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  • 协方差矩阵多元正态分布

    千次阅读 2021-10-21 12:32:02
    文章目录协方差矩阵协方差协方差矩阵多元正态分布协方差矩阵的特征值分解 协方差矩阵 协方差 在统计学中,方差用来度量单个随机变量的离散程度,而协方差用来刻画两个随机变量的相似程度,方差的计算公式 σx2=1n−1...

    协方差矩阵

    协方差

    在统计学中,方差用来度量单个随机变量的离散程度,而协方差用来刻画两个随机变量的相似程度,方差的计算公式
    σ x 2 = 1 n − 1 ∑ i n ( x i − x ˉ ) \sigma_x^2=\cfrac{1}{n-1}\sum\limits_i^n(x_i-\bar{x}) σx2=n11in(xixˉ)
    其中 n n n 表示样本数, x ˉ \bar{x} xˉ 表示观测样本的均值。
    协方差的计算公式定义为:
    σ ( x , y ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) \sigma(x,y)=\cfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) σ(x,y)=n11i=1n(xixˉ)(yiyˉ)
    在公式中, x ˉ , y ˉ \bar{x},\bar{y} xˉ,yˉ分别表示两个随机变量对应的观测样本均值。
    可以发现:

    方差 σ x 2 \sigma_x^2 σx2 可视作随机变量 x x x 关于自身的协方差。

    协方差矩阵

    给定一个 d d d维随机向量 x = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x d ) x=(x_1,x_2,\cdots,x_d) x=(x1,x2,,xd),则
    σ ( x m , x k ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x m i − x ˉ m ) ( x k i − x ˉ k ) \sigma(x_m,x_k)=\cfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_{mi}-\bar{x}_m)(x_{ki}-\bar{x}_k) σ(xm,xk)=n11i=1n(xmixˉm)(xkixˉk)
    协方差矩阵为:
    Σ = [ σ ( x 1 , x 1 ) ⋯ σ ( x 1 , x d ) ⋮ ⋱ ⋮ σ ( x d , x 1 ) ⋯ σ ( x d , x d ) ] \Sigma= \begin{bmatrix} \sigma(x_1,x_1) & \cdots & \sigma(x_1,x_d) \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma(x_d,x_1) & \cdots & \sigma(x_d,x_d) \end{bmatrix} Σ=σ(x1,x1)σ(xd,x1)σ(x1,xd)σ(xd,xd)
    根据上述协方差矩阵的定义,矩阵 Σ \Sigma Σ为对称矩阵(symmetric matrix),其大小为 d × d d\times d d×d

    多元正态分布

    假设一个向量 x x x服从均值向量为 μ \mu μ的均值向量、协方差矩阵为 Σ \Sigma Σ的多元正态分布(multi-variable Gaussian distribution),则
    p ( x ) = ∣ 2 π Σ ∣ − 1 2 exp ⁡ ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) p(x)=\vert{2\pi\Sigma}\rvert^{-\frac{1}{2}}\exp(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)) p(x)=2πΣ21exp(21(xμ)TΣ1(xμ))

    令均值向量 μ = 0 \mu=0 μ=0,指数前的系数 ∣ 2 π Σ ∣ − 1 2 \vert{2\pi\Sigma}\rvert^{-\frac{1}{2}} 2πΣ21为常数项,所以有
    p ( x ) ∝ exp ⁡ ( − 1 2 x T Σ − 1 x ) p(x)\propto \exp(-\frac{1}{2}x^T\Sigma^{-1}x) p(x)exp(21xTΣ1x)

    x x x为二维随机向量 x = ( x 1 , x 2 ) x=(x_1,x_2) x=(x1,x2),其协方差矩阵为单位矩阵 I 2 I_2 I2,则 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2的方差均为1,生成的散点图如下:
    在这里插入图片描述

    对于每个随机数,似然为:
    L ∝ exp ⁡ ( − 1 2 x T x ) \mathcal{L}\propto\exp(-\cfrac{1}{2}x^Tx) Lexp(21xTx)
    对图1的点进行一个线性变换: t = A x t=Ax t=Ax,得到图2:
    在这里插入图片描述
    在上述变换中,矩阵 A A A称为变换矩阵(transformation matrix),将变换矩阵分解为两个矩阵。
    尺度矩阵(scaling matrix):
    S = [ s 1 0 0 s 2 ] = [ 1 0 0 1 2 ] S=\begin{bmatrix}s_1 & 0 \\ 0 & s_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{bmatrix} S=[s100s2]=[10021]
    旋转矩阵(rotation matrix):
    R = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] = [ cos ⁡ π 6 − sin ⁡ π 6 sin ⁡ π 6 cos ⁡ π 6 ] = [ 3 2 − 1 2 1 2 3 2 ] R=\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos{\frac{\pi}{6}} & -\sin{\frac{\pi}{6}} \\ \sin{\frac{\pi}{6}} & \cos{\frac{\pi}{6}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} &\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} R=[cosθsinθsinθcosθ]=[cos6πsin6πsin6πcos6π]=[23 212123 ]

    其中 θ \theta θ为逆时针旋转的度数。

    变换矩阵、尺度矩阵和旋转矩阵的关系: A = R S A=RS A=RS

    A = R S = [ 3 2 − 1 4 1 2 3 4 ] A=RS=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} &\frac{\sqrt{3}}{4} \end{bmatrix} A=RS=[23 214143 ]

    经过线性变换 t = A x t=Ax t=Ax t t t的分布:
    x = A − 1 t x=A^{-1}t x=A1t 带入似然 L ( x ) \mathcal{L}(x) L(x)
    L ∝ exp ⁡ ( − 1 2 ( A − 1 t ) T ( A − 1 t ) ) = exp ⁡ ( − 1 2 t T ( A T A ) − 1 t ) \mathcal{L}\propto\exp(-\cfrac{1}{2}(A^{-1}t)^T(A^{-1}t))\\ =\exp(-\cfrac{1}{2}t^T(A^TA)^{-1}t) Lexp(21(A1t)T(A1t))=exp(21tT(ATA)1t)
    可得,多元正态分布的协方差矩阵:
    Σ = A A T = [ 13 16 3 3 16 3 3 16 7 16 ] \Sigma=AA^T=\begin{bmatrix} \frac{13}{16} & \frac{3\sqrt{3}}{16} \\ \frac{3\sqrt{3}}{16} &\frac{7}{16} \end{bmatrix} Σ=AAT=[16131633 1633 167]

    协方差矩阵的特征值分解

    对于实对称矩阵 Σ \Sigma Σ,必相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P,满足:
    Σ = P Λ P T \Sigma=P\Lambda P^T Σ=PΛPT
    P P P的每一列为相互正交的特征向量, Λ \Lambda Λ为对角矩阵,特征值从大到小排列。

    上述对称矩阵的分解可得:
    Σ = ( P Λ 1 / 2 ) ( P Λ 1 / 2 ) T = A A T = ( R S ) ( R S ) T \Sigma=(P\Lambda^{1/2})(P\Lambda^{1/2})^T=AA^T=(RS)(RS)^T Σ=(PΛ1/2)(PΛ1/2)T=AAT=(RS)(RS)T
    可得:
    P = R = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] = [ 3 2 − 1 2 1 2 3 2 ] P=R=\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} &\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} P=R=[cosθsinθsinθcosθ]=[23 212123 ]
    Λ = S S T = [ s 1 2 0 0 s 2 2 ] = [ 1 0 0 1 4 ] \Lambda=SS^T=\begin{bmatrix}s_1^2 & 0 \\ 0 & s_2^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix} Λ=SST=[s1200s22]=[10041]

    所以,多元正态分布得概率密度由协方差矩阵的特征向量控制旋转(rotation),特征值控制尺度(scale),均值向量控制概率密度的均值。

    关于矩阵在线性变换的理解,见下篇博客。

    如何直观地理解「协方差矩阵」?

    展开全文
  • 此函数提供多元正态分布条件期望和协方差矩阵的矢量化估计。 均值是一个矩阵,其中行表示期望向量。 Sigma 是协方差矩阵。 Ind 是第一个无条件参数的索引。 值是条件值的矩阵,其中的行对应于平均行。
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    正态分布中的半正定矩阵(协方差矩阵)

    1.什么是正定矩阵和半正定矩阵

    我们学习半正定矩阵前,得先了解,正定矩阵与半正定矩阵的关系以及什么是正定矩阵。这里先学习什么是二次型。

    首先给出二次型的定义
    定义1:设P为数域, a i j ∈ P , i , j = 1 , 2 , … , n a_ij∈P,i,j=1,2,…,n aijP,i,j=1,2,,n,n个数字x_1,x_2…,x_n的二次齐次多项式。
    在这里插入图片描述

    称为数域P上的一个n元二次型
    而这个式子可进一步可写成:
    在这里插入图片描述
    由于约定二次型中
    在这里插入图片描述
    ,可知 x i x j = x j x i x_i x_j=x_j x_i xixj=xjxi,有
    在这里插入图片描述
    由于笔者数学基础差,在此记录一下转化过程
    在这里插入图片描述
    将上式子的系数a排列成一个n×n矩阵
    在这里插入图片描述
    这个矩阵就称为二次型的矩阵,由于上面我们所约定 a i j = a j i , i , j = 1 , 2 , … , n a_ij=a_ji,i,j=1,2,…,n aij=aji,i,j=1,2,,n,由此可知 A ′ = A A'=A A=A

    意思是:转置矩阵=原矩阵
    这种转置矩阵和原矩阵相等的矩阵称为对称矩阵,即二次型矩阵都是对称矩阵。

    这个式子可以进一步化成以下形式:
    原式为:
    在这里插入图片描述
    把x提出来
    在这里插入图片描述
    再次转化成矩阵形式在这里插入图片描述
    再把矩阵中x提取出来得到
    在这里插入图片描述
    其中
    在这里插入图片描述
    我们称 f(x)=X’AX 为二次型的矩形形式,其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵。
    二次型f称为实对称矩阵A的二次型。实对称矩阵A的秩称为:二次型的秩。于是,二次型f与其实对称矩阵A之间有一一对应关系。

    ∀ x ∈ R n 且 𝑥 ≠ 0 { X T A X > 0 ( 1 ) X T A X ≥ 0 ( 2 ) ∀x∈R^n且𝑥≠0\left\{ \begin{aligned} X^T AX>0 (1) \\ X^T AX≥0 (2) \\ \end{aligned} \right. xRnx=0{XTAX>0(1)XTAX0(2)
    其中(1)式成立,则称为正定矩阵,(2)式成立则称为半正定矩阵。

    其中x^T Ax为二次型的矩形形式。

    举一个简单的例子:
    (1)假设
    A = [ 1 0 0 1 ] , x = [ x 1 x 2 ] A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \\ \end{matrix} \right], x=\left[ \begin{matrix} x_1 \\x_2\\ \end{matrix}\right] A=[1001],x=[x1x2]

    X T A X = x 1 2 + x 1 2 > 0 X^T AX=x_1^2+x_1^2>0 XTAX=x12+x12>0。满足这一条件称为正定矩阵。

    (2)假设

    A = [ 1 1 1 1 ] , x = [ x 1 x 2 ] A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\1 & 1 \\ \end{matrix} \right], x=\left[ \begin{matrix} x_1 \\x_2\\ \end{matrix}\right] A=[1111],x=[x1x2]
    X T A X = x 1 2 + x 1 2 + 2 x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 ≥ 0 X^T AX=x_1^2+x_1^2+2x_1 x_2=(x_1+x_2 )^2≥0 XTAX=x12+x12+2x1x2=(x1+x2)20。满足这一条件称为半正定矩阵。

    2.正定矩阵和半正定矩阵意义

    在一维中,二次函数表达形式为
    y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c,
    a > 0 a>0 a>0时,开口向上,凸函数,存在最低点。当 a < 0 a<0 a<0时,开口向下,凹函数,存在最高点。
    输入:x 单元(一维下的值)
    输出:y 单值(一维下的值)

    在多维中,二次函数的输入x数为矩阵形式,例如:
    输入: A = [ x 1 x 2 ⋮ x n m ] , 多 元 ( 多 位 下 的 矩 阵 ) A=\left[ \begin{matrix} x_1 \\x_2 \\\vdots\\x_n \end{matrix}m \right],多元(多位下的矩阵) A=x1x2xnm,
    输出:y 单值(一维下的值)

    这里我们可以得到一个结论,
    假设A矩阵为正定矩阵且对称,则所有特征值≥0;

    个人总结推导:
    A A A矩阵为正定时, ∀ x ∈ R n ∀x∈R^n xRn x ≠ 0 , X T A X > 0 x≠0,X^T AX>0 x=0,XTAX>0
    A A A矩阵为对称时, A T = A A^T=A AT=A,且必有正交矩阵 P T A P = ∧ P^T AP=∧ PTAP=,其中 ∧ ∧ 是以 A A A n n n个特征值为对角元素的对角矩阵。对应于不同特征值的特征向量正交,故这 n n n个单位特征向量两两正交。以它们为列向量构成正交矩阵P,则可得到: P T A P = P T ∧ P = ∧ P^T AP=P^T∧P=∧ PTAP=PTP=
    即可得: A = P T ∧ P A=P^T∧P A=PTP

    A = P T ∧ P 代 入 X T A X > 0 A=P^T∧P代入X^T AX>0 A=PTPXTAX>0,可得: X T P T ∧ P X > 0 X^T P^T∧PX>0 XTPTPX>0
    假设 y = P T X , y T = P X T , P T y=P^T X,y^T=PX^T, P^T y=PTX,yT=PXT,PT为一个可逆的n×n矩阵。则 X T P ∧ P T X > 0 X^T P∧P^T X>0 XTPPTX>0可化为 y T ∧ y > 0 y^T∧y>0 yTy>0
    因为
    ∧ = [ λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ 1 ] ∧=\left[ \begin{matrix} λ_1 & \cdots&0 \\ \vdots & \ddots &\vdots \\0&\cdots&λ_1 \end{matrix} \right] =λ100λ1

    y T ∧ y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 > 0 y^T∧y=λ_1 y_1^2+λ_2 y_2^2+⋯+λ_n y_n^2>0 yTy=λ1y12+λ2y22++λnyn2>0,可得到当取任取 y i = 1 y_i=1 yi=1,其他元素都为0时,可得到 λ i > 0 λ_i>0 λi>0

    个人理解:对于 x ≠ 0 x≠0 x=0,其 y T ∧ y > 0 y^T∧y>0 yTy>0的情况下, y T y^T yT y y y都不等于0。且 y T y^T yT y y y相乘都为正,所以 ∧ ∧ 的值应大于0,即所有的 λ i λ_i λi>0。

    同理可推出半正定矩阵中的特征值。
    假设 A A A矩阵为半正定矩阵,则所有特征值≥0;

    3.半正定矩阵

    上面已经介绍了半正定矩阵,下面证明协方差矩阵是半正定矩阵。
    首先先理解什么是协方差矩阵
    Y = [ ( y 1 , y 2 , y 3 , … , y n ) ] T Y=[(y_1,y_2,y_3,…,y_n)]^T Y=[(y1,y2,y3,,yn)]T n n n维随机变量,称矩阵为

    在这里插入图片描述
    要证明 ∑ ∑ 为半正定矩阵,需要证明对于任意 Y = [ ( y 1 , y 2 , y 3 , … , y n ) ] T Y=[(y_1,y_2,y_3,…,y_n)]^T Y=[(y1,y2,y3,,yn)]T n n n维随机变量,有 Y T ∑ Y ≥ 0 Y^T∑Y≥0 YTY0

    先计算Y^T∑部分
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在把 X X X加进去,计算 Y T ∑ Y Y^T∑Y YTY部分在这里插入图片描述
    假设
    在这里插入图片描述
    由此我们可以得到: Y T ∑ Y = E ( W 2 ) > 0 Y^T∑Y=E(W^2)>0 YTY=E(W2)>0

    所以我们可以理解了在概率机器人中多元正太分布的密度函数:
    在这里插入图片描述
    其中,μ数均值矢量,∑是一个半正定矩阵也称协方差矩阵。

    展开全文
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    1. k阶(原点)矩和k阶中心矩的定义

     

    2. k+l阶混合(原点)矩和k+l阶混合中心矩的定义

     

    3. n元随机变量的数学期望(向量)的定义

     

    4. n元随机变量的协方差矩阵的定义

     

    5. n元正态随机变量的联合概率密度的矩阵表示

     

    6. n元正态随机变量的四条重要性质

     

    7. 示例

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    cov使用

    randn(m,n) % 生成一个m*n标准正态分布 矩阵
    cov(m)% 求出m的协方差矩阵
    

    例子:求出5*6阶服从正态分布随机数的协方差矩阵

    >> p = randn(5,6)
    
    p =
    
        0.6630    0.4853    1.5352    0.0359   -2.0543   -0.0787
       -0.8542   -0.5955   -0.6065   -0.6275    0.1326   -0.6817
       -1.2013   -0.1497   -1.3474    0.5354    1.5929   -1.0246
       -0.1199   -0.4348    0.4694    0.5529    1.0184   -1.2344
       -0.0653   -0.0793   -0.9036   -0.2037   -1.5804    0.2888
    
    >> cov(p)
    
    ans =
    
        0.5333    0.2058    0.7220   -0.0110   -0.9222    0.2571
        0.2058    0.1720    0.2609    0.0330   -0.4424    0.1530
        0.7220    0.2609    1.3578    0.0520   -0.9066    0.0918
       -0.0110    0.0330    0.0520    0.2529    0.4083   -0.1762
       -0.9222   -0.4424   -0.9066    0.4083    2.5379   -0.9402
        0.2571    0.1530    0.0918   -0.1762   -0.9402    0.4091
    
    >> 
    
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    2021-03-31 22:35:27
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  • 前言:在机器学习和统计学习中,正态分布的身影无处不在,最为常见的是标准正态分布和多元正态分布 (multivariate normal distribution),两者分别作用于标量 (scalar) 和向量 (vector)。实际上,也存在一种正态分布...
  • 透彻理解多元正态分布

    千次阅读 多人点赞 2020-03-14 14:50:52
    本篇内容主要是对于基本书籍教材多元正态分布相关章节所写的学习笔记,结合自己的理解尽可能表述得通俗易懂,主要思路内容取自《程序员的数学之概率统计》。 前言 多元正态分布就是含有多个变量的正态分布,为什么...
  • 多元高斯分布的均值与协方差矩阵

    千次阅读 2019-09-27 21:34:45
    多元高斯分布,即数据的维度不再为1维度。 样本个数记为n x特征向量的维度为k 。 举个例子: 样本1:[2,3,4,5,6] 样本2:[3,4,5,6,7] 样本3:[4,5,6,7,8]; 求各个维度上的均值:x_i = [2+3+4/3,3+4+5/3.....6+7+8/3]...
  • 多元正态分布的性质和定理

    千次阅读 2018-04-11 22:38:56
    X_n]^T服从多元高斯分布,均值为μ∈Rnμ∈Rn\mu \in R^n(这里μμ\mu是一个n维向量),协方差矩阵为Σ∈S++nΣ∈S++n\Sigma \in {S_{++}}^n ,(S++nS++n{S_{++}}^n 是对称的正定矩阵),概率密度函数: p(x;μ,Σ)...
  • 本文讨论了多元正态分布的定义,重点讨论多元正态分布的独立性、回归与最佳预测等问题。
  • 前言:在机器学习和统计学习中,正态分布的身影无处不在,最为常见的是标准正态分布和多元正态分布 (multivariate normal distribution),两者分别作用于标量 (scalar) 和向量 (vector)。实际上,也存在一种正态分布...
  • 目录0引言1、函数名2、示例2.1正态分布随机数2.2偏正态分布2.3对数正态分布写在最后的话 0引言 最近在看偏正态分布相关的东西,偏正态分布的定义形式还是挺多样的,在偏态分布及其数字特征(R语言可视化)中我介绍的...
  • 多元正态分布具有两个参数——均值向量与自协方差函数,与数理统计一样,可以用抽样的方式定义一些统计量对它们进行参数估计。在这里,我们使用极大似然估计的方法,用样本均值和样本离差阵对它们进行估计。
  • 在上述理论知识的基础之上,我们在这一小节里以多元正态分布作为实际例子,让大家能够更直观的理解和强化这些概念和方法。1.再谈相关性:基于多元正态分布很简单,我们举一个例子,之前我们介绍过随机变量的正态分布...
  • 多元正态分布 1.1多元分布的基本概念 随机变量 假定所讨论的是多个变量的总体,所研究的数据是同时观测p 个指标(即变量),进行了n 次观测得到的,我们把这p 个指标表示为X1,X2,…,Xp,常用向量X =(X1,X2,...
  • 第二章、多元正态分布及参数估计这一讲主要是给出概率论中若干概念向高维的推广2.1随机向量一、随机向量的联合分布、边缘分布和条件分布1、多元数据 维随机向量: ,其中每个 都是随机变量随机矩阵: ,其中每个 都...

空空如也

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多元正态分布的协方差矩阵