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  • 只是python代码方便以后调用,理论部分需要看其他人的回归模型的预测import matplotlibimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdimport numpy as npimport seaborn as snsimport statsmodels.api as sm...

    只是python代码方便以后调用,理论部分需要看其他人的

    回归模型的预测

    import matplotlib

    import matplotlib.pyplot as plt

    import pandas as pd

    import numpy as np

    import seaborn as sns

    import statsmodels.api as sm

    from sklearn import model_selection

    from scipy.stats import f

    from scipy.stats import norm

    font = {

    'family': 'FangSong',

    'weight': 'bold',

    'size': 12

    }

    matplotlib.rc("font", **font)

    Profit = pd.read_excel("../data/Predict to Profit.xlsx", names=list("abcde"))

    '''

    RD_Spend 49 non-null float64

    Administration 49 non-null float64

    Marketing_Spend 49 non-null float64

    State 49 non-null object

    Profit 49 non-null float64

    '''

    print(Profit.shape)

    # 将数据拆分成训练集和测试集

    train, test = model_selection.train_test_split(Profit, test_size=0.2, random_state=1234)

    # 根据train数据集建模

    model = sm.formula.ols('e ~ a+b+c+C(d)', data=train).fit()

    # 删除test集中的Profit变量,用剩下的自变量进行预测

    test_X = test.drop(labels='e', axis=1)

    pred = model.predict(exog=test_X)

    # 对比预测值和实际值的差异

    print(pd.DataFrame({

    'pred': pred,

    'real': test.e

    }))

    模型的显著性检验 F检验

    # 计算建模数据中因变量的均值

    ybar = train.e.mean()

    # 统计变量个数和观测个数

    p = model.df_model # 变量个数

    n = train.shape[0] # 观测个数

    # 计算回归离差平方和

    RSS = np.sum((model.fittedvalues - ybar) ** 2)

    # 计算误差平方和

    ESS = np.sum((train.e - model.fittedvalues) ** 2)

    # 计算F统计量的值

    F = (RSS/p)/(ESS/(n - p - 1))

    # 直接得到F统计量值

    F1 = model.fvalue

    print(F)

    # 对比结果下结论

    # 计算F分布的理论值

    F_Theroy = f.ppf(q=0.95, dfn=p, dfd=n-p-1)

    print(F_Theroy)

    回归系数的显著性检验 t检验

    print(model.summary())

    P>|t|的值小于0.05才有用

    回归模型的诊断

    ①误差项ε服从正态分布

    误差项服从正太分布,就是要求因变量服从正态分布

    绘制直方图

    sns.distplot(a=Profit.e, bins=10, norm_hist=True, fit=norm,

    hist_kws={'color': 'steelblue'},

    kde_kws={'color': 'black', 'linestyle': '--', 'label': '核密度图'},

    fit_kws={'color': 'red', 'linestyle': ':', 'label': '正态密度曲线'})

    plt.legend()

    # 显示图形

    plt.show()

    ②无多重共线性

    关于多重共线性的检验可以使用方差膨胀因子VIF来鉴定,如果VIF大于10,则说明变量间存在多重共线性;如果VIF大于100,则表名变量间存在严重的多重共线性如果发现变量之间存在多重共线性的话,则可以考虑删除变量或重新选择模型

    # 导入statsmodel模块函数

    from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor

    # 自变量X(包含RD_Speed、Marketing_Speed和常数列1)

    X = sm.add_constant(Profit.ix[:, ['a', 'c']])

    # 构造空的数据框,用于存储VIF值

    vif = pd.DataFrame()

    vif['features'] = X.columns

    vif['VIF Factor'] = [variance_inflation_factor(X.values, i) for i in range(X.shape[1])]

    print(vif)

    ③线性相关性

    高度相关:|p| >= 0.8

    中度相关:0.5 <= |p| <0.8

    弱相关:0.3 <= |p| < 0.5

    几乎不相关:|p| < 0.3

    相关性越大越好

    # 计算数据集Profit中每个自变量与因变量利润之间的相关系数

    res = Profit.drop(labels=['e'], axis=1).corrwith(Profit.e)

    print(res)

    # 绘制散点图矩阵

    sns.pairplot(Profit.loc[:, ['a', 'b', 'c', 'e']])

    plt.show()

    综合考虑相关系数、散点图矩阵和t检验的结果,最终确定只保留模型model中的a(RD_Speed)和c(Marketing_Speed)两个自变量重新对该模型做修正

    model2 = sm.formula.ols('e ~ a + c', data=train).fit()

    # 模型回归系数的估计值 e = 51902.112471 + 0.79*a + 0.02*c

    print(model2.params)

    异常值检验

    通常利用帽子矩阵、DFFITS准则、学生化残差或Cook距离进行异常点检测

    outliers = model2.get_influence()

    # 高杠杆值点(帽子矩阵)

    leverage = outliers.hat_matrix_diag

    # diffits值

    dffits = outliers.dffits[0]

    # 学生化残差

    resid_stu = outliers.resid_studentized_external

    # cook距离

    cook = outliers.cooks_distance[0]

    # 合并各种异常值检验的统计量值

    contat1 = pd.concat([pd.Series(leverage, name='leverage'), pd.Series(dffits, name='dffits'),

    pd.Series(resid_stu, name='resid_stu'), pd.Series(cook, name='cook')], axis=1)

    # 重设train数据的行索引

    train.index = range(train.shape[0])

    # 将上面的统计量与train数据集合并

    profit_outliers = pd.concat([train, contat1], axis=1)

    print(profit_outliers.head())

    # 为了简单起见,这里使用标准化残差,当标准化残差大于2时,即认为对应的数据点为异常点

    outliers_ratio = sum(np.where((np.abs(profit_outliers.resid_stu) > 2), 1, 0))/profit_outliers.shape[0]

    print(outliers_ratio)

    # 异常比例不高,低于5%,可以考虑删除

    # 挑选非异常观测点

    none_outliers = profit_outliers.loc[np.abs(profit_outliers.resid_stu) <= 2, :]

    # 应用无异常值的数据集重新建模

    model3 = sm.formula.ols('e ~ a + c', data=none_outliers).fit()

    print(model3.params)

    方差齐性检验

    方差齐性是要求模型残差项的方差不随自变量的变动而呈现某种趋势,否则,残差的趋势就可以被自变量刻画。

    # 设置第一张子图的位置

    ax1 = plt.subplot2grid(shape=(2, 1), loc=(0, 0))

    # 绘制散点图

    ax1.scatter(none_outliers.a, (model3.resid - model3.resid.mean())/model3.resid.std())

    # 添加水平参考线

    ax1.hlines(y=0, xmin=none_outliers.a.min(), xmax=none_outliers.a.max(), colors='red', linestyles='--')

    # 添加x轴和y轴标签

    ax1.set_xlabel('RD_Spend')

    ax1.set_ylabel('Std_Residual')

    # 设置第二张子图的位置

    ax2 = plt.subplot2grid(shape=(2, 1), loc=(1, 0))

    # 绘制散点图

    ax2.scatter(none_outliers.c, (model3.resid - model3.resid.mean())/model3.resid.std())

    # 添加水平参考线

    ax2.hlines(y=0, xmin=none_outliers.c.min(), xmax=none_outliers.c.max(), colors='red', linestyles='--')

    # 添加x轴和y轴标签

    ax2.set_xlabel('Marketing_Spend')

    ax2.set_ylabel('Std_Residual')

    # 调整子图之间的水平间距和高度间距

    plt.subplots_adjust(hspace=0.6, wspace=0.3)

    # 显示图形

    plt.show()

    # 回归模型的预测

    pred3 = model3.predict(exog=test.loc[:, ['a', 'c']])

    # 绘制预测值与实际值的散点图

    plt.scatter(x=test.e, y=pred3)

    # 添加斜率为1、截距项为0的参考线

    plt.plot([test.e.min(), test.e.max()], [test.e.min(), test.e.max()], color='red', linestyle='--')

    # 添加轴标签

    plt.xlabel('实际值')

    plt.ylabel('预测值')

    # 显示图形

    plt.show()

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  • 大家好,我是天空之城,今天给大家带来小福利,带你快速了解一元线性回归方程...多元线性回归模型的系数推导 线性回归模型的假设检验 假设前提 p小于0.3可能不符合线性相关 =============================

    大家好,我是天空之城,今天给大家带来小福利,带你快速了解一元线性回归方程模拟和多元线性回归方程模拟
    主要用来进行数据的相关性分析
    之前在研究生阶段用过一个叫origin的数据处理软件,只要是科研数据都可以用这个软件进行快速的分析处理,绘图和模拟等操作,那么咱们的Python同样也是具有这个模拟功能的哦

    1. 一元线性回归模型的介绍与应用
    2. 多元线性回归模型的系数推导
    3. 线性回归模型的假设检验
    4. 假设前提

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    p小于0.3可能不符合线性相关

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    =========================================
    多元线性回归模型

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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  • 什么是回归分析相关性 ≠ 因果性 ...[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NKvCz36V-1600444325643)(figures/多元线性回归模型/image-20200824222649255.

    什么是回归分析?

    相关性 ≠ 因果性

    自变量Y:

    自变量X:

    回归分析的用处:

    这里要注意,因为涉及到不同自变量的权重,所以一般要去量纲,不然没意义。

    回归分析的分类:

    多元线性回归:

    不同数据的处理:

    • 横截面数据:多元线性回归
    • 时间序列数据:最常用的是ARMA

    横截面数据:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NKvCz36V-1600444325643)(figures/多元线性回归模型/image-20200824222649255.png)]

    时间序列数据:

    面板数据:

    数据的收集:

    【简道云汇总】110+数据网站

    虫部落数据搜索

    【汇总】数据来源/大数据平台

    大数据工具导航工具(http://hao.199it.com/)

    数据平台


    上面的数据多半都是宏观数据,微观数据市面上很少

    大家可以在人大经济论坛搜索

    一元线性回归:

    一元线性回归和一元线性函数拟合区别:

    定义不一样,本质是一样的

    对线性的理解:

    线性是对参数说的

    回归系数的解释:

    求系数很简单

    • 这里的yiy_iii是对每个个体而言,也可以去掉,转换成对总体而言

    内生性:

    无偏性和一致性

    uiu_i是什么?

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LXnSvChO-1600444325652)(figures/多元线性回归模型/image-20200824235144988.png)]

    蒙特卡洛验证是否有内生性:

    matlab:

    降低内生性要求:

    展开全文
  • 分析>-相关>-双变量>-拖入变量>-其他保持默认 输出结果 相关性 货运总量 工业总产值 农业总产值 居民非商品支出 货运总量 ...

    4.8 (1)计算y,X1,X2,X3的相关系数矩阵

    分析>-相关>-双变量>-拖入变量>-其他保持默认

    输出结果

    相关性

     

    货运总量

    工业总产值

    农业总产值

    居民非商品支出

    货运总量

    皮尔逊相关性

    1

    .556

    .731*

    .724*

    Sig.(双尾)

     

    .095

    .016

    .018

    个案数

    10

    10

    10

    10

    工业总产值

    皮尔逊相关性

    .556

    1

    .113

    .398

    Sig.(双尾)

    .095

     

    .756

    .254

    个案数

    10

    10

    10

    10

    农业总产值

    皮尔逊相关性

    .731*

    .113

    1

    .547

    Sig.(双尾)

    .016

    .756

     

    .101

    个案数

    10

    10

    10

    10

    居民非商品支出

    皮尔逊相关性

    .724*

    .398

    .547

    1

    Sig.(双尾)

    .018

    .254

    .101

     

    个案数

    10

    10

    10

    10

    *. 在 0.05 级别(双尾),相关性显著。

    每行皮尔逊相关性组成相关矩阵

                                              r=\begin{bmatrix} 1.000&0.556 & 0.731 &0.724 \\ 0.556& 1.000 &0.113 &0.398 \\ 0.731 & 0.113 &1.000 & 0.547\\ 0.724&0.398 & 0.547 &1.000 \end{bmatrix}

    (2)求y关于X1,X2,X3的三元线性回归方程

    分析>-回归>-线性>-拖入自变量因变量,其他保持默认

    输出结果

    系数a

    模型

    未标准化系数

    标准化系数

    t

    显著性

    B

    标准错误

    Beta

    1

    (常量)

    -348.280

    176.459

     

    -1.974

    .096

    工业总产值

    3.754

    1.933

    .385

    1.942

    .100

    农业总产值

    7.101

    2.880

    .535

    2.465

    .049

    居民非商品支出

    12.447

    10.569

    .277

    1.178

    .284

    a. 因变量:货运总量

    得到系数B列

    则三元线性回归方程为

                                     y=-348.280+3.754X_{1}+7.101X_{2}+12.447X_{3} 

    (3)对所求方程做拟合优度检验

    上面操作中也出现了

    模型摘要

    模型

    R

    R

    调整后 R 方

    标准估算的错误

    1

    .898a

    .806

    .708

    23.442

    a. 预测变量:(常量), 居民非商品支出, 工业总产值, 农业总产值

    调整后的决定系数为0.708,说明回归方程对样本观测值的拟合程度较好

    (4)对回归方程做显著性检验

     

    ANOVAa

    模型

    平方和

    自由度

    均方

    F

    显著性

    1

    回归

    13655.370

    3

    4551.790

    8.283

    .015b

    残差

    3297.130

    6

    549.522

     

     

    总计

    16952.500

    9

     

     

     

    a. 因变量:货运总量

    b. 预测变量:(常量), 居民非商品支出, 工业总产值, 农业总产值

    原假设:

                                                             H0:\beta 1=\beta 2=\beta 3=0 

    F统计量服从自由度为(3,6)的F分布,给定显著性水平

                                                                   \alpha =0.05 

    查表得

                                                             F_{0.05}(3,6)=4.76

    由方差分析表得F值=8.2834.76,P值等于0.015<显著性水平,落在拒绝域,拒绝原假设H0,说明在置信水平为95%下,回归方程显著。

    (5)对每一回归系数做显著性检验

    第二题中已经得到结果

    系数a

    模型

    未标准化系数

    标准化系数

    t

    显著性

    B

    标准错误

    Beta

    1

    (常量)

    -348.280

    176.459

     

    -1.974

    .096

    工业总产值

    3.754

    1.933

    .385

    1.942

    .100

    农业总产值

    7.101

    2.880

    .535

    2.465

    .049

    居民非商品支出

    12.447

    10.569

    .277

    1.178

    .284

    a. 因变量:货运总量

    做t 检验:设原假设为

                                                                 H0:\beta i=0 

    Ti统计量服从自由度n-p-1=10-3-1=6的t分布,给定显著性水平0.05,查得单侧检验临界值为1.943,

    X1的t值=1.942<1.943,接受原假设认为系数不显著,

    X2的t值为2.465>1.943,处在拒绝域,拒绝原假设,认为系数显著,

    X3的t值为1.178<1.943,接受原假设,认为系数不显著;

    在显著性水平α=0.05时,只有X2的P值检验<0.05,通过检验,即只有X2的回归系数较为显著,X1和X3的系数不显著

    (6)如果有回归系数没有通过显著性检验,将其剔除,重新建立回归方程,再做回归方程de显著性检验和回归系数的显著性检验

    估计模型参数,分析>-回归>-线性>-输入(后退)

    排除的变量a

    模型

    输入 Beta

    t

    显著性

    偏相关

    共线性统计

    容差

    2

    居民非商品支出

    .277b

    1.178

    .284

    .433

    .586

    a. 因变量:货运总量

    b. 模型中的预测变量:(常量), 工业总产值, 农业总产值

                 

     

     

     

    系数a

    模型

    未标准化系数

    标准化系数

    t

    显著性

    B

    标准错误

    Beta

    1

    (常量)

    -348.280

    176.459

     

    -1.974

    .096

    工业总产值

    3.754

    1.933

    .385

    1.942

    .100

    农业总产值

    7.101

    2.880

    .535

    2.465

    .049

    居民非商品支出

    12.447

    10.569

    .277

    1.178

    .284

    2

    (常量)

    -459.624

    153.058

     

    -3.003

    .020

    工业总产值

    4.676

    1.816

    .479

    2.575

    .037

    农业总产值

    8.971

    2.468

    .676

    3.634

    .008

    a. 因变量:货运总量

    函数方程为

                                              y=-459.624+4.676X_{1}+8.971X_{2}

     

     

    模型摘要

    模型

    R

    R

    调整后 R 方

    标准估算的错误

    1

    .898a

    .806

    .708

    23.442

    2

    .872b

    .761

    .692

    24.081

    a. 预测变量:(常量), 居民非商品支出, 工业总产值, 农业总产值

    b. 预测变量:(常量), 工业总产值, 农业总产值

     

    ANOVAa

    模型

    平方和

    自由度

    均方

    F

    显著性

    1

    回归

    13655.370

    3

    4551.790

    8.283

    .015b

    残差

    3297.130

    6

    549.522

     

     

    总计

    16952.500

    9

     

     

     

    2

    回归

    12893.199

    2

    6446.600

    11.117

    .007c

    残差

    4059.301

    7

    579.900

     

     

    总计

    16952.500

    9

     

     

     

    a. 因变量:货运总量

    b. 预测变量:(常量), 居民非商品支出, 工业总产值, 农业总产值

    c. 预测变量:(常量), 工业总产值, 农业总产值

     

    原假设:   H0:\beta 1=\beta 2=0 

    F服从自由度为(2,7)的F分布,给定显著性水平α=0.05,查表得F0.05(2,7)=4.74,由方差分析表F值=11.117>4.74,P值=0.007,拒绝原假设H0

    认为在显著性水平α=0.05下,X1,X2整体上对y有显著的线性影响,即回归方程是显著的。

     

    系数a

    模型

    未标准化系数

    标准化系数

    t

    显著性

    B

    标准错误

    Beta

    1

    (常量)

    -348.280

    176.459

     

    -1.974

    .096

    工业总产值

    3.754

    1.933

    .385

    1.942

    .100

    农业总产值

    7.101

    2.880

    .535

    2.465

    .049

    居民非商品支出

    12.447

    10.569

    .277

    1.178

    .284

    2

    (常量)

    -459.624

    153.058

     

    -3.003

    .020

    工业总产值

    4.676

    1.816

    .479

    2.575

    .037

    农业总产值

    8.971

    2.468

    .676

    3.634

    .008

    a. 因变量:货运总量

    做t 检验:设原假设为

                                                                 H0:\beta 1=0 

    Ti统计量服从自由度n-p-1=10-2-1=7的t分布,给定显著性水平0.05,查得单侧检验临界值为1.895,

    X1的t值=2.575>1.895,拒绝原假设,认为系数显著,

    X2的t值为3.634>1.895, 拒绝原假设,认为系数显著

    在显著性水平α=0.05时,X1,X2的P值检验<0.05,通过检验,即X1  X2的回归系数较为显著T检验与P值检验结果一致

     

    系数a

    模型

    未标准化系数

    标准化系数

    t

    显著性

    B 的 95.0% 置信区间

    B

    标准错误

    Beta

    下限

    上限

    1

    (常量)

    -348.280

    176.459

     

    -1.974

    .096

    -780.060

    83.500

    工业总产值

    3.754

    1.933

    .385

    1.942

    .100

    -.977

    8.485

    农业总产值

    7.101

    2.880

    .535

    2.465

    .049

    .053

    14.149

    居民非商品支出

    12.447

    10.569

    .277

    1.178

    .284

    -13.415

    38.310

    2

    (常量)

    -459.624

    153.058

     

    -3.003

    .020

    -821.547

    -97.700

    工业总产值

    4.676

    1.816

    .479

    2.575

    .037

    .381

    8.970

    农业总产值

    8.971

    2.468

    .676

    3.634

    .008

    3.134

    14.808

    a. 因变量:货运总量

    可得到置信区间

                                           \beta 1 的95%置信区间是[0.381,8.970]

                                          \beta 2 的95%置信区间是[3.134,14.808]

    由上表知道标准化后的回归方程为:

                                                     y*=0.479X_{1}*+0.676X_{2}*

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