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  • 一、多元线性回归1.多元线性回归的基本表达式在多元线性回归中会有多个解释变量:预测解释变量的估计方程如下:注:额外的假设条件①解释变量之间不能存在太强的线性相关关系(一般ρ<0.7)②其他条件与一元线性...

    一、多元线性回归

    1.多元线性回归的基本表达式

    • 在多元线性回归中会有多个解释变量:

    313265b2b1115f51e35944dbd379c2e0.png

    • 预测解释变量的估计方程如下:

    ad02864b1185fd947314b2e3b74b3d25.png

    注:额外的假设条件

    ①解释变量之间不能存在太强的线性相关关系(一般ρ<0.7)

    ②其他条件与一元线性回归类似。

    2.回归方程的模型拟合度

    在进行回归模型之前,我们可以计算总的波动误差如下:

    6cb7801d365b605b4b370206015d3754.png

        在运用回归模型后,总误差可以分解为以下两种:

        1)不能解释变量误差(误差项的平方)

    daf8cab2803a86eb6fad8581b8fdd045.png

        2)被回归方程可以解释的误差

    09433fab745e9e4917a5952115c314a0.png

    c6434aed47ce5df0a77f27b8f7fbe0aa.png

    999f01472b8f3085884601173dbc8d65.png

    根据以上解释我们可以整理出以下方差分析表:

    df自由度

    SS

    MSS(方差)

    Explained可以解释的误差

    k

    ESS

    ESS/k

    Residual 误差项

    n-k-1

    RSS

    RSS/(n-k-1)

    Total 总误差

    n-1

    TSS

           3)拟合判定系数R方

    884c08e93f7acf6ad93fc64f62e17e2d.png

    注:一元线性回归的R方比较特殊,为相关系数的平方:

    0c4d4a0de9bfcb781146b097b65ed14f.png

    通常情况下R方越大,说明模型拟合的解释力度越好,但有时通过不断增加解释变量可以相应提高R方,这时候拟合效果并不一定是最好,所以提出以下修正R方来进行判断:

    8d91c70ea4b19b095c989eb6ae6e77f7.png

    3.回归方程的推论

    ①置信区间(同一元线性回归类似)

    1687de8febd12b6560df49b37a519218.png

    ②假设检验(同一元线性回归类似)

    26a649acd4d686ed2a9feaf15a826ef9.png

    ③联合假设检验

    通常F检验被用于检测多元线性回归的解释变量斜率是否同时等于0:

    526813d27754fdf643636ca5c550ba6c.png

    判断准则:如果F(T检验计算值)>F(关键值),则拒绝原假设H0.

    Python案例分析:

    #导入cv模块import numpy as npimport matplotlib as mplimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pddata=pd.read_excel('D:/欧晨的金学智库/线性回归案例.xlsx',header=0,index_col=0)data.head()

    c104efe9193399921f61d79e8a3da772.png

    #多元线性回归import statsmodels.api as sm model3 = sm.OLS(data['weight'],sm.add_constant(data[['age','height']]))result = model3.fit()result.summary()  print(result.summary())

    0b9e09b29981c44e4402cb0c12d9ec6f.png

    分析:经过调整的R方=0.639,拟合系数一般,并不是特别好。

    F统计量=26.67(检验解释变量系数是否全为0?),P-value=4.05*10-7,非常小,拒绝原假设;

    常数项估计-140.762,P值很小,说明截距项显著,不为0;

    age项估计-0.0485,P值较大>0.05,说明age项不显著,可以尝试剔除该解释变量;

    height项1.1973,P值很小,说明height项显著,不为0。

    二、模型诊断

    1.自变量选择偏差的权衡

    (1)丢失重要变量

    • 剩余变量吸收了丢失的重要变量的信息,即用剩余变量进行了过度拟合;

    • 过于高估残差项(包含真实残差项的信息、忽略重要变量的信息)

    (2)加入无关变量

    • 变量系数的估计偏差(大样本,无关变量会收敛于0)

    • 增加了模型参数估计的不确定性

    • 增加了R方的值,但是使得调整的R方减小

    (3)两种合理估计线性回归系数的方法

    ①一般情况模型变量的选择方法

    a.将所有变量加入进行回归;

    b.移除拟合效果最差的一个变量(尤其是不显著的变量);

    c.移除后继续采用线性回归模型进行拟合,再次移除不显著的变量;

    d.重复以上步骤,直至所有变量的拟合结果都显著;

    注:通常选择显著性α在1%~0.1%(相应t值至少为2.57或3.29)

    Python案例分析:在上述案例中,我们得到age项不显著,可以剔除该解释变量,只用height进行线性回归:

    #载入OLS回归库import statsmodels.api as sm model1 = sm.OLS(data['weight'], sm.add_constant(data['height']))result = model1.fit()result.summary()  print(result.summary())

    eea16a4301dc9e47f0a99405e7e4c6e9.png

    分析:经过调整的R方=0.652>0.639,说明剔除age变量后,拟合效果更好。剩余的截距项和身高的P值均很小,说明显著不为0,所以应当保留。 

    ②K折交叉检验

        a.确定模型数量(有n个解释变量——每个变量选择有或无,通常有2^n个模型)

        b.将数据分成相等数量的k个集合,其中k-1个集合作为训练集拟合回归方程,剩下的1个集合作为验证集;重复进行交叉拟合验证(总计有k次)。

        c.每个模型都采用b的方式进行验证。

        d.计算每个模型的总的残差项(验证k次)的和,选择残差项和或其均值最小的一组模型最为最优模型。

    Python案例分析:依旧使用以上案例,有2个解释变量,所以应当有2^2=4个模型,我们排除解释变量均为0的情况,来做3个模型的K折交叉检验:

    y=data.weightX1=data[['age','height']]from sklearn.linear_model import LinearRegression #载入机器学习中线性回归包lm = LinearRegression()from sklearn.model_selection import cross_val_score #载入机器学习中交叉检验包scores1 = cross_val_score(lm, X1, y, cv=10)  #cv=10,数据分成10等均匀份print (scores1)

    a4cd18494b4bb62b26e43f877ebdf8f2.png

    分析:上面的scores都是负数,为什么均方误差会出现负数的情况呢?因为这里的mean_squared_error是一种损失函数,优化的目标的使其最小化,而分类准确率是一种奖励函数,优化的目标是使其最大化,因而选择只用height做变量。

    print('用age,height做自变量:',np.sqrt(-scores1.mean()))np.sqrt(-scores1.mean())X2=data[['age']]scores2 = cross_val_score(lm, X2, y, cv=10)print('只用age做自变量:',np.sqrt(-scores2.mean()))X3=data[['height']]scores3 = cross_val_score(lm, X3, y, cv=10)print('只用height做自变量:',np.sqrt(-scores3.mean()))lm.fit(X3,y)

    b2ac0356620387e1b875a38d8031726d.png

    print('intercept_:%.3f' % lm.intercept_)print('coef_:%.3f' % lm.coef_)

    27f631320a3b80c286737240c4f8bba2.png

    2.残差的异方差性

        如果残差项的方差恒定不变(即为常数),则通常认定为同方差性,反之如果方差一直在变动并未恒定则认定为有异方差性。

    021d1dcf680ac483d8b61030c7d15449.png

    注:如果存在异方差性进行线性回归,则回归系数的假设检验以及置信区间的估计通常是有偏差的

    采用怀特检验法来验证异方差性:

    例如检验有2个自变量的线性回归方程:

    581c701218179eba44b0c4df30dcb6fa.png

    ①采用OLS最小二乘法估计模型的残差

    7ffa3c2bf4470953baf4b3e2c5c221e2.png 

    ②将自变量和自变量之间的组合与残差的平方建立回归模型检验

    6a680ef892eaf18c948ceee43000b8e4.png

    如果数据满足同方差性,则残差项的平方无法被任何自变量变量解释,即e44a8300e825c2218f80478224d86e0d.png注:残差项的方程的检验统计量的解释力度记为nR2(即第②步中计算),其检验分布为卡方分布(自由度为——k(k+3)/2)

    Python案例分析:依旧以weight~age+height为例

    import statsmodels.api as sm model3 = sm.OLS(data['weight'],sm.add_constant(data[['age','height']]))result3 = model3.fit()sm.stats.diagnostic.het_white(result3.resid, exog = result3.model.exog)

    9806c0131be8403e7148e7948d2caf49.png

    分析:

    第一个为:LM统计量值

    第二个为:响应的p值,0.53远大于显著性水平0.05,因此接受原假设,即残差方差是一个常数

    第三个为:F统计量值,用来检验残差平方项与自变量之间是否独立,如果独立则表明残差方差齐性

    第四个为:F统计量对应的p值,也是远大于0.05的,因此进一步验证了残差方差的齐性。

    3.多重共线性

    ①完美多重共线性

        自变量之间存在相关系数=1的情况,即一个自变量可以被另一个自变量完全解释,完全替代。

    一般的多重共线性
    • 一个自变量或多个自变量之间可以大部分相互解释,存在较高的相关性
    • 当数据存在多重共线性时,通常发现系数之间有较强的显著关系,删除t统计量较小的(如t<1.96)

    4.绘制残差图与异常值

    残差图即自变量与残差之间的散点图,异常值即偏离正常中心值较大的奇异点。

    我们以上节一元线性回归的案例的身高与体重的回归结果残差图为例:

    a1c7e73c359fed9da13fbfe411bfbb80.png

    很明显上图中对应x在170的时候存在异常值。

    异常值的判断:库克距离(Cook’sdistance)

    e6f533cb13e7acfcb0175a429fcbb6bb.png

    cfd314a04762d95ea749f921f97e509c.png

    Python案例分析:

    #异常值的检验#使用Cook距离描绘这个模型的影响图:import statsmodels.api as sm model3 = sm.OLS(data['weight'],sm.add_constant(data[['age','height']]))result3 = model3.fit()fig, ax = plt.subplots(figsize=(19.2, 14.4))fig = sm.graphics.influence_plot(result3, ax=ax, criterion="cooks")plt.grid()

    a5579c0657b7ab5065b26bf86cd7620e.png

    分析:由上图可以得到,第7个数据是偏离较远的,气泡很大。

    真实数据如下:

    5c7e7752efad27d96d3f1fb8c21112f8.png

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  • 1.matlab多元回归示例如下:解决问题:油价预测方法:多元线性回归实现:matlab regress()函数技巧:通过增加X1^2,X2^2,或者X1*X2等构造的特征项,可以提高回归模型的拟合准确度;但计算代价增大。function result...

    1.matlab多元回归示例如下:

    解决问题:油价预测

    方法:多元线性回归

    实现:matlab regress()函数

    技巧:通过增加X1^2,X2^2,或者X1*X2等构造的特征项,可以提高回归模型的拟合准确度;但计算代价增大。

    function result=reg_new_month(XX1_bu,YYnum)

    y=YYnum;

    a=XX1_bu; %由于alldata_pca已经进行归一化了;所以在回归分析中直接用就行%a=load('alldata.txt');

    x1=a(:,1) ;

    x2=a(:,2) ;

    x3=a(:,3) ;

    x4=a(:,4) ;

    x5=a(:,5) ;

    x6=a(:,6) ;

    x7=a(:,7) ;

    x8=a(:,8) ;

    x9=a(:,9) ;

    x11=x1.^2;

    x12=x2.^2;

    x13=x3.^2;

    x14=x4.^2;

    x15=x5.^2;

    x16=x6.^2;

    x17=x7.^2;

    x18=x8.^2;

    x19=x9.^2;

    x21=x1.*x2;

    x22=x2.*x3;

    x23=x3.*x4;

    x24=x4.*x5;

    x25=x5.*x6;

    x26=x6.*x7;

    x27=x7.*x8;

    x28=x8.*x9;

    x29=x9.*x1;

    X=[ones(length(y),1), x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x11,x12,x13,x14,x15,x16,x17,x18,x19, x21,x22,x23,x24,x25,x26,x27,x28,x29];

    [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);%b; 相关系数%bint%r;残差%rint : 置信区间%stats; 检验回归模型的统计量:分别为

    rcoplot(r,rint)%画残差图

    XXnum为原数据所有特征X;

    YYnum为原数据所有目标值Y;

    XX1_bu:是补全后的数据特征;

    2.结果如下:

    2.1残差图

    2.2 指标

    stats=[0.8259, 22.0910 ,1.2622e-33, 3464.8205]

    R=stats(1)=0.82,越接近1则代表拟合得越好;

    F=1.26e-33;F<0.05代表回归模型可用;

    3 利用多元线性回归进行预测

    输入测试X_test(若有多个X_test,可用循环或矩阵实现);

    调用多元回归m函数;

    输出Y_pred。

    参考资料:

    1.https://www.cnblogs.com/Mayfly-nymph/p/10539106.html ,作者:Hk_mayfly

    2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/45149297 ,一个大学生的日常笔记,回归分析

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  • %多元线性回归求解clearclcx=[120731808012512581.190133.02731808012512581.190129.63731808012512581.190158.77731808012512581.190145.32731808012512581.19012078.5961808012512581.19012075.451808012512581....

    %多元线性回归求解

    clear

    clc

    x=[120731808012512581.190

    133.02731808012512581.190

    129.63731808012512581.190

    158.77731808012512581.190

    145.32731808012512581.190

    12078.5961808012512581.190

    12075.451808012512581.190

    12090.4871808012512581.190

    12083.8481808012512581.190

    12073231.398012512581.190

    12073198.488012512581.190

    12073212.648012512581.190

    12073190.558012512581.190

    1207318075.85712512581.190

    1207318065.95812512581.190

    1207318087.25812512581.190

    1207318097.82412512581.190

    1207318080150.7112581.190

    1207318080141.5812581.190

    1207318080132.3712581.190

    1207318080156.9312581.190

    1207318080125138.8881.190

    1207318080125131.2181.190

    1207318080125141.7181.190

    1207318080125149.2981.190

    120731808012512560.58290

    120731808012512570.96290

    120731808012512564.85490

    120731808012512575.52990

    120731808012512581.1104.84

    120731808012512581.1111.22

    120731808012512581.198.092

    120731808012512581.1120.44

    ];

    y=[164.78140.87-144.25119.09135.44157.69

    165.81140.13-145.14118.63135.37160.76

    165.51140.25-144.92118.7135.33159.98

    167.93138.71-146.91117.72135.41166.81

    166.79139.45-145.92118.13135.41163.64

    164.94141.5-143.84118.43136.72157.22

    164.8141.13-144.07118.82136.02157.5

    165.59143.03-143.16117.24139.66156.59

    165.21142.28-143.49117.96137.98156.96

    167.43140.82-152.26129.58132.04153.6

    165.71140.82-147.08122.85134.21156.23

    166.45140.82-149.33125.75133.28155.09

    165.23140.85-145.82121.16134.75156.77

    164.23140.73-144.18119.12135.57157.2

    163.04140.34-144.03119.31135.97156.31

    165.54141.1-144.32118.84135.06158.26

    166.88141.4-144.34118.67134.67159.28

    164.07143.03-140.97118.75133.75158.83

    164.27142.29-142.15118.85134.27158.37

    164.57141.44-143.3119134.88158.01

    163.89143.61-140.25118.64133.28159.12

    166.35139.29-144.2119.1136.33157.59

    165.54140.14-144.19119.09135.81157.67

    166.75138.95-144.17119.15136.55157.59

    167.69138.07-144.14119.19137.11157.65

    162.21141.21-144.13116.03135.5154.26

    163.54141-144.16117.56135.44155.93

    162.7141.14-144.21116.74135.4154.88

    164.06140.94-144.18118.24135.4156.68

    164.66142.27-147.2120.21135.28157.65

    164.7142.94-148.45120.68135.16157.63

    164.67141.56-145.88119.68135.29157.61

    164.69143.84-150.34121.34135.12157.64

    ];

    [m,n]=size(x);

    X=[ones(m,1) x];

    [m1,n1]=size(X);

    [m2,n2]=size(y);

    for i=1:n2

    %b为参数,bint回归系数的区间估计,r为残差,

    %rint为置信区间,stats用于回归模型检验

    [b(:,i),bint,r,rint,stats(i,:)]=regress(y(:,i),X);

    [mm,nn]=size(b);

    for jj=1:m1

    temp=0;

    for ii=1:mm

    yy(jj,i)=temp+b(ii,i)*X(jj,ii);

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  • 转载自微信公众号:青年智囊上一期我们和大家分享了多元线性回归分析的SPSS操作,本期跟大家一起交流一下多元线性回归分析的升级版——多元线性逐步回归分析。相较于多元线性回归分析,逐步回归具备更合理的自变量...

    5c2b6639b68993484df55f921c5b50e1.png

    转载自微信公众号:青年智囊

    上一期我们和大家分享了多元线性回归分析的SPSS操作,本期跟大家一起交流一下多元线性回归分析的升级版——多元线性逐步回归分析。相较于多元线性回归分析,逐步回归具备更合理的自变量筛选机制,能避免因无统计学意义的自变量对回归方程的影响。一起来学习吧!

    案例阐述

    养分含量与产量的回归分析

    土壤和植被养分是作物产量的重要影响因素。为探讨土壤和叶片养分元素含量对作物产量的影响,一项研究测定了某区域30个样地的作物产量、土壤pH值、有机质含量(SOM)、碱解氮含量(SAN)、速效磷含量(SAP)和叶片氮含量(STN)及磷含量(STP),部分数据如下:

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    注:表中数据均为随机生成,不可他用。

    该研究想建立变量(pH、SOM、SAN等)与产量之间的回归方程,此时我们可以选择多元逐步回归分析来解决。

    方法简述和数据分析

    一、方法简述

    多元逐步回归有3种筛选自变量的方法:

    (1)向前法:这种算法SPSS会建立由一个自变量开始,每次引入一个偏回归平方和最大且具有统计学意义的自变量,由少到多,直到无具有统计学意义的因素可以代入方程为止,此法也可能纳入部分无意义变量;

    (2)向后法:这种算法SPSS会先建立一个全因素的回归方程,再逐步剔除一个偏回归平方和最小且无统计学意义的自变量,知道不能再剔除为止,这种方法算法较为复杂,一般我们不使用;

    (3)逐步法(本次分享):逐步法结合向前法和向后法的优点,在向前引入每一个新自变量之后都要重新对已代入的自变量进行计算,以检验其有无继续保留在方程中的价值,并以此为依据进行自变量的引入和剔除交替进行,直到没有新的变量可以引入或剔除为止,此法较为准确。

    二、数据分析

    与多元线性回归分析一样,多元逐步回归分析数据也必须满足以下4个假设:

    (1)需要至少2个自变量,且自变量之间互相独立(本次6个);

    (2)因变量为为连续变量(本案例产量为连续变量);

    (3)数据具有方差齐性、无异常值和正态分布的特点(检验方法);

    (4)自变量间不存在多重共线性

    前2个假设可根据试验设计直接判断;假设(3)的检验在之前的教程中已有呈现,点击“检验方法”即可查看。

    关于假设(4)的检验方法如下:

    1. 点击 ①分析 → ②回归 → ③线性

    e015ca171622c4102501db257aa1d673.png

    2.①将pH等6个自变量选入自变量框→②将产量选入因变量框→③④在方法中选择步进(enter)→⑤点击统计。

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    3.在统计窗口选择共线性诊断,点击继续,然后再主页面点击确定即可。

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    4.结果判断:在结果中我们关注系数表即可,当VIF值大于等于10时,我们认为变量间存在严重的共线性,应当剔除部分VIF值较高的自变量,再进行多元逐步回归分析;当VIF值小于10时,我们认为数据基本符合多元逐步回归分析的假设(4),即不存在多重共线性问题,可以进行分析。

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    因此,本案例数据均满足以上4个假设,可以进行多元逐步回归分析的运算。

    SPSS分析步骤

    一、准备工作

    SPSS软件:我使用的是IBM SPSS Statistics 25 中文版,其实各个版本格局上都是相似的,如果大家需要我的版本可以直接点击(安装包)下载;Excel数据整理。

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    二、分析数据

    1. 点击 ①分析 → ②回归 → ③线性

    e015ca171622c4102501db257aa1d673.png

    2.①将pH等6个自变量选入自变量框→②将产量选入因变量框→③④在方法中选择步进(enter)→⑤点击统计。

    1783b3e1344cf170520d9db09cdcc9e1.png

    3.在统计界面勾选如下选项,点击继续。

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    4.点击主页面的保存,然后在新窗口中勾选如下选项,然后点击继续。

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    5.点击主页面中的“确定”即可得到分析结果。

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    结果阐述

    一、残差统计表

    我们首先查看输出结果中的最后一个表,残差统计表。

    在满足我们提到的4个假设后,我们还需要依据残差统计表中的库克距离(cook值)来判断数据有无强影响点,若库克距离的最大值大于1,则应检查数据是否存在的异常值(检验方法);若库克距离的最大值小于1,则数据中不存在强影响点,可以进行下一步的分析。

    本案例中库克距离的最大值为0.135<1,数据满足多元逐步回归分析的要求。

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    二、模型纳入变量表

    通过此表我们可以看出:

    (1)本次多元线性逐步回归分析一共拟合了4个方程模型;

    (2)纳入模型的变量有LTP、SOM、SAN和LTN4个,输入方法为步进法;

    (3)因变量为产量。

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    三、模型摘要

    下表是本次回归模型的模型摘要表,通过此表我们可以分析出:

    (1)表下的注释可以看出逐步回归分析中每一步引入回归方程的自变量;

    (2)R、R方和调整后R方表示拟合优度,估算的是模型对观测值的拟合程度。本案例中,随着模型中变量个数的增加,R方和调整后R方均呈增加趋势;各个拟合模型的调整后R方均>0.8,表明建立的回归方程较好,因变量对自变量的解释度较高。

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    四、ANOVA表

    此表是模型显著性的检验表:

    (1)该表中方程1、2、3和4的F值分别为118.207、106.346、86.108和74.007,P值均小于0.001。

    (2)此检验的零假设是多重相关系数R=0。如果P<0.05,就说明多重线性回归模型中至少有一个自变量的系数不为零。同时,回归模型有统计学意义也说明相较于空模型,纳入自变量有助于预测因变量;或说明该模型优于空模型。

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    五、回归系数表

    此表为回归模型系数表:

    首先我们看各自变量在各个模型中的显著性检验结果,当P>0.05时,该自变量在本模型中没有统计学意义,应当在回归模型中删除相应变量;当P<0.05时该变量在模型中具有统计学意义,应当保留。

    本案例中4个模型的常量显著性检验结果均大于0.05,因此不纳入最后的拟合方程中,各模型的标准化系数Bata如表所示。

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    五、结果描述

    我们拟合出的4个方程在论文中表述如下:

    本案例以土壤pH值、SOM、SAN、SAP含量和叶片LTN及LTP含量为自变量,作物产量为因变量进行多元线性逐步回归分析。结果表明,LTP含量能单独解释作物产量变异的80.20%,具有较高的解释度;LTP、SOM、SAN和LTN含量能共同解释作物产量变异的91.00%,表明 LTP、SOM、SAN和LTN含量对作物产量均具有较强的影响(表X)。

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    当然,关于结果的论述大家还是要多看文献啦!这只是一个参考,希望大家进步多多!

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