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  • 多元加权最小二乘法
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    2020-12-03 17:51:20

    Eviews关于加权最小二乘法(WLS)中权重W的问题

    使用Eviews7,多元线性模型中,怎么做进行加权最小二乘法啊?也就是WLS。权重W该怎么求呢?补充:我的变量数据有负数。请详细一点,好吗?

    解答:加权最小二乘法用于处理异方差,对所得结果中的 标准差/(根号下h)=1,所得:1/(根号下h)即为权重W

    不是很明白,我的变量的数据值有负数,不能直接用1/sqr(x).你能说的详细一点吗?

    怎么求WLS中的权重W ?

    权重就是1/sqr(x),标准差不可能是负数。

    变量X中有负数呀,就无法取根号了,也就是说 sqr(X)是不存在了。我的权重已经取了 W=1/resid^2 了

    权重取标准差的倒数,之前的意思不是变量X取根号的倒数为权重

    首先,应用Park检验,令lin2=log(resid^2),然后用最小二乘法做lin2关于x的回归分析,即输入命令:ls lin2 c x。就可以得到lin2关于x的值,再反求出resid,权重w=resid的倒数。

    我表示感谢你看过我的问题并认真指出了教材的页码。不过,我希望得到的回答是在Eviews中作WLS时权重W该如何表示。权重W的学术解释我已经看过了,你能帮我解答一下实际操作Eviews时怎么做吗?

    解答:

    第一步,检验是否有异方差。先对原回归模型做OLS估计,构造残差平方变量resid^2和因变量预测变量yhat及其平方变量yhat2。再将resid^2关于常数、yhat和yhat2作OLS回归,计算或查出该回归方程估计的F检验统计量值,进行F检验。如拒绝,则存在异方差,进行以下第二步;否则,不存在,不需作异方差纠正。

    第二步,在上述检验存在异方差的情况下。具体地,对原回归模型做OLS估计,构造残差平方变量resid^2,再取对数得log(resid^2),将之关于原模型中的解释变量作OLS回归估计(含常数项),得其拟合值变量ghat,再取指数变换exp(ghat),用其倒数1/exp(ghat)作权重,对原模型进行加权最小二乘估计,即将原模型OLS估计中的最小二乘目标函数的一般项乘以1/exp(ghat),或者将原回归模型两端的变量同时除以exp(ghat)的开方再作估计。

    上述步骤用eviews是可以做出来的

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    统计科学之加权最小二乘法

    109064.html张俊红发布于 今天 10:03

    今天这篇来讲讲加权最小二乘法(WLS),加权最小二乘是在普通的最小二乘回归(OLS)的基础上进行改造的,主要是用来解决异方差问题的。

    OLS的常规形式如下:

    da20fef54d2d089dfe21cea4faaced25.png

    我们在前面讲过OLS有几个基本假定,其中一个就是ui是随机干扰项,即随机波动的,不受其他因素的影响,即在x取不同值时var(ui)都是一个固定的常数。但有的时候ui不是随机干扰项,而是与x的取值有关的,比如在研究年龄和工资收入的之间的关系时,随着年龄越大,ui的波动是会越大的,即var(ui)不是常数了,这就是出现了异方差。此时的数据不满足OLS的基本假定,所以如果直接使用OLS进行估计,会使估计出来的结果是有偏的。

    如果我们在估计的时候可以把不同x的对应的ui的大小考虑进去的话,得到的结果应该就是ok的。那我们应该如何考虑进去呢?

    假设不同x对应的ui的波动(方差)为σi^2,我们在OLS基本方程左右两边同时除σi,最后得到如下结果:

    15ff52e66d5f39f11402f9ec65287bad.png

    为了让方程看起来更加熟悉一点,我们再做一个变换:

    b9cdddca893b2e63a6c226b6c7fd3482.png

    变换后的方程是不是就和普通的OLS的方程形式是一样的了,此时的方程也满足基本的OLS假定,因为我们把不同x对应的σi给除掉了。就可以利用普通OLS方程的方法进行求解了。我们把这种变换后的方程称为WLS,即加权最小二乘法。

    虽然整体思路上没啥问题了,但是这里还有一个关键问题就是σi怎么获取呢?

    先用普通最小二乘OLS的方法去估计去进行估计,这样就可以得到每个x对应实际的残差ui,然后将ui作为σi。1/ui作为权重在原方程左右两边相乘,将得到的新的样本值再去用普通最小二乘估计即可。

    以上就是关于加权最小二乘的一个简单介绍。

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    今天这篇来讲讲加权最小二乘法(WLS),加权最小二乘是在普通的最小二乘回归(OLS)的基础上进行改造的,主要是用来解决异方差问题的。

    OLS的常规形式如下:

    da20fef54d2d089dfe21cea4faaced25.png

    我们在前面讲过OLS有几个基本假定,其中一个就是ui是随机干扰项,即随机波动的,不受其他因素的影响,即在x取不同值时var(ui)都是一个固定的常数。但有的时候ui不是随机干扰项,而是与x的取值有关的,比如在研究年龄和工资收入的之间的关系时,随着年龄越大,ui的波动是会越大的,即var(ui)不是常数了,这就是出现了异方差。此时的数据不满足OLS的基本假定,所以如果直接使用OLS进行估计,会使估计出来的结果是有偏的。

    如果我们在估计的时候可以把不同x的对应的ui的大小考虑进去的话,得到的结果应该就是ok的。那我们应该如何考虑进去呢?

    假设不同x对应的ui的波动(方差)为σi^2,我们在OLS基本方程左右两边同时除σi,最后得到如下结果:

    15ff52e66d5f39f11402f9ec65287bad.png

    为了让方程看起来更加熟悉一点,我们再做一个变换:

    b9cdddca893b2e63a6c226b6c7fd3482.png

    变换后的方程是不是就和普通的OLS的方程形式是一样的了,此时的方程也满足基本的OLS假定,因为我们把不同x对应的σi给除掉了。就可以利用普通OLS方程的方法进行求解了。我们把这种变换后的方程称为WLS,即加权最小二乘法。

    虽然整体思路上没啥问题了,但是这里还有一个关键问题就是σi怎么获取呢?

    先用普通最小二乘OLS的方法去估计去进行估计,这样就可以得到每个x对应实际的残差ui,然后将ui作为σi。1/ui作为权重在原方程左右两边相乘,将得到的新的样本值再去用普通最小二乘估计即可。

    以上就是关于加权最小二乘的一个简单介绍。

    展开全文
  • 接着之前写的第一章写,这次用python来实现加权最小二乘。 一、用随机数据进行最小二乘法拟合 我们先随机取一些数据,这里用python的随机数函数实现。 import numpy as np import pandas as pd import ...

    前言

    接着之前写的第一章写,这次用python来实现加权最小二乘。

    一、用随机数据进行最小二乘法拟合

    我们先随机取一些数据,这里用python的随机数函数实现。

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import statsmodels.api as sm
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    
    np.random.seed(1)                  #随机数的标记,这里编号为1,规定这个之后,随机数就只生成一次,之后就会固定,除非seed的参数改变。
    x=np.random.uniform(-5,5,35)       #生成从-5到5的随机数记为x,共35个
    e=2*np.random.randn(35)            #randn返回满足标准正态分布的随机值,我们将这个随机值的二倍看做随机产生的误差,存在e中
    y=2*x
    plt.plot(x,y,'ro')                 #画出没有误差的散点图
    y=2*x+e
    plt.plot(x,y,'bo')                 #画出有误差的散点图
    

    输出如图所示:
    在这里插入图片描述
    其中红点是准确值(横轴坐标值的二倍),而蓝点是带有误差的值(这些误差是我们刚才生成的)

    再去掉红点,直接变为y=2*x的红线,用一般最小二乘拟合一下。

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import statsmodels.api as sm
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    
    np.random.seed(1)
    x=np.random.uniform(-5,5,35)
    e=2*np.random.randn(35)
    
    y=2*x
    #plt.plot(x,y,'ro')
    plt.plot(x,2*x,'r--')
    y=2*x+e
    
    plt.plot(x,y,'bo')
    sns.regplot(x,y)
    
    

    输出如下:
    在这里插入图片描述
    蓝色线条是对y=2x加上正态分布的误差之后,再用一般最小二乘法拟合得到的。红色为y=2x,可以看到,二者是接近的。

    在学习的过程中,可以在python中自己编写代码用随机数据进行试验,以此加深对知识的理解。

    二、加权最小二乘法

    普通最小二乘法认为各个数据是平等的,但事实上常常并非如此,比如不同仪器的测量精度不同,或者我们会倾向于认为离当前时间近的测量值会更加准确。对于这样的数据的不平等性,我们就采用“加权最小二乘法”来提高拟合精度。即给更重要的数据更高的权重。

    接着(一)中的数据,我们对其进行一些改动,将第25到35个样本的误差扩大,代码如下:

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import statsmodels.api as sm
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    
    np.random.seed(1)
    x=np.random.uniform(-5,5,35)
    e=2*np.random.randn(35)
    
    y=2*x
    #plt.plot(x,y,'ro')
    plt.plot(x,2*x,'r--')
    y=2*x+e
    
    for i in range(25,35): #这个for语句将后面的25到35的样本误差扩大了三倍
        y[i]+=3*e[i]
    plt.plot(x,y,'bo')
    

    结果如下图所示:
    在这里插入图片描述
    我们发现,一些点相较于上一张图更加偏离了红线。值得注意的是,更加偏离虽然是样本的最后十个点,但它们并不集中在右侧,这是因为x是随机取值,不一定按照从小到大顺序排列。
    我们这时对代码稍作修改,在随机生成x后执行语句x.sort(),其它语句不变,即得到下图:
    在这里插入图片描述
    可以直观地看到,图的右边的误差显然更大,此时再调用一般最小二乘拟合语句,会有如下效果:
    在这里插入图片描述
    我们发现拟合曲线与准确值(红线)偏差较大

    接下来我们用加权最小二乘法对数据进行拟合,方法如下(方法引自其它博客):
    最小二乘法,求解最佳回归系数。
    在这里插入图片描述
    其中 W 为权重矩阵(对角阵):
    在这里插入图片描述
    求解:(详细过程类似于线性回归求解过程)
    在这里插入图片描述
    这三幅公式图为CSDN博主「_zZhe」的原创,在此处这三幅图是转载,原图链接
    https://blog.csdn.net/z_feng12489/article/details/80213739

    接下来就是根据上面的算法的求解代码:

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import statsmodels.api as sm
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    
    np.random.seed(1)
    x=np.random.uniform(-5,5,35)
    e=2*np.random.randn(35)
    x.sort()
    y=2*x
    
    plt.plot(x,2*x,'r--')
    y=2*x+e
    
    
    for i in range(25,35):
        y[i]+=3*e[i]
    plt.plot(x,y,'bo')
    ans=[[0],[0]]               #用于存放结果
    lenx=len(x)
    
    #首先我们需要将x由数组转化为矩阵,并给x加上一列1,新的矩阵记为x2
    x2=np.array(x).reshape(lenx,1) #先将x转化为单行的矩阵,与之前的区别在于之前x的元素为变量,现在的x2的元素为一维数组,例:
    #原来:x=[x1,x2,x3]
    #现在:x2=[[x1],[x2],[x3]]
    y2=np.array(y).reshape(lenx,1)#对y进行同样操作
    #接下来要给x前面增加一列1
    #print('???')
    add=np.zeros((lenx,1)) #先生成具有lenx个子数组且子数组元素为一个0的二维数组,例:
    #[[0],[0],[0]]
    for i in range(lenx):  #因为上面要求的是一列1,故而把0改成1
        add[i][0]=1
    #print(add)
    x3=np.hstack((add,x2)) #用np.hstack将add和x2进行拼接,例:
    #[[1,x1],[1,x2],[1,x3]]
    matx=np.mat(x3)          #再将x3转化为矩阵以方便进行矩阵运算,当然x3这样的array数组也可以进行矩阵运算(借助dot函数),但是比较麻烦,mat形式的直接用乘号即可)
    maty=np.mat(y2)
    ans=[[0],[0]]
    ans=np.mat(ans)        #用来存放答案的矩阵
    t=2                    #加权参数,对应上面第二张图公式里的分母2t^2的t
    w=np.mat(np.eye((lenx))) #生成一个对角阵(这里是 单位矩阵)作为w(也就是权重矩阵)
    #for i in range(lenx):  #对权重矩阵对角线上的数据进行处理
    
    avey=y.mean()
    minn=20
    kk=0
    for i in range(lenx):
        if abs(y[i]-avey)<minn:
            minn=abs(y[i]-avey)
            kk=i
    
    test_point=kk           #这里要选取的是y值距离y平均值最近的样本对应的x值.
    #print('???')
    #print(kk)
    for i in range(lenx):
        buf=x3[test_point]-matx[i,:] #这里的中间变量buf是一个lenx行两列的矩阵,每行第一个元素存放测试点的x值,第二个元素存放着测试点x值与x各元素的差
        w[i,i]=np.exp(buf*buf.T/-2*t**2) #对权重矩阵的运算,即上面第二幅图的公式,这里有一个技巧,就是用矩阵的乘法来进行了平方运算
        #print(buf)
        #print('???')
        #print(buf*buf.T)                #测试数据
    ans=(matx.T*(w*matx)).I*(matx.T*(w*maty))#即对上面第三幅图的公式的计算
    #print('<><><><><>')
    #print(ans)
    #print(matx.T)       #测试点
    
    
    ans=ans.getA().tolist() #算出ans之后,将其转化为列表
    ansx=[x[0],x[lenx-1]]
    ansy=[]
    ansy.append(ans[0][0]+ans[1][0]*ansx[0])
    ansy.append(ans[0][0]+ans[1][0]*ansx[1])
    plt.plot(ansx,ansy,'g-')
    
    

    运行结果如下:
    在这里插入图片描述
    与之前拟合的对比
    在这里插入图片描述

    作者

    Bowen

    展开全文
  • 为了解决这个问题,我们采用加权最小二乘法(WLS)的方法来估计模型参数,即在模型拟合时,根据数据变异程度的大小赋予不用的权重,对于变异程度较小,测量更准确的数据赋予较大的权重,对于变异程度较大,测量不稳定...

    436f1d43f4a08b8e2f691e1632b8cbb0.png

    01 研究问题

    在构建多重线性回归模型时,需要满足4个条件:因变量与自变量之间存在线性关系(Line),各观测值之间相互独立(Independence),残差近似正态分布(Normality),残差的方差齐(Equal variance),即LINE原则。如果不满足方差齐性时,应该如何解决?

    首先如何判断残差的方差齐?即残差的大小不随预测值水平的变化而变化,通常在分析残差的时候,可以通过绘制普通残差或者标准化残差与预测值的散点图进行判断。若残差方差齐,则如下图中a的情况,不论预测值的大小,残差都具有相同的分布,其不随预测值的变化而变化。而如果残差不齐,则如下图b所示,残差的分布随着变量的取值的增大而呈现扩散趋势。

    40525c0d82882c9b24f2bbfe7d2e985d.png

    02 方法说明

    在多重线性回归中,我们采用的是普通最小二乘法(OLS)估计参数,对模型中每个观测点是同等看待的。但是在有些研究问题中,例如调查某种疾病的发病率,以地区为观测单位,地区的人数越多,得到的发病率就越稳定,因变量的变异程度就越小,而地区人数越少,得到的发病率就越大。在这种情况下,因变量的变异程度会随着自身数值或者其他变量的变化而变化,从而不满足残差方差齐性的条件。

    为了解决这个问题,我们采用加权最小二乘法(WLS)的方法来估计模型参数,即在模型拟合时,根据数据变异程度的大小赋予不用的权重,对于变异程度较小,测量更准确的数据赋予较大的权重,对于变异程度较大,测量不稳定的数据则赋予较小的权重,从而使加权后回归直线的残差平方和最小,确保模型有更好的预测价值。

    03 加载数据

    某研究人员研究PM2.5浓度与癌症发病率之间的关联性,以地区为观测单位,收集40个地区的癌症发病率,PM2.5年平均浓度,人口数量(万),地区来源(农村=0,城市=1)等信息。(数据为模拟数据)

    4007494d3319e914474410a5ef39ea3a.png

    04 方差齐检验

    dt <- read.csv('data.csv',stringsAsFactors=F)
    fit <- lm(dt$Cancer~.,data=dt)  #构建多元线性回归
    #图形可视化展示
    plot(rstandard(fit)~fitted(fit),xlab='y_fit',ylab = 'y.rst',main='fit')
    #采用car包中ncvTest()检验
    car::ncvTest(fit)  ##p = 0.025278 

    a03cc7ccdbeabfbcb8da7833e3689aa0.png

    由上图左一可看出,标准化残差的变异程度会随着预测值的增大而增大,呈现扩散趋势,表明残差不满足方差齐性的假设。同时,我们采用函数来检验方差是否恒定,结果P值<0.05,表明不满足方差不变的假设。因此需要优化模型。

    05 构建加权最小二乘法模型

    AIC_ <- c();ID <- c()
    for(i in seq(0,5,0.5)){
    fit.w <- lm(Cancer~.,weights = 1/Population^i,data = dt)
    AIC_ <- c(AIC_,AIC(fit.w));ID <- c(ID,i)}
    i <- ID[which.min(AIC_)] ##i =2.5
    fit.w <- lm(Cancer~PM2.5+Population+District,weights = 1/Population^i,data = dt)
    #做残差图
    plot(rstandard(fit.w)~fitted(fit.w),xlab='y_fit',ylab = 'y.rst',main='fit.w')
    car::ncvTest(fit.w) #p = 0.70338
    AIC(fit,fit.w)  ##426.61;413.84

    根据专业知识和经验判断,Population可能是导致残差不满足方差齐性的重要因素,因此需要对该变量进行加权。由于残差随着预测值增大而增大,因此作一个for循环,幂指数i从0到5,步长为0.5,用来定义weights参数中权重变量的指数,一共构建11个方程,根据AIC选择最优的拟合指数。

    结果显示幂指数为2.5的时候AIC值最小,以此指数构建的模型残差图如上图右一所示,残差不随预测值的变化而变化,且函数检验的方差P>0.05,说明残差满足方差齐性的检验。同时,对比两个模型的AIC值,可发现校正后的模型AIC值变小,说明该模型优于原模型。

    06 模型结果

    本例模型结果显示PM2.5平均浓度、不同地区来源(District)和不同人口数量对癌症的发病率的影响都有统计学显著性(P<0.05),其偏回归系数较普通最小二乘法更为稳健。

    #Coefficients:
    #             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    #(Intercept) -501.2529   151.2624  -3.314  0.00211 ** 
    #PM2.5          4.5189     1.4006   3.226  0.00267 ** 
    #Population     1.1607     0.1983   5.854 1.09e-06 ***
    #District      30.5269    11.9389   2.557  0.01492 *
    #
    #Residual standard error: 0.1334 on 36 degrees of freedom
    #Multiple R-squared:  0.7889,  Adjusted R-squared:  0.7714 
    #F-statistic: 44.86 on 3 and 36 DF,  p-value: 3.018e-12

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  • #异方差的处理方法,取对数,加权最小二乘法 lm.lg(log(y)~log(x),data=data5.1)#取对数 e(lm1)$resid lm.weight(y~x,data=data5.1,weight=1/abs(e))#加权最小二乘法 summary(lm.weight) 这里系数对应到公式里应该...
  • 比如 =0.3) 线性回归模型的R方 线性模型可以理解为“以最小化R方为目标,寻找y和x之间的最优线性关系”。 学过线性回归的人,估计都会知道用R方评估模型的拟合程度。此处R方定义和上述一样,度量的是根据X拟合得到...
  • 最小二乘法也被称作最小平方法,最常用的是普通最小二乘法(Ordinary Least Square),它是一种数学中的优化方法,试图找到一个或一组估计值,使得实际值与估计值的尽可能相似,距离最小,目的是通过已有的数据来...
  • 多元多项式的公式如图,现在有n个数据(x,y,f(x,y))来拟合这个多项式,用最小二乘法,具体程序如下面的代码 Z=xlsread('Linton.xlsx'); x=Z(:,1);%x的数据,为风速,范围是0到40 y=Z(:,2);%y的数据,为风向,范围是...
  • SPSS加权最小二乘估计的实现

    千次阅读 2020-12-25 16:16:05
    多元加权最小二乘估计 选择“分析”-“回归”-“线性” 选入自变量与因变量 选择“保存”,在“残差”中将“未标准化”选中 选择“转换”-“计算变量” 输入如下公式,点击“确定” 选择“分析”-“相关”-“双变量...
  • 最小二乘法

    2022-01-13 14:57:07
    最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
  • 最小二乘法 python实现

    千次阅读 2021-05-17 13:01:56
    最小二乘法适用于对处理的一堆数据,不必精确的经过每一点,而是根据图像到每个数据点的距离和最小确定函数。 最小二乘法逼近的最简单的例子是根据一组观测值对(x1,y1),(x2,y2)…(xn,yn)来拟合一条直线。直线的数学...
  • Python实现加权最小二乘模型
  • matlab软件在拟合数据时使用最小二乘法。拟合需要一个参数模型,该模型将因变量数据与具有一个或多个系数的预测数据相关联。拟合过程的结果是模型系数的估计。 为了获得系数估计,最小二乘法最小化残差的平方和。第...
  • 多元回归&最小二乘

    2019-09-15 23:43:01
    最小二乘和回归分析的区别: 最小二乘法是在模型确定的情况下对未知参数由观测数据来进行估计,而回归分析则是研究变量间相关关系的统计分析方法。 ...
  • 一文速学-最小二乘法曲线拟合算法详解+项目代码

    多人点赞 热门讨论 2022-07-29 16:08:52
    我们需要使这条直线到各个数据点之间的误差最小且更可能的逼近,那么宏观来看该算法应该是全局最优算法,所以根据此我们使用最小二乘法来拟合离散的点尽可能使这些数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。...
  • 机器学习十大经典算法之最小二乘法

    万次阅读 多人点赞 2020-07-17 22:02:44
    最小二乘法概述 最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为...
  • 最小二乘滤波器是一种保边滤波器,其目标是是滤波结果尽可能接近原图,同时在梯度较小区域尽可能平滑,而强梯度的边缘部分尽可能保持。记原图为,待求解的滤波结果为,、分别为x和y方向梯度的权值矩阵,则损失函数可...
  • 异方差性以及加权最小二乘优化

    万次阅读 多人点赞 2017-03-01 09:00:14
    异方差性(heteroscedasticity )是相对于同方差而言的。所谓同方差,是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质,经典线性...对于异方差性的回归问题,需要用到加权最小二乘法。 以下内容转自:https://zhua
  • 4.2非线性最小二乘法:NLS

    千次阅读 2019-12-23 22:03:16
    当退化模型可以写成未知参数的线性结合的形式时,去找到未知参数的回归过程就被称为是线性最小二乘法;当退化模型的参数是模型参数的非线性结构时,这回归过程被称为非线性最小二乘法。换句话说,与模型参数或系数...
  • 最小二乘法及其C++实现

    万次阅读 2017-03-19 17:05:18
    监督学习中,如果预测的变量是...如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面,对于多维空间线性

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