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一元函数，多元函数，可微的含义

 

多元函数微分的几何意义

多元函数偏导

那么为什么有微分和可导

能不能固定两个或者多个条件，多偏微分，哈哈

一元函数，多元函数，可微的含义

就是用极限的思想近似反应两个可变因素之间的函数关系。近似代替。

一元函数微分的几何意义：就是曲线x增加了一部分，y增加多少的表示。用了极限分割的思想，无线接近。dy与△y之间差一个高阶无穷小。、

△y，△x是实际的变化量，dy，dx就是利用极限的思想，近似代替。你要明白。

dy指的是函数在某点切线方向上增量（当函数可导时函数从Xo变化到Xo+△X时候）

△y指的是函数曲线上函数的增量（函数从Xo变化到Xo+△X时候）两者的差距从图像上可以看到，相差很小，所以dy用来近似计算。

函数从Xo变化到Xo+△X时候，用切线的y增量代替，函数y增量。

就是函数值的增量可以用自变量的增量的线性表示，再加上它们的无穷小量。

 

多元函数微分的几何意义

z的增量用想，x与y的关系式近似的表示出来。

在一元函数中是曲线与切线

在二元函数中是曲面与切面，都是相对的。

其实就是增加一个变化条件，由于现实生活中影响某事物的因素不止一种，就有多元函数。

 

多元函数偏导

多元函数就存在偏导，偏导就是固定其他因素，看两个可变因素之间是存在线性或非线性的函数关系。

在物理上的应用就是：

1、偏导的物理意义：

单一参数的变化，引起的物理量的变化率。

例如：

A、∂P/∂T：温压变化率 = 压强随着温度的变化率；

B、∂V/∂T：体压变化率 = 体积随着温度的变化率。

.

2、全微分的物理意义：

所有参数同时变化，所引起函数的整体变化。

例如：

对于理想气体，P = nRT/V = f(T,V)

dP = (∂f/∂T)dT + (∂f/∂V)dV

也就是，

压强P的微小变化，是由温度引起的变化量(∂f/∂T)dT，

跟由体积引起的变化量(∂f/∂V)dV，这两者之和所确定。


 

全微分就是：如果把自变量的微分解释为自变量的增量，则函数的微分给出的函数增量的近似值，准确到各个自变量的增量的一阶项。也就是说，它和精确的函数增量之差是各个自变量增量的高阶无穷小；

那么为什么有微分和可导

一元微积分里可微和可导是两个等价的概念

函数在某一点可微就是指在该点的导数存在.但是可积是指函数在某个区间上的定积分（和式极限）存在,而不是指其原函数是初等函数.

连续函数都是有原函数的,但不一定是初等函数（可以是变上限积分函数）,可积（和式极限存在）的函数的原函数可以不是初等函数,例如e^(-x^2)在R上是可积的,但是其原函数不是初等函数.

多元微积分中可导这个概念是不清楚的,因为多元函数求导要区分沿什么方向,而多元函数可微是有明确定义的,而且函数可微和其偏导数有紧密联系,可积的情况和一元函数类似,指在某区域上的和式极限存在,同样和被积函数的原函数是否有初等表达式无关.

 

事实上这是两个完全不同的概念，只是在一元函数的情况下貌似是雷同的而已。

原因和莱布尼兹，牛顿两个人有关。莱布尼兹创造的是可微，而牛顿创造的是可导。

可微的定义是，函数在正方向上x有一个微小的增量dx，而对应函数y(x)的增量Δy如果可以用一个线性表示的Adx+α，α是一个x的高阶无穷小。即它很小可以小到忽略不计。而经过极限运算可以得出这个A恰好和导数定义一致。导数的定义是瞬时变化率。两个概念的差异主要是因为莱布尼兹是数学家，而牛顿是物理学家，两个人研究同一个数学问题的出发点不同。

当发展到二元函数时两个概念的差别就及其明显了。如果函数可微，那么全增量dz=Adx+Bdy，这时由于可以用两个线性增量来替代原增量，显然z的真正增量就可以用两个偏积分之和，即线性增量的累加来计算。

 

综上：

可微可导源于不同人，但是一元函数中有相同作用，但是可微的范围更加广泛，可以拓展到二维多维，这样就出现偏微分概念，偏微分实质还是可导，将其他条件看做不变，单一看某一条件对其影响；

 

那么问题又来了

能不能固定两个或者多个条件，多偏微分，哈哈

 

以后补充

 

 

matlab 中的 peaks 函数是一个典型的多元函数。它本质上是一个二元高斯分布的概率密度函数，函数表达式为：
\begin{equation}f(x,y)=3(1-x)^{2}e^{-x^2-(y+1)^2}-10(\frac{1}{5}x-x^3-y^5)e^{-x^2-y^2}-\frac{1}{3}e^{-(x+1)^2-y^2}\end{equation}
在 matlab 命令行窗口直接输入 peaks 可以得到其表达式的 matlab 形式：
z =  3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ... 

   - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ... 

   - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2) 

三维图像：

 f=@(x,y)3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);
 ezmesh(f);





从图像看出，它恰好有3个极小点，3个极大点。

行列式的代数含义，是用来解多元方程组的。

即用最小公倍数的方法替代高中的消元代入法。

比如

a11x1+a12x2=b1

a21x1+a22x2=b2;

通过最小公倍数得到

a11a22x1+a12a22x2=a22b1

-a12a21x1-a12a22x2=-a12b2

相加得到

（a11a22-a12a21）x1=a22b1-a12b2

可以求x1

而a11a22-a12a21这种形状如乘法再相加（减）的代数式，即定义为行列式。

行列式的通用定义为

A=a11A11+a21A21+ ...+an1An1

Aij=(-1)^(i+j)xMij （代数余子式）

Mij为余子式，即除了i行，j列后，n-1阶的行列式。

行列式一定是方阵。

 

 

我们在用统计软件工具，比如SPSS、R、python在做多元线性回归时，通常会看其系数的P值，但你真的理解这个P值吗？关于这个问题，我们首先需要了解什么是假设检验、假设检验的两类错误以及P值的含义。

假设性检验的定义：提出检验假设又称无效假设，也称为原假设，符号是H0；备择假设的符号是H1。H0：样本与总体或样本与样本间的差异是由抽样误差引起的；H1：样本与总体或样本与样本间存在本质差异；预先设定的检验水准α为0.05；当检验假设为真，但被错误地拒绝的概率，记作α，通常取α=0.05或α=0.01。

假设检验的两类错误：当原假设H0为真，我们却拒绝原假设，这时我们便犯了第一类错误或 α错误，也称为拒真错误；当原假设为假，我们却接受了它，这就是第二类错误，也称受伪错误或β错误。

P值其实就是一种统计量发生的概率，比较它与我们与设定的显著性水平α来判断结果：若P>α，结论为按α所取水准不显著，不拒绝H0，即认为差别很可能是由于抽样误差造成的，在统计上不成立；如果P≤α，结论为按所取α水准显著，拒绝H0，接受H1，则认为此差别不大可能仅由抽样误差所致，很可能是实验因素不同造成的，故在统计上成立。

从另一个角度来理解，P值描述的是H0在极端情况下发生的概率，其值越小表明这是H0原假设事件发生的概率越小，H0的发生是一个小概率事件，因此应该拒绝它，那么怎样判断要不要拒绝呢？这就是预设的显著性水平α，如果P<α，我们就拒绝H0。显然α越大，我们就越可能拒绝原假设H0，但原假设如果是真的，我们就越可能第一类错误，拒真错误；

那么多元线性回归自变量的系数的原假设是什么呢？按照前面假设性检验的定义，原假设H0实际上指样本或者总体不存在什么关系，完全是因为抽样产生的关系，也称为因为抽样产生的误差，其实本来没什么因果关系。因此多元线性回归的原假设是指因变量与自变量之间没什么关系，完全是抽样产生的错觉，用数学语言表示就是，设自变量X1的系数为m1,则原假设H0：m1=0

因此，在实践中我们需要分别检查各个自变量系数的p值，而通常显著性水平设α为0.05，如果p<0.05，按照上述解释，在0.05的显著性水平下拒绝原假设。即该系数m1不等于0，该系数与因变量存在某种关系，这种关系是真实存在的，并不是因为抽样的样本产生的误差。

特别提醒的是在统计学上的一些原假设H0的提出不是你自己想怎样假设就怎样假设，而通常是遵循某种定义的，你需要根据上述“假设性检验的定义”，并结合你要研究的问题提出H0。下面举一个小例子：

甲和我手里都有一枚硬币，但我不知道这枚硬币是否做了手脚，我们打赌，每个人投掷这枚硬币50次，谁菊花面朝上的次数多谁赢。结果我菊花朝上的次数是30次，而甲是49次。对这个结果我表示怀疑，我质疑甲硬币作弊，那么我应该怎样做原假设呢？分析如下：科学来讲，这个豪赌应该完全靠运气（用术语讲就是抽样误差），理论值是25次，我的结果看起来应该没什么问题，甲的结果可能有问题，因为发生这样的概率太低了。两种假设分别是甲作弊了和甲没作弊，用数学语言理解：甲作弊了就是说甲的结果与硬币本身（作弊，对硬币做了手脚）存在某种关系，按照前述定义，这应该是备择假设H1；甲没作弊意思就是这种结果也是可能的，他的出现是因为运气（抽样误差）产生的，所以应该是原假设H0。因此这个例子的假设是：

H0：甲没作弊     H1：甲作弊了