多元线性回归方差分析表理解

千次阅读 2019-09-06 23:47:41

1.单因素一元方差分析的方法和案例：例子：案例的代码： X=[533 580 525 600 570 650 500; %因数I [A,F]实验组+CK标准 565 600 500 615 575 661 510; 525 575 510 590 565 643 513]; group={‘A’,‘B...





1.单因素一元方差分析的方法和案例：

例子：




案例的代码：

X=[533 580 525 600 570 650 500; %因数I [A,F]实验组+CK标准

565 600 500 615 575 661 510;

525 575 510 590 565 643 513];

group={‘A’,‘B’,‘C’,‘D’,‘E’,‘F’,‘CK’};

[p ,table,stats]=anova1(X,group) %p接近于0则不接受零假设，即各列均值的差异式由实验因素造成

[c,m,h,gnames]=multcompare(stats)

c =multcompare(stats)
Source表示方差来源（谁的方差），这里的方差来源包括Groups（组间），Error（组内），Total（总计）；

SS（Sum of squares）表示平方和

df（Degree of freedom）表示自由度

MS（Mean squares）表示均方差

F表示F值（F统计量），F值等于组间均方和组内均方的比值，它反映的是随机误差作用的大小。

Prob>F表示p值

这里需要引出两个小问题：第一个小问题是F值怎么使用，第二个小问题是p值和F值的关系是什么？

率先普及一下p值和F值之间的关系：

F实际值>F查表值，则p<=0.05

F实际值<F查表值，则p>0.05

参考：

https://www.cnblogs.com/hdu-zsk/p/6293721.html

②双因素一元方差分析的方法和案例：



% 例子

%列：A品种  B密度A1B1 ;A2B1 ;A3B1;A1B2;A2B2;A3B3;

X=[40 46 47;%I A1B1 A2B1 A3B1

38 42 43 ;%II A1B1 A2B1 A3B1

42 44 45 ;%III  A1B1 A2B1 A3B1

42 48 50;%I A1B2 A2B2 A3B2

44 47 48;%II A1B2 A2B2 A3B2

45 46 49];%III  A1B2 A2B2 A3B2

[p,table,stats]=anova2(X,3)


③多因素一元方差分析的方法和案例：

%案例

y=[52 57 45 44 53 57 45 44];

g1=[1 2 1 2 1 2 1 2];

g2={‘hi’;‘hi’;‘lo’;‘lo’;‘hi’;‘hi’;‘lo’;‘lo’};

g3={‘may’;‘may’;‘may’;‘may’;‘june’;‘june’;‘june’;‘june’};

[p,table,stats]=anovan(y,{g1,g2,g3})

收起

展开全文

多元相关分析与多元回归分析

万次阅读 多人点赞 2018-10-27 17:13:02

多元回归分析模型建立线性回归模型基本假设 多元回归分析用途多元线性相关分析矩阵相关分析复相关分析曲线回归模型多项式曲线二次函数对数函数指数函数幂函数双曲线函数变量间的...

变量间的关系分析

变量间的关系有两类，一类是变量间存在着完全确定的关系，称为函数关系，另一类是变量间的关系不存在完全的确定性，不能用精缺的数学公式表示，但变量间存在十分密切的关系，这种称为相关关系，存在相关关系的变量称为相关变量。

相关变量间的关系有两种：一种是平行关系，即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系，即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量-independent variable，表示结果的变量称为因变量-dependent variable。

什么是相关分析

通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

什么是回归分析

通过研究变量的依存关系，将变量分为因变量和自变量，并确定自变量和因变量的具体关系方程式

分析步骤

建立模型、求解参数、对模型进行检验

回归分析与相关分析的主要区别

1.在回归分析中，解释变量称为自变量，被解释变量称为因变量，相关分析中，并不区分自变量和因变量，各变量处于平的地位。--（自变量就是自己会变得变量，因变量是因为别人改变的）

2.在相关分析中所涉及的变量全部是随机变量，在回归分析中只有只有因变量是随机变量。

3.相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度，而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

一元线性相关分析

线性相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的线性关系，总体相关系数的计算公式为：

δ^2x代表x的总体方差， δ^2y代表y的总体方差，δxy代表x变量与y变量的协方差，相关系数ρ没有单位，在-1到1之间波动，绝对值越接近1越相关，符号代表正相关或复相关。

一元线性回归分析

使用自变量与因变量绘制散点图，如果大致呈直线型，则可以拟合一条直线方程

建模

直线模型为：

y是因变量y的估计值，x为自变量的实际值，a、b为待估值

几何意义：a是直线方程的截距，b是回归系数

经济意义：a是x=0时y的估计值，b是回归系数

对于上图来说，x与y有直线的趋势，但并不是一一对应的，y与回归方程上的点的差距成为估计误差或残差，残差越小，方程愈加理想。

当误差的平方和最小时，即Q，a和b最合适

对Q求关于a和b的偏导数，并令其分别等于零，可得：

式中，lxx表示x的离差平方和，lxy表示x与y的离差积和。

方差分析检验

将因变量y实测值的离均差平方和分成两部分即使：

分为：

实测值yi扣除了x对y的线性影响后剩下的变异

和x对y的线性影响，简称为回归评方或回归贡献

然后证明：

t检验

当β成立时，样本回归系数b服从正态分布，这是可以使用T检验判断是否有数学意义，检验所用统计量为

例如t=10，那么可以判断α=0.05水平处拒绝H0，接受H1，那么x与y存在回归关系

多元回归分析模型建立

一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示

b0是方程中的常数项，bi,i=1,2,3称为偏回归系数。

当我们得到N组观测数据时，模型可表示为：

其矩阵为：

X为设计阵，β为回归系数向量。

线性回归模型基本假设

在建立线性回归模型前，需要对模型做一些假定，经典线性回归模型的基本假设前提为：

1.解释变量一般来说是非随机变量

2.误差等方差及不相关假定（G-M条件）

3.误差正太分布的假定条件为：

4. n>p,即是要求样本容量个数多于解释变量的个数

多元回归分析用途

1.描述解释现象，希望回归方程中的自变量尽可能少一些

2.用于预测，希望预测的均方误差较小

3.用于控制，希望各个回归系数具有较小的方差和均方误差

变量太多，容易引起以下四个问题：
1.增加了模型的复杂度

2.计算量增大

3.估计和预测的精度下降

4.模型应用费用增加

多元线性相关分析

两个变量间的关系称为简单相关，多个变量称为偏相关或复相关

矩阵相关分析

设n个样本的资料矩阵为：

此时任意两个变量间的相关系数构成的矩阵为：

其中rij为任意两个变量之间的简单相关系数，即是：

复相关分析

系数计算：

设y与x1，x2，....，回归模型为

y与x1，x2，....做相关分析就是对y于y^做相关分析，相关系数计算公式为

曲线回归模型

多项式曲线

二次函数

y=a+bx+cx^2

对数函数

y=a+blogx

指数函数

y = ae^bx或y = ae^(b/x)

幂函数

y=ax^b (a>0)

双曲线函数

y = a+b/x

实战操作见下一篇文章

收起

展开全文

数学建模【统计模型及应用(单-双因素方差分析、一-多元线性回归分析、牙膏价格问题、方差分析与回归分析的...

千次阅读 2020-08-04 22:33:12

7.1 单因素方差分析 7.1.1 方差分析概念 7.1.2 单因素方差分析的数据结构例7.1.1三种治疗方案对降血糖的疗效比较 7.1.3 单因素方差分析模型 7.2 双因素方差分析 7.2.2 双因素方差分析的数据结构 ...多元线性回归分析

🚀【MOOC数学建模与实验---学习笔记---整理汇总表】🚀

🌈【学习网址：MOOC---郑州轻工业大学---数学建模与实验】🌈

【第1、2章】【概述、软件介绍】

【第3章】【数据处理方法】

【第4章】【规划模型】

【第5章】【图与网络模型】

【第6章】【微分方程模型】

【第7章】【统计模型】

【第8章】【系统评价决策模型】

【各个章节---作业题解析】

目录

7.1 单因素方差分析

7.1.1 方差分析概念

7.1.2 单因素方差分析的数据结构

例7.1.1 三种治疗方案对降血糖的疗效比较

7.1.3 单因素方差分析模型

定理7.1.1 总变异 = 组间变异 + 组内变异

7.1 单因素方差分析

数据分析统计模型：方差分析模型、回归分析模型、主成分分析模型、聚类分析模型、因子分析模型

7.1.1 方差分析概念

在工农业生产和科学研究中，经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，我们需要了解在这众多的因素中，哪些因素对影响产品产量、质量有显著影响。为此，要先做试验，然后对测试的结果进行分析。方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）就是分析测试结果的一种方法。 主要是多组实验数据比较所采用的方法

方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具有统计意义的一种方法。

例如，医学界研究几种药物对某种疾病的疗效；农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响；不同饲料对牲畜体重增长的效果等都可以使用方差分析方法去解决。

7.1.2 单因素方差分析的数据结构

若指标观测值X只受一个因素A的影响，检验A在取不同的状态或水平时，对指标值X的影响称为单因素试验。

观测值X称为因变量(响应变量)，是连续型的数值变量。

因素(Factor)A是影响因变量变化的客观条件。

设因素A有r个水平，每个水平下重复观测n次（n：重复数），则观测数据为如下形式

$\overline{x_{i}}$ ：第i行的平均值； $\overline{x}$ ：整个实验数据的算数平均值（总均值）

例7.1.1 三种治疗方案对降血糖的疗效比较

例7.1.1 某医生研究一种四类降糖新药的疗效，按完全随机设计方案治疗糖尿病患者，治疗一月后，记录下每名受试者血糖下降值，资料见下表，问三种治疗方案对降血糖的疗效是否相同？【No，第1组疗效显著高于另外两组！】

每一组，18名受试验者。3个剂量水平，每个剂量水平重复观测 18次（n=18）。比较均值！

7.1.3 单因素方差分析模型

方差分析是从总体上判断多组数据平均数（r≥3）之间的差异是否显著。

方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成变量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方差的估值。然后进行F检验，判断各样本的总体平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平均数进行两两之间的比较。

假设检验：分析数据之间差异是否显著。

i：代表水平；j：代表重复数

$x_{ij} = \mu _{i} + \varepsilon _{ij}$ ：观测值 = 治疗方案 + 随机因素

$\mu _{i}$ ：反映第x种(x = 1\2\3)治疗方案的平均治疗水平。

H0：原假设；各个水平下的均值相同

H0：先假定不同水平下的均值是相等的；三种治疗方案之间是没有差异的。-> 利用数据分析进行检验（类似于反证法）

单因素方差分析法是将样本总偏差的平方和分解成两个平方和（因子平方和和误差平方和），通过这两个平方和之间的比较，导出假设检验的统计量和拒绝域。

总偏差平方和：所有数据的偏差平方和。（求和：每个观测值与总均值之间的差的平方。）

因子平方和：比较各个水平(行)下，数据之间的差异。xi：第i个水平下的样本均值。每个水平下的均值与总均值的偏差平方和。

误差平方和：各个组内的偏差平方和。每一行数据内部的偏差平方和。主要与随机误差有关。

自由度：自由取值的变量个数。

定理7.1.1 总变异 = 组间变异 + 组内变异

ST：所有数据之间的差异（xij之间的差异越大，ST就越大）。

$x_{ij} = \mu _{i} + \varepsilon _{ij}$ ： $\mu _{i}$ (组间变异\不同治疗方案) + $\varepsilon _{ij}$ (组内变异)

H0：原假设（ $\mu _{1} = \mu _{2} = \mu _{3} = ... = \mu _{r}$ ）

用“均方和”进行比较：消除自由度的影响。MSA、MSE进行比较：观察SA、SE哪个引起的误差偏大。

如果，因子平方和所占的比例较大：各个因子之间的差异较大；

如果，误差平方和所占的比例较大：数据之间的差异，主要由随机误差引起。

数据量越多，随机因素多占的比例越大，ST越大，∴ 用均方和进行比较。

$F(f_{A}, f_{E})$ ：F分布(第一自由度, 第二自由度)

第一自由度：(r-1)、(水平数-1) 第二自由度：(n-r)、(样本观测值的个数-水平数)

H0不合理：SA占的比例越大，F越大，越拒绝原假设。

一般，r ≥ 3 《概率论与数理统计》

拒绝原假设（各个水平下的均值相等）：各个水平下的均值有显著差异。P值越小（小于α）（α一般为0.05）

例7.1.1 Matlab求解

% 例7.1.1
x = xlsread('C:\Users\lwx\Desktop\chapter7.xlsx','Sheet1','A1:C18') % 读取数据
% 每个水平（列）下 观测值、重复数都是一样的 单因素误差分析：重复数一样的数据容易分析处理
[p,table,stats] = anova1(x)
图1：方差分析表图2：均值盒形图箱形图红线：反映平均血糖下降值(第1个下降值最高)

n:[18 18 18]：样本量 s：残差均方残差自由度：51 means：均值比较

三列数据：三组治疗方案的治疗效果；18个测试者；行数：重复数。

7.2 双因素方差分析

7.2.1 问题引入

在实际应用中，指标值（因变量）往往受多个不同因素的影响。不仅这些因素会影响指标值，而且这些因素的不同水平交叉也会影响指标值。统计学中把多个因素不同水平交叉对指标值的影响称为交互作用。在多因素方差分析中，交互作用作为一个新因素来处理。这里介绍两个因素的方差分析，亦称为双因素方差分析。

7.2.2 双因素方差分析的数据结构

假设在观测指标X的试验中，有两个变化因素A和B。因素A有r个水平，记作A1 ,A2 ,…,Ar；因素B有k个水平，记作B1 ,B2 ,…,Bk；则A 与B的不同水平组合 $A_{i}B_{j}$ （i=1,2,…,r；j=1,2,…,k）共有rk个，每个水平组合称为一个处理，每个处理作m次试验（亦可1次试验），得rkm个观测值 $x_{ij}$ ，双因素的有重复（无重复）观测数据表7.2.2。

交叉项：重复观测数

A1、B1水平下，有m个观测值。

7.2.3 因素方差分析模型

1. 无交互作用的双因素方差分析模型

在双因素方差分析中，若不考虑两因素的交互作用效应，数据可采用无重复观测。

类似于单因素方差分析

x11...xrk：交叉水平下的观测值。

$\overline{x_{i.}}$ ：第i行的算数平均（代表因素A的各个水平下的样本平均值）；

$\overline{x_{.j}}$ ：第j列的算数平均（代表因素B的各个水平下的样本平均值，因素B的第j个水平下数据的算数平均）；

$\overline{x}$ ：所有数据的算数平均（总算数平均值）。

$A_{i}$ ：第i个水平下

在无交互作用下，分析因素A，B的不同水平对试验结果是否有显著影响，即为检验如下假设是否成立：

检验两组假设：假设因素A下，不同水平下的均值没有差异；假设因素B...

类似单因素方差分析数据的处理，在上述定义下，无交互作用双因素方差分析模型中的平方和分解如下。

m=1的情况。

SA：不同行数据之间的差异，因素A的不同水平之间的差异；SB：不同列数据之间的差异。SE：随机误差平方和。

检验两组假设：假设因素A下，不同水平下的均值没有差异；假设因素B... --> 构造两个检验统计量。

无交互作用的双因素方差分析

在Matlab中进行双因素方差分析，采用命令

[p, table, stats] = anova2(x，reps)

reps：试验数据（每个交叉水平下）重复次数，缺省时为1。

% 例7.2.1
x = [365,350,343,340,323;345,368,363,330,333;
    358,232,353,343,308;288,280,298,260,298]'; % 不转置 也行
[p,table,stats] = anova2(x)
此图，表格数据有误。看matlab运行图，即可。

P值越大，越不拒绝原假设。

2. 有交互作用的双因素方差分析模型

在数据分析种，不一定存在交互作用，但是可以通过数据处理来识别有没有交互作用。

交叉水平下的重复数 m。l：交叉水平下的重复数。

$\overline{x_{i.}}$ ：第i行的算数平均（代表因素A的各个水平下的样本平均值）；

$\overline{x_{.j}}$ ：第j列的算数平均（代表因素B的各个水平下的样本平均值，因素B的第j个水平下数据的算数平均）；

$\overline{x_{ij}}$ ：因素A、B交叉水平下的平均值。

存在交互作用的情况下，双因素方差分析需要检验如下假设

原假设 H03：假设不存在交互作用。

有交互作用的双因素方差分析

重复观测、交互作用影响

拒绝原假设（各个水平下的均值相等）：各个水平下的均值有显著差异。P值越小（小于α）（α一般为0.05）

P值大，不拒绝原假设。

% 例7.2.2
x = [26,19;24,20;27,23;25,22;25,21;
    20,18;17,17;22,13;21,16;17,12];
[p,table,stats] = anova2(x,5) % 5:每个交叉水平下的重复数

7.3 一元线性回归分析

在应用问题研究当中，如果涉及到变量与变量之间的分析，可以借助回归分析来进行研究。

7.3.1 回归分析的概念

研究变量间的关系常有两种。

确定性关系（函数关系）

如圆面积与圆半径的关系；价格一定时，商品销售额与销售量的关系等。

相关关系

如父亲与子女身高的关系；收入水平与受教育程度间的关系等。

变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表示，但在平均意义下有一定的定量关系表达式。研究总体（总体规律）

7.3.2 一元线性回归模型

$r_{xy}$ ：反映 x组数据与y组数据的线性相关程度。

$r_{xy}$ 越大，线性相关程度越强。 | $r_{xy}$ | ≤ 1

一元线性回归分析内容

（1）回归参数 $\beta _{0},\beta _{1},\sigma ^{2}$ 的估计

（2）回归模型的显著性检验

（3）回归参数的显著性检验

1.回归参数的估计

yi：观测值最小二乘法（参数估计、数据拟合） $\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}$ ：yi的回归值

(7.3.3) 求导式

$\overline{x} , \overline{y}$ ：x、y数据的样本均值

2.回归模型的显著性检验

在模型假定下，可以证明

对模型（7.3.2）的显著性提出假设

H0 : 回归方程不显著，H1 : 回归方程显著

如果回归方程显著，意味着SSE应该比较小，F值应该比较大，所以在显著水平α下，当 $F\geq F_{\alpha }$ (1,n-2)时，拒绝原假设，认为回归方程显著。

3.回归参数的显著性检验

t^2 = F

MATLAB进行回归分析的命令为 regress，其调用方式为 [b,bint,r,rint,stats] = regress(y, x) ，其输出结果为

b ：回归方程的系数

bint：回归方程系数的95%置信区间

r: 回归方程的残差

rint：残差的95%置信区间

stats: 可决系数 $R^{2}$ 、模型检验F值、模型检验P值

7.3.3 一元线性回归分析应用

例7.3.1 为研究销售收入与广告费用支出之间的关系，某医药管理部门随机抽取20家药品生产企业，得到它们的年销售收入和广告费用支出(万元)的数据如下表。分析销售收入与广告费用之间的关系。

分析由表（1）可得模型检验F值为116.3958，P值非常小，即模型是显著的；由表（2）可得模型的决定系数 $R^{2}$ = 0.866067，接近于1，说明模型拟合效果较好；由表（3）可得回归方程的系数 $\beta _{0}$ = 274.5502， $\beta _{1}$ = 5.1308，且参数 $\beta _{1}$ 检验的P值较小，显著非零，则回归方程为

根据得到的回归方程可进行因变量y的估计和预测。

7.4 多元线性回归分析

研究多个变量之间相关性的常用统计方法：多元线性回归分析。

7.4.1 多元线性回归模型

实际应用中影响因变量变化的因素往往有多个，例如产出受各种投入要素（资本、劳动力、技术等）的影响；销售额受价格和广告费投入等的影响。 研究多个变量影响因变量的情况。

回归模型中自变量（解释变量）个数为两个及两个以上时，即为多元回归模型。

多元线性回归模型的一般形式为

（p=1：一元线性回归模型）

$\beta _{1}$ ， $\beta _{2}$ ，...， $\beta _{p}$ 称为偏回归系数 $\beta _{0}$ ：辅助作用，根据实际问题分析，选择是否保留。

$β_{i}$ $\beta _{i}$ 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单位时，y 的平均变动值。

多元线性回归分析内容

回归参数的估计

回归方程的拟合优度

显著性检验

共线性诊断

7.4.2 回归参数的估计

$x_{np}$ ：第p个自变量的观测值。

yi的值由自变量xi的线性回归值、随机误差 $\varepsilon_{i}$ 的值所构成。

Y：因变量构成的列向量； $\beta$ ：回归参数向量； $\varepsilon$ ：随机误差项构成的向量。

偏导数 = 0

7.4.3 回归方程的拟合优度

7.4.4 显著性检验

多元线性回归分析的显著性检验包括模型的显著性检验和各偏回归系数的显著性检验。

1.模型的显著性检验

2. 偏回归系数的显著性检验

关于模型的显著性检验不拒绝原假设时，模型是不显著的，此时不必做偏回归系数的显著性检验。

7.4.5 共线性诊断

多元线性回归分析中，要求回归模型（7.4.1）中自变量之间线性无关。若有两个或两个以上的自变量彼此相关，称模型存在多重共线性。

多重共线性产生的问题

（1）可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分析引入歧途；

（2）可能对参数估计值的正负号产生影响，特别是各回归系数的正负号有可能同预期的正负号相反。

检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型中各对自变量之间的相关系数，并对各相关系数进行显著性检验。若有一个或多个相关系数显著，就表示模型中所用的自变量之间相关，存在着多重共线性。

如果出现下列情况，暗示存在多重共线性。（存在多重共线性，需要对模型进行修正）

模型中各对自变量之间显著相关；

当模型的线性关系检验(F检验)显著时，几乎所有回归系数的t检验却不显著；

回归系数的正负号与预期的相反。

7.5 牙膏价格问题

7.5.1 问题描述

某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等因素之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。表7.5.1是30个销售周期(4周为1销售周期)中收集到的资料。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏的销售量与其它因素的关系，为制定价格策略和广告投入提供决策依据。

7.5.2 问题分析

1.牙膏价格与销售量

由于牙膏是小件生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌中间的价格差异，而不是他们的价格本身。因此在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格更为合适。

通过分析其他厂家牙膏价格与本公司牙膏价格差对销售量的影响关系，建立价格差与销售量的相关模型。

2.广告费用与销售量

通过分析广告费用对销售量的影响关系，建立广告费用与销售量的相关模型。

7.5.3 模型假设与符号

实际中，由于影响牙膏销售量的因素有很多，根据问题分析和相关数据，提出假设：

(1)假设牙膏销售量主要受价格差和广告费用影响，即其它因素对销售量的影响归入随机误差。

(2)令 y~本公司牙膏销售量； $x_{1}$ ~其它厂家牙膏价格与本公司牙膏价格差； $x_{2}$ ~本公司广告费用。 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 对y的影响、建立模型。

7.5.4 模型建立与求解

1.牙膏价格差对销售量影响模型

正相关的线性关系

2.广告费用对销售量影响模型

勉强接受：线性关系

建立模型：多尝试，以合理性为前提，越简单越好。

3.牙膏价格差与广告费用对销售量影响模型

由(7.5.1)和(7.5.2)，将常数项合并，随机误差项合并，且不考虑牙膏价格差与广告费用对销售量的交叉影响。可得牙膏价格差与广告费用对销售量影响模型

由数据进行回归分析，见表7.5.2

4.模型改进

只考虑线性关系

由表7.5.3回归结果可得，修正可决系数为0.874，模型显著性检验的p值为0，模型是显著的。并且各回归参数均显著非0，说明模型有效，得到牙膏价格差与广告费用对销售量影响模型为

7.5.5 结果分析

由模型(7.5.5)可知，提高本公司牙膏价格，将会减少本公司牙膏销售量，例如，广告费不变时，本公司牙膏价格比其它厂家平均价格提高1元，估计销售量将会减少约1.468百万支。

另一方面，一定程度上，增加广告费用将会提高销售量，但过度增加广告费用就会增加成本。

根据模型(7.5.5)，只要给定了 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，代入就可以对销售量进行估计和预测，还可以进行一定的置信度下的区间预测。如当 $x_{1}$ =0.2， $x_{2}$ =6.5时，可以计算得到销售量的预测值约为8.379（百万支），其95%的预测区间为[7.874, 8.863]。

在公司管理中，这个预测上限可以用来作为公司的生产和库存数量；而这个预测下限可以用来较好地把握公司的现金流，因为到时至少有7.874百万支牙膏可以有把握的卖出去，可以回来相应的销售款。

若考虑牙膏价格差与广告费用两个因素间可能会有交互作用，可以将二者的乘积 $x_{1}x_{2}$ 来表示这个作用对销售量的影响，对原来的模型进行改进，

同理，可对模型7.5.6进行回归分析，研究模型的有效性和显著性（略）。

7.6 方差分析与回归分析的SPSS实现

数据统计分析：Matlab、R、SPSS

7.6.1 SPSS软件概述

1 SPSS版本与安装

SPSS的版本每年更新，当前最新为SPSS26.0，较新版本都有中文版，这里以2013年的SPSS22.0中文版为例介绍其安装及应用。

数学建模【SPSS 下载、安装】

2 SPSS界面

SPSS的主要界面有数据编辑窗口和结果输出窗口。

SPSS软件在其基本界面上集成了数据录入、转换、检索、统计分析、作图、制表及编辑等功能；采用类似EXCEL表格的方式输入与管理数据，数据接口较为通用，能方便的从其他数据库中读入数据。

数据编辑窗口：标题栏、菜单栏、工具栏、状态栏、数据视图、变量视图

控制菜单图标、窗口名称、窗口控制图标、窗口控制按钮

变量视图

3 SPSS特点

（1）囊括了各种成熟的统计方法与模型，为统计分析用户提供了全方位的统计学算法，为各种研究提供了相应的统计学方法。

（2）提供了各种数据准备与数据整理技术。

（3）自由灵活的表格功能。

（4）各种常用的统计学图形。

SPSS最突出的特点就是操作界面极为友好，输出结果美观漂亮。SPSS是第一个采用人机交互界面的统计软件，非常容易学习和使用。

SPSS软件基本操作可通过点击鼠标来完成，有一定统计基础且熟悉Windows一般操作的应用者参考它的帮助系统基本上可以自学使用；除了数据录入及部分命令程序等少数输入工作需要使用键盘键入外，对于常见的统计分析方法完全可以通过对“菜单”、“对话框”的操作完成，无需编程。

4 SPSS数据

SPSS能够与常用的数据文件格式互交。 Excel文件

SPSS数据文件中，变量有三种的基本类型：数值型、字符型和日期型。

SPSS的文件类型：

（1）数据文件：拓展名为.sav

（2）结果文件：拓展名为.spv

（3）图形文件：拓展名为.cht

（4）语法文件：拓展名为.sps

7.6.2 SPSS与方差分析

【例7.1.1、例7.2.2 Excel文件：链接：https://pan.baidu.com/s/1PLXyYCelCfOGgMPbl7T2AA 提取码：zjxs】

1 单因素方差分析

生成数据：1、导入数据；2、手工录入

54条数据：因变量（血糖下降值）记为A，分组变量（3个组别）记为g。Excel表中，第一行为变量名。

数据视图
变量视图

单因素方差分析

多重比较：将各个水平下的均值进行比较。Tukey：针对重复次数一样的多重比较。显著性水平默认 0.05。

左边：输出列表；右边：输出结果（概括性描述）。

表2：方差极性检验（显著性-P值：0.871）表3：方差分析表（因子平方和、误差平方和；总平方和）

只要P值小于0.05，就认为是有显著差异的。

根据多重比较的结果，进行分类得到的分类表。

均值图 1、2之间，有显著差异；2、3无显著差异。

2 双因素方差分析

【例7.1.1、例7.2.2 Excel文件：链接：https://pan.baidu.com/s/1PLXyYCelCfOGgMPbl7T2AA 提取码：zjxs】

双因素并且考虑交互作用的方差分析：将分析数据作为因变量指标；将时段、路段两个因素建立两个分组变量。

将Excel表中的数据，导入SPSS。

选择 “模型”：

绘图

-> 点击“添加” ->

事后多重比较

选项

7.6.3 SPSS与回归分析

SPSS回归分析过程

牙膏价格问题的回归分析

表1：自变量、因变量、标准差...描述结果；表2：相关系数矩阵表---研究共线性；

模型汇总统计量计算 Model Summary；ANOVA：回归分析的方差分析表；

coefficients：回归系数估计

不考虑x2（将x2从模型中去除！）

收起

展开全文

统计模型

数理统计实（试）验—多元回归分析excel操作分析&回归统计表、方差分析表、系数怎么看？R是什么意思？
2020-12-04 02:01:44
作于： 2020-12-4 修改于： 2020-12-11 14：52
```
作于：

2020-12-4

修改于：

2020-12-11

14：52
```
收起
展开全文
matlab多元回归分析怎么计算,第11讲_matlab多元回归分析
2021-04-18 05:04:33
《第11讲_matlab多元回归分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第11讲_matlab多元回归分析(53页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、,数学建模与数学实验,回归分析,.,实验目的,实验内容,1回归分析的基本理论.,3...
收起
【统计学笔记】方差分析表和回归分析表的解读
千次阅读 2020-12-30 12:03:48
1. 方差分析表 1.1 单因素方差分析表 误差来源平方和SSSSSS 自由度dfdfdf 均方MSMSMS FFF值 PPP值 FFF临界值Significance FSignificance \; FSignificanceF 组间（因素影响）factor Afactor \; \bold...
收起
matlab多元回归模型分析,matlab多元回归工具箱 Excel数据分析工具进行多元回归分析.doc...
2021-04-18 12:54:28
matlab多元回归工具箱 Excel数据分析工具进行多元回归分析.docmatlab多元回归工具箱 Excel数据分析工具进行多元回归分析导读：就爱阅读网友为您分享以下“Excel数据分析工具进行多元回归分析”资讯，希望对您有所...
收起
多元回归分析
千次阅读 2019-11-02 10:00:00
前言多元回归的形式如下：02.参数估计多元回归方程中各个参数也是需要估计的，关于为什么要估计，其实我们在一元线性回归里面也讲过。与一元线性回归不同的是，一元线性回归拟合的是一条线，而多元回归拟合的是一个...
收起
数学建模—多元回归分析
千次阅读 2020-07-08 13:42:45
title: 数学建模—多元回归分析 tags: 建模 EverydayOneCat 木星全貌???? 知识点 1.笔记在了接受域中，接受X为0的假设，X对外没有比较显著的线性关系。 2.知识点补充 多元回归模型：含两个以上解释变量的回归...
收起
数学建模
数学建模【SPSS 下载-安装、方差分析与回归分析的SPSS实现(软件概述、方差分析、回归分析)】
千次阅读 多人点赞 2020-08-05 18:33:51
7.6 方差分析与回归分析的SPSS实现 7.6.1 SPSS软件概述 1 SPSS版本与安装 2 SPSS界面 3 SPSS特点 4 SPSS数据 7.6.2 SPSS与方差分析 1 单因素方差分析 2 双因素方差分析 7.6.3 SPSS与回归分析 SPSS回归分析...
收起
数学建模
三因素多元方差分析
2020-02-02 13:22:58
三因素多元方差分析，胡想顺，刘小凤，目的给出三因素多元方差分析的原理以及过程。方法在学习两因素多元方差分析的基础上进行三因素多元方差分析的过程推导。结果 �
收起
python 多元线性回归_多元统计分析之多元线性回归的R语言实现
2020-11-22 17:49:19
或从数学上说，如果个体的观测数据能表为 P维欧几里得空间的点，那么这样的数据叫做多元数据，而分析多元数据的统计方法就叫做多元统计分析。重要的多元统计分析方法有:多重回归分析、判别分析、聚类分析、主成分...
收起
多元回归-最小二乘法-残差分析
2021-01-06 21:33:30
多元回归-最小二乘法-残差分析笔记一.多元线性回归模型的假设我们需要进行以下六个假设，这些假设是经典的多元线性回归模型有效的前提： 1、因变量Y和自变量X1，X2，…，Xk之间的关系是线性的。 2、自变量（X1，X2...
收起
多元回归分析（线性回归）
千次阅读 2020-08-13 18:14:30
多元线性回归分析一、回归的基本理解（1）回归的基本任务（2）回归里的关键词（3）回归里的数据类型（4）回归方程中的系数解释（5）核心解释变量和控制变量（6）特殊的自变量：虚拟变量X二、例题：电商平台的奶粉...
收起
统计学
拓端tecdat|R语言逐步多元回归模型分析长鼻鱼密度影响因素
2019-12-17 16:23:01
目录如何做多元回归 逐步回归选择模型 ...我从马里兰州生物流调查中提取了一些数据，以进行多元回归分析。数据因变量是每75米长的水流中长鼻鱼（Rhinichthys cataractae）的数量。自变量是河流流...
收起
R语言
多元线性回归分析（R语言）
万次阅读 多人点赞 2018-12-07 13:35:10
▼多元线性回归分析▼ 一、多元线性回归模型设变量Y与X1，X2，……，Xp之间有线性关系其中，和是未知参数，p≥2，称上公式为多元线性回归模型。二、参数估计我们根据多元线性回归模型，认为误差...
收起
R语言 R软件
多元线性回归分析理论详解及SPSS结果分析
万次阅读 多人点赞 2017-05-17 16:23:23
当影响因变量的因素是多个时候，这种一个变量同时与多个变量的回归问题就是多元回归，分为：多元线性回归和多元非线性回归。这里直说多元线性回归。对比一元线性回归： 1.1多元回归模型： ...1.2多元回归方
收起
7.3多元回归分析（multiple regretion）
2018-07-20 14:57:59
2.多元回归模型：其中，， 3.多元回归方程： 4.估计多元回归方程： 5.估计流程（与简单线性回归类似）： 6.估计方法：使sum of squares 最小运算与简单线性回归类似，...
收起
多元回归分析--学习笔记
万次阅读 2016-11-08 10:37:02
回归系数解释：回多元回归情形下，对每一个回归系数的解释如下，当所有其他自变量保持不变时，bi是因变量y对应于自变量xi改变一个单位时所做的改变的估计值。多元判定系数（R-sq）：计算方法同简单线性回归，...
收起
统计学
多元回归树分析Multivariate Regression Trees，MRT
千次阅读 2018-04-09 21:37:01
多元回归树分析 多元回归树（Multivariate Regression Trees，MRT）是单元回归树的拓展，是一种对一系列连续型变量递归划分成多个类群的聚类方法，是在决策树(decision-trees)基础上发展起来的一种较新的分类技术。...
收起
深度学习基础06---多元回归分析（上）
2020-11-05 09:40:59
多元回归具有多个变量 x，简单回归只有一个自变量 2.多元回归模型其中：β0，β1，β2…βp是参数，e为误差 3.多元回归方程 4.估计多元回归方程一个样本被用来计算β0,β1,β2...βpβ_0,β_1,β_2...β_pβ0...
收起
python 机器学习人工智能深度学习
Python实现多元线性回归
万次阅读 多人点赞 2018-04-12 21:39:25
Python实现多元线性回归线性回归介绍线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。其表达形式为y = w'x+e，e为误差服从均值为0的...
收起
Python 数据挖掘 pandas
多元回归
2018-09-29 15:41:39
2.多元回归模型 y = B0 + B1x1+B2x2+...+Bpxp + e e是误差值 3.多元回归方程期望值中e的期望值为0，因此得到多元回归方程如下 E(y) = B0 + B1x1+B2x2+...+Bpxp 4.估计多元回归方程 y_...
收起
回归算法
使用SPSS进行多元回归分析
万次阅读 多人点赞 2013-08-08 13:25:57
在大多数的实际问题中，影响因变量的因素不是一个而是多个，我们称这类回问题为多元回归分析。可以建立因变量y与各自变量xj(j=1,2,3,…,n)之间的多元线性回归模型：其中：b0是回归常数；bk(k=1,2,3,…,n)是...
收起
使用Excel数据分析工具进行多元回归分析
万次阅读 2017-04-18 15:41:35
使用Excel数据分析工具进行多元回归分析与简单的回归估算分析方法基本相同。但是由于有些电脑在安装办公软件时并未加载数据分析工具，所以从加载开始说起（以Excel2010版为例，其余版本都可以在相应界面找到）。 ...
收起
决策树模型回归可视化分析_多元统计分析-细化简单回归分析模型及步骤
2020-11-20 19:18:48
回归分析用于：–根据至少一个自变量的值...变量/截距/斜率/随机误差通过找到最小化残差平方和（误差）之和的b0和b1值来获得b0和b1：b0求得过程方差分析线性回归方程的解释能力总变化由两部分组成：y=因变量的平均值...
收起
matlab多元回归计算方差,matlab多元线性回归与逐步回归实验1.doc
2021-04-18 05:34:06
《模糊数学》实验报告实验名称：多元线性回归与逐步回归实验目的熟练掌握现行回归模型的建模方法，掌握regress命令的使用方法。掌握编程求总离差平方和TSS、回归平方和RSS、残差平方和ESS等相关统计量。3. 掌握逐步...
收起
使用Excel数据分析工具进行多元回归分析的方法
万次阅读 2019-03-11 14:03:05
使用Excel数据分析工具进行多元回归分析与简单的回归估算分析方法基本相同。但是由于有些电脑在安装办公软件时并未加载数据分析工具，所以从加载开始说起(以Excel2010版为例，其余版本都可以在相应界面找到)。点击...
收起
SPSS—回归—多元线性回归结果分析（二）
万次阅读 多人点赞 2014-03-19 17:57:28
SPSS—回归—多元线性回归结果分析（二），最近一直很忙，公司的潮起潮落，就好比人生的跌岩起伏，眼看着一步步走向衰弱，却无能为力，也许要学习“步步惊心”里面“四阿哥”的座右铭：“行到水穷处”，”坐看...
收起

多元线性回归方差分析表理解

多元相关分析与多元回归分析

变量间的关系分析

什么是相关分析

什么是回归分析

分析步骤

回归分析与相关分析的主要区别

一元线性相关分析

一元线性回归分析

建模

方差分析检验

t检验

多元回归分析模型建立

线性回归模型基本假设

多元回归分析用途

多元线性相关分析

矩阵相关分析

复相关分析

曲线回归模型

多项式曲线

二次函数

对数函数

指数函数

幂函数

双曲线函数

数学建模【统计模型及应用(单-双因素方差分析、一-多元线性回归分析、牙膏价格问题、方差分析与回归分析的...

7.1 单因素方差分析

7.1.1 方差分析概念

7.1.2 单因素方差分析的数据结构

例7.1.1 三种治疗方案对降血糖的疗效比较

7.1.3 单因素方差分析模型

定理7.1.1 总变异 = 组间变异 + 组内变异

例7.1.1 Matlab求解

7.2 双因素方差分析

7.2.1 问题引入

7.2.2 双因素方差分析的数据结构

7.2.3 因素方差分析模型

1. 无交互作用的双因素方差分析模型

2. 有交互作用的双因素方差分析模型

7.3 一元线性回归分析

7.3.1 回归分析的概念

相关关系的类型

7.3.2 一元线性回归模型

1.回归参数的估计

2.回归模型的显著性检验

3.回归参数的显著性检验

7.3.3 一元线性回归分析应用

7.4 多元线性回归分析

7.4.1 多元线性回归模型

多元线性回归分析内容

7.4.2 回归参数的估计

7.4.3 回归方程的拟合优度

7.4.4 显著性检验

1.模型的显著性检验

2. 偏回归系数的显著性检验

7.4.5 共线性诊断

7.5 牙膏价格问题

7.5.1 问题描述

7.5.2 问题分析

7.5.3 模型假设与符号

7.5.4 模型建立与求解

1.牙膏价格差对销售量影响模型

2.广告费用对销售量影响模型

3.牙膏价格差与广告费用对销售量影响模型

4.模型改进

7.5.5 结果分析

7.6 方差分析与回归分析的SPSS实现

7.6.1 SPSS软件概述

1 SPSS版本与安装

2 SPSS界面

3 SPSS特点

4 SPSS数据

7.6.2 SPSS与方差分析

1 单因素方差分析

2 双因素方差分析

7.6.3 SPSS与回归分析

SPSS回归分析过程

牙膏价格问题的回归分析

数理统计实（试）验—多元回归分析excel操作分析&回归统计表、方差分析表、系数怎么看？R是什么意思？

matlab多元回归分析怎么计算,第11讲_matlab多元回归分析