/y = lim(y→0) ysin(1/y^2) = 0,

其次,记 ρ = √(x^2 + y^2),则

　　　　{f(x,y) - f(0,0) - [Df(0,0)/Dx]Δx - [Df(0,0)/Dy]Δy}/ρ

　    　= ρsin(1/ρ^2) →0 (ρ → 0),

根据全微分的定义,得知函数 f 在 (0,0) 可微.但 Df(x,y)/Dx 和 Df(x,y)/Dy 在 (0,0) 不连续
原文：https://blog.csdn.net/tantiao666/article/details/80949734