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  • 一元函数,多元函数,可微的含义:就是用极限的思想近似反应两个可变因素之间的函数关系。近似代替。 一元函数微分的几何意义:就是曲线x增加了一部分,y增加多少的表示。用了极限分割的思想,无线接近。dy与△y...

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    一元函数,多元函数,可微的含义

     

    多元函数微分的几何意义

    多元函数偏导

    那么为什么有微分和可导

    能不能固定两个或者多个条件,多偏微分,哈哈


    一元函数,多元函数,可微的含义

    就是用极限的思想近似反应两个可变因素之间的函数关系。近似代替。

    一元函数微分的几何意义:就是曲线x增加了一部分,y增加多少的表示。用了极限分割的思想,无线接近。dy与△y之间差一个高阶无穷小。、

    △y,△x是实际的变化量,dy,dx就是利用极限的思想,近似代替。你要明白。

    dy指的是函数在某点切线方向上增量(当函数可导时函数从Xo变化到Xo+△X时候)

    △y指的是函数曲线上函数的增量(函数从Xo变化到Xo+△X时候)两者的差距从图像上可以看到,相差很小,所以dy用来近似计算。

    函数从Xo变化到Xo+△X时候,用切线的y增量代替,函数y增量。

    就是函数值的增量可以用自变量的增量的线性表示,再加上它们的无穷小量。

     

    多元函数微分的几何意义

    z的增量用想,x与y的关系式近似的表示出来。

    在一元函数中是曲线与切线

    在二元函数中是曲面与切面,都是相对的。

    其实就是增加一个变化条件,由于现实生活中影响某事物的因素不止一种,就有多元函数。

     

    多元函数偏导

    多元函数就存在偏导,偏导就是固定其他因素,看两个可变因素之间是存在线性或非线性的函数关系。

    在物理上的应用就是:

    1、偏导的物理意义:
    单一参数的变化,引起的物理量的变化率。
    例如:
    A、∂P/∂T:温压变化率 = 压强随着温度的变化率;
    B、∂V/∂T:体压变化率 = 体积随着温度的变化率。
    .
    2、全微分的物理意义:
    所有参数同时变化,所引起函数的整体变化
    例如:
    对于理想气体,P = nRT/V = f(T,V)
    dP = (∂f/∂T)dT + (∂f/∂V)dV
    也就是,
    压强P的微小变化,是由温度引起的变化量(∂f/∂T)dT,
    跟由体积引起的变化量(∂f/∂V)dV,这两者之和所确定。

     

    全微分就是:如果把自变量的微分解释为自变量的增量,则函数的微分给出的函数增量的近似值,准确到各个自变量的增量的一阶项。也就是说,它和精确的函数增量之差是各个自变量增量的高阶无穷小

    那么为什么有微分和可导

    一元微积分里可微和可导是两个等价的概念

    函数在某一点可微就是指在该点的导数存在.但是可积是指函数在某个区间上的定积分(和式极限)存在,而不是指其原函数是初等函数.

    连续函数都是有原函数的,但不一定是初等函数(可以是变上限积分函数),可积(和式极限存在)的函数的原函数可以不是初等函数,例如e^(-x^2)在R上是可积的,但是其原函数不是初等函数.

    多元微积分中可导这个概念是不清楚的,因为多元函数求导要区分沿什么方向,而多元函数可微是有明确定义的,而且函数可微和其偏导数有紧密联系,可积的情况和一元函数类似,指在某区域上的和式极限存在,同样和被积函数的原函数是否有初等表达式无关.

     

    事实上这是两个完全不同的概念,只是在一元函数的情况下貌似是雷同的而已。

    原因和莱布尼兹,牛顿两个人有关。莱布尼兹创造的是可微,而牛顿创造的是可导。

    可微的定义是,函数在正方向上x有一个微小的增量dx,而对应函数y(x)的增量Δy如果可以用一个线性表示的Adx+α,α是一个x的高阶无穷小。即它很小可以小到忽略不计。而经过极限运算可以得出这个A恰好和导数定义一致。导数的定义是瞬时变化率。两个概念的差异主要是因为莱布尼兹是数学家,而牛顿是物理学家,两个人研究同一个数学问题的出发点不同。
    当发展到二元函数时两个概念的差别就及其明显了。如果函数可微,那么全增量dz=Adx+Bdy,这时由于可以用两个线性增量来替代原增量,显然z的真正增量就可以用两个偏积分之和,即线性增量的累加来计算。

     

    综上:

    可微可导源于不同人,但是一元函数中有相同作用,但是可微的范围更加广泛,可以拓展到二维多维,这样就出现偏微分概念,偏微分实质还是可导,将其他条件看做不变,单一看某一条件对其影响;

     

    那么问题又来了

    能不能固定两个或者多个条件,多偏微分,哈哈

     

    以后补充

     

     

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  • matlab中的 peaks 函数的含义

    万次阅读 多人点赞 2016-11-07 20:30:01
    matlab 中 peaks 函数是一个典型的多元函数。它本质上是一个二元高斯分布概率密度函数,函数表达式为: \begin{equation}f(x,y)=3(1-x)^{2}e^{-x^2-(y+1)^2}-10(\frac{1}{5}x-x^3-y^5)e^{-x^2-y^2}-\frac{1}{3}...

    matlab 中的 peaks 函数是一个典型的多元函数。它本质上是一个二元高斯分布的概率密度函数,函数表达式为:

    \begin{equation}f(x,y)=3(1-x)^{2}e^{-x^2-(y+1)^2}-10(\frac{1}{5}x-x^3-y^5)e^{-x^2-y^2}-\frac{1}{3}e^{-(x+1)^2-y^2}\end{equation}

    在 matlab 命令行窗口直接输入 peaks 可以得到其表达式的 matlab 形式:

    z =  3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ... 
       - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ... 
       - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2) 

    三维图像:

     f=@(x,y)3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);
     ezmesh(f);



    从图像看出,它恰好有3个极小点,3个极大点。

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  • 行列式代数含义

    2018-12-31 00:30:04
    行列式代数含义,是用来解多元方程组。 即用最小公倍数方法替代高中消元代入法。 比如 a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2; 通过最小公倍数得到 a11a22x1+a12a22x2=a22b1 -a12a21x1-a12a22x2=-a12b2 ...

    行列式的代数含义,是用来解多元方程组的。

    即用最小公倍数的方法替代高中的消元代入法。

    比如

    a11x1+a12x2=b1

    a21x1+a22x2=b2;

    通过最小公倍数得到

    a11a22x1+a12a22x2=a22b1

    -a12a21x1-a12a22x2=-a12b2

    相加得到

    (a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2

    可以求x1

    而a11a22-a12a21这种形状如乘法再相加(减)的代数式,即定义为行列式。

    行列式的通用定义为

    A=a11A11+a21A21+ ...+an1An1

    Aij=(-1)^(i+j)xMij (代数余子式)

    Mij为余子式,即除了i行,j列后,n-1阶的行列式。

    行列式一定是方阵。

     

     

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  • 关于这个问题,我们首先需要了解什么是假设检验、假设检验的两类错误以及P值的含义。 假设性检验的定义:提出检验假设又称无效假设,也称为原假设,符号是H0;备择假设的符号是H1。H0:样本与总体或样本与样本间的...

    我们在用统计软件工具,比如SPSS、R、python在做多元线性回归时,通常会看其系数的P值,但你真的理解这个P值吗?关于这个问题,我们首先需要了解什么是假设检验、假设检验的两类错误以及P值的含义。

    假设性检验的定义:提出检验假设又称无效假设,也称为原假设,符号是H0;备择假设的符号是H1。H0:样本与总体或样本与样本间的差异是由抽样误差引起的;H1:样本与总体或样本与样本间存在本质差异;预先设定的检验水准α为0.05;当检验假设为真,但被错误地拒绝的概率,记作α,通常取α=0.05或α=0.01。

    假设检验的两类错误:当原假设H0为真,我们却拒绝原假设,这时我们便犯了第一类错误或 α错误,也称为拒真错误;当原假设为假,我们却接受了它,这就是第二类错误,也称受伪错误或β错误。

    P值其实就是一种统计量发生的概率,比较它与我们与设定的显著性水平α来判断结果:若P>α,结论为按α所取水准不显著,不拒绝H0,即认为差别很可能是由于抽样误差造成的,在统计上不成立;如果P≤α,结论为按所取α水准显著,拒绝H0,接受H1,则认为此差别不大可能仅由抽样误差所致,很可能是实验因素不同造成的,故在统计上成立。

    从另一个角度来理解,P值描述的是H0在极端情况下发生的概率,其值越小表明这是H0原假设事件发生的概率越小,H0的发生是一个小概率事件,因此应该拒绝它,那么怎样判断要不要拒绝呢?这就是预设的显著性水平α,如果P<α,我们就拒绝H0。显然α越大,我们就越可能拒绝原假设H0,但原假设如果是真的,我们就越可能第一类错误,拒真错误;

    那么多元线性回归自变量的系数的原假设是什么呢?按照前面假设性检验的定义,原假设H0实际上指样本或者总体不存在什么关系,完全是因为抽样产生的关系,也称为因为抽样产生的误差,其实本来没什么因果关系。因此多元线性回归的原假设是指因变量与自变量之间没什么关系,完全是抽样产生的错觉,用数学语言表示就是,设自变量X1的系数为m1,则原假设H0:m1=0

    因此,在实践中我们需要分别检查各个自变量系数的p值,而通常显著性水平设α为0.05,如果p<0.05,按照上述解释,在0.05的显著性水平下拒绝原假设。即该系数m1不等于0,该系数与因变量存在某种关系,这种关系是真实存在的,并不是因为抽样的样本产生的误差。

    特别提醒的是在统计学上的一些原假设H0的提出不是你自己想怎样假设就怎样假设,而通常是遵循某种定义的,你需要根据上述“假设性检验的定义”,并结合你要研究的问题提出H0。下面举一个小例子:

    甲和我手里都有一枚硬币,但我不知道这枚硬币是否做了手脚,我们打赌,每个人投掷这枚硬币50次,谁菊花面朝上的次数多谁赢。结果我菊花朝上的次数是30次,而甲是49次。对这个结果我表示怀疑,我质疑甲硬币作弊,那么我应该怎样做原假设呢?分析如下:科学来讲,这个豪赌应该完全靠运气(用术语讲就是抽样误差),理论值是25次,我的结果看起来应该没什么问题,甲的结果可能有问题,因为发生这样的概率太低了。两种假设分别是甲作弊了和甲没作弊,用数学语言理解:甲作弊了就是说甲的结果与硬币本身(作弊,对硬币做了手脚)存在某种关系,按照前述定义,这应该是备择假设H1;甲没作弊意思就是这种结果也是可能的,他的出现是因为运气(抽样误差)产生的,所以应该是原假设H0。因此这个例子的假设是:

    H0:甲没作弊     H1:甲作弊了

     

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空空如也

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