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  • 多元线性回归参数估计方法,吴仕勋,赵东方,本文依据高斯—马尔可夫定理,通过对最小二乘估计方法得出的参数估计值的分析,从另外两个角度出发得出了参数估计的值与最小二乘
  • 多元线性回归模型检验方法

    千次阅读 2019-08-10 22:07:21
    终于找到一篇全面而又简洁的讲多元线性回归模型检验方法的文章 PDF下载地址 链接:https://pan.baidu.com/s/1UbyZcMC1VRTmlCEaX4Vybg 提取码:g481 具体内容 一、经济意义检验 经济意义检验主要检验模型参数估计量在...

    终于找到一篇全面而又简洁的讲多元线性回归模型检验方法的文章
    PDF下载地址
    链接:https://pan.baidu.com/s/1UbyZcMC1VRTmlCEaX4Vybg
    提取码:g481

    具体内容

    一、经济意义检验

    经济意义检验主要检验模型参数估计量在经济意义。其表现为检验求得的参数估计值的符号与大小是否合理,是否与根据人们的经验和经济理论所拟定的期望值相符合。如果不符,则要查找原因和采取必要的修正措施,重新建立模型。

    二、统计检验

    1.拟合优度检验(${R^2}$检验) 拟合优度检验是检验回归方程对样本观测值的拟合程度,即检验所有解释变量与被解释变量之间的相关程度。

    2.方程显著性检验(F检验)
    方程显著性检验就是对模型中解释变量与被解释变
    量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。即
    检验被解释变量Y与所有解释变量戈l,石2,……,菇^之间
    的线性关系是否显著,方程显著性检验所应用的方法是
    数理统计学中假设检验。

    3.变量显著性检验(t检验)
    R2检验和F检验都是将所有的解释变量作为一个整体来检验它们与被解释变量Y的相关程度以及回归效果,但对于多元回归模型,方程的总体显著性并不意味每个解释变量对被解释变量Y的影响都是显著的。如果某个解释变量并不显著,则应该从方程中把它剔除,重新建立更为简单的方程。所以必须对每个解释变量进行显著性检验。

    三、计量经济学检验

    计量经济学检验是由计量经济学理论决定的,目的 在于检验模型的计量经济学性质。通常检验准则有随机 误差项的序列相关检验和异方差性检验,解释变量的多 重共线性检验等,其中最常用的是随机误差项的序列相 关检验。 在回归分析法中,假设随机误差项在不同的样本点 之间是不相关的,即si与8i(i≠_『)相互独立。但在实际 问题中,经常出现与此相违背的情况,占i与si(i≠.『)之 间存在相关性,称为序列相关。若存在序列相关,则此时 的回归模型无效,必须重新建立回归模型。 在序列相关中,最常见的是一阶自相关即占i与sf+l 相关,而对一阶自相关最常用的检验方法是DW检验法

    模型预测检验

    预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及相对样本容量变化时的灵敏度,确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围,即模型的所谓超样本特性。具体检验方法为:

    ①利用扩大了的样本重新估计模型参数,将新的估计值与原来的估计值进行比较,并检验二者之间差距的显著性。
    ②将所建立的模型用于样本以外某一时期的实际预测,并将该预测值与实际观测值进行比较,并检验二者之间差距的显著性。

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  • 1、多元线性回归模型: 2、模型假设: (1)解释变量是非随机的,且各解释变量之间互不相关(多重共线性) (2)随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性 (3)解释变量和随机项不相关 (4)随机...

    一、案例介绍

    1、目的:利用上市公司当年的公开财务指标预测来年盈利情况最重要的投资人决策依据。

    2、数据来源:随机抽取深市和沪市2002和2003年的500个上市公司样本预测来年的净资产收益率。

    3、解释变量包括:资产周转率、当年净资产收益率、债务资本比率、市盈率、应收账款/主营业务收入、主营业务利润、存货/资产总计(反映公司存货状况)、对数资产总计(反映公司规模)

    二、描述性分析

    1、各个标量的均值、最小值、中位数、最大数和标准差

    2、变量相关性分析:相关性矩阵

    3、当期净资产收益率和往期净资产收益率的散点图

    三、建立模型:

    1、多元线性回归模型:

    2、模型假设:

    (1)解释变量是非随机的,且各解释变量之间互不相关(多重共线性)

    (2)随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性

    (3)解释变量和随机项不相关

    (4)随机项满足正态分布

    总结即:随机项满足零均值、同方差、不序列相关的正态分布;解释变量和随机项不相关且解释变量之间互不相关

    3、参数估计:

    (1)最小二乘估计量:

    RSS=\sum (y_{i}-\hat{\beta_{0}}-\hat{\beta_{1}}x_{i1}- \hat{\beta_{2}}x_{i2}-...-\hat{\beta_{p}}x_{ip})^2

    (2)方差估计量:

    \hat{\sigma }^2=RSS/(n-p-1)

    (3)拟合优度:

    总平方和:SST=\sum (y_i-\bar{y})^2

    残差平方和:SSe=\sum (y_i-\bar{y})^2

    R-square:R^2=1-\frac{SSE}{SST}

    4、显著性检验:

    (1)F检验

    假设:H_0:\beta_i=0 vs H_1:\beta_i\neq 0

    检验统计量:F=\frac{(SST-SSE)/p)}{SSE/(n-p-1))}\sim F_{p,n-p-1}

    (2)t检验

    假设:H_0:\beta_i=0 vs H_1:\beta_i\neq 0

    检验统计量:T=\frac{\hat{\beta_i}}{\sqrt{\sigma ^2/n}}\sim t_{n-p-1}

    5、模型检验

    (1)异方差性

    (2)正态性检验:

    QQ图:残差的分位数和正态分布的分位数呈线性关系

    Shapiro-Wilk normality test

    Kolmogorov-Smirnov test

    (3)异常值检验:待补充

    Cook距离

    (4)多重共线性检验:

    见五介绍多重共线性

    四、变量选择与预测:

    只有三个变量显著性通过,但是无法排除其他变量是否有预测能力。从而我们通过AIC和BIC准则选择。原理:同时考虑到了模型复杂度和拟合效果。

    AIC=n(log(\frac{RSS}{n})+1+log(2\pi ))+2p

    BIC=n(log(\frac{RSS}{n})+1+log(2\pi))+logn*p

    五、多重共线性问题:

    1、变量相关性对模型造成的影响:

    (1)完全多重共线性会使OLS(普通最小二乘)系数矩阵方程 解不唯一(基本上不存在完全多重共线性,多是不完全多重共线性),不完全多重共线性会使OLS估计量的方差和标准误较大(因为),即使得估计精度很小和置信区间变宽。

    (2)多重共线性由于自变量之间的相关性,从而变量估计系数可能出现完全相反的符号或者难以置信的数值。

    (3)可能出现显著自变量回归系数不显著:因为标准误较大,从而t检验的t值较小,倾向于接受原假设。

    (4)R方值较高,但t值并不都是统计显著的。R²等于回归平方和在总平方和中所占的比率,即回归方程所能解释的因变量变异性的百分比。具体解释见补充资料1:回归拟合增加解释变量为什么增加拟合优度。方差膨胀因子越接近1,多重共线性越严重。这个时候R2越接近1。

    2、多重共线性的诊断方法:

    (1)R2较高但t值统计显著的不多。

    (2)解释变量两两高度相关。

    (3)方差膨胀因子

    3、方差膨胀因子:

    (1)考虑辅助回归:x_i=a+\sum_{j=1}^{n}b_jx_j+e

    (2)R_{i}^{2}是辅助回归的拟合优度

    (3)方差膨胀因子:VIF_i=\frac{1}{1-{R_{i}}^{2}}

    在一定程度上在多大程度上第i个变量所包含的信息被其他变量覆盖。一般认为小于10就没有多重共线性问题。

     

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    与简单线性回归的区别: 包含多个自变量 多元回归模型: y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε 其中β全为参数,ε为偏差 多元回归方程: E(y)=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp 估计多元回归方程: y=b0+b1x1+b2x2+…+bpxp ,b是...

    与简单线性回归的区别:
    包含多个自变量

    多元回归模型:
    y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε
    其中β全为参数,ε为偏差

    多元回归方程:
    E(y)=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp
    估计多元回归方程:
    y=b0+b1x1+b2x2+…+bpxp ,b是β的点估计值

    估计流程:
    在这里插入图片描述
    估计方法:使sum of squares最小
    在这里插入图片描述

    例子:快递配送: x1-运输里程; x2-运输次数;y-总运输时间
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1.准备数据,将数据键入CSV文件中去
    在这里插入图片描述
    代码:
    在这里插入图片描述
    结果:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    如图所示,车型的数据属于类别,而不是连续的数值,不具有直接的计算意义,这种情况我们应该把这种分类型变量进行转码出数字型变量。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这样就把类别型变量转化为3个数值型变量了,X也从两个变成了三个
    代码:
    在这里插入图片描述
    结果:
    在这里插入图片描述

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    千次阅读 2017-06-19 09:01:45
    按照OLS估计方法得出的多元线性回归参数结果为 对于该式而言Y的估计值 其实正是n维向量Y 在n*k维矩阵(不存在向量自相关)所张成的k维空间上的正交投影。   正交投影是什么? 使用余
    模型设定与假设
    

    多元线性回归与一元线性回归在思想上并没有太大的不同 ,不过是多了一些变量罢了。考虑问题的角度要从之前的二维空间进阶到高维空间。传统的多元线性回归模型可以用矩阵来描述。

    image

    按照OLS估计方法得出的多元线性回归的参数结果为

    image

    对于该式而言Y的估计值

    image 其实正是n维向量Y 在n*k维矩阵(不存在向量自相关)所张成的k维空间上的正交投影。

    image

     

    正交投影是什么?

    使用余弦定理也可以说明Xb就是n维空间中的向量y在由X(n*p)矩阵构成的p维空间 image中的正交投影。

    正交投影矩阵可以由余弦定理推出:以二维空间为例说明

    image

     

    (余弦定理的证明可见http://www.cnblogs.com/pingzeng/p/5025672.html

    扩展到多维度空间的情况

    image

    便为矩阵X所张成的k维空间 的正交投影矩阵。

    该矩阵乘上任何一个n维向量所得到的结果即为该n维向量在空间image 的正交投影。

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空空如也

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