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  • 多元线性回归拟合公式

    千次阅读 2018-10-31 21:43:07
  • 多元线性回归中的公式推导

    万次阅读 2018-04-03 11:34:38
    这次接着一元线性回归继续介绍多元线性回归,同样还是参靠周志华老师的《机器学习》,把其中我一开始学习时花了较大精力弄通的推导环节详细叙述一下。 本文用到的部分关于向量求导的知识可以参看博文标量、向量、...

    这次接着一元线性回归继续介绍多元线性回归,同样还是参靠周志华老师的《机器学习》,把其中我一开始学习时花了较大精力弄通的推导环节详细叙述一下。

    本文用到的部分关于向量求导的知识可以参看博文标量、向量、矩阵求导

    数据集 D={(x1,y1),(x2,y2)(xm,ym)} D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ⋯ ( x m , y m ) } ,其中 xi=[x(1)i,x(2)ix(d)i]T x i = [ x i ( 1 ) , x i ( 2 ) ⋯ x i ( d ) ] T 表示一条样本数据有 d d 个属性,我们的目标是寻找 d 维列向量 w w 和常数 b b ,使得模型

    (1)f(xi)=wTxi+b
    所得的预测值与真实值 yi y i 尽可能接近。

    我们可以采用一些小策略把式(2)统一用矩阵和向量表示,把常数 b b 放入权值向量 w 得到一个 (d+1) ( d + 1 ) 维的权值向量 w^=(w;b) w ^ = ( w ; b ) ,同时在每个样本实例中添加第 (d+1) ( d + 1 ) 个属性,置为 1 1 xi^=(xi;1)。将样本所有属性排列为矩阵可以得到:

    X=x1^x2^xm^ X = [ x 1 ^ x 2 ^ ⋮ x m ^ ]

    y=(y1,y2ym)T y = ( y 1 , y 2 ⋯ y m ) T ,同一元线性回归中最小化预测值与真实值误差平方和一样,在多元回归中我们要最小化
    ||yXw^||2 | | y − X w ^ | | 2


    w=argw^min(yXw^)T(yXw^) w ∗ = arg w ^ ⁡ min ( y − X w ^ ) T ( y − X w ^ )

    此处将最小化的目标函数视为 w^ w ^ 的“单变量”函数,令 h(w^)=(yXw^)T(yXw^) h ( w ^ ) = ( y − X w ^ ) T ( y − X w ^ ) ,求它的最小值只需其对 w^ w ^ 求导,导数值为 0 时 w^ w ^ 的取值即为所求。
    h(w^)w^=[(yXw^)T(yXw^)]w^=2(yXw^)Tw^(yXw^)=2yTw^(yXw^)2(Xw^)Tw^(yXw^)=02XT(yXw^)=2XT(Xw^y)(2)(3)(4)(5) ∂ h ( w ^ ) ∂ w ^ = ∂ [ ( y − X w ^ ) T ( y − X w ^ ) ] ∂ w ^ (2) = 2 ∂ ( y − X w ^ ) T ∂ w ^ ( y − X w ^ ) (3) = 2 ∂ y T ∂ w ^ ( y − X w ^ ) − 2 ∂ ( X w ^ ) T ∂ w ^ ( y − X w ^ ) (4) = 0 − 2 X T ( y − X w ^ ) (5) = 2 X T ( X w ^ − y )

    上述步骤(2)运用了 链接博文的式(9):
    这里写图片描述
    步骤(3)简单求导的拆分
    步骤(4)第一项中 yT y T w^ w ^ 无关,所以求导为0;第二项运用了 链接博文的式(6):
    这里写图片描述

    最后我们令式(5)为0,此时的 w^ w ^ 即为所求 w w ∗

    2XT(Xw^y)=2XTXw^2XTy=0XTXw^=XTyw^=(XTX)1XTyw=(XTX)1XTy ∵ 2 X T ( X w ^ − y ) = 2 X T X w ^ − 2 X T y = 0 ∴ X T X w ^ = X T y ∴ w ^ = ( X T X ) − 1 X T y ∴ w ∗ = ( X T X ) − 1 X T y

    至此,权值向量被样本集中的数据估计出来了,完成了学习任务,当然此处仍有有待解决的问题:方阵 XTX X T X 只有在满秩时才可逆,而这一条件并非所有学习任务均能满足,可以引进正则化等方法来选择非满秩时多解的 w^ w ^ 。这一点以后再写。

    下一篇准备写一下广义线性模型和逻辑回归,keep going!

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  • 多元线性回归方程原理及其推导

    万次阅读 多人点赞 2018-10-21 14:19:22
    多元线性方程原理及推导 概念 1.在统计学中,线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况...

    多元线性方程原理及推导

    概念

    1.在统计学中,线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归,大于一个自变量的情况叫多元回归。
    2.在线性回归中,数据使用线性预测函数来建模,并且未知的函数模型参数也是通过数据来估计。这种模型被叫做线性模型。最常用的线性回归建模是给定的X的条件下y的条件分布的分位数作为X的线性函数表示。像所有形式的回归分析一样,线性回归也是把焦点放在给定X的值的y的条件概率分布,而不是X和y的联合概率分布(多元分析领域)。

    公式

    一元线性回归方程:y=a+bx
    a称为截距
    b为回归直线的斜率
    在这里插入图片描述
    多元线性回归方程:y=b0+b1X1+b2X2+…+bnXn
    b0为常数项
    b1,b2,b3,…bn称为y对应于x1,x2,x3,…xn的偏回归系数

    推导

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    使用极大函数解释最小二乘
    在这里插入图片描述
    似然函数
    在这里插入图片描述
    高斯的对数似然与最小二乘
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    参数的解析式
    在这里插入图片描述

    总结

        自我认为多元线性方程的推导过程还是挺麻烦的,需要多看几遍。学习推导的过程中,我们要认识一些数学符号,一些方法,比如最小二乘,极大似然,梯度等等。
        事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的(比如:房子总价与房子面积,房间数,地段这些因素相关),由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。
    
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  • 使用最小二乘法计算多元线性回归公式推导

    万次阅读 多人点赞 2019-08-28 16:04:00
    机器学习-线性回归线性回归背景最小二乘法计算线性回归数据的准备把数据转换成数学损失函数根据损失函数计算最终结果总结 最近老师让我学习线性回归编程模型,此篇介绍使用最小二乘法实现单机器线性回归线性回归...


    最近老师让我学习线性回归编程模型,此篇介绍使用最小二乘法实现单机器线性回归。

    线性回归背景

    在生活中,我们常常会发现,一个现象可以由很多因素共同作用才会发生,我们把现象称为t,把影响它的因素1,因素2,因素三…因素m称为x1,x2…xm,把每个因素的影响权重称为w1,w2…wm。那么会存在一个现象,即 t=w1x1+w2x2+…+wm*xm。例如房价,受到地方,人口,银行,土地政策四个因素的共同作用,我们以全国三个城市的房价为例,即我手上一共有三组数据:

    城市省GDP人口流入量银行土地起拍房价
    石家庄3.6万亿40万4.35%80001.2万
    西安2.44万亿11万4.35%70001.3万
    天津1.88万亿0.78万4.35%1.5万3万

    假如我手上哈尔滨的相关数据,我需要根据我已知数据找到一个房价预测公式,该公式包含上述因素和因素对应权重,即 房价=因素1权重1+因素2权重2+…+因素m*权重m。 最后,我通过哈尔滨的一系列因素值,能够较为准确的预测出哈尔滨的房价。以上通过样例数据找各个因素的权重的过程就是线性回归。

    最小二乘法计算线性回归

    数据的准备

    因为我们要根据样例数据去预测未知结果,所以我们的样例数据格式为:

    样例数据最终结果因素1权重因素2权重因素m权重

    我们使用t(i)去记录第i个样例数据最终结果。
    我们使用(x(i,0),x(i,1),x(i,2)…x(i,m))表示第i组数据,一共n组数据。
    令w(j)表示第j个因素的权重。

    把数据转换成数学

    数据转换成数学

    损失函数

    损失函数(loss function)或代价函数(cost function)是将随机事件或其有关随机变量的取值映射为非负实数以表示该随机事件的“风险”或“损失”的函数。这里我们只说平方损失函数:实际结果和观测结果之间差距的平方和。使用损失函数是一种能够查看当前模型准不准确的手段。损失函数越小,证明当前模型越准确。损失函数计算公式为:
    在这里插入图片描述
    损失函数在本例中的推导如下:
    损失函数变形 step 1:
    损失函数变形1
    损失函数变形 step 2:
    损失函数变形2

    根据损失函数计算最终结果

    对于上述图片中的损失函数来说,t是我们的样例数据结果值,它是已知的,x是我们样例数据影响因素值,它们也是已知。事实上,对于该损失函数来说,它是一个多元函数,它的自变量为:w0,w1,w2…wm,若要使损失函数降到最小,实际上是要一组w值,使得该损失函数的值能够最小。 由此涉及到多元函数求导问题,导数为0的地方则为极值处。

    由于我们把一组w当做一个列向量来看待,现在给出针对列向量的微分公式:

    列向量作为自变量的微分公式
    根据上图公式,对损失函数求微分的过程如下:
    计算参数值的最终过程

    总结

    对此,线性回归最小二乘法的公式推导过程已经结束。但是,其中涉及的一些公式,我只是使用,并不知道它们的完整推导过程,其中这个问题最严重地体现在对一系列变量(列向量)的求微分的公式。我学习这个线性回归,主要是想用线性回归为例,学习GPU和CPU下处理大数据的性能对比。本着想写一个系列总结,有利于自己将来学习的想法,下一节打算写以一元线性回归为例的CUDA的最简单使用。

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多元线性回归系数公式