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  • 多元正态分布

    2019-03-21 10:29:36
    简介编辑 多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。...存在随机向量 ( 它的每个元素服从独立标准正态分布),向量 及 矩阵A满足 存在 和一个对称半正定阵 满足X的特征函数 如果 是非奇异的,那么该分布可以由以...

    简介编辑
    多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维正态分布向多维的推广。它同矩阵正态分布有紧密的联系。 [1]
    一般形式编辑
    N维随机向量 如果服从多变量正态分布,必须满足下面的三个等价条件:
    任何线性组合 服从正态分布。
    存在随机向量 ( 它的每个元素服从独立标准正态分布),向量 及 矩阵A满足
    存在 和一个对称半正定阵 满足X的特征函数

    如果 是非奇异的,那么该分布可以由以下的PDF来描述:

    注意这里的 表示协方差矩阵的行列式。
    二元的情况
    在二维非奇异的情况下(k= rank(Σ) = 2),向量[XY]′的概率密度函数为:

    其中ρ是X与Y之间的相关系数, 且 。在这种情况下,

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  • 大家好!11月3号我结束了我的GRE首战,但是成绩不是特别理想,距离我的dream school的要求还差了一些,浪费了我1500块。很可惜但是没有办法,只能休息片刻,之后再...如果这篇文章还不够仓,我们会继续引入多元线性...

    c5a05dd4d98c465d15d0d6339d40b657.png

    大家好!

    11月3号我结束了我的GRE首战,但是成绩不是特别理想,距离我的dream school的要求还差了一些,浪费了我1500块。很可惜但是没有办法,只能休息片刻,之后再战啦。也希望和我一样准备申请的同学们能够一起努力鸭~

    因为最近的比赛和考试很多,所以之前在公众号里有和大家说这一篇笔记会较晚一些推出,希望大家没有等太久~

    这一篇笔记我们会结束理论部分。如果这篇文章还不够仓,我们会继续引入多元线性回归~也就是说,坐了三节数学的车,你终于可以缓一缓,继续坐统计的车了Ψ( ̄∀ ̄)Ψ

    提供之前的笔记:

    • 回归分析|笔记整理(1)——引入,一元线性回归(上)
    • 回归分析|笔记整理(2)——一元线性回归(下)
    • 回归分析|笔记整理(3)——多元正态分布理论(上)
    • 回归分析|笔记整理(4)——多元正态分布理论(中)

    我们开始本节的内容。

    目录

    • 分布及相关性质
    • Cochran定理及相关应用

    分布及相关性质

    从这里开始,我们会考虑它所满足的一些分布函数,这样我们就可以用数理统计的方法去研究它。

    一个很重要的地方是,

    分布是
    一个标准正态分布的平方。因此直觉上有一个比较显然的结果。
    Proposition 1:
    ,那么

    我们要注意的是这相当于是一系列标准化后的正态随机向量取了一个内积,也就是说如果有一个标准正态随机向量

    (每一个分量都满足标准正态分布),那么这就相当于问
    的分布。因为它是p个标准正态分布的平方和,所以这个统计量服从
    是很显然的。

    从这个结论我们也就自然引出了在多元意义下的

    分布的概念。
    Definition 1:
    ,那么
    的分布称为自由度为
    ,非中心参数为
    分布,记作
    ,当
    时,
    的分布称为中心
    分布,记为

    这里要注意我们的非中心参数的形式,这是因为如果我们设

    ,那么二次型就变成了

    注意到新的这个随机向量的期望为零向量,所以

    ,这就意味着它的期望多了一个
    。这也是我们定义它的非中心参数为这个值的原因,与正态分布期望的几何含义类似。

    下面,我们来看看

    分布的一些基本的统计性质。
    Proposition 2:Additivity
    且独立,那么

    Proposition 3:

    要使用

    分布的条件,需要构造一些正态分布以导出条件。设
    ,那么就会有
    。类似的,如果设
    ,就会有
    。这样的话,因为我们知道这两个分布
    是独立的,那么只需要定义
    ,显然这个分布就满足
    ,并且可以得到
    ,这就证明了可加性。

    第二个其实也很简单,因为

    本身就是一个二次型,所以可以考虑使用第三节和第四节涉及的二次型的公式。因为对应的
    ,这样的话,根据公式就会有

    所以证明是容易的。

    下面这个定理将二次型与

    分布巧妙地联系在了一起,我们来看看。
    Proposition 4:
    对称,那么
    的充要条件是
    幂等且

    我们证明一下这个结论,一方面,如果

    幂等且
    ,因为幂等,所以它的特征值为0/1,这就意味着如果对它作相似标准型,那么对角线元素只有可能是0/1。那么根据它是对称阵,首先可以得到存在正交阵
    ,使得
    ,这样的话,设
    ,可以得到
    ,那么这样的话,就可以巧妙地把二次型以简单的形式表示出来了,也就是说

    其中我们是按照

    的分块阶数将
    对应的分块称为

    现在对应的二次型是

    ,为了研究它的性质显然要对应的把
    分块一下,所以分块后容易得到
    ,那么这个时候,如果我们设它的分布是
    ,那么第一个参数很显然就是
    (一般通过看
    随机向量的协差阵是几维的),而它对应的参数
    。注意中间的这个东西,如果我们把
    分块写,
    的表达式就变成了

    所以实际上

    ,这就证明了结论。

    另外一个方面呢?注意到我们现在有这个分布,但是并不好用,因为我们定义

    分布的时候是考虑的
    ,中间是没有这个矩阵
    的,所以相似标准化是无法避免的。

    因为矩阵

    是对称的,所以存在正交阵
    ,使得
    ,其中
    是对角矩阵,对角元素都是特征值。那么这样的话,如果我们还是设
    ,就可以把原来的矩阵改为
    。但是这个好像不是
    的形式。所以我们只能展开它。

    如果我们设

    ,那么
    ,现在问题是它服从一个
    分布。要注意到的是这是一系列的标准正态分布的平方和,这就限制了
    。所以,我相信你应该能够验证我们最后要求的两个结论了。

    下面是关于这个结论的两个推论,也是比较常用的。

    Corollary 1:
    为对称阵,那么
    的充要条件是
    幂等,
    ,

    Corollary 2:
    为对称阵,那么
    的充要条件是
    幂等,

    显然,如果我们说明了第一个对,那么自然就能说明第二个。所以我们只证明第一个。

    因为我们在上面的结论中可以知道它服从的非中心

    分布的参数为
    。所以问题就归结于怎么使用多的这一个条件

    我们先不考虑它,使用上面的那个结论,也就是说,如果我们把条件改为

    是不是就可以使用定理了?也就是说,一方面,通过它服从这个分布,我们可以得到它原来的两个结论:幂等和秩。然后现在多了一个条件

    ,那么现在结合中间的两个幂等和秩的结论(也就是说,一共三个条件),来证明

    这是很简单的,因为通过

    ,结合
    对称幂等,我们可以得到

    我们要注意到的是,对于一个向量

    ,如果能够得到
    ,就一定可以得到
    (想想为什么,这是线代的一个常见习题)。所以实际上这就说明了

    反过来也不难,通过幂等和秩的结论可以推出它服从那个分布。而加上

    也很容易推出来
    ,这就相当于证明了结论。

    我希望大家能够明白证明这个结论的时候所使用的逻辑。这相当于使用了自然推理系统的一个重要的假定:中间结论可以被当作条件继续使用证明之后的结论

    还有一个相当于取消了协差阵是单位阵的假定。这个时候结论又会怎么不同呢?

    Corollary 3:
    为对称阵,那么
    的充要条件是

    因为这里的协差阵不再是单位阵,所以需要作变换

    。那么这个时候
    ,那么它服从
    的等价结论就变成了
    幂等,且
    (注意对比一下结论,
    是符合原结论所需要的条件的)。注意到
    也是一个正定矩阵,所以乘在
    的左右不影响它的秩。因此容易得到
    。而另一方面注意到
    是幂等阵,所以

    左右去掉那个平方根阵就可以得到我们要的结论。

    在引入下面一个大定理之前,我们先介绍一下一个多元回归的例子来看看这个结论到底可以用来干什么。

    Example 1:
    ,证明

    首先说一下为什么

    是这个东西,其实类比一下一元回归下的
    的公式
    ,然后类比
    就可以了,具体的推导细节要在之后才会介绍,请大家先稍安勿躁……

    首先我们要注意这里

    的协差阵不是单位阵,因此需要标准化
    。所以这样的话就可以知道
    。那么我们就需要重点关注矩阵
    。那么注意到它是对称幂等的(想想为什么),而且实际上,注意到在求
    的时候,
    对应的是
    对应的是
    ,所以实际上计算一下可以得到
    (只需要算后半部分就好),所以实际上就会得到这个二次型服从中心
    分布。并且它的自由度就是
    ,这就证明了结论。

    我们会在介绍多元回归的时候再引入这些内容。

    Cochran定理及相关应用

    其实,当你们发现我把这个定理作为一个标题的时候,你就知道它应该很大了……

    它的具体内容是这样的

    Theorem 1:Cochran
    ,其中
    ,那么

    (1)

    (2)
    独立

    (3)

    首先要注意的是,我们通过条件可以得到

    。这是因为虽然
    要求是一个多元正态分布,但是它实际上
    只是在每一个数据点上的概率有要求而已,它实际的取值范围依然是全空间的。这个性质会在之后的一步证明中体现出来。

    我们一个一个来看,注意到

    可以知道
    是幂等阵,并且
    。这样的话因为幂等阵的特征值只有0/1两种可能,所以自然存在正交阵
    ,使得

    这个定理有一个很不寻常的条件是

    。所以我们自然需要考虑考虑怎么使用矩阵
    。注意到它还告诉了我们
    服从一个
    分部,而
    ,所以容易得到的是

    因为我可以把和式改一下,改成

    的形式,通过
    证明结论。而证明
    只需要注意
    是一个二次型即可。

    接下来,我们需要考虑一下

    这两个矩阵,我们会在之后使用它们,所以它们是什么样的形式呢?设
    ,并且对应分块
    (注意这里的
    是任意向量,不是题目中的随机向量)。这样的话,因为
    它也是半正定的,所以事实上可以得到
    ,拆开来写就是

    下面的那个式子注意每一项都是一个数,所以有两项互为转置,这里合并起来了。

    这是针对

    的,根据它半正定我们得到了这个结论。那么我们之前证明了
    是正定的,所以把
    的这个分块结果代入,可以得到

    好的,关键的地方来了。注意到我们的

    是任意的,也就是说我们可以随意改变
    都不会改变我们的结果。那么我令
    ,那就相当于得到了
    的结论。显然只能
    。另一方面,如果存在某一个
    ,那么就会存在
    ,使得
    ,注意到
    是可以任意变的,这就意味着如果
    ,我可以让
    取得很大或者很小,使得这个不等式不成立。因此只能有
    ,这与之前的假设存在矛盾,所以这样的话,我们相当于完成了一个小的结论的证明,即

    条件中告诉我们

    对应的二次型服从一个
    分布,因此
    一定是一个幂等阵,所以我们可以得到
    (简单的结论,不写细节了)。说明这个
    它也是一个幂等阵,那么就存在正交阵
    ,使得
    。我们之后会用到这个结论。

    也许你现在已经能够看出一些端倪了。我们的目的就是找到一个正交阵把这个

    变一下,这样就可以化归出一些我们熟悉的平常的东西。

    现在令

    ,那么
    为正交阵,并且有

    能看出来为什么吗?它只是对一个等式

    做了一些处理而已。

    注意到根据

    的构造,我们可以得到

    这样的话,根据上面的式子,我们只会有

    。那么现在这个正交变换事实上相当于对两个矩阵
    分别作用后,得到了两个完全分隔开的小的单位阵,这就为我们之后证明独立埋下了伏笔。

    我们作变换

    ,就可以得到

    有没有看见

    对应的是两串完全独立的统计量?所以两个二次型独立就证明出来了。而
    也可以通过这个式子证明出它满足一个自由度为
    分布,且非中心参数为

    最后,怎么说明

    ?,其实根据我们得到的
    的结果,就可以直接得到

    也就证明了结论。

    这个定理的证明是非常复杂的。不过回过头来看,其实前面一大串的铺垫,只是为了找到一个正交变换,然后将两个式子变换到不同的(或者说,相互独立的)平方和的形式即可。

    一个相关的推论如下

    Corollary 4:
    都服从
    分布,那么二者独立的充要条件是

    首先注意一下,

    的地位是相同的,意思是说如果
    ,那么一定会有

    一方面如果

    ,那么我们设
    (这是为了先让条件
    满足)。那么现在我们如果证明了
    是幂等的,那就相当于证明了
    服从一个
    分布,结合剩下的条件就可以使用Cochran定理,证明这个推论了。

    这是不难说的,因为

    幂等,所以
    ,所以这就证明了结论。

    反过来,如果二者独立且都服从

    分布,那么相加自然还是服从这个分布的(这是可加性),所以符合Cochran定理的所有条件,这就自然证明了结论。

    还有两个推论是解决方差是一般的正定阵的情况,我们列在这里不再证明。

    Corollary 5:
    ,那么有

    (1)

    (2)
    独立

    (3)

    Corollary 6:
    都服从
    分布,则它们独立的充要条件是

    定理本身也确实很重要,不过我们更多的是需要看看它在回归中的相关应用,以便加深对它的记忆。我们最后举一个例子来结束我们所有的理论铺垫部分。

    Example 2:
    证明
    独立。其中

    根据我们的推论,只需要说明它们对应二次型中间矩阵的乘积为0即可得到结论。

    注意到

    ,那么相当于要证明
    ,拆开一下就可以知道,只需要证明

    我们要注意的是,在多元回归的意义下,

    相当于是样本的每一列增广一个全1向量(形式可以在《统计学笔记》的第七节最后看到)。所以我们可以考虑将
    改为
    以得到全1向量。那么这个时候,就可以得到
    。那么问题来了,它的逆是什么?

    算是一个在上一节的求逆的公式的一个应用?我们直接截图过来

    d96b043ecc2af0d635f3e1924ef1e167.png

    这里的

    为了简化计算,我们考虑设

    (请注意,它依然还是一个向量)。这么设的原因是它比较像一维意义下的求和均值。这样的话,可以将
    改一下,写成
    (想到这么化简的原因是,
    类似于一个
    ,而
    类似于一个
    ,所以实际上它在一维意义下是一个平方和,那么在多元意义下就可以使用矩阵化简)。按照这样的思路化简,可以得到

    注意到如果我们设

    ,那么
    ,所以代入进去,就可以得到我们要的结论。

    小结

    在这一节中,我们从

    分布的定义出发,开始着手寻找多元正态中二次型与
    分布的关系,并且导出了一系列重要的性质。但是要注意的是,这一节的难度非常大,我自己总结就耗费了大量的时间,因此如果希望通过这一份笔记学习补充这一块知识的人在这里放弃了,那可能是真的有些可惜了。

    碍于篇幅原因,我并没有把所有的细节的运算展现在笔记中。同时碍于时间问题,我们之后的笔记可能会稍微简略一些。希望这一节没有把大家给吓跑……

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    展开全文
  • 标准正态分布的概率密度公式正态分布概率密度公式多元正态分布的概率密度公式上式为 x 服从 k 元正态分布,x 为 k 维向量;|Σ| 代表协方差矩阵的行列式。二维正态分布概率密度函数为钟形曲面,等高线是椭圆线族,...

    标准正态分布的概率密度公式

    正态分布概率密度公式

    多元正态分布的概率密度公式

    上式为 x 服从 k 元正态分布,x 为 k 维向量;|Σ| 代表协方差矩阵的行列式。

    二维正态分布概率密度函数为钟形曲面,等高线是椭圆线族,并且二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,如图

    numpy生成一个服从多元正态分布的数组

    multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid=None, tol=None)

    各参数含义:

    mean:均值,维度为1,必选参数;

    cov:协方差矩阵,必选参数;

    size: 指定生成矩阵的维度,若size=(1, 1, 2),则输出的矩阵的 shape 即形状为 1X1X2XN(N为mean的长度);

    check_valid:可取值 warn,raise以及ignore;

    tol:检查协方差矩阵奇异值时的公差,float类型。

    示例:

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    mean = (1, 1)

    cov = np.array([[0.1, 0], [0, 1]])

    x = np.random.multivariate_normal(mean, cov, (500,), 'raise') # nx2

    plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1])

    plt.xlim(-3, 5)

    plt.ylim(-3, 5)

    plt.show()

    运行结果:

    参考资料

    展开全文
  • ( 它的每个元素服从独立标准正态分布),向量 及 矩阵A满足 存在 和一个对称半正定阵 满足X的特征函数 如果 是非奇异的,那么该分布 可以由以下的PDF来描述: 注意这里的 表示协方差矩阵的行列式。 多元正态分布...

    多元正态分布的概率密度函数

    N维随机向量在这里插入图片描述
    如果服从多变量正态分布,必须满足下面的三个等价条件:
    任何线性组合 服在这里插入图片描述
    从正态分布。
    存在随机向量在这里插入图片描述
    ( 它的每个元素服从独立标准正态分布),向量在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    矩阵A满足在这里插入图片描述

    存在在这里插入图片描述
    和一个对称半正定阵 在这里插入图片描述
    满足X的特征函数在这里插入图片描述

    如果 在这里插入图片描述
    是非奇异的,那么该分布
    可以由以下的PDF来描述:
    在这里插入图片描述
    注意这里的在这里插入图片描述
    表示协方差矩阵的行列式。

    多元正态分布的最大似然估计

    在这里插入图片描述

    我们对均值求偏导

    在这里插入图片描述
    针对上面的矩阵求导,给出如下证明:
    在这里插入图片描述
    下面两个是常用的两个公式:
    在这里插入图片描述
    第一个公式证明,和上面的类似。
    第二个小编 没有证出来(才疏学浅)。不知道哪里的问题。
    在这里插入图片描述
    和公式形式不一样,不知道哪里有问题。

    接下来,我们在对协方差矩阵求偏导。

    在这里插入图片描述

    结论

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    推荐参考文章:
    行列式求导
    矩阵求导、几种重要的矩阵及常用的矩阵求导公式

    展开全文
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  • numpy.random.multivariate_normal 的用法

    千次阅读 2018-06-27 12:37:11
    这些参数类似于一维正态分布的平均值(平均值或“中心”)和方差(标准差或“宽度”,平方)。参数:mean:长度为N的1-D array_likeN维分布的均值。如:[1,1] 各维度的均值cov:2-D array_like,形状(N,N)如:[...

空空如也

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多元标准正态分布