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  • 多元线性回归模型

    万次阅读 多人点赞 2019-07-02 19:22:12
    多元线性回归模型通常用来研究一个应变量依赖多个自变量的变化关系,如果二者的以来关系可以用线性形式来刻画,则可以建立多元线性模型来进行分析。 1.模型简介 1.1模型的结构 多元线性回归模型通常用来描述变脸y和x...

    多元线性回归模型通常用来研究一个应变量依赖多个自变量的变化关系,如果二者的以来关系可以用线性形式来刻画,则可以建立多元线性模型来进行分析。
    1.模型简介
    1.1模型的结构
    多元线性回归模型通常用来描述变量y和x之间的随机线性关系,即:
    在这里插入图片描述
    如果对y和x进行了x次观测,得到n组观察值yi,x1i,…,xki(i=1,2,…,n),他们满足一下关系式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    1.2模型参数的检验
    在正态假定下,如果X是列满秩的,则普通线性回归模型的参数最小二乘估计为:
    在这里插入图片描述
    于是y的估计值为:
    在这里插入图片描述
    (1)回归方程的显著性检验
    在这里插入图片描述
    (2)回归系数的显著性检验
    在这里插入图片描述
    2.建模步骤
    (1)根据数据建立回归模型
    (2)对模型进行显著性检验
    (3) 对模型进行回归诊断
    3.建模

    library(car)
    a=read.table("C:/Users/MrDavid/data_TS/reg.csv",sep=",",header=T)
    a
    lm.salary=lm(锘縴~x1+x2+x3+x4,data=a)
    summary(lm.salary)
    #注:锘縴是y乱码之后的结果
    

    在这里插入图片描述
    发现x2,x3,x4系数不显著。
    (2)对变量进行选择

    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    

    在这里插入图片描述
    如果去掉变量x2,AIC的值为648.49,如果去掉变量x3,AIC的值为650.85,如果去掉变量x1,AIC的值为715.19,所以在这里去掉x2.
    进行下一轮的计算:

    lm.salary=lm(锘縴~x1+x3+x4,data=a)
    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    

    在这里插入图片描述
    发现去掉x3,AIC 的值为647.64,所以去掉x3.
    单独对x1和x4,进行拟合。

    lm.salary=lm(锘縴~x1+x4,data=a)
    summary(lm.salary)
    

    在这里插入图片描述
    可以看出F检验P值小于0.05显著,各个参数系数也是显著的。
    (3)对上述回归模型进行回归残差诊断

    算出模型的标准化残差

    library(TSA)
    y.rst=rstandard(lm.step)
    y.rst
    

    在这里插入图片描述
    画出其残差散点图:
    在这里插入图片描述
    很明显发现4和35号点异常,将这两个点去除。

    lm.salary=lm(log(锘縴)~x1+x2+x3+x4,data=a[-c(4,35),])
    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    y.rst=rstandard(lm.step)
    y.fit=predict(lm.step)
    plot(y.rst~y.fit)
    

    去除两点后的结果:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    绘制模型诊断图:

    par(mfrow=c(2,2))
    plot(lm.step)
    influence.measures(lm.step)
    

    在这里插入图片描述
    残差拟合图基本上呈现随机分布模式,正态Q-Q图基本落在直线上,表明残差服从正态分布;大小-位置图和残差-杠杆图以小组的形式存在并且离中心不远。这说明3,4,35号观测值可能是异常点和强影响点。

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  • Python实现多元线性回归

    万次阅读 多人点赞 2018-04-12 21:39:25
    Python实现多元线性回归 线性回归介绍 线性回归是利用数理统计中回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法,运用十分广泛。其表达形式为y = w'x+e,e为误差服从均值为0的...

    Python实现多元线性回归

     

     

    线性回归介绍

     

    线性回归是利用数理统计中回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法,运用十分广泛。其表达形式为y = w'x+e,e为误差服从均值为0的正态分布。回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。
    线性回归属于回归问题。对于回归问题,解决流程为: 
    给定数据集中每个样本及其正确答案,选择一个模型函数h(hypothesis,假设),并为h找到适应数据的(未必是全局)最优解,即找出最优解下的h的参数。这里给定的数据集取名叫训练集(Training Set)。不能所有数据都拿来训练,要留一部分验证模型好不好使,这点以后说。先列举几个几个典型的模型:
    ● 最基本的单变量线性回归: 
    形如h(x)=theta0+theta1*x1
    ● 多变量线性回归: 
    形如h(x)=theta0+theta1*x1+theta2*x2+theta3*x3
    ● 多项式回归(Polynomial Regression): 
    形如h(x)=theta0+theta1*x1+theta2*(x2^2)+theta3*(x3^3) 
    或者h(x)=ttheta0+theta1*x1+theta2*sqr(x2) 
    但是可以令x2=x2^2,x3=x3^3,于是又将其转化为了线性回归模型。虽然不能说多项式回归问题属于线性回归问题,但是一般我们就是这么做的。
    ● 所以最终通用表达式就是: 
    这里写图片描述

     

     

    数据导入与清洗

     

    对于数据导入来说,可以利用pandas内的read_csv的函数来对数据进行导入操作,在进行多元线性回归之间通过简单线性回归来展现线性回归的特性和结果之后再延伸至多元线性回归。

     

    在进行数据导入之间需要导入进行线性回归的包:

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from pandas import DataFrame,Series
    from sklearn.cross_validation import train_test_split
    from sklearn.linear_model import LinearRegression

    我们利用pandas和numpy对数据进行操作,使用matplotlib进行图像化,使用sklearn进行数据集训练与模型导入。

     

    简单线性回归

     

    对于学生来说,所学习的时间和考试的成绩挂钩,所学习的时间与考试的成绩也是呈线性相关。创建一个数据集来描述学生学习时间与成绩的关系并且做简单的线性回归。

     

    in:

    #创建数据集
    examDict  = {'学习时间':[0.50,0.75,1.00,1.25,1.50,1.75,1.75,
                         2.00,2.25,2.50,2.75,3.00,3.25,3.50,4.00,4.25,4.50,4.75,5.00,5.50],
                 '分数':[10,22,13,43,20,22,33,50,62,
                       48,55,75,62,73,81,76,64,82,90,93]}
    
    #转换为DataFrame的数据格式
    examDf = DataFrame(examDict)

     

    通过DataFrame的函数将字典转化为所需要的数据集,也就是学生成绩与考试成绩的数据集。且关于pandas的数据内容Series与DataFrame可以查看关于pandas的博客了解点击打开链接

     

    out:

      分数  学习时间
    0   10  0.50
    1   22  0.75
    2   13  1.00
    3   43  1.25
    4   20  1.50
    5   22  1.75
    6   33  1.75
    7   50  2.00
    8   62  2.25
    9   48  2.50
    10  55  2.75
    11  75  3.00
    12  62  3.25
    13  73  3.50
    14  81  4.00
    15  76  4.25
    16  64  4.50
    17  82  4.75
    18  90  5.00
    19  93  5.50

     

    从上面的数据可以看到数据的特征值与其标签,学生所学习的时间就是所需要的特征值,而成绩就是通过特征值所反应的标签。在这个案例中要对数据进行观测来反应学习时间与成绩的情况,将利用散点图来实现简单的观测。

     

    in:

    #绘制散点图
    plt.scatter(examDf.分数,examDf.学习时间,color = 'b',label = "Exam Data")
    
    #添加图的标签(x轴,y轴)
    plt.xlabel("Hours")
    plt.ylabel("Score")
    #显示图像
    plt.show()

    out:

     

    从上图可以看到对于分数和时间来说存在相应的线性关系,且俩数据间相关性较强。

    在此可以通过相关性来衡量两个变量因素的相关密切程度。

    相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。

    r(相关系数) = x和y的协方差/(x的标准差*y的标准差) == cov(x,y)/σx*σy(即person系数)

    对于相关性强度来说的化有以下的关系:

    0~0.3 弱相关

    0.3~0.6  中等程度相关

    0.6~1  强相关

     

    in:

    rDf = examDf.corr()
    print(rDf)

    out:

    分数      学习时间
    分数    1.000000  0.923985
    学习时间  0.923985  1.000000

     

    pandas中的数学统计函数D.corr()可以反应数据间的相关性关系,可从表值中反应出学习时间与分数之间的相关性为强相关(0.6~1)。对于简单线性回归来来说,简单回归方程为: y = a + b*x (模型建立最佳拟合线)最佳拟合线也是需要通过最小二乘法来实现其作用。对于OLS即最小二乘法我们需要知道的一个关系为点误差,点误差 = 实际值 - 预测值,而误差平方和(Sum of square error) SSE = Σ(实际值-预测值)^2,最小二乘法就是基于SSE实现,最小二乘法 : 使得误差平方和最小(最佳拟合)。解释完简单线性回归后进行对训练集和测试集的创建,将会使用train_test_split函数来创建(train_test_split是存在与sklearn中的函数)

     

    in:

    #将原数据集拆分训练集和测试集
    X_train,X_test,Y_train,Y_test = train_test_split(exam_X,exam_Y,train_size=.8)
    #X_train为训练数据标签,X_test为测试数据标签,exam_X为样本特征,exam_y为样本标签,train_size 训练数据占比
    
    print("原始数据特征:",exam_X.shape,
          ",训练数据特征:",X_train.shape,
          ",测试数据特征:",X_test.shape)
    
    print("原始数据标签:",exam_Y.shape,
          ",训练数据标签:",Y_train.shape,
          ",测试数据标签:",Y_test.shape)
    
    #散点图
    plt.scatter(X_train, Y_train, color="blue", label="train data")
    plt.scatter(X_test, Y_test, color="red", label="test data")
    
    #添加图标标签
    plt.legend(loc=2)
    plt.xlabel("Hours")
    plt.ylabel("Pass")
    #显示图像
    plt.savefig("tests.jpg")
    plt.show()

    out:

    原始数据特征: (20,) ,训练数据特征: (16,) ,测试数据特征: (4,)
    原始数据标签: (20,) ,训练数据标签: (16,) ,测试数据标签: (4,)

     

    tips:由于训练集随机分配的原因每一次运行的结果(点的分布情况,训练集内的情况,测试集内的情况)不都相同在创建数据集之后我们需要将训练集放入skleran中的线性回归模型(LinearRegression())进行训练,使用函数种的.fit函数进行模型的训练操作。

     

    in:

    model = LinearRegression()
    
    #对于模型错误我们需要把我们的训练集进行reshape操作来达到函数所需要的要求
    # model.fit(X_train,Y_train)
    
    #reshape如果行数=-1的话可以使我们的数组所改的列数自动按照数组的大小形成新的数组
    #因为model需要二维的数组来进行拟合但是这里只有一个特征所以需要reshape来转换为二维数组
    X_train = X_train.values.reshape(-1,1)
    X_test = X_test.values.reshape(-1,1)
    
    model.fit(X_train,Y_train)

     

    在模型训练完成之后会得到所对应的方程式(线性回归方程式)需要利用函数中的intercept_与coef_来得到

     

    a  = model.intercept_#截距
    
    b = model.coef_#回归系数
    
    print("最佳拟合线:截距",a,",回归系数:",b)

     

    out:

     

    最佳拟合线:截距 7.5580754557 ,回归系数: [ 16.28401865]

     

    由上述的最佳拟合线的截距和回归系数可以算出其线性回归线方程:y = 7.56 + 16.28*x

    接下来需要对模型进行预测和对模型进行评价,在进行评价之间将会引入一个决定系数r平方的概念。

    对于决定系数R平方常用于评估模型的精确度。

    下列为R平方的计算公式:

    ● y误差平方和 = Σ(y实际值 - y预测值)^2

    ● y的总波动 = Σ(y实际值 - y平均值)^2

    ● 有多少百分比的y波动没有被回归拟合线所描述 = SSE/总波动

    ● 有多少百分比的y波动被回归线描述 = 1 - SSE/总波动 = 决定系数R平方

    对于决定系数R平方来说

    (1) 回归线拟合程度:有多少百分比的y波动刻印有回归线来描述(x的波动变化)

    (2)值大小:R平方越高,回归模型越精确(取值范围0~1),1无误差,0无法完成拟合对于预测来说我们需要运用函数中的model.predict()来得到预测值

     

    in:

    #训练数据的预测值
    y_train_pred = model.predict(X_train)
    #绘制最佳拟合线:标签用的是训练数据的预测值y_train_pred
    plt.plot(X_train, y_train_pred, color='black', linewidth=3, label="best line")
    
    #测试数据散点图
    plt.scatter(X_test, Y_test, color='red', label="test data")
    
    #添加图标标签
    plt.legend(loc=2)
    plt.xlabel("Hours")
    plt.ylabel("Score")
    #显示图像
    plt.savefig("lines.jpg")
    plt.show()
    
    
    score = model.score(X_test,Y_test)
    
    print(score)

     

    out:

    score : 0.834706696876

     

    多元线性回归

     

    在间单线性回归的例子中可以得到与线性回归相关的分析流程,接下来对多元线性回归进行分析对于多元线性回归前面已经提到,形如h(x)=theta0+theta1*x1+theta2*x2+theta3*x3http://www-bcf.usc.edu/~gareth/ISL/Advertising.csv(已经失效)来下载数据集 Advertising.csv,其数据描述了一个产品的销量与广告媒体的投入之间影响。将会利用pandas的pd.read()来读取数据。

     

     

    in:

    #通过read_csv来读取我们的目的数据集
    adv_data = pd.read_csv("C:/Users/Administrator/Desktop/Advertising.csv")
    #清洗不需要的数据
    new_adv_data = adv_data.ix[:,1:]
    #得到我们所需要的数据集且查看其前几列以及数据形状
    print('head:',new_adv_data.head(),'\nShape:',new_adv_data.shape)

    out:

    head:       TV  radio  newspaper  sales
           0  230.1   37.8       69.2   22.1
           1   44.5   39.3       45.1   10.4
           2   17.2   45.9       69.3    9.3
           3  151.5   41.3       58.5   18.5
           4  180.8   10.8       58.4   12.9 
    Shape:  (200, 4)

     

    对于上述的数据可以得到数据中

    标签值(sales):

    • Sales:对应产品的销量

    特征值(TV,Radio,Newspaper):

    • TV:对于一个给定市场中单一产品,用于电视上的广告费用(以千为单位)
    • Radio:在广播媒体上投资的广告费用
    • Newspaper:用于报纸媒体的广告费用

    在这个案例中,通过不同的广告投入,预测产品销量。因为响应变量是一个连续的值,所以这个问题是一个回归问题。数据集一共有200个观测值,每一组观测对应一个市场的情况。接下里对数据进行描述性统计,以及寻找缺失值(缺失值对模型的影响较大,如发现缺失值应替换或删除),且利用箱图来从可视化方面来查看数据集,在描述统计之后对数据进行相关性分析,以此来查找数据中特征值与标签值之间的关系。

     

    in:

    #数据描述
    print(new_adv_data.describe())
    #缺失值检验
    print(new_adv_data[new_adv_data.isnull()==True].count())
    
    new_adv_data.boxplot()
    plt.savefig("boxplot.jpg")
    plt.show()
    ##相关系数矩阵 r(相关系数) = x和y的协方差/(x的标准差*y的标准差) == cov(x,y)/σx*σy
    #相关系数0~0.3弱相关0.3~0.6中等程度相关0.6~1强相关
    print(new_adv_data.corr())

     

    out:

                   TV       radio   newspaper       sales
    count  200.000000  200.000000  200.000000  200.000000
    mean   147.042500   23.264000   30.554000   14.022500
    std     85.854236   14.846809   21.778621    5.217457
    min      0.700000    0.000000    0.300000    1.600000
    25%     74.375000    9.975000   12.750000   10.375000
    50%    149.750000   22.900000   25.750000   12.900000
    75%    218.825000   36.525000   45.100000   17.400000
    max    296.400000   49.600000  114.000000   27.000000
    TV           0
    radio        0
    newspaper    0
    sales        0
    dtype: int64
                     TV     radio  newspaper     sales
    TV         1.000000  0.054809   0.056648  0.782224
    radio      0.054809  1.000000   0.354104  0.576223
    newspaper  0.056648  0.354104   1.000000  0.228299
    sales      0.782224  0.576223   0.228299  1.000000

     

     

     

     

    可以从corr表中看出,TV特征和销量是有比较强的线性关系的,而Radio和Sales线性关系弱一些但是也是属于强相关的,Newspaper和Sales线性关系更弱。接下来建立散点图来查看数据里的数据分析情况以及对相对应的线性情况,将使用seaborn的pairplot来绘画3种不同的因素对标签值的影响

     

    in:

    # 通过加入一个参数kind='reg',seaborn可以添加一条最佳拟合直线和95%的置信带。
    sns.pairplot(new_adv_data, x_vars=['TV','radio','newspaper'], y_vars='sales', size=7, aspect=0.8,kind = 'reg')
    plt.savefig("pairplot.jpg")
    plt.show()

    out:

     

    上如图种所示,可以了解到不同的因素对销量的预测线(置信度= 95 %),也可可以大致看出不同特征对于标签值的影响与相关关系在了解了数据的各种情况后需要对数据集建立模型,在建立模型的第一步我们将建立训练集与测试集同样的将会使用train_test_split函数来创建(train_test_split是存在与sklearn中的函数)

     

    in:

    X_train,X_test,Y_train,Y_test = train_test_split(new_adv_data.ix[:,:3],new_adv_data.sales,train_size=.80)
    
    print("原始数据特征:",new_adv_data.ix[:,:3].shape,
          ",训练数据特征:",X_train.shape,
          ",测试数据特征:",X_test.shape)
    
    print("原始数据标签:",new_adv_data.sales.shape,
          ",训练数据标签:",Y_train.shape,
          ",测试数据标签:",Y_test.shape)

    out:

    原始数据特征: (200, 3) ,训练数据特征: (160, 3) ,测试数据特征: (40, 3)
    原始数据标签: (200,) ,训练数据标签: (160,) ,测试数据标签: (40,)

     

    建立初步的数据集模型之后将训练集中的特征值与标签值放入LinearRegression()模型中且使用fit函数进行训练,在模型训练完成之后会得到所对应的方程式(线性回归方程式)需要利用函数中的intercept_与coef_。

     

    in:

    model = LinearRegression()
    
    model.fit(X_train,Y_train)
    
    a  = model.intercept_#截距
    
    b = model.coef_#回归系数
    
    print("最佳拟合线:截距",a,",回归系数:",b)

     

    out:

    最佳拟合线:截距 2.79361553401 ,回归系数: [ 0.04711495  0.18719875 -0.00185999]

     

    即所得的多元线性回归模型的函数为 : y = 2.79 + 0.04 * TV + 0.187 * Radio - 0.002 * Newspaper,对于给定了Radio和Newspaper的广告投入,如果在TV广告上每多投入1个单位,对应销量将增加0.04711个单位。就是加入其它两个媒体投入固定,在TV广告上每增加1000美元(因为单位是1000美元),销量将增加47.11(因为单位是1000)。但是大家注意这里的newspaper的系数居然是负数,所以我们可以考虑不使用newspaper这个特征。接下来对数据集进行预测与模型测评。同样使用predict与score函数来获取所需要的预测值与得分。

     

    in:

    #R方检测
    #决定系数r平方
    #对于评估模型的精确度
    #y误差平方和 = Σ(y实际值 - y预测值)^2
    #y的总波动 = Σ(y实际值 - y平均值)^2
    #有多少百分比的y波动没有被回归拟合线所描述 = SSE/总波动
    #有多少百分比的y波动被回归线描述 = 1 - SSE/总波动 = 决定系数R平方
    #对于决定系数R平方来说1) 回归线拟合程度:有多少百分比的y波动刻印有回归线来描述(x的波动变化)
    #2)值大小:R平方越高,回归模型越精确(取值范围0~1),1无误差,0无法完成拟合
    score = model.score(X_test,Y_test)
    
    print(score)
    
    #对线性回归进行预测
    
    Y_pred = model.predict(X_test)
    
    print(Y_pred)
    
    plt.plot(range(len(Y_pred)),Y_pred,'b',label="predict")
    #显示图像
    plt.savefig("predict.jpg")
    plt.show()

     

    out:

    score : 0.871755480886
    predict :[ 14.17217173  17.42866884  16.81933374  18.16079802   7.64784604
      17.8670496   16.66488531  14.98782916   9.41023763  16.21679696
      19.32696651   7.76788593  23.34231219   3.59006148  13.15777984
      24.26609169  15.47571902  15.39542342  13.98430709  12.65446708
       7.59818691  13.85179898  12.16325619  10.34902817  11.9813427
      11.05726513   8.13405159  21.94038306  16.4388483   14.06506403
       4.36052153   6.45326681   7.55083036  24.25987365  17.13603444
      14.04814117   7.28664465  17.24163581  20.42745536   6.55512244]

    预测集与源数据集的对比如下:

     

    模型的检测方法-ROC曲线:

     ROC曲线是根据一系列不同的二分类方式(分界值或决定阈),以真阳性率(灵敏度)为纵坐标,假阳性率(1-特异度)为横坐标绘制的曲线。传统的诊断试验评价方法有一个共同的特点,必须将试验结果分为两类,再进行统计分析。ROC曲线的评价方法与传统的评价方法不同,无须此限制,而是根据实际情况,允许有中间状态,可以把试验结果划分为多个有序分类,如正常、大致正常、可疑、大致异常和异常五个等级再进行统计分析。因此,ROC曲线评价方法适用的范围更为广泛。

    1.ROC曲线能很容易地查出任意界限值时的对疾病的识别能力。

    2.选择最佳的诊断界限值。ROC曲线越靠近左上角,试验的准确性就越高。最靠近左上角的ROC曲线的点是错误最少的最好阈值,其假阳性和假阴性的总数最少。

    3.两种或两种以上不同诊断试验对疾病识别能力的比较。在对同一种疾病的两种或两种以上诊断方法进行比较时,可将各试验的ROC曲线绘制到同一坐标中,以直观地鉴别优劣,靠近左上角的ROC曲线所代表的受试者工作最准确。亦可通过分别计算各个试验的ROC曲线下的面积(AUC)进行比较,哪一种试验的 AUC最大,则哪一种试验的诊断价值最佳(百度百科)

    模型提升:

    对于提升模型准确度的方法很多,在这个模型下,可以利用异常值替换,将Newspaper中的异常值进行拉格朗日法插补,朗格朗日插补法(from scipy.interpolate import lagrange即scipy中的函数)可以间接提高模型的准确度,如果不需要插补异常值或缺失值的话可以将Newspaper不列为特征值考虑,在不考虑Newspaper为特征值的情况下,新的模型的准确率将超过旧模型,也可以从模型的准确度来反证Newspaper不适合作为特征值。

     

    整体代码如下,数据集再上面链接中可直接下载。

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from pandas import DataFrame,Series
    from sklearn.cross_validation import train_test_split
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    #创建数据集
    examDict  = {'学习时间':[0.50,0.75,1.00,1.25,1.50,1.75,1.75,
                         2.00,2.25,2.50,2.75,3.00,3.25,3.50,4.00,4.25,4.50,4.75,5.00,5.50],
                 '分数':[10,22,13,43,20,22,33,50,62,
                       48,55,75,62,73,81,76,64,82,90,93]}
    
    #转换为DataFrame的数据格式
    examDf = DataFrame(examDict)
    
    #绘制散点图
    plt.scatter(examDf.分数,examDf.学习时间,color = 'b',label = "Exam Data")
    
    #添加图的标签(x轴,y轴)
    plt.xlabel("Hours")
    plt.ylabel("Score")
    #显示图像
    plt.savefig("examDf.jpg")
    plt.show()
    
    
    #相关系数矩阵 r(相关系数) = x和y的协方差/(x的标准差*y的标准差) == cov(x,y)/σx*σy
    #相关系数0~0.3弱相关0.3~0.6中等程度相关0.6~1强相关
    rDf = examDf.corr()
    print(rDf)
    
    #回归方程 y = a + b*x (模型建立最佳拟合线)
    #点误差 = 实际值 - 拟合值
    #误差平方和(Sum of square error) SSE = Σ(实际值-预测值)^2
    #最小二乘法 : 使得误差平方和最小(最佳拟合)
    exam_X  =  examDf.loc[:,'学习时间']
    exam_Y  =  examDf.loc[:,'分数']
    
    #将原数据集拆分训练集和测试集
    X_train,X_test,Y_train,Y_test = train_test_split(exam_X,exam_Y,train_size=.8)
    #X_train为训练数据标签,X_test为测试数据标签,exam_X为样本特征,exam_y为样本标签,train_size 训练数据占比
    
    print("原始数据特征:",exam_X.shape,
          ",训练数据特征:",X_train.shape,
          ",测试数据特征:",X_test.shape)
    
    print("原始数据标签:",exam_Y.shape,
          ",训练数据标签:",Y_train.shape,
          ",测试数据标签:",Y_test.shape)
    
    #散点图
    plt.scatter(X_train, Y_train, color="blue", label="train data")
    plt.scatter(X_test, Y_test, color="red", label="test data")
    
    #添加图标标签
    plt.legend(loc=2)
    plt.xlabel("Hours")
    plt.ylabel("Pass")
    #显示图像
    plt.savefig("tests.jpg")
    plt.show()
    
    
    
    model = LinearRegression()
    
    #对于下面的模型错误我们需要把我们的训练集进行reshape操作来达到函数所需要的要求
    # model.fit(X_train,Y_train)
    
    #reshape如果行数=-1的话可以使我们的数组所改的列数自动按照数组的大小形成新的数组
    #因为model需要二维的数组来进行拟合但是这里只有一个特征所以需要reshape来转换为二维数组
    X_train = X_train.values.reshape(-1,1)
    X_test = X_test.values.reshape(-1,1)
    
    model.fit(X_train,Y_train)
    
    a  = model.intercept_#截距
    
    b = model.coef_#回归系数
    
    print("最佳拟合线:截距",a,",回归系数:",b)
    
    #决定系数r平方
    #对于评估模型的精确度
    #y误差平方和 = Σ(y实际值 - y预测值)^2
    #y的总波动 = Σ(y实际值 - y平均值)^2
    #有多少百分比的y波动没有被回归拟合线所描述 = SSE/总波动
    #有多少百分比的y波动被回归线描述 = 1 - SSE/总波动 = 决定系数R平方
    #对于决定系数R平方来说1) 回归线拟合程度:有多少百分比的y波动刻印有回归线来描述(x的波动变化)
    #2)值大小:R平方越高,回归模型越精确(取值范围0~1),1无误差,0无法完成拟合
    
    plt.scatter(X_train, Y_train, color='blue', label="train data")
    
    #训练数据的预测值
    y_train_pred = model.predict(X_train)
    #绘制最佳拟合线:标签用的是训练数据的预测值y_train_pred
    plt.plot(X_train, y_train_pred, color='black', linewidth=3, label="best line")
    
    #测试数据散点图
    plt.scatter(X_test, Y_test, color='red', label="test data")
    
    #添加图标标签
    plt.legend(loc=2)
    plt.xlabel("Hours")
    plt.ylabel("Score")
    #显示图像
    plt.savefig("lines.jpg")
    plt.show()
    
    
    score = model.score(X_test,Y_test)
    
    print(score)
    import pandas as pd
    import seaborn as sns
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.cross_validation import train_test_split
    
    #通过read_csv来读取我们的目的数据集
    adv_data = pd.read_csv("C:/Users/Administrator/Desktop/Advertising.csv")
    #清洗不需要的数据
    new_adv_data = adv_data.ix[:,1:]
    #得到我们所需要的数据集且查看其前几列以及数据形状
    print('head:',new_adv_data.head(),'\nShape:',new_adv_data.shape)
    
    #数据描述
    print(new_adv_data.describe())
    #缺失值检验
    print(new_adv_data[new_adv_data.isnull()==True].count())
    
    new_adv_data.boxplot()
    plt.savefig("boxplot.jpg")
    plt.show()
    ##相关系数矩阵 r(相关系数) = x和y的协方差/(x的标准差*y的标准差) == cov(x,y)/σx*σy
    #相关系数0~0.3弱相关0.3~0.6中等程度相关0.6~1强相关
    print(new_adv_data.corr())
    
    #建立散点图来查看数据集里的数据分布
    #seaborn的pairplot函数绘制X的每一维度和对应Y的散点图。通过设置size和aspect参数来调节显示的大小和比例。
    # 可以从图中看出,TV特征和销量是有比较强的线性关系的,而Radio和Sales线性关系弱一些,Newspaper和Sales线性关系更弱。
    # 通过加入一个参数kind='reg',seaborn可以添加一条最佳拟合直线和95%的置信带。
    sns.pairplot(new_adv_data, x_vars=['TV','radio','newspaper'], y_vars='sales', size=7, aspect=0.8,kind = 'reg')
    plt.savefig("pairplot.jpg")
    plt.show()
    
    #利用sklearn里面的包来对数据集进行划分,以此来创建训练集和测试集
    #train_size表示训练集所占总数据集的比例
    X_train,X_test,Y_train,Y_test = train_test_split(new_adv_data.ix[:,:3],new_adv_data.sales,train_size=.80)
    
    print("原始数据特征:",new_adv_data.ix[:,:3].shape,
          ",训练数据特征:",X_train.shape,
          ",测试数据特征:",X_test.shape)
    
    print("原始数据标签:",new_adv_data.sales.shape,
          ",训练数据标签:",Y_train.shape,
          ",测试数据标签:",Y_test.shape)
    
    model = LinearRegression()
    
    model.fit(X_train,Y_train)
    
    a  = model.intercept_#截距
    
    b = model.coef_#回归系数
    
    print("最佳拟合线:截距",a,",回归系数:",b)
    #y=2.668+0.0448∗TV+0.187∗Radio-0.00242∗Newspaper
    
    #R方检测
    #决定系数r平方
    #对于评估模型的精确度
    #y误差平方和 = Σ(y实际值 - y预测值)^2
    #y的总波动 = Σ(y实际值 - y平均值)^2
    #有多少百分比的y波动没有被回归拟合线所描述 = SSE/总波动
    #有多少百分比的y波动被回归线描述 = 1 - SSE/总波动 = 决定系数R平方
    #对于决定系数R平方来说1) 回归线拟合程度:有多少百分比的y波动刻印有回归线来描述(x的波动变化)
    #2)值大小:R平方越高,回归模型越精确(取值范围0~1),1无误差,0无法完成拟合
    score = model.score(X_test,Y_test)
    
    print(score)
    
    #对线性回归进行预测
    
    Y_pred = model.predict(X_test)
    
    print(Y_pred)
    
    
    plt.plot(range(len(Y_pred)),Y_pred,'b',label="predict")
    #显示图像
    # plt.savefig("predict.jpg")
    plt.show()
    
    plt.figure()
    plt.plot(range(len(Y_pred)),Y_pred,'b',label="predict")
    plt.plot(range(len(Y_pred)),Y_test,'r',label="test")
    plt.legend(loc="upper right") #显示图中的标签
    plt.xlabel("the number of sales")
    plt.ylabel('value of sales')
    plt.savefig("ROC.jpg")
    plt.show()
    
    
    
    
    

    Advertising.csv的连接已经失效,以下是补充的数据,可复制粘贴到CSV进行保存

    TV radio newspaper sales
    230.1 37.8 69.2 22.1
    44.5 39.3 45.1 10.4
    17.2 45.9 69.3 9.3
    151.5 41.3 58.5 18.5
    180.8 10.8 58.4 12.9
    8.7 48.9 75 7.2
    57.5 32.8 23.5 11.8
    120.2 19.6 11.6 13.2
    8.6 2.1 1 4.8
    199.8 2.6 21.2 10.6
    66.1 5.8 24.2 8.6
    214.7 24 4 17.4
    23.8 35.1 65.9 9.2
    97.5 7.6 7.2 9.7
    204.1 32.9 46 19
    195.4 47.7 52.9 22.4
    67.8 36.6 114 12.5
    281.4 39.6 55.8 24.4
    69.2 20.5 18.3 11.3
    147.3 23.9 19.1 14.6
    218.4 27.7 53.4 18
    237.4 5.1 23.5 12.5
    13.2 15.9 49.6 5.6
    228.3 16.9 26.2 15.5
    62.3 12.6 18.3 9.7
    262.9 3.5 19.5 12
    142.9 29.3 12.6 15
    240.1 16.7 22.9 15.9
    248.8 27.1 22.9 18.9
    70.6 16 40.8 10.5
    292.9 28.3 43.2 21.4
    112.9 17.4 38.6 11.9
    97.2 1.5 30 9.6
    265.6 20 0.3 17.4
    95.7 1.4 7.4 9.5
    290.7 4.1 8.5 12.8
    266.9 43.8 5 25.4
    74.7 49.4 45.7 14.7
    43.1 26.7 35.1 10.1
    228 37.7 32 21.5
    202.5 22.3 31.6 16.6
    177 33.4 38.7 17.1
    293.6 27.7 1.8 20.7
    206.9 8.4 26.4 12.9
    25.1 25.7 43.3 8.5
    175.1 22.5 31.5 14.9
    89.7 9.9 35.7 10.6
    239.9 41.5 18.5 23.2
    227.2 15.8 49.9 14.8
    66.9 11.7 36.8 9.7
    199.8 3.1 34.6 11.4
    100.4 9.6 3.6 10.7
    216.4 41.7 39.6 22.6
    182.6 46.2 58.7 21.2
    262.7 28.8 15.9 20.2
    198.9 49.4 60 23.7
    7.3 28.1 41.4 5.5
    136.2 19.2 16.6 13.2
    210.8 49.6 37.7 23.8
    210.7 29.5 9.3 18.4
    53.5 2 21.4 8.1
    261.3 42.7 54.7 24.2
    239.3 15.5 27.3 15.7
    102.7 29.6 8.4 14
    131.1 42.8 28.9 18
    69 9.3 0.9 9.3
    31.5 24.6 2.2 9.5
    139.3 14.5 10.2 13.4
    237.4 27.5 11 18.9
    216.8 43.9 27.2 22.3
    199.1 30.6 38.7 18.3
    109.8 14.3 31.7 12.4
    26.8 33 19.3 8.8
    129.4 5.7 31.3 11
    213.4 24.6 13.1 17
    16.9 43.7 89.4 8.7
    27.5 1.6 20.7 6.9
    120.5 28.5 14.2 14.2
    5.4 29.9 9.4 5.3
    116 7.7 23.1 11
    76.4 26.7 22.3 11.8
    239.8 4.1 36.9 12.3
    75.3 20.3 32.5 11.3
    68.4 44.5 35.6 13.6
    213.5 43 33.8 21.7
    193.2 18.4 65.7 15.2
    76.3 27.5 16 12
    110.7 40.6 63.2 16
    88.3 25.5 73.4 12.9
    109.8 47.8 51.4 16.7
    134.3 4.9 9.3 11.2
    28.6 1.5 33 7.3
    217.7 33.5 59 19.4
    250.9 36.5 72.3 22.2
    107.4 14 10.9 11.5
    163.3 31.6 52.9 16.9
    197.6 3.5 5.9 11.7
    184.9 21 22 15.5
    289.7 42.3 51.2 25.4
    135.2 41.7 45.9 17.2
    222.4 4.3 49.8 11.7
    296.4 36.3 100.9 23.8
    280.2 10.1 21.4 14.8
    187.9 17.2 17.9 14.7
    238.2 34.3 5.3 20.7
    137.9 46.4 59 19.2
    25 11 29.7 7.2
    90.4 0.3 23.2 8.7
    13.1 0.4 25.6 5.3
    255.4 26.9 5.5 19.8
    225.8 8.2 56.5 13.4
    241.7 38 23.2 21.8
    175.7 15.4 2.4 14.1
    209.6 20.6 10.7 15.9
    78.2 46.8 34.5 14.6
    75.1 35 52.7 12.6
    139.2 14.3 25.6 12.2
    76.4 0.8 14.8 9.4
    125.7 36.9 79.2 15.9
    19.4 16 22.3 6.6
    141.3 26.8 46.2 15.5
    18.8 21.7 50.4 7
    224 2.4 15.6 11.6
    123.1 34.6 12.4 15.2
    229.5 32.3 74.2 19.7
    87.2 11.8 25.9 10.6
    7.8 38.9 50.6 6.6
    80.2 0 9.2 8.8
    220.3 49 3.2 24.7
    59.6 12 43.1 9.7
    0.7 39.6 8.7 1.6
    265.2 2.9 43 12.7
    8.4 27.2 2.1 5.7
    219.8 33.5 45.1 19.6
    36.9 38.6 65.6 10.8
    48.3 47 8.5 11.6
    25.6 39 9.3 9.5
    273.7 28.9 59.7 20.8
    43 25.9 20.5 9.6
    184.9 43.9 1.7 20.7
    73.4 17 12.9 10.9
    193.7 35.4 75.6 19.2
    220.5 33.2 37.9 20.1
    104.6 5.7 34.4 10.4
    96.2 14.8 38.9 11.4
    140.3 1.9 9 10.3
    240.1 7.3 8.7 13.2
    243.2 49 44.3 25.4
    38 40.3 11.9 10.9
    44.7 25.8 20.6 10.1
    280.7 13.9 37 16.1
    121 8.4 48.7 11.6
    197.6 23.3 14.2 16.6
    171.3 39.7 37.7 19
    187.8 21.1 9.5 15.6
    4.1 11.6 5.7 3.2
    93.9 43.5 50.5 15.3
    149.8 1.3 24.3 10.1
    11.7 36.9 45.2 7.3
    131.7 18.4 34.6 12.9
    172.5 18.1 30.7 14.4
    85.7 35.8 49.3 13.3
    188.4 18.1 25.6 14.9
    163.5 36.8 7.4 18
    117.2 14.7 5.4 11.9
    234.5 3.4 84.8 11.9
    17.9 37.6 21.6 8
    206.8 5.2 19.4 12.2
    215.4 23.6 57.6 17.1
    284.3 10.6 6.4 15
    50 11.6 18.4 8.4
    164.5 20.9 47.4 14.5
    19.6 20.1 17 7.6
    168.4 7.1 12.8 11.7
    222.4 3.4 13.1 11.5
    276.9 48.9 41.8 27
    248.4 30.2 20.3 20.2
    170.2 7.8 35.2 11.7
    276.7 2.3 23.7 11.8
    165.6 10 17.6 12.6
    156.6 2.6 8.3 10.5
    218.5 5.4 27.4 12.2
    56.2 5.7 29.7 8.7
    287.6 43 71.8 26.2
    253.8 21.3 30 17.6
    205 45.1 19.6 22.6
    139.5 2.1 26.6 10.3
    191.1 28.7 18.2 17.3
    286 13.9 3.7 15.9
    18.7 12.1 23.4 6.7
    39.5 41.1 5.8 10.8
    75.5 10.8 6 9.9
    17.2 4.1 31.6 5.9
    166.8 42 3.6 19.6
    149.7 35.6 6 17.3
    38.2 3.7 13.8 7.6
    94.2 4.9 8.1 9.7
    177 9.3 6.4 12.8
    283.6 42 66.2 25.5
    232.1 8.6 8.7 13.4
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  • 线性回归模型建模步骤 (一元线性回归、多元线性回归
  • 多元线性回归分析预测 多元线性回归分析预测法概述 多元线性回归的计算模型 多元线性回归模型的检验 多元线性回归分析预测法案例分析
  • 本章的凸集间交互投影的迭代算法求线性模型的最小二乘通解,在数学上有一定...资料变换回归特意设了差分变换,软件还能自动显示多元线性回归二维拟合效果图及多元多项式回归的三维立体直观图,给实际工作尽量带来方便。
  • 大家好,我是天空之城,今天给大家带来小福利,带你快速了解一元线性回归方程...多元线性回归模型的系数推导 线性回归模型的假设检验 假设前提 p小于0.3可能不符合线性相关 =============================

    大家好,我是天空之城,今天给大家带来小福利,带你快速了解一元线性回归方程模拟和多元线性回归方程模拟
    主要用来进行数据的相关性分析
    之前在研究生阶段用过一个叫origin的数据处理软件,只要是科研数据都可以用这个软件进行快速的分析处理,绘图和模拟等操作,那么咱们的Python同样也是具有这个模拟功能的哦

    1. 一元线性回归模型的介绍与应用
    2. 多元线性回归模型的系数推导
    3. 线性回归模型的假设检验
    4. 假设前提

    在这里插入图片描述
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    p小于0.3可能不符合线性相关

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    =========================================
    多元线性回归模型

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  • 多元线性回归模型.ppt

    2009-08-17 20:35:10
    多元线性回归模型.ppt 多元线性回归模型.ppt
  • python源码集锦-多元线性回归模型预测房价
  • 多元线性回归模型评估You’ve got a sample dataset and just finished working on a machine learning algorithm using the linear regression model. But now, you are wondering whether or not your analysis ...

    多元线性回归模型评估

    You’ve got a sample dataset and just finished working on a machine learning algorithm using the linear regression model. But now, you are wondering whether or not your analysis and prediction of the data are accurate, statistically significant, and provides relevant insights needed to solve the problem.

    您已经有了一个样本数据集,并使用线性回归模型完成了机器学习算法的研究。 但是现在,您想知道对数据的分析和预测是否准确,具有统计意义,并提供解决问题所需的相关见解。

    There are a number of metrics used in evaluating the performance of a linear regression model. They include:

    在评估线性回归模型的性能时使用了许多指标。 它们包括:

    • R-Squared: seldom used for evaluating model fit

      R平方:很少用于评估模型拟合

    • MSE (Mean Squared Error): used for evaluating model fit

      MSE(均方误差):用于评估模型拟合

    • RMSE (Root Mean Squared Error): always used for evaluating model fit

      RMSE(均方根误差):始终用于评估模型拟合

    Let us take a look at each of these metrics, shall we?

    让我们看看这些指标中的每一个,对吗?

    R-SQUARED:

    R平方

    • is also known as the coefficient of determination

      也称为确定系数
    • measures the percentage of variation in the response (dependent) variable explained by the predictor in the predictor (independent) variable.

      测量预测变量(独立变量)中预测变量解释的响应(因变量)变化的百分比。
    • has values between 0 and 1 for every single regression. Where values between 0.3 and 0.5 refer to a weak r-squared, 0.5 and 0.7 refers to a moderate r-squared, and values > 0.7 refer to a strong r-squared.

      每一次回归的值都在0到1之间。 其中介于0.3和0.5之间的值表示弱r平方介于0.5和0.7之间的表示中等r平方,大于0.7的表示强r平方。

    • values > 0.7 means that 70% of the variation is around its mean

      值> 0.7表示70%的变化均在其平均值附近
    • the higher the r-squared, the better the model fits your data (there is a caveat to this…) because there is a possibility of having a low r-squared value for a good model and vice-versa

      r平方越高,则模型越适合您的数据(对此有警告)…,因为对于一个好的模型而言,r平方值可能较低,反之亦然

    • is a relative measure of model fit. This means they are not a good measure to determine how well a model fits the data.

      是模型拟合的相对度量。 这意味着它们并不是确定模型拟合数据的好方法。
    • is sometimes considered as statistically insignificant.

      有时被认为在统计上微不足道。
    • sklearn module : sklearn.metrics.r2_score

      sklearn模块: sklearn.metrics. r2_score sklearn.metrics. r2_score

    • mathematical formula:

      数学公式:
    Image for post
    R-Squared Formula
    R平方公式

    Mean Squared Error (MSE):

    均方误差(MSE):

    • measures the average of the squared difference between the observed value and the actual value.

      测量观察值与实际值之间平方差的平均值。
    • is an absolute measure of model fit.

      是模型拟合的绝对度量。
    • a value of 0 indicates a perfect fit, this means that the data predict the outcome accurately, however in most cases, it is hardly ever so.

      值为0表示完美契合,这意味着数据可以准确地预测结果,但是在大多数情况下,很难做到这一点。
    • sklearn module: sklearn.metrics.mean_squared_error

      sklearn模块: sklearn.metrics. mean_squared_error sklearn.metrics. mean_squared_error

    • mathematical formula:

      数学公式:
    Image for post
    MSE Formula
    MSE公式

    It is important to understand that

    重要的是要了解

    Image for post
    Residuals
    残差

    Residuals:

    残留物:

    • is the difference between the actual value and the predicted value

      是实际值与预测值之差
    • used to check the validity of a model and if assumptions or hypothesis are to be considered

      用于检查模型的有效性以及是否要考虑假设或假设
    • should be random (i.e has no pattern)

      应该是随机的(即没有模式)
    • example of a good residual is a scatter plot with residuals centered around 0

      良好残差的示例是散点图,残差的中心位于0附近
    • statsmodels module: RegressionResults.resid

      statsmodels模块: RegressionResults.resid

    Root Mean Squared Error (RMSE):

    均方根误差(RMSE):

    • is the measure of the distance between the actual values and the predicted value

      是实际值与预测值之间的距离的量度
    • the lower the RMSE the better the measure of fit. This means that there is little variation in the spread of data

      RMSE越低,拟合度越好。 这意味着数据传播几乎没有变化
    • is a good measure of how accurately the model predicts the target

      是衡量模型预测目标的准确性的好方法
    • is considered the best statistics to determine the relationship between the model and the response variable

      被认为是确定模型与响应变量之间关系的最佳统计数据
    • represents 1-Standard Deviation (residuals) between the actual value and the predicted values

      表示实际值和预测值之间的1-标准偏差(残差)
    • it measures the spread of the data points from the regression line.

      它从回归线测量数据点的分布。
    • using sklearn and math module to perform RMSE

      使用sklearn和数学模块执行RMSE
    rmse.py
    rmse.py
    • mathematical formula:

      数学公式:
    Image for post
    RMSE formula
    RMSE公式

    It is advisable to have an in-depth knowledge of statistics in order to familiarize yourself with concepts and models used in Data Science. Not sure where to start, this article should give you a headstart into the field of statistics.

    建议您具有深入的统计知识,以熟悉数据科学中使用的概念和模型。 不确定从哪里开始, 本文应该为您提供进入统计领域的先机。

    It is important to note that these metrics only apply in a regression model and not on a classification model. There are other performance measures that can be employed. I recently worked on a project (red wine quality dataset) and used some of the above metrics to evaluate the performance of my model. Can you tell if this metric performed well or poorly on the problem dataset and why?

    重要的是要注意,这些指标仅适用于回归模型,不适用于分类模型。 还有其他可采用的性能指标。 我最近从事一个项目(红酒质量数据集),并使用上述一些指标来评估我的模型的性能。 您能否说出该指标在问题数据集上的表现好坏,为什么?

    Now you know how to work effectively with your dataset using the linear regression model. Thank you for taking the time out to read.

    现在,您知道了如何使用线性回归模型有效地使用数据集。 感谢您抽出宝贵的时间阅读。

    翻译自: https://medium.com/dev-genius/metrics-for-evaluating-linear-regression-models-36df305510d9

    多元线性回归模型评估

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空空如也

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多元线性回归模型的一般形式