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  • 2019-08-10 22:07:21

    终于找到一篇全面而又简洁的讲多元线性回归模型检验方法的文章
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    具体内容

    一、经济意义检验

    经济意义检验主要检验模型参数估计量在经济意义。其表现为检验求得的参数估计值的符号与大小是否合理,是否与根据人们的经验和经济理论所拟定的期望值相符合。如果不符,则要查找原因和采取必要的修正措施,重新建立模型。

    二、统计检验

    1.拟合优度检验(${R^2}$检验) 拟合优度检验是检验回归方程对样本观测值的拟合程度,即检验所有解释变量与被解释变量之间的相关程度。

    2.方程显著性检验(F检验)
    方程显著性检验就是对模型中解释变量与被解释变
    量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。即
    检验被解释变量Y与所有解释变量戈l,石2,……,菇^之间
    的线性关系是否显著,方程显著性检验所应用的方法是
    数理统计学中假设检验。

    3.变量显著性检验(t检验)
    R2检验和F检验都是将所有的解释变量作为一个整体来检验它们与被解释变量Y的相关程度以及回归效果,但对于多元回归模型,方程的总体显著性并不意味每个解释变量对被解释变量Y的影响都是显著的。如果某个解释变量并不显著,则应该从方程中把它剔除,重新建立更为简单的方程。所以必须对每个解释变量进行显著性检验。

    三、计量经济学检验

    计量经济学检验是由计量经济学理论决定的,目的 在于检验模型的计量经济学性质。通常检验准则有随机 误差项的序列相关检验和异方差性检验,解释变量的多 重共线性检验等,其中最常用的是随机误差项的序列相 关检验。 在回归分析法中,假设随机误差项在不同的样本点 之间是不相关的,即si与8i(i≠_『)相互独立。但在实际 问题中,经常出现与此相违背的情况,占i与si(i≠.『)之 间存在相关性,称为序列相关。若存在序列相关,则此时 的回归模型无效,必须重新建立回归模型。 在序列相关中,最常见的是一阶自相关即占i与sf+l 相关,而对一阶自相关最常用的检验方法是DW检验法

    模型预测检验

    预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及相对样本容量变化时的灵敏度,确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围,即模型的所谓超样本特性。具体检验方法为:

    ①利用扩大了的样本重新估计模型参数,将新的估计值与原来的估计值进行比较,并检验二者之间差距的显著性。
    ②将所建立的模型用于样本以外某一时期的实际预测,并将该预测值与实际观测值进行比较,并检验二者之间差距的显著性。

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    其实上一篇讨论的多元线性回归还不是很全面,而且训练和测试集都没有分,在这里继续讨论多元线性回归模型检验的相关问题。 多元线性回归的输出变量是连续变量,输入变量中如果包含离散变量需要做哑变量或One-hot编码...

    https://editor.csdn.net/md/?articleId=105137945
    其实上一篇讨论的多元线性回归还不是很全面,而且训练和测试集都没有分,在这里继续讨论多元线性回归模型检验的相关问题。

    只要有P值的出现,样本量不超过5000,比如线性回归和逻辑回归;搞清楚算法背后的逻辑才是比较重要的。

    多元线性回归需要关注一些什么点?R2和模型稳定性,也就是那些β是不是稳定的,检验模型是不是稳定需要对模型进行诊断。

    多元线性回归的输出变量是连续变量,输入变量中如果包含离散变量需要做哑变量或One-hot编码,连续变量可以直接用来建模。

    多元线性回归假设解释

    多元线性回归需要满足的假设其实是比较强的,但是在机器学习或者是数据挖掘领域,后3条针对误差项(其实就是残差)的假设基本上被忽略了。
    第1条: 看因变量y和自变量x之间的关系,可以通过绘制散点图,确定是线性、二次函数还是指数函数关系,根据这个来建立x和y之间的关系。后面的神经网络和SVM等模型就是为了方便找到x和y之间的关系。
    第2条: 解释变量和随机扰动项不存在线性关系。我们想象一下,如果他们之间存在线性关系的话,是不是会导致回归系数估计的不准确啊,举个例子解释变量y是收入,x是受教育程度,并假设回归方程是 y = 0.5x + e,设想如果扰动项里面包含父母收入,实际上父母收入会影响孩子的收入y,那么回归系数估计值0.5是不是偏高了啊。那怎么解决这个问题呢,那就多纳入一些变量来参与建模吧,这也是多元线性回归存在的必要性,同时这也引出了一个变量筛选的问题。
    第3条:解释变量之间不存在线性关系(或强相关)。在建模时,我们不但需要估计回归系数的均值,还需要估计回归系数的标准差:S(β)= S(e)/ |x|,那么如果解释变量x之间存在线性关系的话,分母趋向于0了,回归系数标准差趋于无穷大,所以多重共线性问题是需要去避免的。

    多元线性回归诊断方法

    如果扰动项是右偏,那么残差图肯定是异方差分布,取对数即可,所以下图中假设5和假设4可以说是一致的。
    在这里插入图片描述

    多元线性回归模型的诊断

    (1)残差分析:实际上当残差不包含任何信息的时候是最好的,如果还包含一些信息,需要把这个信息提取出来。残差图的纵坐标是残差,横坐标可以是各个解释变量x,实际上在做单变量分析,解释变量x被解释变量y做相关性分析的时候就知道了;比如某个解释变量x和被解释变量y都是右偏,那么残差图肯定是异方差,同时取对数重新建模;如果某个解释变量x和被解释变量y存在抛物线关系,那么加入二次项重新进行建模;自相关一般在时间序列数据中比较常见。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (2)强影响点分析
    为什么要做强影响点分析???因为有了强影响点的存在之后,会把本来没有关系的数据带出关系来,而且这个关系特别不稳定。比如下图,本来数据点之间没有什么关系,但是因为强影响点的存在之后,给数据带出来了这么一个线性关系出来,但这个关系是非常不稳定的,不具有大众性。
    在这里插入图片描述
    怎么解决强影响点分析问题???学生化残差(只做一次)。

    |SR| = (残差 - 残差均值) / 残差标准差。
    |SR| > 2,剔除掉满足条件的记录(几百个样本)
    |SR| > 3,剔除掉满足条件的记录(几千个样本)

    (3)共线性问题
    可以参考下面的链接:https://www.sohu.com/a/326904117_100103806
    共线性的判别指标:膨胀系数VIF、相关系数
    共线性的解决方法:根据VIF和相关系数手动剔除变量、逐步回归法、岭回归。

    展开全文
  • 多元线性回归模型

    千次阅读 2022-05-14 18:32:20
    多元回归模型是描述一个因变量与多个自变量之间的相关关系。如果这个关系是线性的,则可以采用线性多元回归模型来描述。反之,则用非线性多元回归模型。对于多元线性模型而言,因变量若为连续型变量,则采用普通的...

            多元回归模型(multivariate regression model)是描述一个因变量与多个自变量之间的相关关系。如果这个关系是线性的,则可以采用线性多元回归模型来描述。反之,则用非线性多元回归模型。对于多元线性模型而言,因变量若为连续型变量,则采用普通的线性模型;若因变量为离散型变量(类型变量或计数变量),则需采用广义多元线性模型。下面就线性模型展开说明讲解。

    一、普通多元线性模型

            我们选用一个例子来讲述普通多元线性回归模型。

    e.g. 计量经济学涉及数学、统计学、经济学的知识,还要借助软件完成计算分析。因此对于很多同学来说,计量经济学是一门特别容易挂科的课程。大学教授Mr.Li想研究大学生计量经济学考试成绩与其影响因素之间的关系,根据初步分析,他认为学生的计量经济学考试成绩y与学生的微积分成绩x1,线性代数成绩x2,统计学成绩x3,大学计算机成绩x4,西方经济学成绩x5有相关关系。对此他抽取36名学生成绩进行分析。数据网盘提取码:d1d8

            我们可以简单将模型写为:y_i=\beta_0+\beta_1x_i_1+\cdots+\beta_5x_i_5+\epsilon _i,i=1,2,\cdots,n

    其中\epsilon_i\sim {N(0,\sigma^{2})},模型可以视为一个普通正态线性模型。在正态假定下,如果X^TX是满秩的(矩阵的满秩与可逆),则参数\beta的最小二乘估计为:

    {\hat{\beta}}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y

    于是y 的估计值为:

    {\hat{y}}=X{\hat{\beta}}

    残差e=y-{\hat{y}}=y-X{\hat{\beta}},则随机误差方差\sigma^2的最小二乘估计为:

    {\hat{\sigma}^2}=\frac{e^Te}{n-p-1}

    对于多元线性模型而言,我们是需要找到最合适的模型参数\beta_i ,使得残差平方和达到最小。


     二、回归方程的显著性检验

            从回归系数的最小二乘估计{\hat{\beta_0}},\cdots,{\hat{\beta_5}}可以看出,对任意给定的n对数据(x_i,y_i),都可以求出{\hat{\beta_0}},\cdots,{\hat{\beta_5}},从而给出回归方程y_i=\beta_0+\beta_1x_i_1+\cdots+\beta_5x_i_5+\epsilon _i,i=1,2,\cdots,n,但是这样给出的回归方程不一定有意义。
      在使用回归方程作进一步的分析以前,首先应对回归方程是否有意义进行判断,什么叫回归方程有意义呢?我们知道,建立回归方程的目的是寻找y的均值随x变化的规律,即找出回归方程y_i=\beta_0+\beta_1x_i_1+\cdots+\beta_5x_i_5+\epsilon _i,i=1,2,\cdots,n,如果\beta_i=0,i=1,\cdots,5,那么不管x如何变化,E(y)不随x的变化作线性变化,那么这时求得的线性回归方程就没有意义,称回归方程不显著。如果\beta_i\neq 0,那么当x变化时,E(y)x的变化作线性变化,那么这时求得的回归方程就有意义,称回归方程是显著的
      综上,对回归方程是否有意义作判断就是要作如下的显著性检验H_0:\beta_i= 0;H_1:\beta\neq0,拒绝H_0表示回归方程是显著的。


            对回归方程有以下几种显著性的检验方法:F检验,t检验

    2.1 F检验

            F检验是对方程整体的显著性进行检验,即所有变量对被解释变量的显著性检验。

    2.2 t检验

            t检验是对单个变量的显著性检验,一般是看p值。如果p值小于0.05表示该自变量对因变量解释性很强。t检验值大于0.05则该变量显著,反之不显著。

            t检验回归系数是否等于某一特定值,在回归方程中这一特定值为0,因此t值=回归系数/回归系数的标准误差因此t值的正负应该与回归系数的正负一致,回归系数的标准误差越大,t值越小,回归系数的估计值越不可靠,越接近于0。另外,回归系数的绝对值越大,t值的绝对值越大。

            我们查看一下所举的例子。

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.linear_model import LinearRegression as LM
    import statsmodels.api as sm 
    data=pd.read_csv("eg2.1.csv")
    data.head()
    d={'x1':data['x1'],'x2':data['x2'],'x3':data['x3'],'x4':data['x4'],'x5':data['x5'],'y':data['y']}
    md=sm.formula.ols('y~x1+x2+x3+x4+x5',d).fit()
    print(md.summary())

            输出结果为

            由输出结果我们可以看到,模型的p值为9.36\times{10^{-14}},明显小于0.05,因此我们认为方程式显著的。模型的拟合优度R^2=0.895,调整后的拟合优度R^2=0.877

            整体回归方程拟合优度检验,R方的结果越接近于1越好,但是R方会因增加变量而增大,所以引进了调整R方检验。

            在进行多元线性回归时,常用到的是F检验和t检验,F检验是用来检验整体方程系数是否显著异于零,如果F检验的p值小于0.05,就说明,整体回归是显著的。然后再看各个系数的显著性,也就是t检验,计量经济学中常用的显著性水平为0.05,如果t值大于2或p值小于0.05就说明该变量前面的系数显著不为0,选的这个变量是有用的。

    三、多重共线性

            但是模型的相关系数为4.15\times10^3,说明变量之间的相关性很高,即变量之间存在多重共线性。因此我们需要对变量进行调整,消除多重共线性。

    3.1 多重共线性的影响

            在进行线性回归分析时,自变量即解释变量很容易出现共线性问题。当出现共线性问题时,可能导致回归系数的符号与实际情况完全相反,本应该显著的自变量不显著,本不显著的自变量却呈现出显著性;共线性问题会导致数据研究出来严重偏差甚至完全相反的结论,因而需要解决此问题。

    3.2 多重共线性产生的原因

            多重共线性问题就是说一个解释变量的变化引起另一个解释变量地变化。如果各个自变量x之间有很强的线性关系,就无法固定其他变量了,就找不到x和y之间真实的关系了。通俗地讲共线性是指,自变量X(解释变量)影响因变量Y(被解释变量)的时候,多个X之间本身就存在很强的相关关系,即X之间有着比较强的替代性,因而导致共线性问题。

    3.3 消除多重共线性

    对于如何消除多重共线性,请查看下一章《解决多元线性回归的多重共线性问题》

    展开全文
  • 多元线性回归模型是一种简单而且有效的数学模型,一直在各领域广泛使用。一个多元回归模型建好后,如何评价模型的优劣呢?1. F值检验因变量的总变异(数据与均值之差的平方和,记为SStotal)由回归平方和(因变量的变异...

    多元线性回归模型是一种简单而且有效的数学模型,一直在各领域广泛使用。一个多元回归模型建好后,如何评价模型的优劣呢?

    1. F值检验

    因变量的总变异(数据与均值之差的平方和,记为SStotal)由回归平方和(因变量的变异中可以由自变量解释的部分,记为SSR)与误差平方和(记为SSE)构成,如果自变量引起的变异大于随机误差引起的变异,则说明因变量与至少一个自变量存在线性关系。回归平方和与误差平方和的比值记为F,F值服从F分布,通过查F分布概率表可得F值对应的概率,从而判断是否存在统计学意义。F值越大越好。

    2. 偏回归系数检验

    通过了F检验只说明因变量至少和一个自变量存在线性关系,但不是所有x都跟y存在线性关系。对每个变量的回归系数分别作t检验,假设回归系数为0,得到的概率值越小越好,一般取0.05作为临界值。

    3. 标准化偏回归系数

    y和x均经过标准化,均值为0,标准差为1,此时的回归结果常数项为0.消除了量纲的影响,更能直观表示自变量对因变量的影响。如果某项回归系数接近0,则说明该自变量与因变量的不具有线性关系,应当剔除。

    4. 复相关系数R

    指的是因变量与因变量的估计值(回归后得出的值)之间的简单线性相关系数,范围在0-1之间,一般来说,R值应大于0.9,但在某些社会科学研究中只要求R大于0.4,这是因为在社会科学研究中存在大量对因变量有影响却无法进行量化的因数,无法纳入模型研究。值得注意的是,即使向模型增加的变量没有统计学意义,R值也会增加,所以R值只作为参考。

    5. 决定系数R2

    因变量总变异中由模型中自变量解释部分的比例。也是越大越好,但是存在与R同样的问题。

    R2=SSR/SStotal=1-SSE/SStotal

    6.校正的决定系数R2adj

    将自变量的个数纳入了考量范围,解决了R2 的局限性,不会随着自变量的增加而增加。当模型中增加的自变量缺乏统计学意义时,校正的决定系数会减小。该项系数越大越好。

    R2adj=1-(n-1)(1- R2)/(n-p-1) n表示样本量,p表示模型中自变量个数

    7.剩余标准差

    误差均方的算术平方根,该值应明显小于因变量的标准差,越小越好。说明在引入模型自变量后,因变量的变异明显减小。

    8. 赤池信息准则AIC

    包含两部分,一部分反映拟合精度,一部分反映模型繁简程度(自变量个数越少模型越简洁),该值越小越好。值得注意的是,用最小二乘法拟合模型与用最大似然估计拟合的模型,其AIC计算方法是不一样的,所以用AIC进行模型比较时应注意拟合的方法是相同的才行。

    最小二乘法拟合时:AIC=nln(SSE/n)+2p

    最大似然估计拟合时:AIC=-2ln(L)+2p L为模型的最大似然函数

    以上8种数据很多统计软件都能方便地输出。

    9.预测效果

    在数据量较大时,可留一部分数据用作预测,根据预测结果判断模型优劣。

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