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  • 多元线性回归模型的几何意义

    千次阅读 2017-06-19 09:01:45
    传统的多元线性回归模型可以用矩阵来描述。 按照OLS估计方法得出的多元线性回归的参数结果 对于该式而言Y的估计值 其实正是n维向量Y 在n*k维矩阵(不存在向量自相关)所张成的k维空间上的正交投影。  ...
    模型设定与假设
    

    多元线性回归与一元线性回归在思想上并没有太大的不同 ,不过是多了一些变量罢了。考虑问题的角度要从之前的二维空间进阶到高维空间。传统的多元线性回归模型可以用矩阵来描述。

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    按照OLS估计方法得出的多元线性回归的参数结果为

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    对于该式而言Y的估计值

    image 其实正是n维向量Y 在n*k维矩阵(不存在向量自相关)所张成的k维空间上的正交投影。

    image

     

    正交投影是什么?

    使用余弦定理也可以说明Xb就是n维空间中的向量y在由X(n*p)矩阵构成的p维空间 image中的正交投影。

    正交投影矩阵可以由余弦定理推出:以二维空间为例说明

    image

     

    (余弦定理的证明可见http://www.cnblogs.com/pingzeng/p/5025672.html

    扩展到多维度空间的情况

    image

    便为矩阵X所张成的k维空间 的正交投影矩阵。

    该矩阵乘上任何一个n维向量所得到的结果即为该n维向量在空间image 的正交投影。

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  • 提纲: 线性模型的基本形式 多元线性回归的损失函数 最小二乘法求多元线性回归的参数 最小二乘法和随机梯度下降的区别 疑问 学习和参考资料   1.线性模型的基本形式 ...为什么说其解释性很强呢,因为模...

    提纲:

    1. 线性模型的基本形式
    2. 多元线性回归的损失函数
    3. 最小二乘法求多元线性回归的参数
    4. 最小二乘法和随机梯度下降的区别
    5. 疑问
    6. 学习和参考资料

     

    1.线性模型的基本形式

    线性模型是一种形式简单,易于建模,且可解释性很强的模型,它通过一个属性的线性组合来进行预测,其基本的形式为:

     

    式(1)

     

    转换成向量形式之后写成:

    式(2)

     

    为什么说其解释性很强呢,是因为模型的权值向量十分直观地表达了样本中每一个属性在预测中的重要度,打个比方,要预测今天是否会下雨,并且已经基于历史数据学习到了模型中的权重向量和截距b,则可以综合考虑各个属性来判断今天是否会下雨:

    式(3)

     

    2.多元线性回归的损失函数

    在多元线性回归任务中,均方误差是比较常用的一个损失函数,学习的任务就是要基于均方误差最小化来对模型的参数进行求解,损失函数的形式为:

     

    式(4)

    其中,m为样本的数量,yi为样本的真实值,f(x)为预测值。

    将式(4)中的截距b合并到w,使得新的权重向量增加多了一维,即:w=(w;b)(以下所有的w均是这种形式),相应的每个样本xi也增加了一维,变为xi=(x11,x12,x13···x1d,1)

    于是损失函数可以写成以下形式:

    式(5)

    其中y是样本的标记向量,y=(y1,y2,y3···ym),X为样本矩阵。

     

    3.最小二乘法求多元线性回归的参数

    在学习模型的任务中,我们要做到的是让预测值尽量逼近真实值,做到误差最小,而均方误差就是表达这种误差的一种,所以我们要求解多元线性回归模型,就是要求解使均方误差最小化时所对应的参数:

    式(6)

    其中w*为模型对应的解,即使得均方误差函数最小化时的权重向量。

    那么,我们应该如何求w*呢?在这里,我们可以用最小二乘法对模型的参数进行估计,具体做法是:损失函数对需要求解的参数进行求导,并且令其导数为0,求得相应的参数。

    在这里,我们需要让式(5)对w求导,在求导之前,我们来看一下两个求导公式:

    式(7)

    式(8)

     下图为详细的求导过程(字迹潦草~~请勿介意)

     损失函数对参数进行求导之后,可以求得:

    式(9)

     

    令式(9)为零可得:

    式(10)

    以上即为参数w最优解的闭式解,但我们可以发现w*的计算涉及矩阵的求逆,这样的话就有一些限制了,只有在X^T*X为满秩矩阵或者正定矩阵时,才可以使用以上式子计算。但在现实任务中,X^T*X往往不是满秩矩阵,这样的话就会导致有多个解,并且这多个解都能使均方误差最小化,但并不是所有的解都适合于做预测任务,因为某些解可能会产生过拟合的问题。

     

    4.最小二乘法和随机梯度下降的区别

    在学习的过程中,自己有想过这两者的区别,当初大概只知道以下一些东西:

    最小二乘法是最小化均方误差,当X^T*X为满秩矩阵时,可以直接求参数的闭式解,而随机梯度下降需要不断地迭代对参数进行更新,并且所求到的解不一定是全局最优解。

    但写博客的时候去逛了逛知乎,https://www.zhihu.com/question/20822481  其中用户夏之晨的答案让我茅塞顿开······

     

    5.疑问

    线性模型可以依靠权重来判断特征的重要程度,但这个判断究竟有多准确?特征之间的共线性使得特征相互之间会共享一些信息,又怎么判断某个特征的重要程度不是其他特征共享给它的呢?

     

    6.学习和参考资料

    周志华老师的《机器学习》

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  • 一元线性回归 回归分析只涉及到两个变量的,称一元回归分析。 一元回归的主要任务从两个相关变量中的一个变量去估计另一个变量,被估计的变量,称因...线性回归为什么选用平方和作为误差函数?假设模型结果与测...

    一元线性回归

    • 回归分析只涉及到两个变量的,称一元回归分析。
    • 一元回归的主要任务是从两个相关变量中的一个变量去估计另一个变量,被估计的变量,称因变量,可设为Y;估计出的变量,称自变量,设为X。回归分析就是要找出一个数学模型Y=f(x)y=ax+b

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    多元线性回归

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    注:为使似然函数越大,则需要最小二乘法函数越小越好

    线性回归中为什么选用平方和作为误差函数?假设模型结果与测量值 误差满足,均值为0的高斯分布,即正态分布。这个假设是靠谱的,符合一般客观统计规律。若使 模型与测量数据最接近,那么其概率积就最大。概率积,就是概率密度函数的连续积,这样,就形成了一个最大似然函数估计。对最大似然函数估计进行推导,就得出了推导后结果: 平方和最小公式

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    注:
    1.x的平方等于x的转置乘以x。
    2.机器学习中普遍认为函数属于凸函数(凸优化问题),函数图形如下,从图中可以看出函数要想取到最小值或者极小值,就需要使偏导等于0。

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    3.一些问题上没办法直接求解,则可以在上图中选一个点,依次一步步优化,取得最小值(梯度优化)

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    缺点:
    SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多,使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
    解决方案:
    1.动态更改学习速率a的大小,可以增大或者减小
    2.随机选样本进行学习

    • 批量梯度下降每次更新使用了所有的训练数据,最小化损失函数,如果只有一个极小值,那么批梯度下降是考虑了训练集所有数据,是朝着最小值迭代运动的,但是缺点是如果样本值很大的话,更新速度会很慢。
    • 随机梯度下降在每次更新的时候,只考虑了一个样本点,这样会大大加快训练数据,也恰好是批梯度下降的缺点,但是有可能由于训练数据的噪声点较多,那么每一次利用噪声点进行更新的过程中,就不一定是朝着极小值方向更新,但是由于更新多轮,整体方向还是大致朝着极小值方向更新,又提高了速度。
    • 小批量梯度下降法是为了解决批梯度下降法的训练速度慢,以及随机梯度下降法的准确性综合而来,但是这里注意,不同问题的batch是不一样的,nlp的parser训练部分batch一般就设置为10000,那么为什么是10000呢,我觉得这就和每一个问题中神经网络需要设置多少层,没有一个人能够准确答出,只能通过实验结果来进行超参数的调整。
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      注:批量梯度下降法BGD;
         随机梯度下降法SGD;
        小批量梯度下降法MBGD(在上述的批量梯度的方式中每次迭代都要使用到所有的样本,对于数据量特别大的情况,如大规模的机器学习应用,每次迭代求解所有样本需要花费大量的计算成本。是否可以在每次的迭代过程中利用部分样本代替所有的样本呢?基于这样的思想,便出现了mini-batch的概念。 假设训练集中的样本的个数为1000,则每个mini-batch只是其一个子集,假设,每个mini-batch中含有10个样本,这样,整个训练数据集可以分为100个mini-batch。)

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  • 此时Y连续的,所以是回归模型。 对应n维样本数据,对应的模型这样的: 其中θ模型参数。 一般用均方误差作为损失函数,损失函数的代数法表示如下: 用矩阵形式表示: 采用梯度下降法,则θ的迭代...

    逻辑回归不是回归算法,是分类算法,可以处理二元分类以及多元分类。

    线性回归

    线性回归的模型是求出特征向量Y和输入样本矩阵X之间的线性关系系数θ,满足Y = Xθ。此时Y是连续的,所以是回归模型。

    对应n维样本数据,对应的模型是这样的:

     其中θ为模型参数。

    一般用均方误差作为损失函数,损失函数的代数法表示如下:

    用矩阵形式表示为:

    采用梯度下降法,则θ的迭代公式为:

    如果采用最小二乘法,则θ为

    在这里最小二乘看上去比梯度下降更简便,但是最小二乘有很多局限性:

    1. 需要计算的逆矩阵,有可能这个逆矩阵不存在,这时就不能使用最小二乘,但梯度下降仍然能够使用。可以通过对样本数据进行整理,去掉冗余特征,使行列式不为0,就可以继续使用最小二乘。
    2. 当样本特征非常大时,计算的逆矩阵是一个非常耗时的工作,甚至不可行。此时梯度下降仍然可以使用。或者通过主成分分析降维后再最小二乘。
    3. 如果拟合函数不是线性的,就无法使用最小二乘,此时梯度下降仍然可以使用

    线性回归的正则化

    Lasso回归

    线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归,和一般线性回归的区别在于损失函数增加了一个L1正则化的项,同时有一个常数系数α来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重,具体Lasso回归的损失函数表达式如下:

     

    Lasso回归可以使一些特征系数变小,甚至一些绝对值较小的系数直接变为0,增强模型泛化能力。

    Lasso回归的求解办法一般有坐标轴下降法和最小角回归法。但Lasso也有L1范数的缺点,它虽然是凸函数,但并不是处处可微分。

    Ridge回归

    线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归。损失函数表达式如下:

    Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下缩小了回归系数,使得模型相对而言比较稳定,但和Lasso回归相比,会使模型的特征留的特别多,模型解释性差。

    Ridge回归一般可以直接采用最小二乘法,令J(θ)的导数为0:

    则最后的θ的结果:

    , 其中E为单位矩阵。

    也可以用梯度下降法进行表示

     

    可以看出,在正则化系数越大的情况下,回归系数越小。当正则化系数大到一定的程度时,所有特征系数会越来越趋于0。从模型的复杂度上来解释,更小的权值代表复杂度更低,也就是说θ越小,网络复杂度越低,但是没办法让它全为0,所以没法做特征选择。

    接上,上面的Y是连续的,如果想要Y是离散的,就再做一次函数转换变为g(Y)。如果使g(Y)在某个实数区间的时候为类别A,另一个实数区间的时候为类别B。就得到一个分类模型。如果类别只有两种,就是二元分类模型。

    Ridge的优点包含了L2范数的优点,它是凸函数,且处处可微分。

    二元逻辑回归

    这个函数g一般取为sigmoid函数,形式如下:

    可以看到,当z趋近正无穷,g(z)趋于1,而当z趋于负无穷时,g(z)趋于0。非常适合于分类概率模型。

    另外还有一个很好的导数性质:

    扯一些题外话,为什么逻辑回归叫对数几率回归,可跳过:

    在使用Tensorflow时,我们可能经常会看到Logits这个东西,它其实应该分开读log it,这个it指的就是几率(Odds),而Log it指的就是对数几率。

    我们知道概率是P(A) = 发生事件A的次数  /  所有事件的次数

    而几率 Odds(A) = 发生事件A的概率/不发生事件A的概率 = P(A)/1-P(A)

    那对数几率就是\theta = log\frac{P}{1 - P},这里是自然对数,它的图像是

    我们用θ将P进行表示:

    P = \frac{e^{\theta }}{1 +e^{\theta }} = \frac{1}{1+e^{-\theta }}

    这不就是我们的sigmoid函数嘛?

    而θ就是我们的对数几率,这就是为什么使用了sigmoid函数的逻辑回归叫做对数几率回归的原因。

    顺便值得一提的是,将Logit(θ,对数几率)输入sigmoid函数时为二分类概率,输入softmax函数时(此时Logit是一维向量)便得到了多分类概率。

    线性回归: Y = θX

    令z = θX,则   。其中x为样本输入,为模型输出,理解为某一分类的概率大小。而θ为分类模型的模型参数。可以通过设置阈值,比如0.5,当比阈值大时,则y为1,反之则y为0。

    的值越小,则分类为0的概率越高,反之,值越大的话,分类为1的概率越高。如果靠近临界点(阈值),则分类准确率下降。

    也可以写成矩阵的模型:

    ,其中为模型输出,为mx1的维度。X为样本特征矩阵,为mxn维度,θ为模型系数,为nx1向量。

     

    二元逻辑回归的损失函数

    线性回归的输出是线性的,所以可用误差平方和来定义损失函数。但是逻辑回归不是连续的,但是可以用最大似然估计法来推导出损失函数。

    如果输出是0和1两类,假定输入样本x,用表示训练样本x条件下预测y =  1的概率,则为相应样本预测y = 0的概率。

    可以看出符合样本符合0-1分布(伯努力分布),将其合并则有概率分布表达式

    ,y为0时则是预测y = 0的概率,y为1时预测y = 1的概率。

    有了概率分布表达式,则可以通过极大似然估计来求解需要的模型系数了。

    极大似然估计:最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。打个比方:一个袋子中有20个球,只有黑白两色,有放回的抽取十次,取出8个黑球和2个白球,计算袋子里有白球黑球各几个。那么我会认为我所抽出的这个样本是被抽取的事件中概率最大的。设取黑球的概率为p, p(黑球=8) = p^8*(1-p)^2,让这个值最大。极大似然法就是基于这种思想。

    于是,逻辑回归的似然函数的代数表达式就为极大似然估计,我们要让以下损失函数最大:

    ,其中m为样本个数。

    接着对似然函数对数化,得到对数似然损失函数表达式为:

    这其实正好也是二分类模型的交叉熵代价函数。

    将sigmoid代入,最后得到的式子为:

    \sum_{i = 1}^{n} y_{i}\theta x_{i} - log(1 + e^{\theta x_{i} }),这其实就是Logistic Loss的其中一种写法,此时

    ,可以写成另外一种形式,\sum_{i = 1}^{n} log(1 + e^{-y_{i}\theta x_{i} })。可见当yi均为1时两个形式相等,而第一个形式当yi为0时,对应第二个形式yi为-1。

    接下来,我们要找到使损失函数最大的参数θ。

    通过取反,转换为找到损失函数最小时的参数θ,这个时候就可以用梯度下降法:

    其矩阵形式为:

    为什么用极大似然估计而不用最小二乘法?

    实际上也可以使用最小二乘,但是最小二乘得到的权重效果比较差,因为使用最小二乘法,目标函数就是差值的平方和,是非凸的,不容易求解,容易陷入到局部最优解。

    如果使用极大似然估计,目标函数就是对数似然函数,是关于(w, b)的高阶连续可导凸函数,可以方便通过一些凸优化算法求解,比如梯度下降、牛顿法等。

    二元逻辑回归损失函数的优化方法

    常见的有梯度下降法,坐标轴下降,牛顿法等。

    这里使用梯度下降法进行推导:

     

    二元逻辑回归正则化

    常见的有l1正则化和l2正则化。

    l1正则化增加了l1范数作为惩罚,超参数α作为惩罚系数,调节罚项大小。这里用矩阵形式的损失函数来表示

    l1正则化一般用坐标轴下降法和最小角回归法。

    l2正则化损失函数表达式为:

    优化方法和普通的逻辑回归类似。

     

    二元逻辑回归的推广:多元逻辑回归

    二元逻辑回归推广到多元逻辑回归,比如总是认为某种类型为正值,其余为0值(1-vs-rest),我们可以训练k个二分类的逻辑回归分类器,第i个分类器用以区分每个样本是否可以归为第i类。

    可以假设每个样本属于不同标签的概率服从于几何分布,使用多项逻辑回归(softmax regression)来进行分类

    其中为模型的参数。一般来说多项逻辑回归会有参数冗余的特点,即将同时加减一个向量后预测结果不变。特别的,当类别数为2时:

    利用参数冗余的特点,将所有参数减去,变成:

    这其实就是逻辑回归的形式,可以看出二分类逻辑回归实际上是多分类逻辑回归的特例。

    多元回归的推导和二元回归类似。

    调参

    penalty: 正则化选择参数。可选“l1”或“l2”,默认是l2的正则化。如果L2正则化还是过拟合,可以考虑L1正则化。

    solver: 优化算法选择参数。默认“liblinear”,内部使用坐标轴下降法来迭代优化损失函数。“lbfgs”,拟牛顿法的一种,利用损失函数二阶导数矩阵即海森矩阵来迭代优化损失函数。“newton-cg”也是牛顿法家族的一种。“sag”即随机平均梯度下降,梯度下降法的变种,和普通下降法的区别是每次迭代仅仅用一部分的样本来计算梯度,适合于样本多的时候。

    multi_class:ovr(默认)multinomial两种选项。ovr即one-vs-rest(所有都可以看做二元逻辑回归。具体做法是,对于第K类的分类决策,我们把所有第K类的样本作为正例,除了第K类样本以外的所有样本都作为负例,然后在上面做二元逻辑回归,得到第K类的分类模型。其他类的分类模型获得以此类推),而multinomial即前面提到的many-vs-many(MvM,这里举MvM的特例one-vs-one(OvO)作讲解。如果模型有T类,我们每次在所有的T类样本里面选择两类样本出来,不妨记为T1类和T2类,把所有的输出为T1和T2的样本放在一起,把T1作为正例,T2作为负例,进行二元逻辑回归,得到模型参数。我们一共需要T(T-1)/2次分类)。如果是二元逻辑回归,ovr和multinomial并没有任何区别,区别主要在多元逻辑回归上。

    class_weight: 标示分类模型中各种类型的权重,可以不输入,即不考虑权重,或者说所有类型的权重一样。“balanced”,那么类库会根据训练样本量来计算权重,某类样本量越多,则权重越低,样本量越少,则权重越高。

    sample_weight: 对于样本不平衡问题,可以通过sample_weight来调节每个样本权重。如果上面两种方法都用到了,那么样本的真正权重是class_weight*sample_weight。

    小结

    逻辑回归是基于伯努利分布假设的概率模型,通过极大似然估计的假设,输出y=1的概率。逻辑回归也可以看做一个单层神经网络添加sigmoid函数进行分类。

    逻辑回归严格来说属于广义线性模型,是非线性模型,但是在没有其他条件下只能对线性可分的数据进行分类。通过对数据进行升维(非线性映射),之后线性可分,可以使逻辑回归进行非线性分类。

    逻辑回归是解决工业规模问题最流行的算法。但在工业界很少将连续值作为逻辑回归的模型的特征输入,而是将连续特征离散化为一系列0,1特征交给逻辑回归模型,这样做的优势有:

    1、易于模型快速迭代

    2、稀疏向量内积乘法运算速度快,计算结果方便存储,容易扩展

    3、离散后的特征对异常数据有很强鲁棒性:比如大于30岁是1,300岁还是1

    4、简化逻辑回归模型的作用,降低过拟合的风险

    优点:

    • 适合需要得到一个分类概率的场景
    • 计算代价小,在时间和内存需求上相当高效。可应用于分布式数据
    • 对于小噪声的鲁棒性很好,并且不会受到轻微的多重共线性的特别影响(严重多重共线性则可以使用逻辑回归结合L2正则化来解决。但是若想得到一个简约模型,L2正则化并不是最好的选择,因为它建立的模型涵盖了全部的特征)

    缺点:

    • 容易欠拟合,分类精度不高
    • 数据特征有缺失或者特征空间很大时表现效果并不好
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