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  • 矩、协方差矩阵、多元正态分布的性质矩一元矩二元矩n元随机变量 X的数学期望(向量)n元随机变量 X~\widetilde{X}X的协方差矩阵n元正态随机变量的联合概率密度的矩阵表示n元正态随机变量的四条重要性质例1例2 ...

    一元随机变量的矩,混合矩

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    二元矩

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    n元随机变量 X的数学期望(向量)

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    n元随机变量 X~\widetilde{X}的协方差矩阵

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    协方差的矩阵展开说明

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    协方差矩阵的性质

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    例 正态分布的协方差

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    n元正态随机变量的联合概率密度的矩阵表示

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    n元正态随机变量的四条重要性质

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    前三条说,正态分布在线性意义下,分块,分块重组,它的正态性是保持不变的。
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    例1

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    例2

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  • 1. k阶(原点)矩和k阶中心矩定义 ...4. n元随机变量的协方差矩阵定义 5. n元正态随机变量联合概率密度矩阵表示 6. n元正态随机变量四条重要性质 7. 示例 ...

     

    1. k阶(原点)矩和k阶中心矩的定义

     

    2. k+l阶混合(原点)矩和k+l阶混合中心矩的定义

     

    3. n元随机变量的数学期望(向量)的定义

     

    4. n元随机变量的协方差矩阵的定义

     

    5. n元正态随机变量的联合概率密度的矩阵表示

     

    6. n元正态随机变量的四条重要性质

     

    7. 示例

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  • 对于一维随机变量直接用方差即可衡量随机变量x与其期望E(x)偏离程度,对于多维随机变量X,需要用一个矩阵来表示偏离程度,矩阵对角线是每个维度自己方差,对角线以外表示不同维度之间的协方差,所以协方差...

    协方差矩阵

    对于一维随机变量直接用方差即可衡量随机变量x与其期望E(x)的偏离程度,对于多维随机变量X,需要用一个矩阵来表示偏离程度,矩阵的对角线是每个维度自己的方差,对角线以外表示不同的维度之间的协方差,所以协方差矩阵是实对称矩阵。

    协方差矩阵的计算公式

     

    所以有如下性质:

    如果随机向量Y=PX,其中XY为随机向量,P为矩阵(方阵)

    也就是

    多元高斯分布

    一元高斯分布概率密度函数如下:

    多元高斯分布为:

    具体推导过程可以参考:https://zhuanlan.zhihu.com/p/36522776

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/58987388

    主要的更改是把方差换成了协方差矩阵,2的次方换成n次,n为X向量的维数。

     

    如果协方差矩阵是对角阵,则X向量的每一维彼此独立,互相概率不影响,高维的不好想象可以想象二维的,此时X随机变量的概率密度函数是一个立体的高斯,其平行于坐标平面的截面是一个圆。

    如果协方差矩阵除对角线外其他位置为非零,则X向量存在彼此不独立的维,拿二维举例,此时X随机变量的概率密度函数是一个立体的高斯,其平行于坐标平面的截面是一个椭圆,且椭圆的长轴不与坐标轴平行,即椭圆是倾斜的。

    根据线性代数的知识可知,由于协方差矩阵为实对称矩阵,所以必定可以用单位正交矩阵相似对角化,根据Y=PX,则,可知,只需要求出协方差矩阵的特征值,并进一步求出单位正交矩阵P,就可以将X向量转换为Y向量,此时Y向量的协方差矩阵Cov(Y)就是经过Cov(X)相似对角化所得,所以是对角阵,所以Y向量的每个维度相互独立,也就是X向量可以经过线性变换由每个维度相互不独立转换成相互独立,对于二维来说,就是概率密度函数的截面由倾斜的椭圆转换成不倾斜的椭圆。

    另外协方差矩阵为非负定矩阵,也就是半正定阵(正定的定义见https://blog.csdn.net/xiaoyink/article/details/103059397),证明如下:

    第二行左边乘以一个向量的转置,右边乘以一个向量,是参考正定的定义来的,只要证明其结果大于等于0,即为半正定阵,

    最后的结果中是一个数,转置之后还是一个数,所以相当于求一个数平方的期望,肯定是大于等于0的,所以为半正定阵。

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  • 多元正态分布的性质和定理

    千次阅读 2018-04-11 22:38:56
    X_n]^T服从多元高斯分布,均值为μ∈Rnμ∈Rn\mu \in R^n(这里μμ\mu是一个n维向量),协方差矩阵为Σ∈S++nΣ∈S++n\Sigma \in {S_{++}}^n ,(S++nS++n{S_{++}}^n 是对称正定矩阵),概率密度函数: p(x;μ,Σ)...

    多元高斯分布

    向量随机变量X=[X1...Xn]TX=[X1...Xn]T服从多元高斯分布,均值为μRnμ∈Rn(这里μμ是一个n维向量),协方差矩阵为ΣS++nΣ∈S++n,(S++nS++n是对称的正定矩阵),概率密度函数:

    p(x;μ,Σ)=1(2π)n2|Σ|12exp(12(xμ)TΣ1(xμ))p(x;μ,Σ)=1(2π)n2|Σ|12exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))

    单变量高斯分布的密度函数:

    p(x;μ,σ2)=1(2π)12σexp(12σ2(xμ)2)p(x;μ,σ2)=1(2π)12σexp(−12σ2(x−μ)2)

    系数1(2π)12σ1(2π)12σ是一个不依赖x的常量,可以简单看做正则化因子(normalization foctor)确保:

    1(2π)12σexp(12σ2(xμ)2)=1∫−∞∞1(2π)12σexp(−12σ2(x−μ)2)=1

    推广到多元高斯分布,即1(2π)n2|Σ|121(2π)n2|Σ|12也是一个不依赖向量X的常数,做为正则化因子:

    1(2π)n2|Σ|12...exp(12(xμ)TΣ1(xμ))1(2π)n2|Σ|12∫−∞∞∫−∞∞...∫−∞∞exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))


    • 协方差矩阵ΣΣ是一个n×nn×n矩阵,(i,j)位置代表Cov[Xi,Xj]Cov[Xi,Xj]

    命题1:对任意均值为μμ,协方差矩阵为ΣΣ的随即向量X,有:

    Σ=E[(Xμ)(Xμ)T]=E[XXT]μμTΣ=E[(X−μ)(X−μ)T]=E[XXT]−μμT

    命题2:协方差矩阵ΣΣ是对称半正定的矩阵。(证明略)
    到此,还为了协方差矩阵的逆存在,所以该矩阵是满秩;又有满秩的对称半正定矩阵都是对称正定矩阵。


    • 若协方差矩阵是对角矩阵的情况,结论:

    对角协方差矩阵其多元高斯分布是各单变量高斯分布的积。

    协方差矩阵非对角化的情况,结论:
    定理 1:XN(μ,Σ)X∼N(μ,Σ),μRnμ∈RnΣS++nΣ∈S++n,存在矩阵BRn×nB∈Rn×n,定义Z=B1(Xμ)Z=B−1(X−μ),有ZN(0,I)Z∼N(0,I)

    • Z可以认为是n个独立标准正态随机变量的集合,即ZiN(0,1)Zi∼N(0,1);也有X=BZ+μμ
    • 该定理指出,任何具有多元高斯分布的随机变量X都可以做为将线性变换(X=BZ+μμ)应用于n个独立标准正态随机变量(Z的每个分量ZiZi)的结果。
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  • 机器学习算法:多元高斯模型

    千次阅读 2019-02-11 21:38:57
    本文结构如下: ...多元正态分布也叫多元高斯分布,这个分布两个参数分别是平均向量 和一个协方差矩阵  其中: ,且是对称、半正定。 若 ,则其概率密度是: 下面用python进行可视化多元正...
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    2020-07-07 16:31:22
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  • 条件高斯分布

    千次阅读 2016-03-16 09:31:50
    多元高斯分布一个重要性质是如果两个变量集是联合高斯分布,那么其中一个基于另一个变量集上条件分布仍然是高斯分布。边缘高斯分布也有类似结论。 考虑第一种情形条件高斯分布。假设X是一个满足高斯分布D维...
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  • 现代统计学与SAS应用

    2008-12-01 14:52:34
     第3节 多元协方差分析应用举例 第4章 直接试验设计与回归分析  第1节 回归分析试验设计方法发展  第2节 各因素水平数相同时直接试验设计  第3节 各因素水平数不同时直接试验设计  第4节 ...
  • pytorch教程

    2019-01-18 00:34:18
    直观上就是将一个多元高斯分布转化到了一个0均值、协方差为1的多元高斯分布。  白噪声处理增强数据中噪声,因为其增强了数据中所有维度。 在实际处理中,中心化和标准化都特别重要,但是白噪声和PCA在卷积...

空空如也

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多元协方差的性质