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  • matlab生成多元随机数

    千次阅读 2018-05-17 16:37:39
    )摘抄下来,以便之后学习和应用多元正态随机数mvnrndMultivariate normal random numberscollapse all in pageSyntaxR = mvnrnd(MU,SIGMA)r = mvnrnd(MU,SIGMA,cases)DescriptionR = mvnrnd(MU,SIGMA)...

    在函数库里只找到了多元正态分布和多元t分布(没有多元卡方分布,哎。。。)

    摘抄下来,以便之后学习和应用

    多元正态随机数

    mvnrnd

    Multivariate normal random numbers

    Syntax

    R = mvnrnd(MU,SIGMA)
    r = mvnrnd(MU,SIGMA,cases)

    Description

    R = mvnrnd(MU,SIGMA) returns an n-by-d matrix R of random vectors chosen from the multivariate normal distribution with mean MU, and covariance SIGMA. MU is a vector or n-by-d matrix, andmvnrnd generates each row of R using the corresponding row of mu. SIGMA is a d-by-d symmetric positive semi-definite matrix, or a d-by-d-by-n array. If SIGMA is an array, mvnrnd generates each row of R using the corresponding page of SIGMA, i.e., mvnrnd computes R(i,:) using MU(i,:) and SIGMA(:,:,i). If the covariance matrix is diagonal, containing variances along the diagonal and zero covariances off the diagonal, SIGMA may also be specified as a 1-by-d vector or a 1-by-d-by-n array, containing just the diagonal. If MU is a 1-by-d vector, mvnrnd replicates it to match the trailing dimension of SIGMA.

    r = mvnrnd(MU,SIGMA,cases) returns a cases-by-d matrix R of random vectors chosen from the multivariate normal distribution with a common 1-by-d mean vector MU, and a common d-by-dcovariance matrix SIGMA.


    多元t分布随机数

    mvtrnd

    Multivariate t random numbers

    Syntax

    R = mvtrnd(C,df,cases)
    R = mvtrnd(C,df)

    Description

    R = mvtrnd(C,df,cases) returns a matrix of random numbers chosen from the multivariate t distribution, where C is a correlation matrix. df is the degrees of freedom and is either a scalar or is a vector with cases elements. If p is the number of columns in C, then the output R has cases rows and p columns.

    Let t represent a row of R. Then the distribution of t is that of a vector having a multivariate normal distribution with mean 0, variance 1, and covariance matrix C, divided by an independent chi-square random value having df degrees of freedom. The rows of R are independent.

    C must be a square, symmetric and positive definite matrix. If its diagonal elements are not all 1 (that is, if C is a covariance matrix rather than a correlation matrix), mvtrnd rescales C to transform it to a correlation matrix before generating the random numbers.

    R = mvtrnd(C,df) returns a single random number from the multivariate t distribution.




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  • 如何生成随机数及多元分布的随机数,发现佐治亚理工的一个课件,讲的特别详细,包括多种方法,以及如何生成多元正态分布的随机数: https://www2.isye.gatech.edu/~sman/courses/6644/Module07-...

    如何生成随机数及多元分布的随机数,发现佐治亚理工的一个课件,讲的特别详细,包括多种方法,以及如何生成多元正态分布的随机数:

    https://www2.isye.gatech.edu/~sman/courses/6644/Module07-RandomVariateGenerationSlides_171116.pdf

    打开速度慢的话可从百度网盘下载:链接:https://pan.baidu.com/s/1X4IVcA-lgAq9Ya95rnGq_A
    提取码:k9gv

    时间有限,慢慢整理吧。现在知道,一般的随机分布用逆函数法生成随机数,对于泊松分布,则用 “接受拒绝法” 生成随机数。

    下面整理一下如何生成多元分布的随机数:

    1. 假设有一个多元变量

    X=(x1,x2,,xn)T\textbf{X}=(x_1, x_2, \dots, x_n)^T

    它的均值向量为 μ\boldsymbol {\mu},协方差矩阵为 Σ\bf\Sigma.

    由于协方差矩阵为半正定矩阵,它可以三角分解,即 Σ=CCT\bf\Sigma=CC^T,其中,CC 为一个下三角矩阵,并且对角线元素为非负实数。

    2. 对于多元正态分布,有下面关系:

    X=μ+CZ \bf X=\boldsymbol \mu+CZ

    其中,Z\bf Z 为标准正态分布的 nn 个变量:(z1,z2,,zn)(z_1, z_2, \dots, z_n)

    可以验证,μ+CZ\bf\boldsymbol \mu+CZ 的均值向量也为 μ\boldsymbol {\mu},协方差矩阵也为 Σ\bf\Sigma

    3. 生成多元正态分布随机数的步骤:

    (1)生成标准正态分布随机数
    (2)求出协方差矩阵的三角分解矩阵 C\bf C
    (3)根据 X=μ+CZ\bf X=\boldsymbol \mu+CZ,将第一步生成的随机数转化为普通多元正态分布的随机数

    若两个分布相互独立,则对于它们联合分布的随机数,每个分布分别生成随机数,然后组合在一起就可以了。

    展开全文
  • 生成随机数: # 生成随机数 ... # 标准正态分布N(0,1) y2 <- rexp(100,2); # 参数为2的指数分布Exp(2) y3 <- rt(100,1); # 自由度为1的t分布t(1) y4 <- -y2; # -Exp(2) 1 图像法 1.1 直方图 ...

    生成随机数:

    # 生成随机数
    set.seed(1230)      # 随机数种子
    y1 <- rnorm(100);  # 标准正态分布N(0,1)
    y2 <- rexp(100,2);  # 参数为2的指数分布Exp(2)
    y3 <- rt(100,1);  # 自由度为1的t分布t(1)
    y4 <- -y2;    # -Exp(2)
    

    1 一元正态的评估

    1.1 图像法

    1.1.1 直方图

    直方图是最简单最直白的方法,但是不太适用于少量数据。

    # ----------------- 直方图--------------------- #
    par(mfrow=c(2,2))   # par是图像参数设置函数,mfrow=c(2,2)是生成2x2的子图
    hist(y1,main='Histogram for 100 random numbers from N(0,1)',xlim=c(-5,5))
    hist(y2,main='Histogram for 100 random numbers from Exp(2)')
    hist(y3[abs(y3) < 5],main='Histogram for 100 random numbers from t(1)',xlim=c(-5,5),xlab='y3')
    hist(y4,main='Histogram for 100 random number fram -Exp(2)')
    

    结果:
    直方图

    1.1.2 Q-Q图

    Q-Q图的横坐标是理论的分位数,纵坐标是样本分位数,如果样本服从正态分布,那么图中的点应该与直线大致重合。

    # ----------------- QQ图--------------------- #
    par(mfrow=c(2,2))
    qqnorm(y1,main='Q-Q plot for y1 from N(0,1)');qqline(y1)    # 在Q-Q图中添加直线
    qqnorm(y2,main='Q-Q plot for y2 from Exp(2)');qqline(y2)
    qqnorm(y3,main='Q-Q plot for y3 from t(1)');qqline(y3)
    qqnorm(y4,main='Q-Q plot for y4 form -Exp(2)');qqline(y4)
    

    结果:
    在这里插入图片描述
    那么应该如何分析Q-Q图呢?
    在这里插入图片描述

    因此上图从上到下,从左到右依次为:薄尾(但是程度很弱,基本是直线,可以认为是正态)、右偏、厚尾、左偏。

    1.2 峰度和偏度

    正态分布的偏度应该是0,峰度应该是3.

    # ----------------- 偏度和峰度--------------------- #
    library(moments)
    # skewness
    skewness(y1);kurtosis(y1)
    skewness(y2);kurtosis(y2)
    skewness(y3);kurtosis(y3)
    skewness(y4);kurtosis(y4)
    

    结果:

    > skewness(y1);kurtosis(y1)
    [1] -0.02211832
    [1] 2.451047
    > skewness(y2);kurtosis(y2)
    [1] 1.572117
    [1] 4.872045
    > skewness(y3);kurtosis(y3)
    [1] -1.896557
    [1] 12.09301
    > skewness(y4);kurtosis(y4)
    [1] -1.572117
    [1] 4.872045
    

    第一个比较接近标准正态的偏度与峰度,而其他的都明显不符合。

    1.3 统计检验

    以上方法都存在明显缺陷,图像方法对于小样本并不适用,图像方法以及偏度峰度只提供了一个粗糙而不正式的检验方法,没有一个明确的决定准则。

    因此接下来做正式的统计检验,他们基于以下假设:

    H0:H_0:数据来自正态分布

    H1:H_1:数据不来自正态分布

    1.3.1 Shapiro-Wilks检验

    Shapiro-Wilks检验统计量为:

    W=(i=1na(i)y(i))2i=1n(yiyˉ)2W=\frac{\left(\sum_{i=1}^{n} a_{(i)} y_{(i)}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}

    这里y(i)y_{(i)}是第ii个样本次序统计量;a(i)a_{(i)}是标准正态分布中第ii个次序统计量标准化的期望值。该方法有三个值得注意的地方:

    • W\sqrt{W}约等于实际数据与正态得分之间的相关系数;
    • W=1W=1时,数据恰好完全是正态分布;
    • WW显著小于1”则表明数据非正态。

    代码:

    # ----------------- Shapiro-Wilks检验--------------------- #
    shapiro.test(y1)  # p越小说明在原假设成立的条件下该事件越不容易发生
    shapiro.test(y2)
    shapiro.test(y3)
    shapiro.test(y4)
    

    结果:

    > shapiro.test(y1)  # p越小说明在原假设成立的条件下该事件越不容易发生
    
    	Shapiro-Wilk normality test
    
    data:  y1
    W = 0.98635, p-value = 0.3952
    
    > shapiro.test(y2)
    
    	Shapiro-Wilk normality test
    
    data:  y2
    W = 0.80837, p-value = 4.513e-10
    
    > shapiro.test(y3)
    
    	Shapiro-Wilk normality test
    
    data:  y3
    W = 0.82433, p-value = 1.488e-09
    
    > shapiro.test(y4)
    
    	Shapiro-Wilk normality test
    
    data:  y4
    W = 0.80837, p-value = 4.513e-10
    

    以上数据中,y1的WW值非常接近于1,且pp值很大,因此接受原假设。而其他几组数据的pp非常小,而我们知道,pp越小,可以认为在原假设成立的条件下该样本越不可能发生,在这里就是越不可能是正态分布的数据。

    1.3.2 Kolmogorov-Smirnov 检验

    Kolmogorov-Smirnov检验的统计量为:

    D=nsupyFn(y)F0(y)D=\sqrt{n} \sup _{y}\left|F_{n}(y)-F_{0}(y)\right|

    这里的Fn(y)F_n(y)是数据的经验累积分布函数(cdf);F0(y)F_0(y)是与数据同均值、同方差的正态分布的累积分布函数。

    该检验方法值得注意的一点是:若DD值很大,则拒绝原假设H0H_0,也就是DD越小越好,怎么理解呢?当数据很接近正态分布时,那么按理来说,Fn(y)F_n(y)应该比较接近F0(y)F_0(y)DD也就越小。

    代码:

    # ----------------- Kolmogorov-Smirnov检验--------------------- #
    library(nortest)    # package for normality test
    ks.test(y1,'pnorm',mean(y1),sqrt(var(y1)))
    ks.test(y2,'pnorm',mean(y2),sqrt(var(y2)))
    ks.test(y3,'pnorm',mean(y3),sqrt(var(y3)))
    ks.test(y4,'pnorm',mean(y4),sqrt(var(y4)))
    

    结果:

    > ks.test(y1,'pnorm',mean(y1),sqrt(var(y1)))
    
    	One-sample Kolmogorov-Smirnov test
    
    data:  y1
    D = 0.043044, p-value = 0.9925
    alternative hypothesis: two-sided
    
    > ks.test(y2,'pnorm',mean(y2),sqrt(var(y2)))
    
    	One-sample Kolmogorov-Smirnov test
    
    data:  y2
    D = 0.1882, p-value = 0.001676
    alternative hypothesis: two-sided
    
    > ks.test(y3,'pnorm',mean(y3),sqrt(var(y3)))
    
    	One-sample Kolmogorov-Smirnov test
    
    data:  y3
    D = 0.15339, p-value = 0.01809
    alternative hypothesis: two-sided
    
    > ks.test(y4,'pnorm',mean(y4),sqrt(var(y4)))
    
    	One-sample Kolmogorov-Smirnov test
    
    data:  y4
    D = 0.1882, p-value = 0.001676
    alternative hypothesis: two-sided
    

    第一个的pp值很大,而其他的都要小于0.05,因此第一个接受原假设,其他的拒绝原假设。

    此外,K-S检验还常常用于其他分布的检验,举个例子,为验证每小时参与讨论的人数是否服从泊松分布,原理与正态分布检验是一致的。可以用MATLAB软件进行K-S检验,主要代码程序如下:

    lambda = poissfit(A,alpha);   % 对A进行泊松分布拟合
    p = poisscdf(A,lambda);   % 生成经验分布函数
    H = kstest(A,[A,p],alpha);  % K-S检验
    

    其中A表示由每小时讨论人数组成的向量,alpha为置信率。如果运行结果H=0,则表示A服从泊松分布。对热点话题样本运行的结果显示H=0,因此每小时参与讨论的人数服从泊松分布。

    1.3.3 Cramer-von Mises检验

    Cramer-von Mises检验的检验统计量为:
    C=[Fn(y)F0(y)]2dF0(y)C=\int\left[F_{n}(y)-F_{0}(y)\right]^{2} d F_{0}(y)

    CC也是和以上的几个检验差不多,越小越好,原理同Kolmogorov-Smirnov检验差不多。

    代码:

    # ----------------- Cramer-von Mises检验--------------------- #
    library(nortest)
    cvm.test(y1)
    cvm.test(y2)
    cvm.test(y3)
    cvm.test(y4)
    

    结果:

    > cvm.test(y1)
    
    	Cramer-von Mises normality test
    
    data:  y1
    W = 0.025708, p-value = 0.8987
    
    > cvm.test(y2)
    
    	Cramer-von Mises normality test
    
    data:  y2
    W = 1.1379, p-value = 7.37e-10
    
    Warning message:
    In cvm.test(y2) :
      p-value is smaller than 7.37e-10, cannot be computed more accurately
    > cvm.test(y3)
    
    	Cramer-von Mises normality test
    
    data:  y3
    W = 0.70914, p-value = 5.184e-08
    
    > cvm.test(y4)
    
    	Cramer-von Mises normality test
    
    data:  y4
    W = 1.1379, p-value = 7.37e-10
    
    Warning message:
    In cvm.test(y4) :
      p-value is smaller than 7.37e-10, cannot be computed more accurately
    

    结果分析同上,第一个pp很大,因此接受原假设,而其他的则拒绝。

    1.3.4 Anderson-Darling检验

    Anderson-Darling检验的检验统计量为:

    A=[Fn(y)F0(y)]2F0(y)(1F0(y))dF0(y)A=\int \frac{\left[F_{n}(y)-F_{0}(y)\right]^{2}}{F_{0}(y)\left(1-F_{0}(y)\right)} d F_{0}(y)

    对这个检验的理解和上面Kolmogorov-Smirnov检验是一样的,就不多说了。

    代码:

    # ----------------- Anderson-Darling检验--------------------- #
    ad.test(y1)
    ad.test(y2)
    ad.test(y3)
    ad.test(y4)
    

    结果:

    > ad.test(y1)
    
    	Anderson-Darling normality test
    
    data:  y1
    A = 0.24449, p-value = 0.7564
    
    > ad.test(y2)
    
    	Anderson-Darling normality test
    
    data:  y2
    A = 6.5289, p-value = 3.969e-16
    
    > ad.test(y3)
    
    	Anderson-Darling normality test
    
    data:  y3
    A = 4.0526, p-value = 3.724e-10
    
    > ad.test(y4)
    
    	Anderson-Darling normality test
    
    data:  y4
    A = 6.5289, p-value = 3.969e-16
    

    结果理解同上,不多说了。

    2 多元正态分布的评估

    有三种方法来检验一个pp维总体yy的随机样本{y1,,yn}\{y_1,\cdots,y_n \}是否来自于多元正态分布:

    • 1、检验向量的每一维是否都是一元正态分布——如果数据服从多元正态分布,那么每一维都服从一元正态分布,如果检验出有一个不是正态分布,那么联合分布就不是多元正态;
    • 2、检验是否每一组二维散点图都没有线性趋势——如果数据服从多元正态分布,那么两个维度之间要么独立,要么成线性关系;
    • 3、根据QQ图,检验统计距离{d1,,dn}\{d_1,\cdots,d_n\}是否距离χ2(p)\chi^2(p)很远,其中统计距离定义为:
      di=(yiy)S1(yiy)d_{i}=\left(\mathbf{y}_{i}-\overline{\mathbf{y}}\right)^{\prime} \mathbf{S}^{-1}\left(\mathbf{y}_{i}-\overline{\mathbf{y}}\right)
      注意,这只是一种近似方法。

    以下以一个例子讲解上面三种方法。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.1 一元检验

    首先我们检查每一个变量的QQ图:
    在这里插入图片描述
    二氧化硫分布比较集中,降水以及降水天数背离了正态性;制造企业数和人口数存在很多异常值。综上,该多元数据不服从多元正态分布。

    2.2 线性关系检验

    接着,绘制两两散点图矩阵:
    在这里插入图片描述
    非线性部分显示了数据与多元正态分布的偏离,显然也说明不是多元正态。

    2.3 多元QQ图检验

    进一步地,我们绘制整体QQ图:
    在这里插入图片描述
    该图除了检验正态性这一用处外,也可以用来发现可能的异常值。

    如果正态性不成立,可以采用一些变量变换方法来获取正态性,如Box-Cox 变换(见我之前的文章,有MATLAB实现方法及原理)。

    2.4 R语言实现

    # ----------------- 多元正态性--------------------- #
    library(HSAUR2)   # which contains the data
    # 每一个的QQ图(individual Q-Q plot)
    layout(matrix(1:8,4,2,byrow = TRUE))    # 4x2最好不要改动了,不然会出现错误: Error in plot.new() : figure margins too large 
    sapply(colnames(USairpollution), function(x)
      {
      qqnorm(USairpollution[[x]], main=x);
      qqline(USairpollution[[x]])
    })
    
    # Scatterplot matrix
    pairs(USairpollution)
    
    # chi-square Q-Q plot with outlier detection
    par(mfrow=c(1,1))
    y <- USairpollution
    cm <- colMeans(y)
    S <- cov(y)
    d <- apply(y,1,function(y) t(y-cm) %*% solve(S) %*% (y-cm))
    plot(qc <- qchisq( (1:nrow(y)-1/2)/nrow(y),df=7),
         sd <- sort(d),
         xlab = expression(paste(chi[7]^2,"Quantile")),
         ylab = "Ordered distances",
         xlim = range(qc)*c(1,1.1))
    oups <- which(rank(abs(qc - sd), ties="random") > nrow(y) - 3)
    text(qc[oups],sd[oups]-1.5,names(oups))
    abline(a=0,b=1)
    

    对以上代码的理解:

    • layout(matrix(c(1,1,2,3),2,2,byrow=TRUE)),其中的2,2表示2×2的图形矩阵;byrow=TRUE表示按列排图,其中的c(1,1,2,3),中有3个不同的值1,2,3,表示2×2的图形矩阵中有3个图,按
      1 1
      2 3
      进行排列。其中1 ,1表示图hist(wt)位于图形矩阵的第一行的1,2列;2表示图hist(mpg)位于2行1列;3表示图hist(disp)位于2行2列。得到上面的图形矩阵。

    • sapply()类似于MATLAB中的arrayfun()函数,可以对一个向量批量使用某一个函数。

    • pairs()是绘制两两的散点图,pairs在英文中就代表着成双成对,很好理解。

    • par()是修改图形参数的函数,与layout()作用差不多。

    • apply()函数的使用方法可以见apply函数的使用方法

    • which()函数返回的是满足相应条件的下标/索引,使用方法见which函数的使用方法

    • rank()函数是获得每一个元素排序后的序号,“random” 是相同元素随机编排次序,避免了“先到先得”,“权重”优于“先后顺序”的机制增大了随机的程度。使用方法见rank函数的使用方法

    • text()函数就是添加文本标记,它是向绘图区域内部添加文本,而mtext()则向图形的四个边界之一添加文本。

    • abline()则常用用于为图形添加参考线,其使用格式为abline(h=yvalues, v=xvalues, params),其中h为水平方向添加,而v为纵向。

    练习题

    练习1

    在这里插入图片描述
    代码:

    # 练习
    data <- c(-0.6,3.1,25.3,-16.8,-7.1,-6.2,25.2,22.6,26.0)
    # (a)
    qqnorm(data,mian='1996-2005年间道琼斯工业平均指数的年回报率');qqline(data)
    
    # (b)
    shapiro.test(data)
    

    结果:
    在这里插入图片描述

    > shapiro.test(data)
    
    	Shapiro-Wilk normality test
    
    data:  data
    W = 0.85607, p-value = 0.08688
    

    练习2

    在这里插入图片描述
    代码:

    Y1 <- c(1,2,3,3,4,5,6,8,9,11)
    Y2 <- c(18.95,19.00,17.95,15.54,14.00,12.95,8.94,7.49,6.00,3.99)
    # (a)
    data <- data.frame(Y1,Y2)
    mu <- c(0,0)
    mu[1] <- mean(Y1)
    mu[2] <- mean(Y2)
    cov.y1y2 <- cov(data)
    cor.y1y2 <- cor(data)
    
    # (b)
    d <- apply(data,1,function(data) t(data-mu) %*% solve(cov.y1y2) %*% (data-mu))
    
    # (c)
    plot(qc <- qchisq((1:length(d) - 1/2)/length(d) , df=length(d)-1),
         sd <- sort(d))
    

    结果:

    # (a)
    > mu
    [1]  5.200 12.481
    > cov.y1y2
              Y1        Y2
    Y1  10.62222 -17.71022
    Y2 -17.71022  30.85437
    > cor.y1y2
               Y1         Y2
    Y1  1.0000000 -0.9782684
    Y2 -0.9782684  1.0000000
    
    # (b)
    > d
     [1] 1.8753045 2.0203262 2.9009088 0.7352659 0.3105192 0.0176162 3.7329012 0.8165401 1.3753379 4.2152799
    

    ( C ):
    在这里插入图片描述

    附录——对p值的理解

    求法方面的理解:p值可以理解为在原假设成立的情况下当前样本或倾向于备择假设成立极端情况的发生概率

    含义方面的理解:在原假设成立的情况下拒绝原假设的最小显著性水平。如果显著性水平α>p,拒绝原假设,反过来则接受原假设

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 本实验和之前书中的 ...实验四随机模拟常用分布求积分运算随机模拟在R语言中,可用函数 sample() 模拟离散均匀分布随机数,它的简单调用方式为:sample( x, #等可能的选择x的分量 size, #要选取的变量的个数 ...

    本实验和之前书中的 统计学导论-全书总结(2) 相互照应,其主要内容为随机模拟和常用的分布练习。

    • 实验四
      • 随机模拟
      • 常用分布
      • 求积分运算

    随机模拟

    在R语言中,可用函数 sample() 模拟离散均匀分布随机数,它的简单调用方式为:

    sample( x,                    #等可能的选择x的分量
                  size,                #要选取的变量的个数
                  replace=F       #是否为放回方式
                 )
    #其中输入变量x是一个向量,函数按照等可能原则抽取这个向量的分量;
    #输入参数size是要抽取分量的个数,即该函数返回向量(模拟结果)的维数;
    #输入参数replace用来指示是取后“放回(TRUE)”还是“不放回(FALSE)”,其默认值是FALSE,即不放回。

    下面是一个例子

    sample( 1:10, 20 ,replace=T )
    #该程序代码模拟用放回方式从1~10中任意抽20个数,
    #这些数都是以10为参数的离散均匀分布随机变量的重复观测值
    sample( 1:10, 5, replace=F )
    #模拟用不放回方式从1~10中任意抽取5个数,这些数分别是以10,9,8,7,6为参数的离散均匀分布随机变量的观测值,
    #不是以10为参数的离散均匀分布随机变量的重复观测数据

    常用分布

    • 计算密度函数以d开头
    • 计算分布函数以p开头
    • 生成随机数函数以r开头

    1 二项分布

    dbinom:用于计算二项分布 ( , )的密度值
            调用方式为 dbinom(x, n, p) .
    pbinom:用于计算二项分布 ( , )的分布函数值
            调用方式为 pbinom(x, n, p) .
    rbinom:用于生成服从二项分布 ( , )的随机数
            调用方式为 rbinom(m, n, p) . 
            其中m为要生成的随机数的数量

    2 超几何分布

    dhyper:用于计算超几何分布的密度值
            调用方式为 dhyper(k, M, N-M, n) . 其中 ≥ ,  ≥ 
    phyper:用于计算超几何分布的分布函数值
            调用方式为 phyper(k, M, N-M, n) . 
    rhyper:用于生成服从超几何分布的随机数
            调用方式为 rhyper(m, M, N-M, n) . 
            其中m为要生成的随机数的数量

    这里结合全书总结的文章,我们知道:N为球的总个数,M为特殊球的个数,n为取出的球的个数,k为取出球中特殊球的个数

    3 泊松分布

    dpois:用于计算泊松分布的密度值
           调用方式为 dpois (x,  ) . 
    ppois:用于计算泊松分布的分布函数值
           调用方式为 ppois (x,  ) . 
    rpois:用于生成服从泊松分布的随机数
           调用方式为 rpois (m,  ) .
           其中m为要生成的随机数的数量

    4 均匀分布

    dunif:用于计算均匀分布的密度值
           调用方式为 dunif (x, a, b) . 
    punif:用于计算均匀分布的分布函数值
           调用方式为 punif (x, a, b) . 
    runif:用于生成服从均匀分布的随机数
           调用方式为 runif (m, a, b) . 
           其中m为要生成的随机数的数量

    5 均匀分布

    dnorm:用于计算正态分布的密度值
           调用方式为 dnorm ( ,  ,  ) . 
    pnorm:用于计算正态分布的分布函数值
           调用方式为 pnorm ( ,  ,  ) . 
    rnorm:用于生成服从正态分布的随机数
           调用方式为 rnorm ( ,  ,  ) . 
           其中m为要生成的随机数的数量。
    qnorm:用于计算正态分布的分布函数值为p时的x取值
           调用方式为qnorm(p,  ,  ).

    下面给出一个正态分布的例子

    pnorm(3,3,5)    #x=3处的分布函数值
    dnorm(3,3,5)    #x<=3时的概率和
    qnorm(0.5,3,5)  #分布函数值为0.5时x的取值,中位数
    qnorm(0.25,3,5)  #分布函数值为0.25时x的取值,下四分位数
    qnorm(0.75,3,5)  #分布函数值为0.75时x的取值,上四分位数

    求积分运算

    这里我们介绍两种计算积分的思路

    1 直接计算:在R语言中,求期望等随机变量时,可能会用到计算定积分。可以通过函数 integrate() 计算定积分。

    下面给出一个例子

    计算

    a<- integrate( function(x)x^2, 0, 1)
    Summary(a)#a是列表

    2 用方差计算的方法来估计

    由于

    896fd005c0f15527088b4dca229aa8f6.png

    其中

    则我们可以利用随机模拟的方式来计算这个积分

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    b<-a^2
    c<-sum(b)/1000
    c
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