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  • MATLAB 多元线性回归

    2018-04-14 18:39:35
    MATLAB 多元线性回归例题数据,和可运行的MATLAB代码。MATLAB 多元线性回归例题数据,和可运行的MATLAB代码。
  • 线性回多元线性回归与多项式回归,讲义,例题
  • 多元线性回归MATLAB程序
  • Matlab_多元线性回归

    2015-01-15 14:51:11
    多元线性回归的基本原理及其matlab实现
  • 多元线性回归例子

    千次阅读 2016-03-20 21:08:31
    r语言实现多元线性回归
    

    blood<-data.frame(
      X1=c(76.0, 91.5, 85.5, 82.5, 79.0, 80.5, 74.5,
           79.0, 85.0, 76.5, 82.0, 95.0, 92.5),
      X2=c(50, 20, 20, 30, 30, 50, 60, 50, 40, 55,
           40, 40, 20),
      Y= c(120, 141, 124, 126, 117, 125, 123, 125,132, 123, 132, 155, 147)
    )
    lm.sol<-lm(Y ~ X1+X2, data=blood)
    summary(lm.sol)
    new <- data.frame(X1=80, X2=40)  #求多元回归预测并给出相应的预测区间
    lm.pred<-predict(lm.sol, new, interval="prediction", level=0.95)
    lm.pred

    Call:
    lm(formula = Y ~ X1 + X2, data = blood)
    
    Residuals:
        Min      1Q  Median      3Q     Max 
    -4.0404 -1.0183  0.4640  0.6908  4.3274 
    
    Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    (Intercept) -62.96336   16.99976  -3.704 0.004083 ** 
    X1            2.13656    0.17534  12.185 2.53e-07 ***
    X2            0.40022    0.08321   4.810 0.000713 ***
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    
    Residual standard error: 2.854 on 10 degrees of freedom
    Multiple R-squared:  0.9461,	Adjusted R-squared:  0.9354 
    F-statistic: 87.84 on 2 and 10 DF,  p-value: 4.531e-07
    
    > new <- data.frame(X1=80, X2=40)  #求多元回归预测并给出相应的预测区间
    > lm.pred<-predict(lm.sol, new, interval="prediction", level=0.95)
    > lm.pred
           fit      lwr      upr
    1 123.9699 117.2889 130.6509
    展开全文
  • 多元线性回归:在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,...
  • 什么是回归分析? 相关性 ≠ 因果性 ...[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NKvCz36V-1600444325643)(figures/多元线性回归模型/image-20200824222649255.

    什么是回归分析?

    相关性 ≠ 因果性

    自变量Y:

    自变量X:

    回归分析的用处:

    这里要注意,因为涉及到不同自变量的权重,所以一般要去量纲,不然没意义。

    回归分析的分类:

    多元线性回归:

    不同数据的处理:

    • 横截面数据:多元线性回归
    • 时间序列数据:最常用的是ARMA

    横截面数据:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NKvCz36V-1600444325643)(figures/多元线性回归模型/image-20200824222649255.png)]

    时间序列数据:

    面板数据:

    数据的收集:

    【简道云汇总】110+数据网站

    虫部落数据搜索

    【汇总】数据来源/大数据平台

    大数据工具导航工具(http://hao.199it.com/)

    数据平台


    上面的数据多半都是宏观数据,微观数据市面上很少

    大家可以在人大经济论坛搜索

    一元线性回归:

    一元线性回归和一元线性函数拟合区别:

    定义不一样,本质是一样的

    对线性的理解:

    线性是对参数说的

    回归系数的解释:

    求系数很简单

    • 这里的 y i y_i yi i i i是对每个个体而言,也可以去掉,转换成对总体而言

    内生性:

    无偏性和一致性

    u i u_i ui是什么?

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LXnSvChO-1600444325652)(figures/多元线性回归模型/image-20200824235144988.png)]

    蒙特卡洛验证是否有内生性:

    matlab:

    降低内生性要求:

    展开全文
  • 多元线性回归程序示例 类似的,我们也可以实现多元线性回归。这里,我们需要创建多个特征(x),我们也可以像之前程序那样,随机生成多个特征,不过,这里,我们使用sklearn库提供的更方面的方法。 from sklearn....

    11. 多元线性回归程序示例(with codes)

    类似的,我们也可以实现多元线性回归。这里,我们需要创建多个特征(x),我们也可以像之前程序那样,随机生成多个特征,不过,这里,我们使用sklearn库提供的更方面的方法。

    • make_regression
    from sklearn.datasets import make_regression
    make_regression(n_samples=5, n_features=2, coef=False, bias=5.5, random_state=0, noise=10)
    

    在这里插入图片描述

    • 程序展示
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    from sklearn.metrics import mean_squared_error
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    # 可以生成用于回归分析的样本数据与对应的标签。
    from sklearn.datasets import make_regression
    
    # 参数说明:
    # n_samples:生成的样本数量。
    # n_features:生成的特征数量。(有几个x)
    # coef:是否返回方程的权重(w)。如果该值为True,则返回X,y与coef。
    # 如果该值为False,仅返回X与y。默认为False。
    # bias:偏置值(截距),也就是方程中的b。
    # random_state:设置随机种子。
    # noise:噪声的值。该值会影响数据的波动情况。值越大,波动性越大。
    X, y, coef = make_regression(n_samples=1000, n_features=2, coef=True, bias=5.5, random_state=0, noise=10)
    train_X, test_X, train_y, test_y = train_test_split(X, y, test_size=0.25, random_state=0)
    print(f"实际权重:{coef}")
    lr = LinearRegression()
    lr.fit(train_X, train_y)
    print(f"权重:{lr.coef_}")
    print(f"截距:{lr.intercept_}")
    y_hat = lr.predict(test_X)
    print(f"均方误差:{mean_squared_error(test_y, y_hat)}")
    print(f"训练集R^2:{lr.score(train_X, train_y)}")
    print(f"测试集R^2:{lr.score(test_X, test_y)}")
    

    • meshgrid的演示
    # meshgrid的演示
    x1 = np.array([2, 3, 4])
    x2 = np.array([2, 3, 4, 5])
    X1, X2 = np.meshgrid(x1, x2)
    display(X1)
    display(X2)
    

    在这里插入图片描述

    程序解释

    在这里插入图片描述

    前一元线性回归,样本点,标签值,是自己造的,
    现在新引入make_regression

    调用make regression,有几个参数,
    N_samples 生成的样本数量,默认是100,
    N_features 生成的特征数量,有几个x 指定为2 就是二元,
    coef是否返回生成的权重,也就是w的值
    根据什么进行随机
    因为里面是有方程的
    比如y=w1x1+w2x2

    Coef True的话
    X
    Y
    w

    Coef False的话
    X
    y
    在这里插入图片描述
    Bias是偏置,默认也是0。
    why?
    因为线性回归不一定都是过原点的。
    在这里插入图片描述

    Noise 是噪声,影响y值波动的情况。
    然后切分,生成数据集里面的实际权重,上面的make_regresstion

    拟合情况,noise设定的是5.5,
    在这里插入图片描述
    训练集都不好的话,训练集也不会好;测试集的表现重要一些,把样本数据 和 样本数据对应的标签都放进去。
    在这里插入图片描述
    看到均方误差,是不是就很大了?
    不是,因为数量积不一样,这里面权重打多了。
    R 2 R^{2} R2的值是0.97,上一个才0.92。

    12. 多元线性回归模型可视化(with codes)

    import matplotlib as mpl
    import matplotlib.pyplot as plt
    mpl.rcParams["font.family"] = "SimHei"
    mpl.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
    #Axes3D 用来绘制3D图形的类。
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    
    # 设置绘图后,以弹出框的形式显示。因为嵌入显示(默认)的形式,图像为一张图片,
    # 无法进行拖动而转换角度。这在三维图中不利于观察。
    %matplotlib qt
    
    # 分别返回x1与x2两个特征的最大值。
    max1, max2 = np.max(X, axis=0)
    # 分别返回x1与x2两个特征的最小值。
    min1, min2 = np.min(X, axis=0)
    # 在x1轴的区间上取若干点。
    x1 = np.linspace(min1, max1, 30)
    # 在x2轴的区间上取若干点。
    x2 = np.linspace(min2, max2, 30)
    # 接收两个一维数组。进行网格扩展。过程:将x1沿着行进行扩展,扩展的行数与x2含有的元素
    # 个数相同。将x2沿着列进行扩展,扩展的列数与x1含有的元素个数相同。返回扩展之后的X1与X2(并非
    # 就地修改)。X1与X2的形状(shape)是相同的。
    # 扩展的目的:依次对位取出X1与X2中的每个元素,就能够形成x1与x2(原始的一维数组x1与x2)中任意
    # 两个元素的组合,进而就能够形成网格的结构。
    X1, X2 = np.meshgrid(x1, x2)
    # 创建一个画布对象,用于绘制图像。
    fig = plt.figure()
    # 创建Axes3D对象,用于绘制3D图。参数指定画布对象,表示要在哪个
    # 画布上进行绘制。(要绘制图像,就不能离开画布对象的支持。)
    ax = Axes3D(fig)
    # 绘制3D散点图。
    ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], y, color="b")
    # 绘制3D空间平面(曲面)。预测的y_hat值需要与X1或X2的形状相同。
    # rstride 在行(row)的方向上前进的距离。
    # cstride 在列(column)的方向上前进的距离。
    # 距离越大,网格越宽。
    # cmap colormap,指定绘制的风格。可以通过plt.cm.颜色图对象进行指定。
    # alpha 指定透明度。
    surf = ax.plot_surface(X1, X2, lr.predict(np.array([X1.ravel(), X2.ravel()]).T).reshape(X1.shape),
            rstride=5, cstride=5, cmap=plt.cm.rainbow, alpha=0.5)
    # 显示颜色条。可以观察到每种颜色所对应的值。参数指定为那个图像对象所设定。
    fig.colorbar(surf)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    程序解释

    接下来把这个多元线性回归进行可视化,也就是matplotlib绘制三维图。

    Axes3D 这个类,可以绘制三维的图,
    Qt 弹出框,可以拖动多角度观察。
    Notebook是一种绘图展示风格,默认的时inline。

    如果值都是一样 底面产生不了面 只有线
    在这里插入图片描述
    问题来了,如何在底面上形成一个面,
    因为每个 x1 x2 都是相同的。

    点非常密集的话,就可以产生一条线,无限多的点,形成一个面。底下的每个点在空间中映射成面,送到方程中。
    在这里插入图片描述
    生成底下的网格,Meshgrid。X1 x2 都取一段区间
    Why?
    找区间 任意两两点 进行组合。
    在这里插入图片描述
    X是什么? 样本数据集上的点。
    在这里插入图片描述
    整个数组里面返回最大值,不是想要的,想要的axis为0。可以说大Xshape 1000行 2列,画成表格。

    不加axis为0,就是求整个ndarray数组的最大最小值
    Axis是统计方式。

    求最大值 最小值why?
    为了确定底面的位置,为了求底面的面积。

    底面取到哪个位置,没有数据点,没有意义,乱生成。
    在这里插入图片描述
    取x1 x2 所在的位置,在哪儿呢?
    分别求x1 x2 的最小值 最大值 就拿出来了,
    蓝色点 x数据集 通过方程生成。
    在这里插入图片描述
    创建axes3d对象,用于绘制3d图。绘制3d 散点图,
    传3个参数,X1 x2 对应空间中还有y值。
    在这里插入图片描述
    Y的值生成了,每两个x对应一个y。
    在这里插入图片描述
    等下就要绘制平面,Meshgrid 传两个一维数组,形成网状。如何进行网格的扩展的呢?

    在这里插入图片描述
    X1扩展到跟x2的元素的个数。
    在这里插入图片描述
    X2沿着列 扩展 ,扩展列数 和 x1元素个数相同。
    在这里插入图片描述
    依次对位,形成网格。
    在这里插入图片描述
    然后网格在方程里面 生成Y,程序实现。
    在这里插入图片描述
    两两形成 坐标点;送到模型中,形成面。
    在这里插入图片描述
    返回扩展之后x1 与x2。
    注意:并不是就地修改,而是返回扩展之后的结果。
    Surface, 它会依次取出x1 x2中的点。
    所有 x 产生y
    在这里插入图片描述
    在空间中,
    Predict要的是一个矩阵的形式,
    模型训练:2个特征 ,
    X的形状,
    把x ravel 。
    在这里插入图片描述
    这里是第二种思维
    又创建了
    X1 RAVELE 一维数组
    X2 ….
    作为外面数组的第一个第二个数组
    创建了一个数组
    二行 900列
    咱么得边为 9000 2列
    把两个元素 ravel之后放到数组中
    但是我们要构成坐标点
    相当于x y z z得和x1 x2 形状相同
    在这里插入图片描述
    因为x1 x2 毕竟 3030的
    而我们这个是 900
    1
    在这里插入图片描述
    行和列上前进的宽度
    在这里插入图片描述
    Y=x1^2 + x2^2?

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  • 多元线性回归分析(R语言)

    万次阅读 多人点赞 2018-12-07 13:35:10
    多元线性回归分析▼ 一、多元线性回归模型 设变量Y与X1,X2,……,Xp之间有线性关系   其中 , 和 是未知参数,p≥2,称上公式为多元线性回归模型。 二、参数估计 我们根据多元线性回归模型,认为误差...

    ▼多元线性回归分析▼

    一、多元线性回归模型

    设变量Y与X1,X2,……,Xp之间有线性关系

                                            Y = \beta _{0} + \beta _{1} X_{1}+ \beta _{2} X_{2}+ \cdots +\beta _{p} X_{p} + \varepsilon

    其中  \varepsilon \sim N(0,\sigma ^{^{2}})  ,\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{p} 和 \sigma ^{2} 是未知参数,p≥2,称上公式为多元线性回归模型。

    二、参数估计

    我们根据多元线性回归模型,认为误差 \varepsilon 应是比较小的,然后对 \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{p} 求偏导并令其等于0,可以得到正规方程:

                                               X^{^{T}}X\beta = X^{T}Y

    因为 rank(X^{T}X) = rank(X) = p+1 ,故 \left ( X^{T} X\right )^{-1} 存在,解正规方程,可以得到β的最小二乘估计:

                                              \hat{\beta }=\left ( X^{T}X \right )^{-1}X^{T}Y

    三、回归方程的显著性检验

    给出定义:回归方程的显著性检验等价于检验回归系数是否全为零,即检验:

                       H_{0}:\beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{p}=0,H_{1}:\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{p} 不全为零

    下面给出必要的公式:

    残差平方和SSE:

                                     SSE=\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i} -\hat{y}\right )^{2}

    回归平方和SSR:

                                    SSR=\sum_{i=1}^{n}\left (\hat{} y_{i} -\bar{y}\right )^{2}

    总的离差平方和:

                                    SST=SSE+SSR

    统计量F:

                                     F=\frac{SSR/p}{SSE/(n-p-1)}

    对于给定的显著性水平α,检验的拒绝域:

                                     F|F>F_{\alpha }(p,n-p-1)

    四、回归系数的显著性检验

    回归方程显著,并不意味着每个自变量对因变量的影响都显著,通常会进行回归系数的检验,假设检验为:

                                     H_{0i}:\beta _{i}=0, H_{1i}:\beta _{i}\neq 0

    给出t值检验法公式:

                                      t_{i}=\frac{\hat{\beta i}}{\hat{\sigma }\sqrt{c_{ii}}}\sim t(n-p-1)

    其中  

                                       \hat{\alpha }=\sqrt{\frac{SSE}{n-p-1}}

    对于给定的显著性水平α,检验的拒绝域:

                                      |t_{i}|>t_{\frac{\alpha }{2}}(n-p-1)

    另外,还可以确定\beta _{i} 的置信度为1-α的置信区间:

                                     (\hat{\beta _{i}}-t_{\frac{\alpha }{2}}(n-p-1)\sqrt{c_{ii}}\hat{\sigma},\hat{\beta _{i}}+t_{\frac{\alpha }{2}}(n-p-1)\sqrt{c_{ii}}\hat{\sigma})

    五、例题实战

    题目: 文件“T3house.txt”中给出了美国某住宅区的20个家庭房价相关数据。

    数据:T3house.txt

       15.31    57.3    74.8
       15.20    63.8    74.0
       16.25    65.4    72.9
       14.33    57.0    70.0
       14.57    63.8    74.9
       17.33    63.2    76.0
       14.48    60.2    72.0
       14.91    57.7    73.5
       15.25    56.4    74.5
       13.89    55.6    73.5
       15.18    62.6    71.5
       14.44    63.4    71.0
       14.87    60.2    78.9
       18.63    67.2    86.5
       15.20    57.1    68.0
       25.76    89.6   102.0
       19.05    68.6    84.0
       15.37    60.1    69.0
       18.06    66.3    88.0
       16.35    65.8    76.0

     a.将矩阵第一列记为变量z1=总居住面积,第二列记为变量z2=评估价值,第三列记为Y=售价。

    library(foreign)
    data <-read.table("T3house.txt")
    data1<-as.matrix(data[1:20,1:3],dimnames="cc")
    colnames(data1) <- c("z1","z2","Y");data1

    b.将a中的各个变量生成数据框,做关于Y和z1,z2的回归,显示计算结果。

    data2<-data.frame(data1);data2
    
    #使用内置函数
    #lm.1<-lm(Y~z1+z2,data=data2)
    #summary(lm.1)
    
    #自编程序
    z0<-c(rep(1,20))
    data3<-data.frame(z0,data2)
    attach(data3)
    A<-as.matrix(data3)
    X<-A[1:20,1:3]
    Y<-A[1:20,4]
    Y<-as.vector(Y)
    b<-solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%Y;b
    #结果
    #z0 30.96656634
    #z1  2.63439962
    #z2  0.04518386
    #故回归方程为Y=30.6656634+2.63439962 z1 + 0.04518386 z2
    

    c.根据b中的结果分别给出β1和β2的置信系数为90%的置信区间。

    data3<-data.frame(z0,data2);data3
    n<-nrow(data3);
    p<-ncol(data3);
    p<-p-1
    C<-solve(t(X)%*%X)
    A<-as.matrix(data3)
    X<-A[1:20,1:3]
    lm.1<-lm(Y~z1+z2,data=data3)
    SSE=deviance(lm.1)
    shita<-sqrt(SSE/(n-p-1))
    t1<-b[2]/(shita*sqrt(C[1,1]));t1
    t2<-b[3]/(shita*sqrt(C[2,2]));t2
    b1<-c(b[2]-1.7247*shita*sqrt(C[1,1]),b[2]+1.7247*shita*sqrt(C[1,1]));b1
    b2<-c(b[3]-1.7247*shita*sqrt(C[2,2]),b[3]+1.7247*shita*sqrt(C[2,2]));b2
    #结果
    #-11.37843  16.64723
    #-1.351438  1.441806
    

    d.假设某房间总居住面积为15,评估价值为55,试给出该房屋售价的点估计、预测区间和估计区间(置信系数95%)。

    y0<-b[1]+15*b[2]+55*b[3];y0
    #点估计72.96767
    
    newdata<-data.frame(z1=15,z2=55)
    lmpred<-predict(lm.1,newdata,interval="prediction",level=0.95)
    lmpred
    

    e.计算20个房屋价格的拟合值,并做残差对拟合值的残差图。

    resid<-residuals(lm.1)
    pre<-predict(lm.1);pre #等价于y,拟合值
    
    #方法二
    y=x
    for(i in 1:20)
    {
      y[i]=b[1]+X[i,2]*b[2]+X[i,3]*b[3]
    }
    y; #拟合值
    plot(pre,resid)
    

    f.计算回归系数β的最小二乘估计,误差方差σ2的估计,残差向量,残差平方和,回归平方和,方程显著性检验F统计量,复相关系数,修正的复相关系数。将上述8个量写入一个列表并显示出结果。

    #第一个量
    b;
    #第二个量
    shita2<-SSE/(n-p-1);shita2
    #第三个量
    e<-Y-X%*%b;e
    #第四个量
    y1<-mean(Y)
    sse<-0
    for(i in 1:20)
    {
       y[i]=b[1]+X[i,2]*b[2]+X[i,3]*b[3]
    }
    for(j in 1:20)
    {
       sse<-sse+(Y[j]-y[j])**2
    }
    sse;
    #第五个量
    ssr<-0;
    y0<-mean(Y)
    for(k in 1:20)
    {
      ssr<-ssr+(y[k]-y0)**2
    }
    ssr;
    #第六个量
    F<-(ssr/p)/(sse/(n-p-1));F
    #第七个量
    R<-ssr/(sse+ssr);R
    #第八个量
    R2<-sqrt(1-(sse/(n-p-1))/((sse+ssr)/(n-1)));R2
    #列表
    list.data <- list(b, shita2, e, sse, ssr,F,R,R2);list.data
    

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空空如也

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