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    线性回归模型属于经典的统计学模型,该模型的应用场景是根据已知的变量(自变量)来预测某个连续的数值变量(因变量)。例如,餐厅根据每天的营业数据(包括菜谱价格、就餐人数、预定人数、特价菜折扣等)预测就餐规模或营业额;网站根据访问的历史数据(包括新用户的注册量、老用户分活跃度、网页内容的更新频率等)预测用户的支付转化率。

    在开始多元线性模型前介绍下一元线性模型。数学公式可以表示为:

    一个因变量,一个自变量。参数求解公式为:

    多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别就是,自变量的增加。其数学表达式为:

    可以简写为:

    β代表多元线性回归模型的偏回归系数,e代表了模型拟合后每一个样本的误差项。利用最小二乘法求解β,可以得到:

    将相应的x值,y值代入公式即可求得β。

    我们构建模型的目的是为了预测,即根据已知的自变量X值预测未知的因变量y的值。本文是利用Python 实现这一目标。

    这里以某产品的利润数据集为例,该数据集包含5个变量,分别是产品的研发成本、管理成本、市场营销成本、销售市场和销售利润。其中销售利润Profit为因变量,其他变量为自变量。

    回归模型的建模和预测

    将导入数据的数据进行切割,训练集用来训练模型,测试集用来预测。

    测试集删除因变量Profit,剩下的自变量进行预测,结果用来跟删除的因变量进行对比,比较模型的预测能力。

    数据集中的State变量为字符型的离散变量,需要进行哑变量处理。将State套在C()中,表示将其当作分类(Category)变量处理。以上默认State(California)为对照组。

    接下来通过pandas中的get_dummies函数生成哑变量,以New York作为对照组。

    如上结果所示,从离散变量State中衍生出来的哑变量在回归系数的结果里只保留了Florida和California,而New York作为了参照组。得到的结果表示该模型公式为:

    Profit=58068.05+0.80RD_Spend-0.06Administation+0.01Marketing_Spend+1440.86Florida+513.47California

    如何解释该模型呢,以RD_Spend和Florida为例,在其他变量不变的情况下,研发成本每增加2美元,利润会增加0.80美元;在其他变量不变的情况下,以New York为基准线,如果在Florida销售产品,利润会增加1440.86美元。

    虽然模型已经建成,但是模型的好坏还需要模型的显著性检验和回归系数的显著性检验。

    回归模型的假设检验

    模型的显著性检验使用F检验。

    手工计算F值和模型自带的F统计值计算完全一致。,接下俩将计算得出的F统计值和理论F分布的值进行比较。

    计算出的F统计值远远大于理论F值,这里可以拒绝原假设,即认为多元线性回归是显著的,也就是回归模型的偏回归系数不全为0。

    回归系数的显著性检验t检验

    如上结果所示,模型的概览信息包含三个部分,第一部分主要是有关模型的信息,例如模型的判决系数R2,用来衡量自变量对因变量的解释程度,模型的F统计值,用来检验模型的显著性;第二部分主要包含偏回归系数的信息,例如回归系数的Coef、t统计量值、回归系数的置信区间等;第三部分主要涉及模型的误差项e的有关信息。

    在第二部分的内容中,含有每个偏回归系数的t统计量值,它的计算就是由估计值coef和标准差std err的商所得的,同时也有t统计量值对应的概率值p,用来判别统计量是否显著的直接办法,通常概率值p小于0.05时表示拒绝原假设。从返回的结果可知,只有截距项Intercept和研发成本RD_Spend对应的值小于0.05,才说明其余变量都没有通过系数的显著性检验,即在模型中这些变量不是影响利润的重要因素。

    回归模型的诊断

    当回归模型建好之后,并不意味着建模过程的结束,还需要进一步对模型进行诊断。由统计学知识可知,线性回归模型需要满足一些假设前提,只有满足了这些假设,模型才是合理的。需满足:误差e服从正态分布,无多重共线性,线性相关性,误差项e的独立性,方差齐性。

    正态性检验,由y=Xβ+e来说,等式右边的自变量属于已知变量,而等式左边的因变量服从正态分布,要求残差项要求正态分布,但其实质就是要求因变量服从正态分布。关于正态性检验通常运用两类方法,分别是定性的图形法(直方图、PP图或QQ图)和定量的非参数法(Shapiro检验和K-S检验),以下是直方图法,

    从图中看,和密度曲线和正态分布密度曲线的趋势比较吻合,故直观上可以认为利润变量服从正态分布。以下是PP图和QQ图法,

    PP图思想是对比正态分布的累计概率值和实际分布的累计概率值,而QQ图则比正态分布的分位数和实际分布的分位数。判断变量是否近似服从正态分布的标准是:如果散点都比较均匀地散落在直线上,就说明近似服从正态分布,否则就认为数据不服从正态分布。如图所知,不管是PP图还是QQ图,绘制的散点均落在直线的附近,没有较大的偏离,故认为利润变量近似服从正态分布。

    多重共线性检验

    多重共线性是指模型中的自变量之间存在较高的线性相关关系,它的存在给模型带来严重的后果。可以使用方差膨胀因子VIF来鉴定,如果VIF大于10,则说明变量间存在多重共线性;如果如果VIF大于100,则表明变量之间存在严重的多重共线性。VIF的计算公式为:

    如上计算所示,两个自变量对应的方差膨胀因子均小于10,说明构建模型的数据并不存在多重共线性。

    线性相关性检验

    线性相关性即用于建模的因变量和自变量之间存在线性相关关系,可以使用Pearson相关系数和可视化方法进行识别,皮尔逊计算公式为:

    如上图结果所示,自变量中只有研发成本和市场营销成本与利润之间存在较高的相关系数,相关系数分别达到0.978和0.739,而其他变量与利润之间几乎没有线性相关性可言。以管理成本Administration为例,与利润之间的相关系数只有0.2,被认定为不相关,但是能说明两者不具有线性相关关系,当存在非线性相关关系时,皮尔逊系数也会很小,因此需要可视化的方法观测因变量和自变量之间的散点关系。可以使用seaborn模块中的pairplot函数。

    从图中结果可知,研发成本和利润之间的散点图几乎为一条向上倾斜的直线(左下角),说明这两种变量之间确实存在很强的线性相关;市场营销成本与利润之间的散点图同样向上倾斜,但也有很多点的分布还是比较分散的(见第一列第三行);管理成本和利润之间的散点图呈水平趋势,而且分布也比较宽,说明两者之间确实没有任何关系(第一列第二行)。

    以重构的model2为例,综合考虑相关系数,散点图矩阵和t检验的结果,最终确定只保留model2中的RDSpend和Marketing_Spend两个自变量,下面重新对该模型做修正。

    异常值检验

    由于多元线性回归模型容易受到极端值的影响,故需要利用统计方法对观测样本进行异常点检测。如果在建模过程发现异常数据,需要对数据集进行整改,如删除异常值或衍生出是否为异常值的哑变量。对于线性回归模型,通常利用帽子矩阵,DFFITS准则,学生化残差或cook距离进行异常点检测。基于get_influence方法获得四种统计量的值。

    以上合并了四种统计量的值,这里使用标准化残差法将异常值查询出来,当标准化残差大于2时,即可认为对应的数据点为异常值。

    异常比例为2.5%,比较小,故考虑将其删除。

    新的模型公式为:Profit=51827.42+0.80RD_Spend+0.02Marketing_Spend

    独立性检验

    残差e的独立性检验也就是因变量y的独立性检验。通常使用Durbin-Watson统计值来测试,如果DW值在2 左右,则表明残差之间时不相关的;如果与2偏离的教员,则说明不满足残差的独立性假设。

    DW统计量的值为2.065,比较接近于2,故可以认为模型的残差项之间是满足独立性这个假设前提的。

    方差齐性检验

    方差齐性是要求模型残差项的方差不随自变量的变动而呈现某种趋势,否则,残差的趋势就可以被自变量刻画。关于方差齐性的检验,一般可以使用两种方法,即图形法(散点图)和统计检验法(BP检验)。

    如图所示,标准化残差没有随自变量的变动而呈现喇叭性,所有的散点几乎均匀的分布在参考线y=0的附近。所以,可以说明模型的残差项满足方差齐性的前提假设。

    经过前文的模型构造、假设检验和模型诊断,最新红确定合理的模型model4。接下来就是利用测试集完成预测。

    如上图所示,绘制了有关模型在测试集上的预测值和实际值的散点图。两者非常接近,散点在直线附近波动,说明模型的预测效果还是不错的。

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  • 多元线性回归,主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程 为:毫无疑问,多元线性回归方程应该为:上图中的 x1, x2, xp...

    多元线性回归,主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程 为:

    毫无疑问,多元线性回归方程应该为:

    上图中的 x1,  x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示:

    那么,多元线性回归方程矩阵形式为:

    其中:

     代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差 和 不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样)

    1:服成正太分布,即指:随机误差

    必须是服成正太分别的随机变量。

    2:无偏性假设,即指:期望值为0

    3:同共方差性假设,即指,所有的  随机误差变量方差都相等

    4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。

    今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示:

    点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面:

    将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量 拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,你也可以选择其它的方式,如果你选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入)

    如果你选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切,贡献最大的,如下图可以看出,车的价格和车轴 跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0.05,当概率值大于等于0.1时将会被剔除)

    “选择变量(E)" 框内,我并没有输入数据,如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选,可以将那个自变量,移入“选择变量框”内,有一个前提就是:该变量从未在另一个目标列表中出现!,再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可,如下图所示:

    点击“统计量”弹出如下所示的框,如下所示:

    在“回归系数”下面勾选“估计,在右侧勾选”模型拟合度“ 和”共线性诊断“ 两个选项,再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”,(设定异常值的依据,只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值) 点击继续。

    提示:

    共线性检验,如果有两个或两个以上的自变量之间存在线性相关关系,就会产生多重共线性现象。这时候,用最小二乘法估计的模型参数就会不稳定,回归系数的估计值很容易引起误导或者导致错误的结论。所以,需要勾选“共线性诊断”来做判断

    通过容许度可以计算共线性的存在与否? 容许度TOL=1-RI平方 或方差膨胀因子(VIF):  VIF=1/1-RI平方,其中RI平方是用其他自变量预测第I个变量的复相关系数,显然,VIF为TOL的倒数,TOL的值越小,VIF的值越大,自变量XI与其他自变量之间存在共线性的可能性越大。

    提供三种处理方法:

    1:从有共线性问题的变量里删除不重要的变量

    2:增加样本量或重新抽取样本。

    3:采用其他方法拟合模型,如领回归法,逐步回归法,主成分分析法。

    再点击“绘制”选项,如下所示:

    上图中:

    DEPENDENT( 因变量)   ZPRED(标准化预测值)  ZRESID(标准化残差)    DRESID(剔除残差)    ADJPRED(修正后预测值)   SRSID(学生化残差)  SDRESID(学生化剔除残差)

    一般我们大部分以“自变量”作为 X 轴,用“残差”作为Y轴, 但是,也不要忽略特殊情况,这里我们以“ZPRED(标准化预测值)作为"x" 轴,分别用“SDRESID(血生化剔除残差)”和“ZRESID(标准化残差)作为Y轴,分别作为两组绘图变量。

    再点击”保存“按钮,进入如下界面:

    如上图所示:勾选“距离”下面的“cook距离”选项 (cook 距离,主要是指:把一个个案从计算回归系数的样本中剔除时所引起的残差大小,cook距离越大,表明该个案对回归系数的影响也越大)

    在“预测区间”勾选“均值”和“单值” 点击“继续”按钮,再点击“确定按钮,得到如下所示的分析结果:(此分析结果,采用的是“逐步法”得到的结果)

    接着上一期的“多元线性回归解析”里面的内容,上一次,没有写结果分析,这次补上,结果分析如下所示:

    结果分析1:

    由于开始选择的是“逐步”法,逐步法是“向前”和“向后”的结合体,从结果可以看出,最先进入“线性回归模型”的是“price in thousands"   建立了模型1,紧随其后的是“Wheelbase"  建立了模型2,所以,模型中有此方法有个概率值,当小于等于0.05时,进入“线性回归模型”(最先进入模型的,相关性最强,关系最为密切)当大于等0.1时,从“线性模型中”剔除

    结果分析:

    1:从“模型汇总”中可以看出,有两个模型,(模型1和模型2)从R2 拟合优度来看,模型2的拟合优度明显比模型1要好一些

    (0.422>0.300)

    2:从“Anova"表中,可以看出“模型2”中的“回归平方和”为115.311,“残差平方和”为153.072,由于总平方和=回归平方和+残差平方和,由于残差平方和(即指随即误差,不可解释的误差)由于“回归平方和”跟“残差平方和”几乎接近,所有,此线性回归模型只解释了总平方和的一半,

    3:根据后面的“F统计量”的概率值为0.00,由于0.00<0.01,随着“自变量”的引入,其显著性概率值均远小于0.01,所以可以显著地拒绝总体回归系数为0的原假设,通过ANOVA方差分析表可以看出“销售量”与“价格”和“轴距”之间存在着线性关系,至于线性关系的强弱,需要进一步进行分析。

    结果分析:

    1:从“已排除的变量”表中,可以看出:“模型2”中各变量的T检的概率值都大于“0.05”所以,不能够引入“线性回归模型”必须剔除。

    从“系数a” 表中可以看出:

    1:多元线性回归方程应该为:销售量=-1.822-0.055*价格+0.061*轴距

    但是,由于常数项的sig为(0.116>0.1) 所以常数项不具备显著性,所以,我们再看后面的“标准系数”,在标准系数一列中,可以看到“常数项”没有数值,已经被剔除

    所以:标准化的回归方程为:销售量=-0.59*价格+0.356*轴距

    2:再看最后一列“共线性统计量”,其中“价格”和“轴距”两个容差和“vif都一样,而且VIF都为1.012,且都小于5,所以两个自变量之间没有出现共线性,容忍度和

    膨胀因子是互为倒数关系,容忍度越小,膨胀因子越大,发生共线性的可能性也越大

    从“共线性诊断”表中可以看出:

    1:共线性诊断采用的是“特征值”的方式,特征值主要用来刻画自变量的方差,诊断自变量间是否存在较强多重共线性的另一种方法是利用主成分分析法,基本思想是:如果自变量间确实存在较强的相关关系,那么它们之间必然存在信息重叠,于是就可以从这些自变量中提取出既能反应自变量信息(方差),而且有相互独立的因素(成分)来,该方法主要从自变量间的相关系数矩阵出发,计算相关系数矩阵的特征值,得到相应的若干成分。

    从上图可以看出:从自变量相关系数矩阵出发,计算得到了三个特征值(模型2中),最大特征值为2.847, 最小特征值为0.003

    条件索引=最大特征值/相对特征值 再进行开方 (即特征值2的 条件索引为 2.847/0.150 再开方=4.351)

    标准化后,方差为1,每一个特征值都能够刻画某自变量的一定比例,所有的特征值能将刻画某自变量信息的全部,于是,我们可以得到以下结论:

    1:价格在方差标准化后,第一个特征值解释了其方差的0.02, 第二个特征值解释了0.97,第三个特征值解释了0.00

    2:轴距在方差标准化后,第一个特征值解释了其方差的0.00, 第二个特征值解释了0.01,第三个特征值解释了0.99

    可以看出:没有一个特征值,既能够解释“价格”又能够解释“轴距”所以“价格”和“轴距”之间存在共线性较弱。前面的结论进一步得到了论证。(残差统计量的表中数值怎么来的,这个计算过程,我就不写了)

    从上图可以得知:大部分自变量的残差都符合正太分布,只有一,两处地方稍有偏离,如图上的(-5到-3区域的)处理偏离状态

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  • 多元线性回归分析示例

    千次阅读 2019-11-04 21:24:43
    GLM模型应用于脑功能影像分析时,在某个因素影响下,由beta图,经过t检验得到脑区显著激活的区域。应用于其他地方也可加深我们对于模型的理解。 clc,clear; X=[ 136.5 215 136.5 250 136.5 180 138.5 250 ...

    GLM模型应用于脑功能影像分析时,在某个因素影响下,由beta图,经过t检验得到脑区显著激活的区域。应用于其他地方也可加深我们对于模型的理解。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    clc,clear;
    X=[     136.5          215
            136.5          250
            136.5          180
            138.5          250
            138.5          180
            138.5          215
            138.5          215
            138.5          215
            140.5          180
            140.5          215
            140.5          250];
    y=[       6.2
              7.5
              4.8
              5.1
              4.6
              4.6
              4.9
              4.1
              2.8
              3.1
              4.3 ];
    Xnew=[137.5,240];
    pp=0.95;
    [ab,stats,yy,ylr]=regres2(X,y,Xnew,pp)
    table=stats{1}
    

    调用的回归函数如下 ;

    function [beta,stats,ynew,ylr]=regres2(X,y,Xnew,pp)
    beta=[];stats=[];ynew=[];ylr=[];
    [n,p]=size(X);m=p+1;
    if n<p
        error('观察值的数目过少');
    end
    if  nargin < 2
        error('多元线性回归要求有两个输入参数');
    end 
    [n1,collhs] = size(y);
    if n ~= n1, 
        error('输入参数y的行数,必须等于输入参数X的行数.'); 
    end 
    if collhs ~= 1, 
        error('输入参数y应该是一个列向量'); 
    end
    if nargin==3   
        if isnumeric(Xnew)
            [n1,p1]=size(Xnew);
            if p1~=p
                disp('预测自变量的个数不正确');
                return
            end
        end
    end
    if (nargin<4)|(~isnumeric(pp))|(pp<=0)|(pp>=1)
        pp=0;
    end
    A=[ones(size(y)),X];
    [beta,btm1,rtm,rtm1,stat] =regress(y,A);
    alpha=[0.05,0.01];
    yhat=A*beta;
    SSR=(yhat-mean(y))'*(yhat-mean(y));
    SSE=(yhat-y)'*(yhat-y);
    SST=(y-mean(y))'*(y-mean(y));
    Fb=SSR/(m-1)/SSE*(n-m);
    Falpha=finv(1-alpha,m-1,n-m);
    table=cell(p+4,7);
    table(1,:)={'方差来源','偏差平方和','自由度','方差','F比','Fα','显著性'};
    table(2+p,1:6)={'回归',SSR,m-1,SSR/(m-1),Fb,min(Falpha)};
    table(3+p,1:6)={'剩余',SSE,n-m,SSE/(n-m),[],max(Falpha)};
    table(4+p,1:3)={'总和',SST,n-1};
    if Fb>max(Falpha)
        table{2+p,7}='高度显著';
    elseif (Fb<=max(Falpha))&(Fb>min(Falpha))
        table{2+p,7}='显著';
    else
        table{2+p,7}='不显著';
    end
    R2=SSR/SST;R=sqrt(R2);
    Sy=sqrt(SSE/(n-m));
    mnX=mean(X);
    MNX=repmat(mnX,n,1);
    Ljj=diag((X-MNX)'*(X-MNX));
    Pj=abs(beta(2:end).*sqrt(Ljj/SST));
    C=diag(inv(A'*A));bj2=beta.*beta;
    SSj=bj2(2:end)./C(2:end);
    Fj=SSj/SSE*(n-m);
    Falpha=finv(1-[0.05,0.01],1,n-m);
    ind2=find(Fj>=Falpha(2));
    ind1=find((Fj>=Falpha(1))&(Fj<Falpha(2)));
    ind0=find(Fj<Falpha(1));
    xxx=zeros(size(Fj));
    xxx(ind2)=2;
    xxx(ind1)=1;
    [tmp,zbx]=min(Fj);
    xzh={'不显著','显著','高度显著'};
    for kk=1:p
        table(kk+1,:)={['x',num2str(kk)],SSj(kk),1,SSj(kk),Fj(kk),[],xzh{1+xxx(kk)}};
    end
    table{2,6}=Falpha(1);table{3,6}=Falpha(2);
    stats={table,R,Sy,Pj};
    if (nargin>2)&(isnumeric(Xnew))
        [n1,p1]=size(Xnew);
        Xnew=[ones(n1,1),Xnew];
        ynew=Xnew*beta;
        Shat2=SSE/(n-m)*(1+Xnew*inv(A'*A)*Xnew');
        Syhat=sqrt(diag(Shat2));
        ta=tinv(0.5+pp/2, n-p-1);
        yl=ynew-ta*Syhat;
        yr=ynew+ta.*Syhat;
        ylr=[yl(:),yr(:)];
    end
    

    运行结果如图所示:
    在这里插入图片描述
    结果分析:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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  • R语言与多元线性回归分析计算实例

    万次阅读 多人点赞 2019-11-16 12:37:33
    6.3.7 计算实例 例 6.9 某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场,有效地管理库存,公司董事会要求销售部门根据市场调查,找出公司生产的牙膏销售量与销售价格,广告投入等之间的关系,从而预测出在不同价格和...
  • 点击上方“Python爬虫与数据挖掘”,进行关注回复“书籍”即可获赠Python从入门到进阶共10本电子书今日鸡汤寥落古行宫,宫花寂寞红。前言「多元线性回归模型」非常常见,是大多数人入...
  • 经典案例,通用流程,还有注释详尽的源代码和源数据。
  • 多元线性回归--案例分析及python实践

    千次阅读 2020-02-03 18:06:55
    本篇主要是针对回归分析过程中所使用到的统计量进行汇总,并通过案例,结合python语言实现。适用于一元线性回归和多元线性回归。代码可直接使用。
  • 根据boston房价数据,进行训练线性回归模型,并进行标准化数据处理,L1、L2正则化损失函数
  • 掌握一元线性回归、多元线性回归模型的建模原理、估计及检验方法。 能运用相应的统计软件(SAS\SPSS\R)进行计算、分析。 实验内容 某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场,有效地管理库存,公司董事会要求销售...
  • 现在给定的要求是,使用一个多元线性模型去拟合这些数据,然后用于预测。 模型 price=f(x1,x2,…,xn)=∑i=1nwixi+b price = f(x_1, x_2, …, x_n) = \sum\limits_{i=1}^{n} w_i x_i + bprice=f(x1​,x2​,…,xn​)=i...
  • 但现实问题中,我们往往会碰到多个变量间的线性关系的问题,这时就要用到多元线性回归多元线性回归是一元回归的一种推广,其在实际应用中非常广泛,本文就用python代码来展示一下如何用多元线性回归来解决实际问题...
  • 多元线性回归程序示例 类似的,我们也可以实现多元线性回归。这里,我们需要创建多个特征(x),我们也可以像之前程序那样,随机生成多个特征,不过,这里,我们使用sklearn库提供的更方面的方法。 from sklearn....
  • 机器学习算法(8)之多元线性回归分析理论详解

    万次阅读 多人点赞 2018-08-29 16:28:27
    前言:当影响因变量的因素是多个时候,这种一个变量同时与多个变量的回归问题就是多元回归,分为:多元线性回归和多元非线性回归。线性回归(Linear regressions)和逻辑回归(Logistic regressions)是人们学习算法的第...
  • 原标题:Python 实战多元线性回归模型,附带原理+代码 作者 | 萝卜来源 | 早起Python( ID:zaoqi-python )「多元线性回归模型」非常常见,是大多数人入门机器学习的第一个案例,尽管如此,里面还是有许多值得学习和...
  • 多元线性回归分析(R语言)

    万次阅读 多人点赞 2018-12-07 13:35:10
    多元线性回归分析▼ 一、多元线性回归模型 设变量Y与X1,X2,……,Xp之间有线性关系   其中 , 和 是未知参数,p≥2,称上公式为多元线性回归模型。 二、参数估计 我们根据多元线性回归模型,认为误差...
  • 多元线性回归模型及stata实现:总论

    万次阅读 多人点赞 2020-06-30 20:49:53
    多元线性回归方程及stata实现 一、模型 Y=β0+β1X1+β2X2+⋯+βnXn+e Y: Dependent variable(因变量、应变量、反应变量、响应变量、被解释变量等) X1、X2⋯Xn:Independent variable(自变量、解释变量、控制...
  • 现在用 Python 写线性回归的博客都快烂大街了,为什么还要用 SPSS 做线性回归呢?这就来说说 SPSS 存在的原因吧。 SPSS 是一个很强大的软件,不用编程,不用调参,点巴两下就出结果了,而且出来的大多是你想要的。...
  • 多元线性回归的基本的分析方法与一元线性回归方法是类似的,我们首先需要对选取多元数据集并定义数学模型,然后进行参数估计,对估计出来的参数进行显著性检验,残差分析,异常点检测,最后确定回归方程进行模型预测...
  • 如何用R实现多元线性回归分析

    万次阅读 2017-03-08 11:45:59
    这里结合Statistical Learning和杜克大学的Data Analysis and Statistical Inference的章节以及《R语言实战》的OLS(Ordinary Least Square)回归模型章节来总结一下,诊断多元线性回归模型的操作分析步骤。...

空空如也

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多元线性回归分析模型案例