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  • 数据分析中选择回归,来完成我们的多元线性回归预测 输出: 截取的部分price预测值 总结 使用数学方法对影响因变量的各种因素进行分析,可以快速确定自变量与因变量之间是否存在线性关系,能够帮助我们建立...
    1. 打开Excel 选择数据->数据分析
      在这里插入图片描述

    2. 有的同学Excel可能右边没有数据分析这个选项,需要我们手动添加相应的工具库
      2.1 找到Excel选项,文件->选项–>加载项->转到
      在这里插入图片描述

    2.2 选择分析工具库,确定即可。
    在这里插入图片描述

    1. 数据分析中选择回归,来完成我们的多元线性回归预测
      在这里插入图片描述

    2. 输出:
      在这里插入图片描述

    3. 截取的部分price预测值
      在这里插入图片描述

    4. 总结
      使用数学方法对影响因变量的各种因素进行分析,可以快速确定自变量与因变量之间是否存在线性关系,能够帮助我们建立合适的数学模型。本次课题研究通过数学模型对房屋售价进行分析,通过前向逐步筛选法确定多元线性回归的相关系数并建立模型,通过建立的线性回归模型,在众多的自变量中找到了与房屋售价具有线性相关性的自变量,然后在此基础上建立多元线性回归模型,并使用该模型对房屋售价进行预测,得到了与真实值较为接近的估计值

    展开全文
  • 多元线性回归算法

    2021-10-25 18:39:30
    在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。...

    一、概念

    在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。

    二、EXCEL的多元线性回归

    ①删除不必要数据列neighborhood和style
    在这里插入图片描述
    ②数据分析->回归
    在这里插入图片描述
    ③选定输入输出数据的区域
    在这里插入图片描述
    ④结果
    在这里插入图片描述

    三、代码实现多元线性回归

    这一部分的具体操作可以参考以下链接
    excel线性回归与jupyter编程

    1.sklearn包实现

    ①不进行数据处理
    导入包

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import seaborn as sns
    from sklearn import datasets
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    

    读取文件

    df = pd.read_csv('..\\source\\house_prices.csv')
    df.info()#显示列名和数据类型类型
    df.head(6)#显示前n行,n默认为5
    

    取出自变量和因变量

    #取出自变量
    data_x=df[['area','bedrooms','bathrooms']]
    data_y=df['price']
    

    进行多元线性回归并得出结果

    # 进行多元线性回归
    model=LinearRegression()
    l_model=model.fit(data_x,data_y)
    print('参数权重')
    print(model.coef_)
    print('模型截距')
    print(model.intercept_)
    

    运行结果
    在这里插入图片描述
    ②进行数据处理
    需要进行异常值检测

    # 异常值处理
    # ================ 异常值检验函数:iqr & z分数 两种方法 =========================
    def outlier_test(data, column, method=None, z=2):
        """ 以某列为依据,使用 上下截断点法 检测异常值(索引) """
        """ 
        full_data: 完整数据
        column: full_data 中的指定行,格式 'x' 带引号
        return 可选; outlier: 异常值数据框 
        upper: 上截断点;  lower: 下截断点
        method:检验异常值的方法(可选, 默认的 None 为上下截断点法),
                选 Z 方法时,Z 默认为 2
        """
        # ================== 上下截断点法检验异常值 ==============================
        if method == None:
            print(f'以 {column} 列为依据,使用 上下截断点法(iqr) 检测异常值...')
            print('=' * 70)
            # 四分位点;这里调用函数会存在异常
            column_iqr = np.quantile(data[column], 0.75) - np.quantile(data[column], 0.25)
            # 1,3 分位数
            (q1, q3) = np.quantile(data[column], 0.25), np.quantile(data[column], 0.75)
            # 计算上下截断点
            upper, lower = (q3 + 1.5 * column_iqr), (q1 - 1.5 * column_iqr)
            # 检测异常值
            outlier = data[(data[column] <= lower) | (data[column] >= upper)]
            print(f'第一分位数: {q1}, 第三分位数:{q3}, 四分位极差:{column_iqr}')
            print(f"上截断点:{upper}, 下截断点:{lower}")
            return outlier, upper, lower
        # ===================== Z 分数检验异常值 ==========================
        if method == 'z':
            """ 以某列为依据,传入数据与希望分段的 z 分数点,返回异常值索引与所在数据框 """
            """ 
            params
            data: 完整数据
            column: 指定的检测列
            z: Z分位数, 默认为2,根据 z分数-正态曲线表,可知取左右两端的 2%,
               根据您 z 分数的正负设置。也可以任意更改,知道任意顶端百分比的数据集合
            """
            print(f'以 {column} 列为依据,使用 Z 分数法,z 分位数取 {z} 来检测异常值...')
            print('=' * 70)
            # 计算两个 Z 分数的数值点
            mean, std = np.mean(data[column]), np.std(data[column])
            upper, lower = (mean + z * std), (mean - z * std)
            print(f"取 {z} 个 Z分数:大于 {upper} 或小于 {lower} 的即可被视为异常值。")
            print('=' * 70)
            # 检测异常值
            outlier = data[(data[column] <= lower) | (data[column] >= upper)]
            return outlier, upper, lower
    

    得到异常集并进行丢弃

    outlier, upper, lower = outlier_test(data=df, column='price', method='z')#获得异常数据
    outlier.info(); outlier.sample(5)
    df.drop(index=outlier.index, inplace=True)#丢弃异常数据
    

    取出自变量和因变量

    #取出自变量
    data_x=df[['area','bedrooms','bathrooms']]
    data_y=df['price']
    
    

    进行多元线性回归并得出结果

    # 进行多元线性回归
    model=LinearRegression()
    l_model=model.fit(data_x,data_y)
    print('参数权重')
    print(model.coef_)
    print('模型截距')
    print(model.intercept_)
    
    

    得出结果
    在这里插入图片描述

    2.线性回归模型的统计学库实现

    不同的导入函数及输出

    from statsmodels.formula.api import ols
    #不使用虚拟变量
    lm = ols('price ~ area + bedrooms + bathrooms', data=df).fit()
    lm.summary()
    

    处理结果
    在这里插入图片描述
    输出热力图
    在这里插入图片描述
    在图中可以看出 area,bedrooms,bathrooms 等变量与房屋价格 price 的相关性比较强。

    四、总结

    多元线性回归,重点难点在于多个变量与结果之间的关系,这次学到的热力图就是一个很好的工具,可以显而易见地看出各因素对于结果的影响。

    参考链接

    多元线性回归
    基于多元线性回归的房价预测

    展开全文
  • 多元线性回归常见问题

    千次阅读 2020-12-24 23:35:15
    0.多元线性回归多元线性回归是统计学中经常用到回归方法,一般需满足一下六个条件:随机误差项是一个期望值或平均值为0的随机变量;对于解释变量的所有观测值,随机误差项有相同的方差;随机误差项彼此不相关;解释...

    0.多元线性回归

    多元线性回归是统计学中经常用到回归方法,一般需满足一下六个条件:

    随机误差项是一个期望值或平均值为0的随机变量;

    对于解释变量的所有观测值,随机误差项有相同的方差;

    随机误差项彼此不相关;

    解释变量是确定性变量,不是随机变量,与随机误差项彼此之间相互独立

    解释变量之间不存在精确的(完全的)线性关系

    随机误差项服从正态分布。

    但以上六个条件算是比较严格的条件,在实践中大部分情况下难以满足。由于无法满足假设条件,因此多元线性回归也经常遇到多重共线性、自相关、异方差等问题。下面就总结下这三个常见的问题。

    1.多重共线性

    多重共线性是解释变量存在线性关系或者近似的线性关系,多重共线性影响的模型一般为底层是线性的模型,例如:回归、SVM等

    如果变量间不存在多重共线性,则变量系数组成的矩阵应该是满秩的,且变量间不存在共线性不代表变量间不存在非线性关系

    产生变量相关性的原因有很多,一般为经济变量之间的相同变化趋势,模型中包含滞后变量和截面数据等等

    1.1多重共线性的检验

    计算相关系数,因为相关系数是对线性相关的度量

    对于线性回归来说,删除或者增加变量系数是不是有较大变化

    系数的正负号是否与现实相违背

    系数通不过显著性检验

    变量之间做回归,计算可决系数和VIF=1/(1-可决系数)来度量,也称为方差扩大因子法

    1.2多重共线性的影响后果

    共线性使最小二乘法预估的参数不确定且估计值方差较大,方差较大又会导致参数的置信区间增大

    回归显著但是回归系数通不过检验,甚至会出现回归系数的正负号的不到合理的解释

    但是如果遇到必须使用这些变量度量且为了预测Y,则可以对这些变量进行线性组合

    1.3多重共线性的处理方法

    删除变量--这个方法一般不推荐使用,因为删除变量会导致异方差增大,异方差后面会讲到

    增加样本容量--这个好像现实中也不是很好实现,毕竟能用的数据肯定都会用的,时效性不强的也没太大用

    变换模型--对数据求差分;计算相对指标;吧相关变量做线性组合,即小类合并成大类;----比较靠谱的做法

    逐步回归----常用方法,添加删除变量之后做可决系数、F检验和T检验来确定是否增加或者剔除变量,若果增加变量对这些指标的影响较小,也认为指标为多余的,如果增加指标引起R和F的变动且通不过T检验,说明存在共线性---常常使用的方法

    岭回归---但是岭回归的参数k不好选择,k的选择严重影响方差和偏倚程度

    2.异方差性

    什么是异方差呢,我们前面写线性回归的时候说过,做线性回归应假定随机扰动项满足l平均值和同方差,同方差表示的是所有变量对其均值的分散程度相同,由于u=0,所以也可以说是Y围绕回归线均值的分散程度,但是如果u对不同x呈现的离散程度不同,则称u具有异方差性,也就是被解释变量的观测值分散程度随着解释变量的变化而 变化,也可以说异方差是某个解释变量引起的

    2.1产生异方差的原因

    模型的设定(例如多重共线性变量的删除,但是变量与y具有相关性,也会产生异方差)

    测量误差和截面数据的影响

    2.3异方差的影响

    存在异方差将不能保证最小二乘法估计的方差最小,但是模型的拟合依然是无偏性和一致性,但不具有有效性,即不具有最小方差

    异方差会导致参数的方差增大,如果还是使用不存在异方差时的方法进行估计,则会低估参数方差

    破坏t检验和f检验的有效性

    image

    由于参数估计不满足方差最小,所以不是有效的,则对Y的预测也是无效的

    2.4异方差的检验

    相关图检验---观察随着x的增加y的离散程度是否增加,如果增加说明存在递增的异方差

    残差图分析

    image

    image

    image

    White检验

    基本思想是如果存在异方差,x与u存在相关关系,所以white检验不但可以检验异方差,还可以检验时哪个变量导致的异方差,但该方法要求大样本,但是解释变量过多又会导致丧失自由度,所以一般用u与预测值y和y的平方做回归,用F检验检验是否存在异方差,H0所有系数为0不存在异方差,否则存在异方差

    2.5异方差的处理

    加权最小二乘法

    方差越小,样本偏离均值的程度越小,越重视,权重越大,否则越小,一般权重使用1/x,1/x2,1/根号x

    模型对数变换,log之后缩小了异方差的范围

    3.自相关

    自相关即u存在自相关,即cov(u)不等于0,不满足线性回归的假定

    3.1自相关产生的原因

    经济活动滞后和经济系统的惯性

    3.2自相关的后果

    存在自相关将不能保证最小二乘法估计的方差最小,但是模型的拟合依然是无偏性和一致性,但不具有有效性,即不具有最小方差,所以估计的参数不是最佳线性无偏估计

    低估真实的方差会导致高估t检验的值,夸大参数显著性,本来不重要的变量会变为重要的变量,失去t检验的意义

    方差的变大导致预测变量的区间增加,降低了预测的精度

    3.3自相关的检验

    残差图---et与e(t-1)的相关图

    DW检验

    但是DW检验的前提条件较多,首先需要u为一阶自回归,而且回归必须存在常数项

    image

    image

    image

    image

    3.4自相关的处理

    差分法

    科克伦--奥克特迭代

    基本思想是对变量回归,求残差u,u=相关系数*u(t-1)+随机扰动项

    然后根据计算出来的相关系数做差分,yt-相关系数y(t-1)=yt

    用yt和xt做回归

    然后令最终计算的参数=上一步计算的参数/(1-上一步的相关系数)

    迭代直到两次相关系数相差很小时作为最佳的相关系数

    展开全文
  • 在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。...


    一、多元线性回归


    在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。


    问题概述:
    市场房价的走向受到多种因素的影响,通过对影响市场房价的多种因素进行分析,有助于对未来房价的走势进行较为准确的评估。
    多元线性回归适用于对受到多因素影响的数据进行分析的场景。由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。本文基于数学模型,对过去一段时间某一地区的房屋出售价格等相关数据进行整理,利用多元线性回归的方法对数据进行分析,预测该地区未来的房价走势。



    二、使用EXCEL

    请添加图片描述


    neighborhood列和style列删除:

    请添加图片描述

    选择数据分析中的回归:
    请添加图片描述


    设置输入输出选项
    请添加图片描述


    分析结果:
    请添加图片描述


    三、Python中分析(不使用Sklearn)

    导入数据:

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import seaborn as sns
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    df = pd.read_csv('./data/house_prices.csv')
    df.info();
    df.head();
    

    在这里插入图片描述


    异常值处理:

    # 异常值处理
    # ================ 异常值检验函数:iqr & z分数 两种方法 =========================
    def outlier_test(data, column, method=None, z=2):
        """ 以某列为依据,使用 上下截断点法 检测异常值(索引) """
        """ 
        full_data: 完整数据
        column: full_data 中的指定行,格式 'x' 带引号
        return 可选; outlier: 异常值数据框 
        upper: 上截断点;  lower: 下截断点
        method:检验异常值的方法(可选, 默认的 None 为上下截断点法),
                选 Z 方法时,Z 默认为 2
        """
        # ================== 上下截断点法检验异常值 ==============================
        if method == None:
            print(f'以 {column} 列为依据,使用 上下截断点法(iqr) 检测异常值...')
            print('=' * 70)
            # 四分位点;这里调用函数会存在异常
            column_iqr = np.quantile(data[column], 0.75) - np.quantile(data[column], 0.25)
            # 1,3 分位数
            (q1, q3) = np.quantile(data[column], 0.25), np.quantile(data[column], 0.75)
            # 计算上下截断点
            upper, lower = (q3 + 1.5 * column_iqr), (q1 - 1.5 * column_iqr)
            # 检测异常值
            outlier = data[(data[column] <= lower) | (data[column] >= upper)]
            print(f'第一分位数: {q1}, 第三分位数:{q3}, 四分位极差:{column_iqr}')
            print(f"上截断点:{upper}, 下截断点:{lower}")
            return outlier, upper, lower
        # ===================== Z 分数检验异常值 ==========================
        if method == 'z':
            """ 以某列为依据,传入数据与希望分段的 z 分数点,返回异常值索引与所在数据框 """
            """ 
            params
            data: 完整数据
            column: 指定的检测列
            z: Z分位数, 默认为2,根据 z分数-正态曲线表,可知取左右两端的 2%,
               根据您 z 分数的正负设置。也可以任意更改,知道任意顶端百分比的数据集合
            """
            print(f'以 {column} 列为依据,使用 Z 分数法,z 分位数取 {z} 来检测异常值...')
            print('=' * 70)
            # 计算两个 Z 分数的数值点
            mean, std = np.mean(data[column]), np.std(data[column])
            upper, lower = (mean + z * std), (mean - z * std)
            print(f"取 {z} 个 Z分数:大于 {upper} 或小于 {lower} 的即可被视为异常值。")
            print('=' * 70)
            # 检测异常值
            outlier = data[(data[column] <= lower) | (data[column] >= upper)]
            return outlier, upper, lower
    
    outlier, upper, lower = outlier_test(data=df, column='price', method='z')
    outlier.info(); outlier.sample(5)
    

    在这里插入图片描述


    热力图:

    # 热力图 
    def heatmap(data, method='pearson', camp='RdYlGn', figsize=(10 ,8)):
        """
        data: 整份数据
        method:默认为 pearson 系数
        camp:默认为:RdYlGn-红黄蓝;YlGnBu-黄绿蓝;Blues/Greens 也是不错的选择
        figsize: 默认为 10,8
        """
        ## 消除斜对角颜色重复的色块
        #     mask = np.zeros_like(df2.corr())
        #     mask[np.tril_indices_from(mask)] = True
        plt.figure(figsize=figsize, dpi= 80)
        sns.heatmap(data.corr(method=method), \
                    xticklabels=data.corr(method=method).columns, \
                    yticklabels=data.corr(method=method).columns, cmap=camp, \
                    center=0, annot=True)
        # 要想实现只是留下对角线一半的效果,括号内的参数可以加上 mask=mask
    
    heatmap(data=df, figsize=(6,5))
    

    在这里插入图片描述
    可以看出 area,bedrooms,bathrooms 等变量与房屋价格 price 的关系都还比较强


    • 多元线性回归建模:
    # 随机选择 600 条数据
    df = df.copy().sample(600)
     
    from statsmodels.formula.api import ols
    
    lm = ols('price ~ area + bedrooms + bathrooms', data=df).fit()
    lm.summary()
    

    在这里插入图片描述


    可发现, R 2 = 0.687 R ^ 2 = 0.687 R2=0.687


    四、Python中分析(使用Sklearn)


    导入数据:

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import seaborn as sns
    from sklearn import datasets
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    df = pd.read_csv('data/house_prices.csv')
    df.info()#显示列名和数据类型类型
    df.head(6)#显示前n行,n默认为5
    

    在这里插入图片描述


    异常值检测:

    # 异常值处理
    # ================ 异常值检验函数:iqr & z分数 两种方法 =========================
    def outlier_test(data, column, method=None, z=2):
        """ 以某列为依据,使用 上下截断点法 检测异常值(索引) """
        """ 
        full_data: 完整数据
        column: full_data 中的指定行,格式 'x' 带引号
        return 可选; outlier: 异常值数据框 
        upper: 上截断点;  lower: 下截断点
        method:检验异常值的方法(可选, 默认的 None 为上下截断点法),
                选 Z 方法时,Z 默认为 2
        """
        # ================== 上下截断点法检验异常值 ==============================
        if method == None:
            print(f'以 {column} 列为依据,使用 上下截断点法(iqr) 检测异常值...')
            print('=' * 70)
            # 四分位点;这里调用函数会存在异常
            column_iqr = np.quantile(data[column], 0.75) - np.quantile(data[column], 0.25)
            # 1,3 分位数
            (q1, q3) = np.quantile(data[column], 0.25), np.quantile(data[column], 0.75)
            # 计算上下截断点
            upper, lower = (q3 + 1.5 * column_iqr), (q1 - 1.5 * column_iqr)
            # 检测异常值
            outlier = data[(data[column] <= lower) | (data[column] >= upper)]
            print(f'第一分位数: {q1}, 第三分位数:{q3}, 四分位极差:{column_iqr}')
            print(f"上截断点:{upper}, 下截断点:{lower}")
            return outlier, upper, lower
        # ===================== Z 分数检验异常值 ==========================
        if method == 'z':
            """ 以某列为依据,传入数据与希望分段的 z 分数点,返回异常值索引与所在数据框 """
            """ 
            params
            data: 完整数据
            column: 指定的检测列
            z: Z分位数, 默认为2,根据 z分数-正态曲线表,可知取左右两端的 2%,
               根据您 z 分数的正负设置。也可以任意更改,知道任意顶端百分比的数据集合
            """
            print(f'以 {column} 列为依据,使用 Z 分数法,z 分位数取 {z} 来检测异常值...')
            print('=' * 70)
            # 计算两个 Z 分数的数值点
            mean, std = np.mean(data[column]), np.std(data[column])
            upper, lower = (mean + z * std), (mean - z * std)
            print(f"取 {z} 个 Z分数:大于 {upper} 或小于 {lower} 的即可被视为异常值。")
            print('=' * 70)
            # 检测异常值
            outlier = data[(data[column] <= lower) | (data[column] >= upper)]
            return outlier, upper, lower
    
    
    outlier, upper, lower = outlier_test(data=df, column='price', method='z')#获得异常数据
    outlier.info(); outlier.sample(5)
    df.drop(index=outlier.index, inplace=True)#丢弃异常数据
    

    在这里插入图片描述


    进行回归:

    #取出自变量
    data_x=df[['area','bedrooms','bathrooms']]
    data_y=df['price']
    # 进行多元线性回归
    model=LinearRegression()
    l_model=model.fit(data_x,data_y)
    print('参数权重')
    print(model.coef_)
    print('模型截距')
    print(model.intercept_)
    from statsmodels.formula.api import ols
    #不使用虚拟变量
    lm = ols('price ~ area + bedrooms + bathrooms', data=df).fit()
    lm.summary()
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    可发现, R 2 = 0.626 R^2 = 0.626 R2=0.626


    五、总结

    多元线性回归更符合实际,比一元线性回归的实用意义更大。


    参考

    基于多元线性回归的房价预测

    多元线性回归分析(excel+sklearn)

    展开全文
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多元回归线性