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  • 多元多项式函数
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    2021-04-27 16:36:33

    多项式的表示:

    eg: p(x)=2x^{3}-3x^{2}-1

    在matlab中可以用数组表示:

    p=[2 -3 0 -1]

     

    多项式的根:

    roots(p)

     

    多项式的创建:poly函数的运用

    p=[2 -3 0 -1];r=roots(p);

    ss=poly(r)

    ss

    只知道多项式的零点,可以用poly函数来创建多项式的系数数组

    poly函数的输入还可以是二维数组,此时返回的值为数组的特征多项式|lamdaE-A|

     

    多项式求值:

    p=[2 -3 0 -1];

    a=1.6 %the point you want to evaluate

    polyval(p,a) $p=[2 -3 0 -1];%compute the value in that point a.

    polyvalm可以接受二维数组的输入参数。

     

    多项式的运算:

    conv函数可以直接计算两个function的乘积和。

    conv(p,p1)

    ① (*)用于数组乘法,要求第一个数组的列数等于第二个数组的行数

    ② (.*)用于逐个元素乘法,要求两个数组具有相同尺寸

    deconv函数用于除法

    [q,r]=deconv(f,g)

    q为商多项式,r为余多项式。

     

    多项式的微分:

    polyder函数:

    polyder(p)  % 直接计算p的微分

    polyder(a,b)  %计算conv(a,b)的微分

    [q,r]=polyder(a,b) %计算deconv(a,b)的微分,namely,   q/r=(a/b)'

     

    多项式的曲线拟合:

    polyfit(x,y,n)

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  • 利用Python中的sklearn函数库的LinearRegression和PolynomialFeatures进行函数拟合 具体程序如下: import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd import numpy as np from sklearn.linear_model ...

    利用Python中的sklearn函数库的LinearRegression和PolynomialFeatures进行函数拟合

    具体程序如下:

    import matplotlib.pyplot as plt
    import pandas as pd 
    import numpy as np 
    from sklearn.linear_model import LinearRegression #导入线性回归模块
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    
    
    x=[[-12,	2.54],[-12,	2.19],[-20,	1.75],[-20,	1.85],[-5,	3.58],[-7,	2.44],[7,		3.20],[25,	2.57],[12,	1.77],[20,	2.77],[15,	3.25],[-20,	2.34],[-30,	1.57],[-20,	1.52],[15,	2.57],[10,	3.75],[15,	1.26],[-12,	2.54],[-5.87,	2.57],[0.08,	2.88],[-11.9,	2.32],[6.1,	1.55],[-0.15,	3.16],[-5.26,	3.82],[-10.29,1.07], [-39.92,1.90],]
    
    y = [41,50,50,50,50,48,44,60,46,60,55,35,35,45,50,60,40,41,31.02,20.98,30.97,11.05,31.16,20.92,21.18,31.09,]
    print("==================================================================")
    for index in range(1,100):
    	data=pd.DataFrame({'IN':x, 'OUT':y})
    	data_train=np.array(data['IN']).reshape(data['IN'].shape[0],1)				
    	data_test=data['OUT']
    	
    	poly_reg =PolynomialFeatures(degree = index) 
    	X_ploy =poly_reg.fit_transform(x)
    	regr=LinearRegression() 													
    	regr.fit(X_ploy,data_test)													
    	print("vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv")
    	print("degree = ", index)
    	print("coefficients = ", regr.coef_)
    	print("intercept = ", regr.intercept_)
    	print("R^2 = ",regr.score(X_ploy,data_test))								
    	print("^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^")
    	if(regr.score(X_ploy,data_test) >= 0.99):
    		break
    print("==================================================================")

    计算结果如下:

    ==================================================================
    vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
    degree =  1
    coefficients =  [0.         0.23417502 2.49000913]
    intercept =  35.655517534736624
    R^2 =  0.13062845852051208
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
    degree =  2
    coefficients =  [ 0.00000000e+00 -8.67998076e-01  2.85867915e+01  5.05996188e-03
      5.41937770e-01 -5.16031113e+00]
    intercept =  2.8917936495706513
    R^2 =  0.36680282974834966
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
    degree =  3
    coefficients =  [ 0.00000000e+00  2.32337035e+00  8.62837626e+01  7.32845678e-02
     -2.76400095e+00 -3.16485345e+01  1.25383404e-03 -1.86885458e-02
      7.02626264e-01  3.89746542e+00]
    intercept =  -43.565823068235204
    R^2 =  0.595036736861785
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
    degree =  4
    coefficients =  [ 0.00000000e+00 -9.27359226e+00  7.50519878e+02  7.95413552e-01
      8.23353562e+00 -4.11409690e+02  1.71490391e-02 -6.59155370e-01
     -2.36676840e+00  9.91069353e+01  5.28441826e-05 -7.07256550e-03
      1.39851401e-01  2.41607515e-01 -8.88958626e+00]
    intercept =  -469.6580685131609
    R^2 =  0.6830703676187968
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
    degree =  5
    coefficients =  [ 0.00000000e+00  9.28501268e+01 -1.34960520e+04 -4.52985493e+00
     -9.95780624e+01  1.14314413e+04 -2.77506890e-01  8.06281464e+00
      3.22856832e+01 -4.68204475e+03 -4.20565631e-03  2.50969496e-01
     -4.00613710e+00 -2.50785085e+00  9.33885800e+02 -2.17313708e-05
      1.67482250e-03 -5.36753698e-02  6.08933509e-01 -2.07588174e-01
     -7.28846679e+01]
    intercept =  6113.3609609005725
    R^2 =  0.9155071848237998
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
    degree =  6
    coefficients =  [ 1.49368226e-01  1.32073179e+03 -1.45048362e+02 -2.26176086e+02
     -1.25241633e+03 -7.13337162e+02 -1.02801495e+01  5.40473325e+02
     -6.11134917e+02 -6.92340948e+02 -2.88372238e-01  1.72578578e+01
     -4.38748168e+02  9.77187097e+02  1.17156755e+03 -3.37666499e-03
      2.83940755e-01 -8.79360290e+00  1.47098644e+02 -3.39152229e+02
     -4.67229808e+02 -1.24293556e-05  1.53024369e-03 -6.66028716e-02
      1.40134218e+00 -1.74726208e+01  3.71705693e+01  5.87943145e+01]
    intercept =  1316.821170263324
    R^2 =  0.9999999999995062
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    ==================================================================

    在多项式最高阶数达到6阶后,其R^2超过99%。

    生成多项式如下:

    二元二阶:

    X1:[x_{1}^{0}, x_{1}^{1}, x_{1}^{2}]

    X2:[x_{2}^{0}, x_{2}^{1}, x_{2}^{2}]

     生成矩阵为:

    \begin{pmatrix} x_{1}^{0}x_{2}^{0}, x_{1}^{1}x_{2}^{0}, x_{1}^{2}x_{2}^{0}, & & \\ x_{1}^{0}x_{2}^{1}, x_{1}^{1}x_{2}^{1}, x_{1}^{2}x_{2}^{1}, & & \\ x_{1}^{0}x_{2}^{2}, x_{1}^{1}x_{2}^{2}, x_{1}^{2}x_{2}^{2}, & & \end{pmatrix}

    则多元多项式为:

    Y = intercept + coefficient[0] * x_{1}^{0} x_{2}^{0} + coefficient[1] * x_{1}^{1} x_{2}^{0} + coefficient[2] * x_{1}^{0} x_{2}^{1} + coefficient[3] * x_{1}^{2} x_{2}^{0} + coefficient[4] * x_{1}^{1} x_{2}^{1} + coefficient[5] * x_{1}^{0} x_{2}^{1}

    从多项式可以看出,整个矩阵没有全部使用,具体规则如下:

    1         2         4

    3         5         0

    6         0         0

    其中1标识的是x_{1}^{0}x_{2}^{0},其他的以此类推。0代表没有使用。

    二元三阶的也按同样的方式即可,如下:

    1        2        4        7

    3        5        8        0

    6        9        0        0

    10        0        0        0

    展开全文
  • 使用matlab和python画多项式函数图像

    千次阅读 2020-03-17 21:31:08
    (一)使用matlab画多项式函数图像 在用matlab画五次多项式的时候,发现使用y=(0.2771*t^3 - 0.081*t^4 + 0.0063*t^5);总是会报错。搜了搜资料,发现可以这么画: 例如:五次多项式(quintic polynomial) y=0.2771...

    (一)使用matlab画多项式函数图像

    在用matlab画五次多项式的时候,发现使用y=(0.2771*t^3 - 0.081*t^4 + 0.0063*t^5);总是会报错。搜了搜资料,发现可以这么画:

    例如:五次多项式(quintic polynomial) y=0.2771t3-0.081t4+0.0063t5

    .m脚本文件

    t=0:0.01:5;
    p=[0.0063,-0.081,0.2771,0,0,0];
    y=polyval(p,t);
    
    figure(1)
    plot(t,y,'r','linewidth',2)
    grid on
    hold on;
    

    在这里插入图片描述

    (二)使用python画多项式函数图像

    例如:五次多项式(quintic polynomial) y=0.2771t3-0.081t4+0.0063t5
    .py脚本文件

    # coding=utf-8
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Arial']   # 如果要显示中文字体,则在此处设为:SimHei
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False    # 显示负号
    
    x = np.linspace(0,5)
    y = 0.2771*x*x*x-0.081*x*x*x*x+0.0063*x*x*x*x*x
    
    plt.figure(figsize=(10, 5))
    plt.grid(linestyle="--")                      # 设置背景网格线为虚线
    ax = plt.gca()
    ax.spines['top'].set_visible(False)           # 去掉上边框
    ax.spines['right'].set_visible(False)         # 去掉右边框
    
    plt.plot(x, y, marker='o', color="blue",  label="V0=10m/s", linewidth=1.5)
    plt.yticks(fontsize=12, fontweight='bold')
    plt.title("Quintic Polynomial Graph", fontsize=12, fontweight='bold')
    plt.xlabel("Time/s", fontsize=13, fontweight='bold')
    plt.ylabel("Vehicle lateral distance/m", fontsize=13, fontweight='bold')
    
    plt.legend(loc=0, numpoints=1)
    leg = plt.gca().get_legend()
    ltext = leg.get_texts()
    plt.setp(ltext, fontsize=12, fontweight='bold')  # 设置图例字体的大小和粗细
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述


    更新:2020年4月1日
    偶然间看到matlab还有一种画多项式函数的方法,而且就是之前报错的那种方法。
    .m脚本

    t = 0:0.01:5;
    y = 0.2771 * t.^3 - 0.081 * t.^4 + 0.0063 * t.^5;  %注意.和^之间没有空格
    plot(t, y, 'r')
    

    在这里插入图片描述

    展开全文
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    数据分析中经常会使用到数据拟合,本文中将阐述如何实现一元以及多元的线性拟合以及多项式拟合,本文中只涉及实现方式,不涉及理论知识。

    模型拟合中涉及的误差评估方法如下所示:

    在这里插入图片描述

    import numpy as np
    def stdError_func(y_test, y):
      return np.sqrt(np.mean((y_test - y) ** 2))
    
    
    def R2_1_func(y_test, y):
      return 1 - ((y_test - y) ** 2).sum() / ((y.mean() - y) ** 2).sum()
    
    
    def R2_2_func(y_test, y):
      y_mean = np.array(y)
      y_mean[:] = y.mean()
      return 1 - stdError_func(y_test, y) / stdError_func(y_mean, y)
    

    一元线性拟合

    import pandas as pd
    import numpy as np
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn import linear_model
    
    
    filename = "E:/data.csv"
    df= pd.read_csv(filename)
    x = np.array(df.iloc[:,0].values)
    
    y = np.array(df.iloc[:,5].values)
    
    cft = linear_model.LinearRegression()
    cft.fit(x[:,np.newaxis], y) #模型将x变成二维的形式, 输入的x的维度为[None, 1]
    
    print("model coefficients", cft.coef_)
    print("model intercept", cft.intercept_)
    
    
    predict_y =  cft.predict(x[:,np.newaxis])
    strError = stdError_func(predict_y, y)
    R2_1 = R2_1_func(predict_y, y)
    R2_2 = R2_2_func(predict_y, y)
    score = cft.score(x[:,np.newaxis], y) ##sklearn中自带的模型评估,与R2_1逻辑相同
    
    print(' strError={:.2f}, R2_1={:.2f},  R2_2={:.2f}, clf.score={:.2f}'.format(
        strError,R2_1,R2_2,score))
    

    结果输出为:
    model coefficients [-31.2375]
    model intercept 7.415750000000001
    strError=1.11, R2_1=0.28, R2_2=0.15, clf.score=0.28

    模型拟合的表达式为:
    y = 7.415750000000001 +(-31.2375) * x
    从拟合的均方误差和得分来看效果不佳

    多元线性拟合

     import pandas as pd
    import numpy as np
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn import linear_model
    
    
    
    
    filename = "E:/data.csv"
    df= pd.read_csv(filename)
    x = np.array(df.iloc[:,0:4].values)
    
    y = np.array(df.iloc[:,5].values)
    
    cft = linear_model.LinearRegression()
    print(x.shape)
    cft.fit(x, y) #
    
    print("model coefficients", cft.coef_)
    print("model intercept", cft.intercept_)
    
    
    predict_y =  cft.predict(x)
    strError = stdError_func(predict_y, y)
    R2_1 = R2_1_func(predict_y, y)
    R2_2 = R2_2_func(predict_y, y)
    score = cft.score(x, y) ##sklearn中自带的模型评估,与R2_1逻辑相同
    
    print('strError={:.2f}, R2_1={:.2f},  R2_2={:.2f}, clf.score={:.2f}'.format(
        strError,R2_1,R2_2,score))
    

    结果输出为:
    model coefficients [-31.2375 17.74375 44.325 5.7375 ]
    model intercept 0.5051249999999978
    strError=0.58, R2_1=0.80, R2_2=0.56, clf.score=0.80

    模型拟合的表达式为:
    y = 0.5051249999999978 +(-31.2375) * x11 + 17.74375 *x2 + 44.325 * x3 + 5.7375 * x4
    从拟合的均方误差和得分来看在之前的基础上有所提升

    一元多项式拟合

    以三次多项式为例

    import pandas as pd
    import numpy as np
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn import linear_model
    
    filename = "E:/data.csv"
    df= pd.read_csv(filename)
    x = np.array(df.iloc[:,0].values)
    
    y = np.array(df.iloc[:,5].values)
    
    poly_reg =PolynomialFeatures(degree=3) #三次多项式
    X_ploy =poly_reg.fit_transform(x[:, np.newaxis])
    print(X_ploy.shape)
    lin_reg_2=linear_model.LinearRegression()
    lin_reg_2.fit(X_ploy,y)
    predict_y =  lin_reg_2.predict(X_ploy)
    strError = stdError_func(predict_y, y)
    R2_1 = R2_1_func(predict_y, y)
    R2_2 = R2_2_func(predict_y, y)
    score = lin_reg_2.score(X_ploy, y) ##sklearn中自带的模型评估,与R2_1逻辑相同
    
    print("model coefficients", lin_reg_2.coef_)
    print("model intercept", lin_reg_2.intercept_)
    print('degree={}: strError={:.2f}, R2_1={:.2f},  R2_2={:.2f}, clf.score={:.2f}'.format(
        3, strError,R2_1,R2_2,score))
    

    输出结果
    model coefficients [ 0. 990.64583333 -11906.25 44635.41666667]
    model intercept -20.724999999999117
    degree=3: strError=1.08, R2_1=0.32, R2_2=0.17, clf.score=0.32

    对应的函数表达式为 -20.724999999999117 + [0, 990.64583333, -11906.25, 44635.41666667] *[1, x, x^2, x.^3].T = -20.724999999999117 + 990.64583333 * x + ( -11906.25) * x^2 + 44635.41666667 * x^3

    多元多项式拟合

    import pandas as pd
    import numpy as np
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn import linear_model
    
    filename = "E:/data.csv"
    df= pd.read_csv(filename)
    x = np.array(df.iloc[:,0:4].values)
    
    y = np.array(df.iloc[:,5].values)
    
    
    poly_reg =PolynomialFeatures(degree=2) #三次多项式
    X_ploy =poly_reg.fit_transform(x)
    lin_reg_2=linear_model.LinearRegression()
    lin_reg_2.fit(X_ploy,y)
    predict_y =  lin_reg_2.predict(X_ploy)
    strError = stdError_func(predict_y, y)
    R2_1 = R2_1_func(predict_y, y)
    R2_2 = R2_2_func(predict_y, y)
    score = lin_reg_2.score(X_ploy, y) ##sklearn中自带的模型评估,与R2_1逻辑相同
    
    print("coefficients", lin_reg_2.coef_)
    print("intercept", lin_reg_2.intercept_)
    print('degree={}: strError={:.2f}, R2_1={:.2f},  R2_2={:.2f}, clf.score={:.2f}'.format(
        3, strError,R2_1,R2_2,score))
    

    函数输出结果为:

    coefficients [ 0. 332.28129937 -19.9240981 -9.10607925
    -191.05593023 -287.93919929 -912.11402936 -1230.21922184
    -207.90033986 99.03441748 190.26204994 433.25169929
    273.13674555 257.66550523 344.92652936]
    intercept 4.35175537840722
    degree=3: strError=0.23, R2_1=0.97, R2_2=0.82, clf.score=0.97

    代码中输入的自变量是一个包含四个变量的输入, 对应coefficients输出的是长度为15的向量, 其中对应到的变量分别为 variable_X = [1, x1, x2, x3, x4, x 1 ∗ x 1 x1*x1 x1x1, x 1 ∗ x 2 x1*x2 x1x2, x 1 ∗ x 3 x1*x3 x1x3, x 1 ∗ x 4 x1*x4 x1x4, x 2 ∗ x 2 x2*x2 x2x2, x 2 ∗ x 3 x2*x3 x2x3, x 2 ∗ x 4 x2*x4 x2x4, x 3 ∗ x 3 x3*x3 x3x3, x 3 ∗ x 4 x3*x4 x3x4, x 4 ∗ x 4 x4*x4 x4x4]

    对应的方程式为: i n t e r c e p t + c o e f f i c i e n t s ∗ v a r i a b l e X . T intercept + coefficients * variable_X.T intercept+coefficientsvariableX.T

    代码中涉及到的数据集如下:

    a,b,c,d,e
    0.06,0.2,0.02,0.1,0.340 
    0.1,0.28,0.02,0.14,0.370 
    0.12,0.32,0.02,0.16,0.377 
    0.08,0.24,0.02,0.12,0.383 
    0.08,0.32,0.04,0.1,0.383 
    0.12,0.28,0.03,0.1,0.393 
    0.1,0.24,0.05,0.1,0.385 
    0.06,0.32,0.05,0.14,0.362 
    0.12,0.2,0.05,0.12,0.320 
    0.06,0.28,0.04,0.12,0.393 
    0.08,0.28,0.05,0.16,0.402 
    0.08,0.2,0.03,0.14,0.349 
    0.1,0.2,0.04,0.16,0.335 
    0.1,0.32,0.03,0.12,0.387 
    0.12,0.24,0.04,0.14,0.390 
    0.06,0.24,0.03,0.16,0.315 
    

    指数函数和幂函数拟合参照网址:
    https://blog.csdn.net/kl28978113/article/details/88818885
    参考链接:
    https://blog.csdn.
    net/weixin_44794704/article/details/89246032
    https://blog.csdn.net/bxg1065283526/article/details/80043049
    https://www.cnblogs.com/Lin-Yi/p/8975638.html

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