多元线性回归模型是一种简单而且有效的数学模型，一直在各领域广泛使用。一个多元回归模型建好后，如何评价模型的优劣呢？
1. F值检验
因变量的总变异(数据与均值之差的平方和，记为SStotal)由回归平方和(因变量的变异中可以由自变量解释的部分，记为SSR)与误差平方和(记为SSE)构成，如果自变量引起的变异大于随机误差引起的变异，则说明因变量与至少一个自变量存在线性关系。回归平方和与误差平方和的比值记为F，F值服从F分布，通过查F分布概率表可得F值对应的概率，从而判断是否存在统计学意义。F值越大越好。
2. 偏回归系数检验
通过了F检验只说明因变量至少和一个自变量存在线性关系，但不是所有x都跟y存在线性关系。对每个变量的回归系数分别作t检验，假设回归系数为0，得到的概率值越小越好，一般取0.05作为临界值。
3. 标准化偏回归系数
y和x均经过标准化，均值为0，标准差为1，此时的回归结果常数项为0.消除了量纲的影响，更能直观表示自变量对因变量的影响。如果某项回归系数接近0，则说明该自变量与因变量的不具有线性关系，应当剔除。
4. 复相关系数R
指的是因变量与因变量的估计值(回归后得出的值)之间的简单线性相关系数，范围在0-1之间，一般来说，R值应大于0.9，但在某些社会科学研究中只要求R大于0.4，这是因为在社会科学研究中存在大量对因变量有影响却无法进行量化的因数，无法纳入模型研究。值得注意的是，即使向模型增加的变量没有统计学意义，R值也会增加，所以R值只作为参考。
5. 决定系数R2
因变量总变异中由模型中自变量解释部分的比例。也是越大越好，但是存在与R同样的问题。
R2=SSR/SStotal=1-SSE/SStotal
6.校正的决定系数R2adj
将自变量的个数纳入了考量范围，解决了R2 的局限性，不会随着自变量的增加而增加。当模型中增加的自变量缺乏统计学意义时，校正的决定系数会减小。该项系数越大越好。
R2adj=1-(n-1)(1- R2)/(n-p-1) n表示样本量，p表示模型中自变量个数
7.剩余标准差
误差均方的算术平方根，该值应明显小于因变量的标准差，越小越好。说明在引入模型自变量后，因变量的变异明显减小。
8. 赤池信息准则AIC
包含两部分，一部分反映拟合精度，一部分反映模型繁简程度(自变量个数越少模型越简洁)，该值越小越好。值得注意的是，用最小二乘法拟合模型与用最大似然估计拟合的模型，其AIC计算方法是不一样的，所以用AIC进行模型比较时应注意拟合的方法是相同的才行。
最小二乘法拟合时：AIC=nln(SSE/n)+2p
最大似然估计拟合时：AIC=-2ln(L)+2p L为模型的最大似然函数
以上8种数据很多统计软件都能方便地输出。
9.预测效果
在数据量较大时，可留一部分数据用作预测，根据预测结果判断模型优劣。

	

交互作用的概念简单地说，交互作用指当两个因素都存在时，它们的作用大于或小于各自作用的和(大于的情况就是我们常说的协同，小于的情况就是我们常说的拮抗)。交互作用的理解看上去很简单，但需要注意的是交互作用的评价与作用的测量方法有关，也就是与结局变量的类型有关。一般结局变量有定量变量、定性变量两种情况。下面分别举例说明：情况1、结局变量为定量变量以吸烟(smoke)和饮酒(alcohol)对收缩压(SBP)的影响为例。一般大家都是建立以下多元线性回归模型：SBP=β0+β1*alcohol+β2*smoke那么什么是交互作用呢？根据吸烟与饮酒将研究对象分成四组，各组SBP的均数可用下表表示：吸烟与饮酒对SBP的影响，有无交互作用反映在β12上，检验β12是否等于零就是检验吸烟与饮酒对SBP的影响有无交互作用。而上面的案例中的多元线性回归模型是假设β12等于零所做的回归方程。情况2、结局变量为定性变量以吸烟(smoke)和饮酒(alcohol)对高血压患病率的影响为例。一般大家都是建立以下多元Logistic回归模型：logitP=β0+β1*alcohol+β2*smoke交互作用存在以下两种情况：(1)相加模型：(2)相乘模型：相加模型检验Isa是否等于0，相乘模型检验B是否等于1，可以想象Isa等于零时，B不一定等于1，因此会出现按不同的回归模型检验得出的结论不同。在报告交互作用检验结果时，要清楚所用的是什么模型。一般的线性回归的回归系数直接反映因变量的变化，是相加模型。而Logistic回归由于P值经过logit转换，是反映比值比的变化，属相乘模型。有一个情况大家没有考虑到：既然logistic回归或Cox回归模型为相乘模型，那乘积项的参数检验只能检验因素间是否有相乘交互作用，而无法检验是否存在相加交互作用。Rothman和Hosmer用于评价相加交互作用的三个指标，即1、相对超危险度比(RERI);2、归因比(AP)；3、交互作用指数(S)。如果无相加交互作用，则RERI和AP的可信区间应包括0，S的可信区间应包含1。那问题来了，这三个指标怎么计算？
Andersson等编制了Excel计算表，输入自变量间的协方差，即可自动获得REPI、AP和S的估计值及其95%置信区间，进而评价因素间是否具有相加交互作用。
协方差的获取在SPSS的操作如下：
不论结局变量是二分类还是多分类，均在多项Logistic回归菜单下进行操作。
Andersson编制的Excel计算表界面如下：(只需录入协方差数据)
Andersson编制的Excel表已经得到世界的认可，大家可以放心使用。论文中注明是使用该表计算的即可。下载链接如下：链接：http://pan.baidu.com/s/1i4LBnAd 密码：dntu
松哥：多元回归中经常需要考虑是否存在交互作用。在logistic回归或Cox回归模型中我们常常只关注乘积项的参数检验，以为这就是交互作用的全部。其实不然，相加交互作用往往被忽视。
整理不易，欢迎点亮再看！
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【2003.】SPSS两独立样本t检验的简易算法(无需原始数据)
【2002.】太伤自尊了，自以为学会了，现在用SPSS连两独立样本t检验都做不好
【2001.】SPSS作图坐标轴不过原点的解决办法
【2000.】临床预测模型SPSS验证实战
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文章目录
一、算法介绍
二、适用问题
三、算法总结
四、应用场景举例
五、SPSS操作
六、实际案例
七、论文案例片段（待完善）


多元回归分析模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——四、五

视频回顾

一、算法介绍
回归分析定义：

 回归分析是一种统计学上分析数据的方法，目的在于了解两个或多个变量间是否相关、相关方向与强度，并建立数学模型以便观察特定变量来预测研究者感兴趣的变量。

回归分析思想：

 回归分析的基本思想是：虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系，但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

多元回归分析的由来：

 在自变量很多时，其中有的因素可能对应变量的影响不是很大，而且x之间可能不完全相互独立的，可能有种种互相作用的关系。在这种情况下可用逐步回归分析，进行x因子的筛选，这样建立的多元回归模型预测效果会更好。
二、适用问题

收入水平与受教育程度、所在行业、工作年限、工作种类的关系。
公路客运量与人口增长量、私家车保有量、国民生产总值、国民收入、工农业总产值、基本建设投资额、城乡居民储蓄额、铁路和水运客运量等因素的关系

三、算法总结
四、应用场景举例
 以陕西省长武地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例，建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个，通过逐步回归，从中选出对病情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。












五、SPSS操作







六、实际案例


七、论文案例片段（待完善）

	

May   2020
刚刚结束了期中考试(噩梦)
小伙伴们是否还在考试后的狂欢之中呢~
适当放松之后
不要忘记我们的建模课程总结喔
多元线性回归介绍
多元线性回归方程用来描述一个因变量和多个自变量之间的关系，我们常常利用构造多元线性回归矩阵解决问题。
多元线性回归矩阵的条件和步骤
条件：
1.服从正态分布
2.无偏性解释
3.同共方差性检验
4.独立性假设
一般步骤：
1.求回归偏导系数建立回归方程
2.检验并评价回归方程及各变量的大小作用
多元线性回归方程的建立
1.最小二乘法
2.求偏导数
3.利用stats、python、matlab等软件处理
多元线性回归方程的检验及评价(指明方程中每一个变量对Y的影响)
1.对回归方程
a.方差分析法
可将回归方程中所有自变量作为一个整体来检验他们与因变量之间是否有线性关系，并对回归方程的预测或解释能力做出综合评价
b.决定系数
自变量能够解释Y变化的百分比，其值越接近一，说明我们的模型拟合效果越好
c.相关系数r
可以度量Y与多个自变量的相关程度，也就是观察值与估计值之间的相关程度
2.对各自变量的假设检验与评价
a.偏回归方程和
b.t检验法
c.标准化回归系数
例题：
每周六晚
19：00-20：00
每周一晚
20：00-？
我们在钉钉，不见不散~
made by 张家辉、郑韫芊