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  • 多元相关分析多元回归分析

    万次阅读 多人点赞 2018-10-27 17:13:02
    多元回归分析模型建立 线性回归模型基本假设 多元回归分析用途 多元线性相关分析 矩阵相关分析相关分析 曲线回归模型 多项式曲线 二次函数 对数函数 指数函数 幂函数 双曲线函数 变量间的...

    目录

    变量间的关系分析

    什么是相关分析

    什么是回归分析

    分析步骤

    回归分析与相关分析的主要区别

    一元线性相关分析

    一元线性回归分析

    建模

    方差分析检验

     t检验

    多元回归分析模型建立

    线性回归模型基本假设

    多元回归分析用途

    多元线性相关分析

    矩阵相关分析

    复相关分析

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    对数函数

    指数函数

    幂函数

    双曲线函数


    变量间的关系分析

    变量间的关系有两类,一类是变量间存在着完全确定的关系,称为函数关系,另一类是变量间的关系不存在完全的确定性,不能用精缺的数学公式表示,但变量间存在十分密切的关系,这种称为相关关系,存在相关关系的变量称为相关变量

    相关变量间的关系有两种:一种是平行关系,即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系,即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量-independent variable,表示结果的变量称为因变量-dependent variable

    什么是相关分析

    通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

    什么是回归分析

    通过研究变量的依存关系,将变量分为因变量和自变量,并确定自变量和因变量的具体关系方程式

    分析步骤

    建立模型、求解参数、对模型进行检验

    回归分析与相关分析的主要区别

    1.在回归分析中,解释变量称为自变量,被解释变量称为因变量,相关分析中,并不区分自变量和因变量,各变量处于平的地位。--(自变量就是自己会变得变量,因变量是因为别人改变的)

    2.在相关分析中所涉及的变量全部是随机变量,在回归分析中只有只有因变量是随机变量。

    3.相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度,而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制。

    一元线性相关分析

    线性相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的线性关系,总体相关系数的计算公式为:

     δ^2x代表x的总体方差, δ^2y代表y的总体方差,δxy代表x变量与y变量的协方差,相关系数ρ没有单位,在-1到1之间波动,绝对值越接近1越相关,符号代表正相关或复相关。

    一元线性回归分析

    使用自变量与因变量绘制散点图,如果大致呈直线型,则可以拟合一条直线方程

    建模

    直线模型为:

     y是因变量y的估计值,x为自变量的实际值,a、b为待估值

    几何意义:a是直线方程的截距,b是回归系数

    经济意义:a是x=0时y的估计值,b是回归系数

    对于上图来说,x与y有直线的趋势,但并不是一一对应的,y与回归方程上的点的差距成为估计误差或残差,残差越小,方程愈加理想。

    当误差的平方和最小时,即Q,a和b最合适

    对Q求关于a和b的偏导数,并令其分别等于零,可得:

     式中,lxx表示x的离差平方和,lxy表示x与y的离差积和。

    方差分析检验

    将因变量y实测值的离均差平方和分成两部分即使:

    分为:

    实测值yi扣除了x对y的线性影响后剩下的变异

    和x对y的线性影响,简称为回归评方或回归贡献

    然后证明:

     t检验

    当β成立时,样本回归系数b服从正态分布,这是可以使用T检验判断是否有数学意义,检验所用统计量为

    例如t=10,那么可以判断α=0.05水平处拒绝H0,接受H1,那么x与y存在回归关系

    多元回归分析模型建立

    一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示

    b0是方程中的常数项,bi,i=1,2,3称为偏回归系数。

    当我们得到N组观测数据时,模型可表示为:

    其矩阵为:

    X为设计阵,β为回归系数向量。

    线性回归模型基本假设

    在建立线性回归模型前,需要对模型做一些假定,经典线性回归模型的基本假设前提为:

    1.解释变量一般来说是非随机变量

    2.误差等方差及不相关假定(G-M条件)

    3.误差正太分布的假定条件为:

    4. n>p,即是要求样本容量个数多于解释变量的个数

    多元回归分析用途

    1.描述解释现象,希望回归方程中的自变量尽可能少一些

    2.用于预测,希望预测的均方误差较小

    3.用于控制,希望各个回归系数具有较小的方差和均方误差

    变量太多,容易引起以下四个问题:
    1.增加了模型的复杂度

    2.计算量增大

    3.估计和预测的精度下降

    4.模型应用费用增加

    多元线性相关分析

    两个变量间的关系称为简单相关,多个变量称为偏相关或复相关

    矩阵相关分析

    设n个样本的资料矩阵为:

    此时任意两个变量间的相关系数构成的矩阵为:

    其中rij为任意两个变量之间的简单相关系数,即是:

    复相关分析

    系数计算:

    设y与x1,x2,....,回归模型为

    y与x1,x2,....做相关分析就是对y于y^做相关分析,相关系数计算公式为

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    y=a+bx+cx^2

    对数函数

    y=a+blogx

    指数函数

    y = ae^bx或y = ae^(b/x)

    幂函数

    y=ax^b (a>0)

    双曲线函数

    y = a+b/x

     实战操作见下一篇文章

    展开全文
  • 多元相关分析回归分析(转)

    千次阅读 2018-11-29 09:44:14
    目录 变量间的关系分析 什么是相关分析 什么是回归分析 ...分析步骤 ...回归分析相关分析的主要区别 ...一元线性相关分析 ...多元回归分析模型建立 线性回归模型基本假设 多元回归分析用途 多元线性相关分析...


    原文:https://blog.csdn.net/Da___Vinci/article/details/83445382

    目录

    变量间的关系分析

    什么是相关分析

    什么是回归分析

    分析步骤

    回归分析与相关分析的主要区别

    一元线性相关分析

    一元线性回归分析

    建模

    方差分析检验

     t检验

    多元回归分析模型建立

    线性回归模型基本假设

    多元回归分析用途

    多元线性相关分析

    矩阵相关分析

    复相关分析

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    对数函数

    指数函数

    幂函数

    双曲线函数


    变量间的关系分析

    变量间的关系有两类,一类是变量间存在着完全确定的关系,称为函数关系,另一类是变量间的关系不存在完全的确定性,不能用精缺的数学公式表示,但变量间存在十分密切的关系,这种称为相关关系,存在相关关系的变量称为相关变量。

    相关变量间的关系有两种:一种是平行关系,即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系,即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量-independent variable,表示结果的变量称为因变量-dependent variable。

    什么是相关分析

    通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

    什么是回归分析

    通过研究变量的依存关系,将变量分为因变量和自变量,并确定自变量和因变量的具体关系方程式

    分析步骤

    建立模型、求解参数、对模型进行检验

    回归分析与相关分析的主要区别

    1.在回归分析中,解释变量称为自变量,被解释变量称为因变量,相关分析中,并不区分自变量和因变量,各变量处于平的地位。--(自变量就是自己会变得变量,因变量是因为别人改变的)

    2.在相关分析中所涉及的变量全部是随机变量,在回归分析中只有只有因变量是随机变量。

    3.相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度,而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制。

    一元线性相关分析

    线性相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的线性关系,总体相关系数的计算公式为:

     δ^2x代表x的总体方差, δ^2y代表y的总体方差,δxy代表x变量与y变量的协方差,相关系数ρ没有单位,在-1到1之间波动,绝对值越接近1越相关,符号代表正相关或复相关。

    一元线性回归分析

    使用自变量与因变量绘制散点图,如果大致呈直线型,则可以拟合一条直线方程

    建模

    直线模型为:

     y是因变量y的估计值,x为自变量的实际值,a、b为待估值

    几何意义:a是直线方程的截距,b是回归系数

    经济意义:a是x=0时y的估计值,b是回归系数

    对于上图来说,x与y有直线的趋势,但并不是一一对应的,y与回归方程上的点的差距成为估计误差或残差,残差越小,方程愈加理想。

    当误差的平方和最小时,即Q,a和b最合适

    对Q求关于a和b的偏导数,并令其分别等于零,可得:

     式中,lxx表示x的离差平方和,lxy表示x与y的离差积和。

    方差分析检验

    将因变量y实测值的离均差平方和分成两部分即使:

    分为:

    实测值yi扣除了x对y的线性影响后剩下的变异

    和x对y的线性影响,简称为回归评方或回归贡献

    然后证明:

     t检验

    当β成立时,样本回归系数b服从正态分布,这是可以使用T检验判断是否有数学意义,检验所用统计量为

    例如t=10,那么可以判断α=0.05水平处拒绝H0,接受H1,那么x与y存在回归关系

    多元回归分析模型建立

    一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示

    b0是方程中的常数项,bi,i=1,2,3称为偏回归系数。

    当我们得到N组观测数据时,模型可表示为:

    其矩阵为:

    X为设计阵,β为回归系数向量。

    线性回归模型基本假设

    在建立线性回归模型前,需要对模型做一些假定,经典线性回归模型的基本假设前提为:

    1.解释变量一般来说是非随机变量

    2.误差等方差及不相关假定(G-M条件)

    3.误差正太分布的假定条件为:

    4. n>p,即是要求样本容量个数多于解释变量的个数

    多元回归分析用途

    1.描述解释现象,希望回归方程中的自变量尽可能少一些

    2.用于预测,希望预测的均方误差较小

    3.用于控制,希望各个回归系数具有较小的方差和均方误差

    变量太多,容易引起以下四个问题:
    1.增加了模型的复杂度

    2.计算量增大

    3.估计和预测的精度下降

    4.模型应用费用增加

    多元线性相关分析

    两个变量间的关系称为简单相关,多个变量称为偏相关或复相关

    矩阵相关分析

    设n个样本的资料矩阵为:

    此时任意两个变量间的相关系数构成的矩阵为:

    其中rij为任意两个变量之间的简单相关系数,即是:

    复相关分析

    系数计算:

    设y与x1,x2,....,回归模型为

    y与x1,x2,....做相关分析就是对y于y^做相关分析,相关系数计算公式为

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    y=a+bx+cx^2

    对数函数

    y=a+blogx

    指数函数

    y = ae^bx或y = ae^(b/x)

    幂函数

    y=ax^b (a>0)

    双曲线函数

    y = a+b/x

    展开全文
  • 回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。 步骤: 建立模型、求解参数、对模型进行检验 相关分析:通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关相关系数:两组不同数据的相关程度,...

    相关变量间的关系有两种:一种是平行关系,即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系,即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。 

    步骤: 建立模型、求解参数、对模型进行检验

    相关分析:通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

    相关系数:两组不同数据的相关程度,取值范围在(-1,1),== 0不相关,>0时则两个变量为正相关,<0时则两个变量为负相关。

    
    ## 协方差相关系数
    ?cor()
    
    ## 相关系数假设检验
    ?cor.test()
    
    ## 
    library(Hmisc)
    library(corrplot)#先加载包
    data(mtcars)
    mydata <- mtcars[, c(1,3,4,5,6,7)]
    head(mydata, 6)
    
    ## 一元相关性分析
    res <- cor(mydata$mpg, mydata$disp)
    
    ##一元相关系数假设检验
    cor.p = cor.test(mydata$mpg, mydata$disp)$p.value
    
    
    
    ##  多元相关性分析
    ress <- cor(mydata)
    
    ##一元相关系数假设检验
    ress.p <- rcorr(as.matrix(mydata))
    ## 查看显著性p-value
    ress.p$P
    
    
    ### 可视化
    corrplot(ress, type = "upper", order = "hclust", tl.col = "black", tl.srt = 45)
    corrplot(ress.p$r, type="upper", order="hclust", p.mat = ress.p$P, sig.level = 0.01, insig = "blank")

    回归分析通过研究变量的依存关系,将变量分为因变量和自变量,并确定自变量和因变量的具体关系方程式

    建模

    直线模型为:

    y=a+bx

    一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示:

    y=b0+b1x+b2x ... +bnxn

    曲线回归模型为:

    二次函数

    y=a+bx+cx^2

    对数函数

    y=a+blogx

    指数函数

    y = ae^bx或y = ae^(b/x)

    幂函数

    y=ax^b (a>0)

    双曲线函数

    y = a+b/x

    求解回归系数

    对回归系数方差分析检验、t检验

    最终确定建立的数据模型: Y = a +bX ...

    library(ggplot2)
    library(Hmisc)
    library(corrplot)
    library(lmtest)
    library(psych)
    
    ##1、 读取数据
    data = read.table("ad_result.txt", header = T, sep = "\t", row.names = 1)
    head(data,4)
    
    ##2、探索数据,首先确认相关性:
    ##  计算其相关性系数并可视化
    ress = cor(data)   ## 范围【-1, 1】 =0 不相关, > 0 正相关, < 0 负相关
    ress.p <- rcorr(as.matrix(data))$P ## 相关性系数的检验 < 0.05 阈值 
    corrplot(ress, type = "upper", order = "hclust", tl.col = "black", tl.srt = 45)  ## 相关系数矩阵可视化
    pairs.panels(data)    ## 散点图矩阵 可视化
    
    
    
    ### 3、基于数据训练模型, 选择回归模型 (这里用lm() lm(formula = y ~ x1 + x2 + ...))
    
    fm.model = lm(install ~ tvcm + magazine, data)
    as.data.frame(fm.model$coefficients)
    
    
    
    
    ## 4 、评估模型,对回归系数方差分析检验、t检验
    anova(fm.model)
    
    summary(fm.model)
    
    #Residuals残差也就是预测值和实际值之差,我们将残差的分布用四分位数的方式表示出来,就可以据此来判断是否存在较大的偏差。
    
    #Coefficients 这里是与预估的常数项和斜率相关的内容。每行内容都按照预估值、标准误差、t 值、p 值的顺序给出。我们可以由此得知各个属性的斜率是多少,以及是否具有统计学意义。
    
    #Multiple R-squared、Adjusted R-squared 判定系数越接近于1,表示模型拟合得越好。
    
    
    ## 5、优化模型,用残差分析剔除异常点 检验异方差
    plot(fm.model,which=1:4)
    data.re = data[-c(1,2,10),]
    fm.model1 =  lm(install ~ tvcm + magazine, data.re)
    summary(fm.model1)
    gq.p = gqtest(fm.model1)
    bp.p = bptest(fm.model1)
    
    
    ## 如果gq.p || bp.p 小于0.05,需要进行修正异方差
    lm.test2 = lm(log(resid(fm.model1)^2)~ tvcm + magazine,data.re)
    lm.test3<-lm(install ~ tvcm + magazine,weights=1/exp(fitted(lm.test2)),data.re)
    summary(lm.test3)
    
    
    
    ## 最后建立模型:
    新用户数= 1.361× 电视广告费+ 7.250× 杂志广告费+ 188.174
    参考R实战整理
    
    library(psych)
    
    height=c(65.1,68,69.1,70.2,71.8,73.7,77.9,80.1,84.2,86.8,88.8,92.5)
    age=18:29
    data = data.frame(age = age, height = height)
    plot(age,height)
    
    shapiro.test(height)
    cor(data)
    pairs.panels(data) 
    
    fit.lm = lm(height ~ ., data)
    summary(fit.lm)
    data$height
    fitted(fit.lm)
    residuals(fit.lm)
    plot(data$age, data$height)
    abline(fit.lm)
    dev.off()
    
    
    fit.lm2 = lm(height ~ age + I(age^2), data)
    summary(fit.lm2)
    
    
    fit.lm3 = lm(height ~  I(age^2), data)
    summary(fit.lm3)
    anova(fit.lm2, fit.lm3)
    
    
    ######多元线性回归
    library(psych)
    data(state)
    summary(state.x77)
    state = as.data.frame(state.x77[,c("Frost", "Population", "Illiteracy", "Income", "Murder")])
    pairs.panels(state)
    state.fit = lm(Murder ~ Population + Frost + Illiteracy + Income, state )
    summary(state.fit)
    
    ## 置信区间  置信区间若包含0,则考虑是否无效
    confint(state.fit)
    ###############################################
    
    
    ## 回归诊断 标准方法
    par(mfrow = c(2,2))
    plot(state.fit)
    
    ## 改进的方法car 包
    ### 正态性 当预测变量值固定时,因变量成正态分布,则残差值也应该是一个均值为0的正态分布。n-p-1个自由度的t分布下的学生化残差
    library(car)
    state = as.data.frame(state.x77[,c("Frost", "Population", "Illiteracy", "Income", "Murder")])
    state.fit = lm(Murder ~ Population + Frost + Illiteracy + Income, state )
    qqPlot(state.fit)
    
    state["Nevada",]
    fitted(state.fit)["Nevada"]
    residuals(state.fit)["Nevada"]
    
    
    #### 误差的独立性 car包提供了一个可做Durbin-Watson检验的函数 如p值不显著(p=0.282)说明无自相关性,误差项之间独立。
    d.pvalues = durbinWatsonTest(state.fit)
    print(d.pvalues$p)
    
    
    ### 线性 若图形存在非线性,则说明你可能对预测变量的函数形式建模不够充分,
    #那么就需要添加一些曲线成分,比如多项式项,或对一个或多个变量进行变换(如用log(X)代
    #替X)
    crPlots(state.fit)
    
    
    ### 检验同方差性 计分检验不显著(p=0.19),说明满足方差不变假设
    ncvTest(state.fit)
    spreadLevelPlot(state.fit)
    
    
    
    ### 多重共线性 
    ##暂无
    
    
    
    ####  异常观测值
    ## 一个全面的回归分析要覆盖对异常值的分析,包括离群点、高杠杆值点和强影响点。
    
    ### 离群点
    ##是指那些模型预测效果不佳的观测点。它们通常有很大的、或正或负的残差(Yi??? Y??i )。正的残差说明模型低估了响应值,负的残差则说明高估了响应值。
    ##该函数只是根据单个最大(或正或负)残差值的显著性来判断是否有离群点。若不显著,则说明数据集中没有离群点;若显著,则你必须删除该离群点,然后再检验是否还有其他离群点存在。
    
    library(car)
    outlierTest(state.fit)
    
    
    ### 高杠杆值点 高杠杆值观测点,即是与其他预测变量有关的离群点。换句话说,它们是由许多异常的预测 变量值组合起来的,与响应变量值没有关系。
    
    
    
    ### 强影响点 强影响点,即对模型参数估计值影响有些比例失衡的点。例如,若移除模型的一个观测点时模型会发生巨大的改变,那么你就需要检测一下数据中是否存在强影响点了。
    avPlots(state.fit, ask = F, onepage = T, id.method= "identify")
    
    
    ### influencePlot()你还可以将离群点、杠杆值和强影响点的信息整合到一幅图形中
    #影响图。纵坐标超过+2或小于???2的州可被认为是离群点,水平轴超过0.2或0.3
    #的州有高杠杆值(通常为预测值的组合)。圆圈大小与影响成比例,圆圈很大
    #的点可能是对模型参数的估计造成的不成比例影响的强影响点
    
    influencePlot(state.fit, id.method = "identify")
    
    ########################################
    
    ##### 改进措施
    #有四种方法可以处理违背回归假设的问题:
    #??? 删除观测点;
    #??? 变量变换;
    #??? 添加或删除变量;
    #??? 使用其他回归方法。
     
    ##  变量变换
    #当模型不符合正态性、线性或者同方差性假设时,一个或多个变量的变换通常可以改善或调整模型效果。变换多用Y λ 替代Y
    powerTransform()
    boxTidwell()
    boxTidwell()
    
    ## 模型比较  AIC值越小的模型要优先选择,它说明模型用较少的参数获得了足够的拟合度。
    anova()
    AIC()
    
    ##### 逐步回归中,模型会一次添加或者删除一个变量,直到达到某个判停准则为止。例如, 向前逐步回归MASS包中的stepAIC()
    library(MASS)
    stepAIC(state.fit, direction= ""backward)
    
    
    
    #### 全子集回归可用leaps包中的regsubsets()函数实现
    
    
    
    ##############################
    ### 有交互项的多元线性回归
    data(mtcars)
    
    data.mtcars = mtcars[c("wt", "hp", "mpg")]
    pairs.panels(fit.mtcars)
    #fit.lm = lm(mpg ~ wt + hp, data.mtcars)
    fit.lm = lm(mpg ~ wt + hp + wt:hp, data.mtcars)
    summary(fit.lm)

    PS: 参考线上资料

    https://blog.csdn.net/Cocaine_bai/article/details/80534313

    https://blog.csdn.net/tMb8Z9Vdm66wH68VX1/article/details/79544739

    理解汇总

    展开全文
  • 一、多元回归分析简介 用回归方程定量地刻画一个应变量与多个自变量间的线性依存关系,称为多元回归分析(multiple linear regression),简称多元回归(multiple regression)。 多元回归分析是多变量分析的基础,也是...

    一、多元回归分析简介

    用回归方程定量地刻画一个应变量与多个自变量间的线性依存关系,称为多元回归分析(multiple linear regression),简称多元回归(multiple regression)。

    多元回归分析是多变量分析的基础,也是理解监督类分析方法的入口!实际上大部分学习统计分析和市场研究的人的都会用回归分析,操作也是比较简单的,但能够知道多元回归分析的适用条件或是如何将回归应用于实践,可能还要真正领会回归分析的基本思想和一些实际应用手法!

    回归分析的基本思想是:虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系,但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

    二、多元回归线性分析的运用

    具体地说,多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。

    (1)确定几个特定的变量之间是否存在相关关系,如果存在的话,找出它们之间合适的数学表达式; 

    (2)根据一个或几个变量的值,预测或控制另一个变量的取值,并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;

    (3)进行因素分析。例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间,找出哪些是重要因素,哪些是次要因素,这些因素之间又有什么关系等等。

    在运用多元线性回归时主要需要注意以下几点:

    首先,多元回归分析应该强调是多元线性回归分析!强调线性是因为大部分人用回归都是线性回归,线性的就是直线的,直线的就是简单的,简单的就是因果成比例的;理论上讲,非线性的关系我们都可以通过函数变化线性化,就比如:Y=a+bLnX,我们可以令 t=LnX,方程就变成了 Y=a+bt,也就线性化了。

    第二,线性回归思想包含在其它多变量分析中,例如:判别分析的自变量实际上是回归,尤其是Fisher线性回归方程;Logistics回归的自变量也是回归,只不过是计算线性回归方程的得分进行了概率转换;甚至因子分析和主成分分析最终的因子得分或主成分得分也是回归算出来的;当然,还有很多分析最终也是回归思想!

    第三:什么是“回归”,回归就是向平均靠拢。

    第四:如果你用线性回归方式去解释过去,你只能朝着一个趋势继续,但未来对过去的偏离有无数种可能性;

    第五:线性回归方程纳入的自变量越多,越应该能够反应现实,但解释起来就越困难;

    第六:统计学家往往追求的是简约的模型和更高的解释度,往往关注模型R平方,共线性和回归诊断问题;

    第七:市场研究人员往往注重模型的解释合理性,是否与预设的直觉一直,是否支持了我的市场假设等;

    多元线性回归分析的主要目的是:解释和预测

    三、多元回归模型的建立

    模型的表达形式如下:

     

     

    在此征用一个网络上的例子来做详细讲解:

     

    假设我们收集了100个企业客户经理对我产品的总体满意度和分项指标的满意度评价,我期望知道,什么分项指标对我总体满意度有重要影响,它的改进更能够提升总体满意度;如果建立预测模型,我期望知道了分项指标的评价就能够预测总体满意度数值;

     

     

    在SPSS中选择回归分析后,把X10作为因变量,X1到X7作为自变量,选择相应的统计参数和输出结果:

     

     

    R平方是我们最需要关注的,该值说明了方程的拟合好坏,R平方=0.80非常不错了,说明:1)总体满意度的80%的变差都可以由7个分项指标解释,或者说,7个分项指标可以解释总体满意度80%的变差!2)R平方如果太大,大家不要高兴太早,社会科学很少有那么完美的预测或解释,一定存在了共线性!

     

    方程分析表的显著性表明了回归具有解释力!

    线性回归方程给出可预测的计算系数,但是,社会科学很少进行预测,重要的是解释;

    这里要注意的是如果自变量的测量尺度是统一的话,我们可以直接比较系数的大小,但是如果自变量的测量尺度不统一的话,我们必须看标准化回归系数,标准化回归系数去掉的量纲,且反应了重要性!我们就是需要重要性测量!

    当然,这个时候,研究人员应该关注每个指标的回归系数是否真的等于零,要进行假设检验!

    四、多元回归模型的显著性检验

    上文中有提到,若R平方过大,拟合优度很好的情况下,可能存在多重共线性,而多重共线性便是多元回归模型产生误差的主要原因。

    造成多重共线性的原因有一下几种:

    1、解释变量都享有共同的时间趋势;

    2、一个解释变量是另一个的滞后,二者往往遵循一个趋势;

    3、由于数据收集的基础不够宽,某些解释变量可能会一起变动;

    4、某些解释变量间存在某种近似的线性关系;

    判别:

    1、发现系数估计值的符号不对;

    2、某些重要的解释变量t值低,而R方不低

    3、当一不太重要的解释变量被删除后,回归结果显著变化;

    检验:

    1、相关性分析,相关系数高于0.8,表明存在多重共线性;但相关系数低,并不能表示不存在多重共线性;

    2、vif检验;

    3、条件系数检验;

    解决方法:

    克服主成分分析的统计方式有主成分回归、岭回归、逐步回归,其定义分别为:

    主成分回归:主成分分析法作为多元统计分析的一种常用方法在处理多变量问题时具有其一定的优越性,其降维的优势是明显的,主成分回归方法对于一般的多重共线性问题还是适用的,尤其是对共线性较强的变量之间。当采取主成分提取了新的变量后,往往这些变量间的组内差异小而组间差异大,起到了消除共线性的问题。

    岭回归:岭回归分析实际上是一种改良的最小二乘法,是一种专门用于共线性数据分析的有偏估计回归方法。岭回归分析的基本思想是当自变量间存在共线性时,解释变量的相关矩阵行列式近似为零,X'X是奇异的,也就是说它的行列式的值也接近于零,此时OLS估计将失效。此时可采用岭回归估计。岭回归就是用X'X+KI代替正规方程中的X'X,人为地把最小特征根由minli提高到min(li+k),希望这样有助于降低均方误差。

    逐步回归:逐步回归(Stepwise Regression)是一种常用的消除多重共线性、选取“最优”回归方程的方法。其做法是将逐个引入自变量,引入的条件是该自变量经F检验是显著的,每引入一个自变量后,对已选入的变量进行逐个检验,如果原来引入的变量由于后面变量的引入而变得不再显著,那么就将其剔除。引入一个变量或从回归方程中剔除一个变量,为逐步回归的一步,每一步都要进行F 检验,以确保每次引入新变量之前回归方程中只包含显著的变量。这个过程反复进行,直到既没有不显著的自变量选入回归方程,也没有显著自变量从回归方程中剔除为止。

    处理多重共线性的原则:

    1、  多重共线性是普遍存在的,轻微的多重共线性问题可不采取措施;

    2、  严重的多重共线性问题,一般可根据经验或通过分析回归结果发现。如影响系数符号,重要的解释变量t值很低。要根据不同情况采取必要措施。

    3、  如果模型仅用于预测,则只要拟合程度好,可不处理多重共线性问题,存在多重共线性的模型用于预测时,往往不影响预测结果;

    五、总概模型图

     

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/Little-Li/p/11261287.html

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多元回归分析的相关矩阵