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  • 我正在使用matplotlib的补丁绘制椭圆,这确实很美,但绝对是代表圆锥曲线的更好解决方案。 重要的是,我将dogbox方法用于curve_fit,因为其他方法无法收敛。 有时椭圆形不匹配并且降低了添加的噪声(例如, rng....

    我使用了一个不同的方程式,我在这里找到了 。 我还使用了新的Numpy随机生成器,但是我认为这仅仅是解决这个问题的一种方法。 我正在使用matplotlib的补丁绘制椭圆,这确实很美,但绝对是代表圆锥曲线的更好解决方案。 重要的是,我将dogbox方法用于curve_fit,因为其他方法无法收敛。 有时椭圆形不匹配并且降低了添加的噪声(例如, rng.normal(0, 1, (500, 2)) / 1e2代替rng.normal(0, 1, (500, 2)) / 1e1帮助) 。 无论如何,下面的代码段和图。

    import numpy as np

    from numpy.random import default_rng

    from matplotlib.patches import Ellipse

    import matplotlib.pyplot as plt

    from scipy.optimize import curve_fit

    def func(data, a, b, h, k, A):

    x, y = data

    return ((((x - h) * np.cos(A) + (y - k) * np.sin(A)) / a) ** 2

    + (((x - h) * np.sin(A) - (y - k) * np.cos(A)) / b) ** 2)

    rng = default_rng(3)

    numPoints = 500

    center = rng.random(2) * 10 - 5

    theta = rng.uniform(0, 2 * np.pi, (numPoints, 1))

    circle = np.hstack([np.cos(theta), np.sin(theta)])

    ellipse = (circle.dot(rng.random((2, 2)) * 2 * np.pi - np.pi)

    + (center[0], center[1]) + rng.normal(0, 1, (500, 2)) / 1e1)

    pp, pcov = curve_fit(func, (ellipse[:, 0], ellipse[:, 1]), np.ones(numPoints),

    p0=(1, 1, center[0], center[1], np.pi / 2),

    method='dogbox')

    plt.scatter(ellipse[:, 0], ellipse[:, 1], label='Data Points')

    plt.gca().add_patch(Ellipse(xy=(pp[2], pp[3]), width=2 * pp[0],

    height=2 * pp[1], angle=pp[4] * 180 / np.pi,

    fill=False))

    plt.gca().set_aspect('equal')

    plt.tight_layout()

    plt.show()

    为了合并指数值,我使用了您的方程式,并根据该答案生成了一个椭圆。 结果是:

    import numpy as np

    from numpy.random import default_rng

    from matplotlib.patches import Ellipse

    import matplotlib.pyplot as plt

    from scipy.optimize import curve_fit, root

    from scipy.special import ellipeinc

    def angles_in_ellipse(num, a, b):

    assert(num > 0)

    assert(a < b)

    angles = 2 * np.pi * np.arange(num) / num

    if a != b:

    e = (1.0 - a ** 2.0 / b ** 2.0) ** 0.5

    tot_size = ellipeinc(2.0 * np.pi, e)

    arc_size = tot_size / num

    arcs = np.arange(num) * arc_size

    res = root(lambda x: (ellipeinc(x, e) - arcs), angles)

    angles = res.x

    return angles

    def func(data, a, b, c):

    x, y = data

    return (np.absolute(x) / a) ** c + (np.absolute(y) / b) ** c

    a = 10

    b = 20

    n = 100

    phi = angles_in_ellipse(n, a, b)

    e = (1.0 - a ** 2.0 / b ** 2.0) ** 0.5

    arcs = ellipeinc(phi, e)

    noise = default_rng(0).normal(0, 1, n) / 2

    pp, pcov = curve_fit(func, (b * np.sin(phi) + noise,

    a * np.cos(phi) + noise),

    np.ones(n), method='lm')

    plt.scatter(b * np.sin(phi) + noise, a * np.cos(phi) + noise,

    label='Data Points')

    plt.gca().add_patch(Ellipse(xy=(0, 0), width=2 * pp[0], height=2 * pp[1],

    angle=0, fill=False))

    plt.gca().set_aspect('equal')

    plt.tight_layout()

    plt.show()

    随着降低噪声值,pp趋向于(b,a,2)。

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  • 可以用MATLAB或1stOpt进行曲线拟合,我总结了5种方法:MATLAB1、polyfit/polyconf命令2、regress:多元线性回归3、画图窗口的基本拟合工具fig格式的图片可以进行一些简单的曲线拟合,位置在fig窗口菜单栏-工具-基本...

    可以用MATLAB或1stOpt进行曲线拟合,我总结了5种方法:

    • MATLAB

    1、polyfit/polyconf命令

    2、regress:多元线性回归

    3、画图窗口的基本拟合工具

    fig格式的图片可以进行一些简单的曲线拟合,位置在fig窗口菜单栏-工具-基本拟合

    4、cftool(推荐):多种类型的线性、非线性曲线拟合gui工具。 

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      可选多种拟合算法:

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    • 1stOpt

    5、1stOpt进行非线性拟合无需初值(推荐)

        建议用1stOpt软件去做非线性拟合,因为在matlab中如果给出的初始值不准确,不仅拟合时间长,而且结果比较差。要想获得精确的结果,对于操作人员的数理知识和matlab技能要求比较高。而使用1stOpt进行非线性拟合不需要给初值,就可以算出系数来。

    PS. 1stopt是一款非常实用的曲线分析软件,该软件功能强大,在非线性回归曲线拟合,非线性复杂工程模型参数估算求解等领域居世界领先地位。其其计算核心是自研的用全局优化算法(Universal Global Optimization - UGO),其最大特点是克服了当今世界上在优化计算领域中使用迭代法必须给出合适初始值的难题,即用户勿需给出参数初始值,而由1stOpt随机给出,通过其独特的全局优化算法,最终找出最优解。以非线性回归为例,目前世界上在该领域最有名的软件工具包诸如OriginPro,Matlab,SAS,SPSS,DataFit,GraphPad,TableCurve2D,TableCurve3D等,均需用户提供适当的参数初始值以便计算能够收敛并找到最优解。如果设定的参数初始值不当则计算难以收敛,其结果是无法求得正确结果。而在实际应用当中,对大多数用户来说,给出(猜出)恰当的初始值是件相当困难的事,特别是在参数量较多的情况下,更无异于是场噩梦。而1stOpt凭借其超强的寻优,容错能力,在大多数情况下(大于90%),从任一随机初始值开始,都能求得正确结果。

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  • SPSS提供了从简单的统计描述到复杂的多因素统计分析方法,比如数据的探索性分析、统计描述、列联表分析、二维相关、秩相关、偏相关、方差分析、非参数检验、多元回归、生存分析、协方差分析、判别分析、因子分析、...
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    SPSS

    1

    软件功能

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      SPSS是世界上最早采用图形菜单驱动界面的统计软件,它最突出的特点就是操作界面极为友好,输出结果美观漂亮。它将几乎所有的功能都以统一、规范的界面展现出来,使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能,对话框展示出各种功能选择项。用户只要掌握一定的Windows操作技能,精通统计分析原理,就可以使用该软件为特定的科研工作服务。SPSS采用类似EXCEL表格的方式输入与管理数据,数据接口较为通用,能方便的从其他数据库中读入数据。其统计过程包括了常用的、较为成熟的统计过程,完全可以满足非统计专业人士的工作需要。输出结果十分美观,存储时则是专用的SPO格式,可以转存为HTML格式和文本格式。对于熟悉老版本编程运行方式的用户,SPSS还特别设计了语法生成窗口,用户只需在菜单中选好各个选项,然后按“粘贴”按钮就可以自动生成标准的SPSS程序。极大的方便了中、高级用户。

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      SPSS for Windows是一个组合式软件包,它集数据录入、整理、分析功能于一身。用户可以根据实际需要和计算机的功能选择模块,以降低对系统硬盘容量的要求,有利于该软件的推广应用。SPSS的基本功能包括数据管理、统计分析、图表分析、输出管理等等。SPSS统计分析过程包括描述性统计、均值比较、一般线性模型、相关分析、回归分析、对数线性模型、聚类分析、数据简化、生存分析、时间序列分析、多重响应等几大类,每类中又分好几个统计过程,比如回归分析中又分线性回归分析、曲线估计、Logistic回归、Probit回归、加权估计、两阶段最小二乘法、非线性回归等多个统计过程,而且每个过程中又允许用户选择不同的方法及参数。SPSS也有专门的绘图系统,可以根据数据绘制各种图形。

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         SPSS for Windows的分析结果清晰、直观、易学易用,而且可以直接读取EXCEL及DBF数据文件,现已推广到各种操作系统的计算机上,它和SAS、BMDP并称为国际上最有影响的三大统计软件。在国际学术界有条不成文的规定,即在国际学术交流中,凡是用SPSS软件完成的计算和统计分析,可以不必说明算法,由此可见其影响之大和信誉之高。

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    1

    发展历史

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    1968年:斯坦福大学三位学生创建了SPSS
    1968年:诞生第一个用于大型机的统计软件
    1975年:在芝加哥成立SPSS总部
    1984年:推出用于个人电脑的SPSS/PC+
    1992年:推出Windows版本,同时全球自SPSS 11.0起,SPSS全称为“Statistical Product and Service Solutions”,即“统计产品和服务解决方案”
    2009年:SPSS公司宣布重新包装旗下的SPSS产品线,定位为预测统计分析软件(Predictive Analytics Software)PASW,包括四部分:
    PASW Statistics (formerly SPSS Statistics):统计分析
    PASW Modeler (formerly Clementine) :数据挖掘
    Data Collection family (formerly Dimensions):数据收集
    PASW Collaboration and Deployment Services (formerly Predictive Enterprise Services):企业应用服务
    2010年:随着SPSS公司被IBM公司并购,各子产品家族名称前面不再以PASW为名,修改为统一加上IBM SPSS字样。

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    产品特点

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    操作简便
         界面非常友好,除了数据录入及部分命令程序等少数输入工作需要键盘键入外,大多数操作可通过鼠标拖曳、点击“菜单”、“按钮”和“对话框”来完成。编程方便
         具有第四代语言的特点,告诉系统要做什么,无需告诉怎样做。只要了解统计分析的原理,无需通晓统计方法的各种算法,即可得到需要的统计分析结果。对于常见的统计方法,SPSS的命令语句、子命令及选择项的选择绝大部分由“对话框”的操作完成。因此,用户无需花大量时间记忆大量的命令、过程、选择项。功能强大
         具有完整的数据输入、编辑、统计分析、报表、图形制作等功能。自带11种类型136个函数。SPSS提供了从简单的统计描述到复杂的多因素统计分析方法,比如数据的探索性分析、统计描述、列联表分析、二维相关、秩相关、偏相关、方差分析、非参数检验、多元回归、生存分析、协方差分析、判别分析、因子分析、聚类分析、非线性回归、Logistic回归等。

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    数据接口
         能够读取及输出多种格式的文件。比如由dBASE、FoxBASE、FoxPRO产生的*.dbf文件,文本编辑器软件生成的ASCⅡ数据文件,Excel的*.xls文件等均可转换成可供分析的SPSS数据文件。能够把SPSS的图形转换为7种图形文件。结果可保存为*.txt及html格式的文件。模块组合
         SPSS for Windows软件分为若干功能模块。用户可以根据自己的分析需要和计算机的实际配置情况灵活选择。针对性强
         SPSS针对初学者、熟练者及精通者都比较适用。并且很多群体只需要掌握简单的操作分析,大多青睐于SPSS,像薛薇的《基于SPSS的数据分析》一书也较适用于初学者。而那些熟练或精通者也较喜欢SPSS,因为他们可以通过编程来实现更强大的功能。

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  • 曲线拟合——最小二乘拟合1 曲线拟合——一元函数的最小二乘拟合1.1 线性回归(直线的最小二乘拟合)1.1.2 直线的最佳拟合方法1.1.2 如何计算1.1.2 误差量化分析1.2 多项式回归(多项式的最小二乘拟合)1.3 非线性...

    曲线拟合

    先介绍一下拟合和插值的区别。插值,插值曲线必须经过所给定的插值点;拟合,拟合曲线不一定必须经过所给定的点。
    (很多书里面对拟合、插值和逼近定义时讲,拟合包含:插值和逼近。这种说法对不对这里不做辩论,我只讲拟合和插值的方法与实现。)

    拟合又包括一元函数和多元函数的拟合,通俗的讲,就是对一个变量(一维)和多个变量(多维)拟合的区别。对一个变量拟合叫曲线拟合,对两个变量的拟合可以称为曲面拟合。

    本文主要讲一元函数的拟合(曲线拟合),包括直线的最小二乘拟合和多项式的最小二乘拟合;和多元函数的线性最小二乘拟合,对于非线性拟合会简单提及。

    ps:关于非线性拟合,由于方法不太一样,会在另一篇文章中非线性回归——非线性函数最小二乘拟合讲到;关于函数插值,后续也会有更新。

    1 一元函数的最小二乘拟合

    1.1 线性回归(直线的最小二乘拟合)

    1.1.1 直线的最佳拟合方法

    根据一组二维坐标点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(xn,yn)(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)…(x_n, y_n),将其进行拟合成一条直线。直线的数学表达式为:
    y=a0+a1xy = a_0+a_1x
    其中,a0a_0a1a_1为系数,分别表示截距和斜率。

    给定若干个点坐标,可以有很多种拟合成直线的方式,哪一种拟合效果最好呢?
    如下图所示,给定7个点,随意给出了几种拟合直线,如黑色、蓝色、紫色三条直线,哪一条效果最理想?如何衡量拟合结果好坏呢?
    在这里插入图片描述

    这里我们给出一个定义:误差(或残差)。
    误差(或残差),就是y的真实值与由线性方程预测的近似值a0+a1xa_0+a_1x之差。用ee表示,可得:e=ya0a1xe=y-a_0-a_1x

    “最佳”拟合准则:通过数据点拟合一条“最佳”直线,使所有数据点的残差的平方和最小。

    之所以选用残差的平方和最小,是因为:如果选残差的和最小,或者残差的绝对值之和最小,都会导致拟合效果不好,且结果不唯一。具体如下:

    1. 如果选残差的和最小:如图(a)所示,它描述的是对两个点的直线拟合结果。显然,最佳拟合的结果就是连接这两个点的直线。然而,任何通过连线中点的直线(除了正好与连线垂直的直线外)都能使式(17.2)的结果为0,因为这样的直线与两个点的误差刚好大小相等但符号相反,所以刚好抵销了。
      在这里插入图片描述
    2. 如果残差的绝对值之和最小:图(b)说明了为什么这个准则还是不充分的。对于图中的四个点,位于两条虚线之间的任何直线,都会使上式中的绝对值之和最小。因此,使用这个准则也不能得到唯一的最优拟合直线。
      在这里插入图片描述
      啰嗦了这么多,最后我们终于选定了将残差的平方和最小作为“最佳”拟合准则。
      也就是使Sr的值最小:
      在这里插入图片描述

    1.1.2 如何计算

    那么怎么计算直线的系数a0a_0a1a_1,才能保证直线最优呢。
    方法如下:
    在这里插入图片描述
    令这些偏导数等于0,就可以得到残差平方和Sr的一个最小值。令这些偏导数等于0后,上面的方程
    变为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    联立解方程组可得:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1.1.3 误差量化分析

    残差的平方和Sr为:
    在这里插入图片描述
    引入回归直线的“标准差”的概念和计算公式:
    在这里插入图片描述
    此外,还有“相关系数”也用来衡量直线拟合好坏(感兴趣可以查阅相关资料了解),如下:
    在这里插入图片描述
    其中,StS_t表示因变量(在本例中为yiy_i)的均值的误差平方和,即St=i=1n(yiyˉ)2S_t = \sum_{i=1}^{n} {(y_i-\bar{y})^2}yˉ\bar{y}yiy_i的平均值。

    本文在最后附录里面给出了一元线性回归的伪代码及C++实现,可供参考。

    1.2 多项式回归(多项式的最小二乘拟合)

    1.2.1 推导过程和计算方法

    最小二乘过程很容易推广到用史高阶多项式拟合数据的情况。例如,假设要拟合一个二次多项式:
    y=a0+a1x+a2x2y = a_0+a_1x+a_2x^2
    残差平方和Sr计算为:
    Sr=i=1n(yia0a1xa2x2)2S_r = \sum_{i=1}^{n} {(y_i-a_0-a_1x-a_2x^2)^2}

    对该式关于多项式的每个未知系数取导数,得到:
    在这里插入图片描述
    令导数为0,整理后得到:
    在这里插入图片描述
    方程组3个方程是线性的,有3个未知数:a0a_0, a1a_1a2a_2,可以通过解方程组得到a0a_0, a1a_1a2a_2的值。

    二次多项式的情况很容易推广到m次多项式的情况:
    y=a0+a1x+a2x2++amxmy = a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_mx^m
    残差平方和Sr计算为:
    Sr=i=1n(yia0a1xa2x2amxm)2S_r = \sum_{i=1}^{n} {(y_i-a_0-a_1x-a_2x^2-…-a_mx^m)^2}
    同样求偏导令其为0,可以得到m+1个线性方程的方程组,联立解线性方程组可以得到系数a0a_0, a1a_1, a2a_2, … , ama_m的值。

    1.2.2 误差量化分析

    同样,标准差的计算公式为:
    在这里插入图片描述
    “相关系数”计算公式如下:
    在这里插入图片描述
    其中,StS_t表示因变量(在本例中为yiy_i)的均值的误差平方和,即St=i=1n(yiyˉ)2S_t = \sum_{i=1}^{n} {(y_i-\bar{y})^2}yˉ\bar{y}yiy_i的平均值。

    本文在最后附录里面给出了一元多项式回归的伪代码,可供参考。

    2 多元函数的最小二乘拟合

    2.1 多元线性回归

    2.1.1 推导过程和计算方法

    对于两个或多个自变量的情况,就是一个自变量的推广。对于两个自变量(二维)的情况,回归“直线”就变成了回归“平面”,如下图所示:
    在这里插入图片描述
    对于两个自变量的情况,设方程为:
    y=a0+a1x1+a2x2y = a_0+a_1x_1+a_2x_2

    同样的,残差平方和Sr计算为:
    Sr=i=1n(yia0a1x1a2x2)2S_r = \sum_{i=1}^{n} {(y_i-a_0-a_1x_1-a_2x_2)^2}

    在这里插入图片描述
    令这些偏微分的值等于零,并采用矩阵形式表示,可得:
    在这里插入图片描述
    解该线性方程组可以得到系数a0a_0, a1a_1, a2a_2的值。

    同样的,前面的二维情况很容易扩展到m维,即:
    y=a0+a1x1+a2x2++amxmy = a_0+a_1x_1+a_2x_2+…+a_mx_m
    也是同样的求偏微分,令其为0,解线性方程组,从而得到系数a0a_0, a1a_1, a2a_2, … , ama_m的值。

    2.1.2 误差量化分析

    多元函数线性回归的标准差的计算公式,于一元函数多显示回归的一模一样;相关系数计算公式也一样。

    标准差的计算公式:
    在这里插入图片描述
    “相关系数”计算公式:
    在这里插入图片描述
    其中,StS_t表示因变量(在本例中为yiy_i)的均值的误差平方和,即St=i=1n(yiyˉ)2S_t = \sum_{i=1}^{n} {(y_i-\bar{y})^2}yˉ\bar{y}yiy_i的平均值。

    2.2 多元多项式回归?

    很多人想着,既然有一元线性回归,有一元多项式回归,有多元线性回归,那是不是应该也有多元多项式回归

    答案却是,不存在的。或者说,大多数书里面是没有的。

    细细思考一下,就知道,多元多项式回归?其实没那么简单:
    如果说,
    一元线性回归,有一个变量xx,两个系数a0a_0, a1a_1
    一元多项式回归,有一个变量xx,m+1个系数a0a_0, a1a_1, a2a_2, … , ama_m
    多元线性回归,有m个变量x1x_1, x2x_2, x3x_3, … , xmx_m,m+1个系数a0a_0, a1a_1, a2a_2, … , am+1a_{m+1}
    那么,对于多元线性回归,如果m个变量相互独立(就是不存在xipxjq{x_i}^p{x_j}^q这种形式),那么对于m个变量的n次多项式,也会存在m*n+1个系数,解方程组计算量庞大;而如果m个变量不相互独立,那就更。。。复杂了。

    3 线性回归小结

    线性最小二乘的一般矩阵形式

    前面介绍了三种类型的回归方法:简单线性回归、多项式回归和多元线性回归。

    事实上,这三种回归方法都属于一般形式的线性最小了二乘模型:
    y=a0+a1z1+a2z2++amzmy = a_0+a_1z_1+a_2z_2+…+a_mz_m
    其中,z1,z2,,zmz_1, z_2, …,z_m为m个基函数(basis function) 。

    很容易看出,简单线性回归和多元线性回归归为这个模型;如果基函数是简单的单项式,即:z1=x1,z2=x2,,zm=xmz_1=x^1, z_2=x^2, …,z_m=x^m,那么多项式回归也可以归为该类模型。

    若将给定的n个点坐标代入y=a0+a1z1+a2z2++amzmy = a_0+a_1z_1+a_2z_2+…+a_mz_m,可得到n个线性方程组,表示为矩阵的形式:
    Y=[Z]A{Y}=[Z]{A}
    在这里插入图片描述
    其中,m是模型中变量的个数,n是数据点的个数。
    在这里插入图片描述
    因为大多数情况下,n>m+1,所以[Z]不是一个方阵。因此,这个方程组属于过约束,不能直接求解。要计算相对条件下的最优解,就是使残差平方和最小的解。

    而模型的残差平方和可以定义如下:
    在这里插入图片描述
    同样的,为了使Sr达到最小,需要对关于该式的每个系数a0a_0, a1a_1, a2a_2, … , am+1a_{m+1}取偏导数,并令得到的每个方程等于0。于是可以表示成如下简洁的矩阵形式:
    在这里插入图片描述
    然后求解该方程组,即可得到系数a0a_0, a1a_1, a2a_2, … , am+1a_{m+1}的值。
    (感兴趣的可以用前面介绍的简单线性回归、多项式回归及多元线性的函数来验证。)

    4* 非线性回归

    4.1 非线性关系的线性化

    非线性模型中有3种类型可以线性化:指数方程,幂方程,饱和增长率方程。分别如下:
    1.指数方程:
    y=a1ea2xy = a_1e^{a_2x}
    2.幂方程:
    y=a1xa2y = a_1x^{a_2}
    2.饱和增长率方程:
    y=a1xx+a2y = a_1\frac{x}{x+a_2}

    对上述3种形式,可取自然对数将其线性化,结果如下:
    指数方程取自然对数:lny=lna1+a2xlny = lna_1+a_2x
    lny与x的关系图是一条斜率为a_2,截距为lna_1的直线。

    幂方程取10为底的对数:logy=loga1+a2logxlogy = loga_1+a_2logx
    log y与log x的关系图是一条斜率为a2a_2,截距为loga1loga_1的直线。

    饱和增长率方程取自然对数:1y=a2a11x+1a1\frac{1}{y} = \frac{a_2}{a_1}\frac{1}{x}+\frac{1}{a_1}
    于是,1y\frac{1}{y}1x\frac{1}{x}的关系图是一条斜率为 a2a1\frac{a_2}{a_1},截距为1a1\frac{1}{a_1}的直线

    然后,采用上面的线性回归的方法处理。

    4.2* (真正的)非线性回归

    对于如y=a1(1ea2x)y = a_1(1-e^{-a_2x})形式的函数,是不能线性化的。
    需要用牛顿迭代的方法来处理。具体的可参见:非线性回归——非线性函数最小二乘拟合

    5 附录(伪代码及C++实现)

    5.1 一元线性回归算法

    5.1.1 伪代码

    在这里插入图片描述

    5.1.2 C++实现

    //直线的最小二乘拟合
    LinearFitting(Vector <Point2d> points, double &lineDir, double &lineDis)
    {
    	int count = points.size();
    	double sumX = 0, sumY = 0, sumXY = 0, sumSqrX =0, 
    	for (int i = 0; i < count; i++)
    	{
    		sumX += points[i].x;
    		sumY += points[i].y;
    		sumXY += points[i].x * points[i].y;
    		sumSqrX += points[i].x * points[i].x;
    	}
    	lineDir = (count*sumXY - sumX*sumY)/(count*sumSqrX - sumX*sumX);
    	lineDis = (sumY - lineDir*sumX)/count;
    	
    	//计算回归相关系数
    	double st = 0, sr = 0;
    	double yMid = sumY/n;
    	double xMid = sumX/n;
    	for (int j = 0; j < count; j++)
    	{
    		st += (yi - yMid)*(yi - yMid);
    		double tmpe = yi - lineDis - lineDir*xi;
    		sr += tmpe *tmpe;
    	}
    	
    	double Syx = sqrt(sr/count-2);
    	double R2 = (st - sr)/st;	
    }
    

    5.2 一元多项式回归算法

    5.2.1 算法步骤

    在这里插入图片描述

    5.2.2 C++实现代码

    (待更新)

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多元曲线拟合