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2021-08-05 17:35:22
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn import datasets from sklearn.linear_model import LinearRegression from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.metrics import mean_squared_error class Linear_Regression(): def __init__(self): self.lr = 0.01 self.num_iter = 500 self.w = None def fit(self,X,y): X = np.hstack((X,np.ones(X.shape[0]).reshape(-1,1))) print(X.shape) self.w = np.linalg.pinv(X.T @ X) @ X.T @ y def predict(self,X): X = np.hstack((X,np.ones(X.shape[0]).reshape(-1,1))) y_pred = X @ self.w return y_pred if __name__ == '__main__': X, y = datasets.load_boston(return_X_y=True) # X = np.mat(X) # y = np.mat(y).reshape(-1,1) print(X.shape) print(y.shape) model = LinearRegression() LR_MSE_list = [] ND_MSE_list = [] for _ in range(10): X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.3) model = Linear_Regression() model.fit(X=X_train, y=y_train) y_pred = model.predict(X=X_test) print(mean_squared_error(y_true=y_test, y_pred=y_pred)) model_1 = LinearRegression() model_1.fit(X=X_train, y=y_train) y_pred = model_1.predict(X=X_test) print("diaobao::",mean_squared_error(y_true=y_test, y_pred=y_pred)) break
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- 多元回归的一般式
y ^ ( θ , x ) = θ 0 + θ 1 x 1 + … + θ p x p \hat{y}(\theta, x)=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1}+\ldots+\theta_{p} x_{p} y^(θ,x)=θ0+θ1x1+…+θpxp
其中:
y ^ \hat{y} y^:预测值θ 0 , θ 1 , … θ p \theta_{0}, \theta_{1}, \ldots \theta_{p} θ0,θ1,…θp:参数
x 0 , x 1 , … x p x_{0}, x_{1}, \ldots x_{p} x0,x1,…xp:自变量
- 方程的拟合思路
最小二乘法
- 通过求导求极值解法
下面通过一元线性回归模型做推导:
样本回归模型:
y ^ i = β ^ 0 + β ^ 1 x i \hat{y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1} x_{i} y^i=β^0+β^1xi
残差平方和(损失函数):
Q = ∑ i = 1 n e i 2 = ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 = ∑ i = 1 n ( y i − β ^ 0 − β ^ 1 x i ) 2 Q=\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{\beta}_{0}-\hat{\beta}_{1} x_{i}\right)^{2} Q=i=1∑nei2=i=1∑n(yi−y^i)2=i=1∑n(yi−β^0−β^1xi)2
通过使得Q最小时的参数确定直线,即把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数
{ ∂ Q ∂ β ^ 0 = 2 ∑ i = 1 n ( y i − β ^ 0 − β ^ 1 x i ) ( − 1 ) = 0 ∂ Q ∂ β ^ 1 = 2 ∑ i = 1 n ( y i − β ^ 0 − β ^ 1 x i ) ( − x i ) = 0 \left\{\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial \hat{\beta}_{0}} &=2 \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{\beta}_{0}-\hat{\beta}_{1} x_{i}\right)(-1)=0 \\ \frac{\partial Q}{\partial \hat{\beta}_{1}} &=2 \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{\beta}_{0}-\hat{\beta}_{1} x_{i}\right)\left(-x_{i}\right)=0 \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧∂β^0∂Q∂β^1∂Q=2i=1∑n(yi−β^0−β^1xi)(−1)=0=2i=1∑n(yi−β^0−β^1xi)(−xi)=0
解得:
β ^ 1 = n ∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i n ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2 \hat{\beta}_{1}=\frac{n \sum x_{i} y_{i}-\sum x_{i} \sum y_{i}}{n \sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}} β^1=n∑xi2−(∑xi)2n∑xiyi−∑xi∑yi
β ^ 0 = ∑ x i 2 ∑ y i − ∑ x i ∑ x i y i n ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2 \hat{\beta}_{0}=\frac{\sum x_{i}^{2} \sum y_{i}-\sum x_{i} \sum x_{i} y_{i}}{n \sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}} β^0=n∑xi2−(∑xi)2∑xi2∑yi−∑xi∑xiyi
其中:
β ^ 0 = y ˉ − β ^ 1 x ˉ \hat{\beta}_{0}=\bar{y}-\hat{\beta}_1 \bar{x} β^0=yˉ−β^1xˉ
β ^ 1 = ∑ i = 1 n x i y i − n x y ‾ ∑ i = 1 n x i 2 − n x ˉ 2 \hat{\beta}_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^2-n \bar{x}^{2}} β^1=∑i=1nxi2−nxˉ2∑i=1nxiyi−nxy
- 通过矩阵求解
定义:
h θ ( x 1 , x 2 , … x n − 1 ) = θ 0 + θ 1 x 1 + … + θ n x n − 1 h_{\theta}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n-1}\right)=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1}+\ldots+\theta_{n} x_{n-1} hθ(x1,x2,…xn−1)=θ0+θ1x1+…+θnxn−1
现在有m个样本,每个样本有n−1维特征将所有样本点代入模型中得:h 1 = θ 0 + θ 1 x 1 , 1 + θ 2 x 1 , 2 + … + θ n − 1 x 1 , n − 1 h 2 = θ 0 + θ 1 x 2 , 1 + θ 2 x 2 , 2 + … + θ n − 1 x 2 , n − 1 ⋮ h m = θ 0 + θ 1 x m , 1 + θ 2 x m , 2 + … + θ n − 1 x m , n − 1 \begin{array}{l} h_{1}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1,1}+\theta_{2} x_{1,2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{1, n-1} \\ h_{2}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{2,1}+\theta_{2} x_{2,2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{2, n-1} \\ \vdots \\ h_{m}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{m, 1}+\theta_{2} x_{m, 2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{m, n-1} \end{array} h1=θ0+θ1x1,1+θ2x1,2+…+θn−1x1,n−1h2=θ0+θ1x2,1+θ2x2,2+…+θn−1x2,n−1⋮hm=θ0+θ1xm,1+θ2xm,2+…+θn−1xm,n−1
为方便用矩阵表示令 x 0 = 1 x_0 = 1 x0=1于是上述方程可以用矩阵表示为:
h = X θ \mathbf{h}=\mathbf{X} \theta h=Xθ
其中,h为m x 1的向量, 代表模型的理论值,θ 为n x 1的向量,X为 m x n维的矩阵,m代表样本的个数,n代表样本的特征数,于是目标损失函数用矩阵表示为:J ( θ ) = ∥ h − Y ∥ 2 = ∥ X θ − Y ∥ 2 = ( X θ − Y ) T ( X θ − Y ) J(\theta)=\|\mathbf{h}-\mathbf{Y}\|^{2}=\|\mathbf{X} \theta-\mathbf{Y}\|^{2}=(\mathbf{X} \theta-\mathbf{Y})^{T}(\mathbf{X} \theta-\mathbf{Y}) J(θ)=∥h−Y∥2=∥Xθ−Y∥2=(Xθ−Y)T(Xθ−Y)
关于矩阵的求导补充以下知识点:
∂ x T a ∂ x = ∂ a T x ∂ x = a ∂ x T A x ∂ x = A x + A T x \begin{aligned} \frac{\partial x^{T} a}{\partial x} &=\frac{\partial a^{T} x}{\partial x}=a \\ \frac{\partial x^{T} A x}{\partial x} &=A x+A^{T} x \end{aligned} ∂x∂xTa∂x∂xTAx=∂x∂aTx=a=Ax+ATx
又由于如果矩阵A是对称的:A x + A T x = 2 A x A x+A^{T} x=2 A x Ax+ATx=2Ax
对目标函数化简:J ( θ ) = θ T X T X θ − θ T X T Y − Y T X θ + Y T Y J(\theta)=\theta^{T} X^{T} X \theta-\theta^{T} X^{T} Y-Y^{T} X \theta+Y^{T} Y J(θ)=θTXTXθ−θTXTY−YTXθ+YTY
则θ最小值:θ ^ = argmin θ L ( θ ) ⟶ ∂ ∂ θ L ( θ ) = 0 ⟶ 2 X T X θ ^ − 2 X T Y = 0 ⟶ θ ^ = ( X T X ) − 1 X T Y = X + Y \begin{aligned} \hat{\theta}=\underset{\theta}{\operatorname{argmin}} L(\theta) & \longrightarrow \frac{\partial}{\partial \theta} L(\theta)=0 \\ & \longrightarrow 2 X^{T} X \hat{\theta}-2 X^{T} Y=0 \\ & \longrightarrow \hat{\theta}=\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} Y=X^{+} Y \end{aligned} θ^=θargminL(θ)⟶∂θ∂L(θ)=0⟶2XTXθ^−2XTY=0⟶θ^=(XTX)−1XTY=X+Y
这个式子中 ( X T X ) − 1 X T \left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} (XTX)−1XT又被称为伪逆写作 X + X^{+} X+,对于行满秩或者列满秩的X ,可以直接求解。- 几何意义法求解
求解 b 在A的列向量空间中的投影。
在几何上,最小二乘法相当于模型(这里就是直线)和试验值的距离的平方求和,假设我们的试验样本张成一个 维空间(满秩的情况)模型写成 f ( w ) = X β f(w)=X \beta f(w)=Xβ而最小二乘法就是说希望 Y 和这个模型距离越小越好,于是它们的差应该与这个张成的空间垂直:
X T ⋅ ( Y − X β ) = 0 ⟶ β = ( X T X ) − 1 X T Y X^{T} \cdot(Y-X \beta)=0 \longrightarrow \beta=\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} Y XT⋅(Y−Xβ)=0⟶β=(XTX)−1XTY
python实现最小二乘法(通过矩阵求解)
class LinearRegression: '''使用Python实现的线性回归.(最小二乘法)''' def fit(self,X,y): '''根据提提供的训练数据X,对模型进行训练。 Parameters ------ X :类数组类型。形状:[样本数量,特征数量] 特征矩阵,用来对模型进行训练 y = 类数组类型,形状:[样本数量] ''' # 如果X是数组对象的一部分,而不是完整的对象数据(eg:切片)则无法完成矩阵的转换 X = np.asmatrix(X.copy()) #这里创建X的拷贝对象,避免转换成矩阵时候失败 # y 为一维结构(行向量或列向量)没有限制,可以不用拷贝 # 注意:现在要进行矩阵的运算,需要是二维结构,通过reshape方法进行转换 y = np.asmatrix(y).reshape(-1,1) # (-1,1)意思:把数组转换为一列,依据数据自定义行的矩阵 # 通过最小二乘公式,求解出最佳的权重值 self.w_ = (X.T * X ).I * X.T * y def predict(self,X): '''根据参数传递的样本X,delattr样本数据进行预测。 Parameters ------ X:类数组类型。形状[样本数量,特征数量] 待预测的样本特征(属性) Returns ------ result:数组类型 预测的结果 ''' # 将X转换为矩阵 注意:需要对X进行拷贝 X = np.asmatrix(X.copy()) result = X * self.w_ # 将矩阵转换为ndarray数组 ,进行扁平化处理 ,然后返回结果 return np.array(result).ravel()
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线性回归,最小二乘法 C语言实现
2021-05-20 08:07:20采用线性回归的方式,Y=bx+a,求出系数 #include#includeintmain(){//floatx[6]={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0};//floaty[6]={1.1,1.9,3.1,3.9,4.4,4.9};/*floatx[6]={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0};floaty[6]={0.0,1.0,2.0,...采用线性回归的方式,Y=bx+a,求出系数
#include
#include
int main()
{
//float x[6]={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0};
//float y[6]={1.1,1.9,3.1,3.9,4.4,4.9};
/*float x[6]={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0};
float y[6]={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0};*/
float x[6]={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0};
float y[6]={1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0};
float a,b,mxy,xx,yy,x2,x22;
int i;
a=b=mxy=xx=yy=x2=x22=0.0;
for(i=0;i<6;i++)
{
mxy=6.0*x[i]*y[i]+mxy;
xx=1.0*x[i]+xx;
yy=1.0*y[i]+yy;
x2=1.0*x[i]*x[i]*6.0+x2;
x22=1.0*x[i]+x22;
}
b=1.0*(mxy-xx*yy)/(x2-x22*x22);
a=1.0*yy/6.0-b*xx/6.0;
printf("Y=%0.2fx+%0.2f\n",b,a);
system("pause");
return 0;
}
Y=0.00x+1.00
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纯python实现多元回归(最小二乘法)
2018-12-17 21:24:29多元线性回归 最小二乘法实现 线性回归包括一元线性回归和多元线性回归,一元的是只有一个x和一个y。多元的是指有多个x和一个y。 对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本...为什么会用纯Python来实现呢?这种陶(hao)冶(wu)情(yong)操(chu)的做法肯定也不是我自己闲着蛋疼搞着玩的。。。 明明有更好的科学计算库不用,非要纯手写正面硬刚,除了老师用挂科作为威胁还能有谁?
下面是一大纯手打的堆理推导... 写的逻辑有些混乱,后续有时间再慢慢整理 觉得麻烦的小伙伴就不用看了,反正我代码里也写的有注释,代码稍后传上github后更新连接
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多元线性回归 最小二乘法实现
线性回归包括一元线性回归和多元线性回归,一元的是只有一个x和一个y。多元的是指有多个x和一个y。
对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:
(1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
(2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
(3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。样本x为一个多维向量,x=[x1,x2,…xd]
那么权重W也是与X同维度的一个向量,W=[w1,w2,…wd]
所以Y对x的预测可以写为Y=W ∙
x+b(这里为内积的形式),但通常将b移到W向量里面去,写为W=[b,w1,w2,…wd],改变后的W用θ
表示,θ=[θ0,θ1,θ2,…θd]
因为W的维度变了所以我们也要给x对应的多加一个维度,此时的x为[x0,x1,…xd],使x0等于1,让其在矩阵相乘时匹配刚才在W中加入的b
现在Y=W ∙
x+b 就等价为 Y=θ∙x
在机器学习的矩阵运算当中,有个约定俗称的规定,当说某某向量时都指的是一个列向量,所以θ和x
都是一个d+1维的列向量[θ0⋮θd]
、[x0⋮xd]
,同时也都是一个(d+1)x1维的矩阵
这里的维度就对应方程里面的元数,有几维就是几元
所以这里用大写的X表示有m个样本,X=[⋯x1T⋯⋯⋮⋯⋯xmT⋯
]=[x01⋯xd1⋮⋯⋮x0m⋯xdm]
,(这里的X是一个矩阵,包含了所有的样本点x1,x2,…xm而每一个样本点都是有相同的多维的, [⋯x1T⋯⋯⋮⋯⋯xmT⋯
]* [θ0⋮θd]
= y0⋮ym=Y
,得到一个m*1维的矩阵Y
,这个矩阵中的每一个参数代表给定的θ参数下
对每一个样本xi的预测值yi,Y
是对应样本的标签值,也是一个列向量。
得到Y(预测值)过后,就可以算损失函数了,L=i=1m(yi-yi)2
,y是对应样本的真实值
L=(y1-y1)2
+(y2-y2)2
+…+(ym-ym)2
=[ y1-y1,⋯,ym-ym
] ∙
[y1-y1⋮ym-ym]
=(y1,⋯,ym-[y1,⋯,ym]) ∙
[y1-y1⋮ym-ym]
=(x∙θ-Y)T ∙ (x∙θ-Y)
因为x、θ
和Y
都是一个m+1维的列向量所以第一项(x∙θ-Y)
的结果也是一个列项量,所以加了一个转置
得到损失函数L=(x∙θ-Y)T (x∙θ-Y)
,通过改变θ的
值来最小化L
对θ
求偏导,∂L∂θ=∂(θTxT-YT)(xθ-Y)∂θ=θTxTxθ-θTxTY-YTxθ+YTY∂θ
,每一项都对θ
求偏导然后加起来
∂L∂θ=2xTxθ-xTY-xTY
,要使损失函数最小,就是偏导为0的点
所以推出xTxθ=xTY
,θ=( xTx)-1xTY
,这就要求(xTx)
是可逆的
最小二乘法与梯度下降法的区别:
实现方法和结果不同:最小二乘法是直接对∆
求导找出全局最小,是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法,先给定一个β
,然后向∆
下降最快的方向调整β
,在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢,并且对初始点的选择极为敏感,其改进大多是在这两方面下功夫。
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