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  • 图片来自网络,侵删回归上一篇文章:夔小攀:计量经济学:多元线性回归的统计检验​zhuanlan.zhihu.com我们谈到了调整后的可决系数、单个变量显著性的 检验、联合变量显著性的 检验☆ 调整后的可决系数: 让可决系数...

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    夔小攀:计量经济学:多元线性回归的统计检验zhuanlan.zhihu.com
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    我们谈到了调整后的可决系数、单个变量显著性的

    检验、联合变量显著性的
    检验

    ☆ 调整后的可决系数:

    让可决系数不受解释变量数量影响,更准确地反映拟合程度

    检验:单个解释变量对被解释变量的影响是否显著

    检验:整个方程的线性关系是否显著

    开始这一篇文章:信息准则、受约束回归、邹氏参数稳定性检验

    ▶ 信息准则:AIC与SC

    AIC:Akaike Information Criterion,「赤池信息准则」,这是日本学者提出的衡量统计模型拟合优良性的一个指标

    之前,我们谈到,盲目地往模型中堆积解释变量,很有可能提高可决系数,为了解决这个问题,我们提出了调整后的可决系数。我们也可以通过信息熵的角度,对这个问题提出另一种解决方法。

    赤池信息准则,首先假设模型的误差服从独立正态分布,这在多元线性回归模型的假设中就提到了,随后给出以下公式:

    是模型中的待估参数的个数,当然在多元线性回归中我们了解到是
    个;而
    是一个似然函数。

    直观来看,AIC当然是越小越好:如果一批数据,假设存在一个真正的模型,而又抽取了一批样本,用样本去估计真实模型时,真实模型损失的信息越少,估计的效果就越好。而我们在统计学中讲到,当两个模型之间差异较大的时候,差异主要体现在似然函数上,回忆一下「最大似然估计」,似然函数越大,说明抽取的样本更加合理,模型的估计效果当然更加优秀。而

    就是对增加解释变量的一个
    「惩罚」,只有当似然函数带来的正面效果大于这个惩罚时,我们才考虑引入这个新的解释变量。

    41524d263ee15469f1f7fae502f88fdf.png
    图片来源:https://cosx.org/2015/08/some-basic-ideas-and-methods-of-model-selection/

    下面,我们开始计算多元线性回归中的

    公式

    我们在多元线性回归模型的假设中,就谈到

    ,以不太严谨的角度来说,
    就是我们从总体
    中抽取的样本,那么对于
    的极大似然函数就是:

    取对数之后:

    那么,这里的

    该取值多少呢?我们之前在最小二乘估计中,谈到
    ,但是,我们这里使用的方法是最大似然估计,回忆一元线性回归中的最大似然估计:
    夔小攀:计量经济学:一元线性回归 最大似然估计(MLE)与矩估计(MM)zhuanlan.zhihu.com
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    我们运用了对似然函数求偏导的方法,这里也是如此。对

    求偏导并令其等于0,可以得到:

    替换对数似然函数可以得到:

    将上面的所有内容代入到

    就可以得到多元线性回归模型中:

    一些教材将这个公式两边同时除以了

    ,当然,这是因为信息准则针对的是同一个样本,样本量自然不会变化,而又对加和项进行了矩阵化处理,得到了:

    这就更直观的看出,增加解释变量,可能使得残差平方和变小,

    的减少又面临着
    的惩罚。

    SC: Schwarz Criterion,「施瓦茨信息准则」,这是一个比AIC更加严格的信息准则,也称之为贝叶斯信息准则:

    是模型中的待估参数的个数;而
    是似然函数;
    是样本量。最后可以计算出:

    ▶ 受约束回归:线性约束、邹氏参数稳定性检验

    ▷从

    统计量到线性约束下的回归

    首先,回忆

    检验的原假设:
    ,这其实就是一个线性的约束,假设了模型真实的情况是

    我们将原假设成立的情况下的回归方程

    称之为
    「受约束回归」,而备择假设成立的情况下回归方程
    称之为
    「无约束回归」

    对于同一个样本

    ,如果对无约束回归方程进行参数估计,那么就有
    。如果对受约束回归方程进行参数估计,就有
    ,将无约束回归的结果代入受约束回归中:

    那么受约束回归的残差平方和就是:

    那么,就可以得到一个结论:受约束回归的残差平方和

    大于等于无约束回归的残差平方和
    ,换句话说,对模型施加约束,会导致模型的解释能力降低。

    但是,我们的问题是如何比较受约束回归与无约束回归的差异究竟多大才可以认为约束条件是假的(应该拒绝的)。上面的论证过程,我们发现了两个方程

    的差异,那么我们就可以考虑比较
    是否足够大,让我们可以拒绝原假设。

    同样是上一篇文章中,我们大致讲到了:

    根据统计学的知识,我们可以自然而然地构建

    统计量

    表示相应的方程中,待估参数的个数-1。再回到我们的多元线性回归中总体线性关系的检验,受约束回归的情况下,显而易见,
    ( 前文中的表达式一直都将
    视为待估参数的个数)这也就不难理解为什么

    换一个简单的例子:

    根据某种经济学理论,

    ,为了验证这个理论,我们需要受约束回归的帮助,提出原假设:

    根据这个假设,我们受约束回归的方程应该变为:

    整理:

    受约束回归就是对

    进行参数估计,新构建
    就可以进行软件的操作了

    再举一个简单的例子:

    根据某种理论,还应该添加一些其他变量

    ,使得方程变为:

    为了验证这个理论,我们可以尝试使用AIC或者SC,使用t检验得到单个变量的显著性,当然也可以使用受约束回归,检验两个变量联合的影响力,提出原假设:

    那么,

    统计量为:

    ▷邹氏参数稳定性检验 Chow test for parameter stability

    当我们改变样本时(或者是对样本进行了分组,例如男性、女性),我们所估计的参数在不同的样本下是不是足够稳定?这也是能够通过受约束回归实现的。这还是得举个简单的栗子,假如我们要研究捡栗子能力的影响因素,我们通过一些文献,发现捡栗子的数量

    可能与体重
    、身高
    等有关系(我编的),于是我们就收集了一些数据:

    样本:

    8c364b36536a5e151dabdca2ac0a879b.png

    这个时候的回归方程就是:

    样本:

    6c9113ffeae1a76f63491a1c14c47b4a.png

    这个时候的回归方程就是:

    很容易,我们要验证在不同样本中,体重、身高对捡栗子数量的影响是一致的,就需要提出原假设:

    但是,我们该如何找到所谓的受约束回归和无约束回归呢?一个最简单的方法就是将两个样本合起来,如果

    成立,在合起来的样本中,参数也不会有变化,也就是说,合起来的样本长这样↓

    2f3cd8a97f72438a6f534ef657b69d73.png

    那要是拒绝了原假设,合起来的样本应该长这样↓,才能体现出不相等的规律:

    2d83de26f00d8e5d9380b04d132a7d81.png

    不仅如此,我们还得注意到原假设中

    ,拒绝原假设,也可以导致
    ,所以这个时候无约束方程应该是:
    ,待估参数有6个,也就是说
    ,而且

    受约束方程:

    ,待估参数有3个,也就是说说

    更一般的,我们假设

    容量为

    样本,解释变量有
    个的回归为:

    容量为

    样本,解释变量有
    个的回归为:

    原假设

    容量为

    ,解释变量(算上
    中的某一个)有
    个的无约束回归:

    容量为

    ,解释变量有
    个的受约束回归:

    统计量为:

    对于

    ,会不会与
    (也就是说A/B两个样本的残差平方和)有关系呢?我们可以通过一个(复杂的)运算求得:

    随后,我们将一些已知条件代入可得:

    那么原来的

    统计量可以化为

    如果拒绝原假设,那么就说明两组样本的参数不完全相同。

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  • 多元线性回归 多元线性回归模型 实际中有很多问题是一个因变量与多个自变量成线性相关,我们可以用一个多元线性回归方程来表示。 为了方便计算,我们将上式写成矩阵形式: Y = XW 假设自变量维度为N W为自变量的...

    多元线性回归

    多元线性回归模型

    实际中有很多问题是一个因变量与多个自变量成线性相关,我们可以用一个多元线性回归方程来表示。
    282357-20180812104552018-1155558715.png

    为了方便计算,我们将上式写成矩阵形式:

    Y = XW

    • 假设自变量维度为N
    • W为自变量的系数,下标0 - N
    • X为自变量向量或矩阵,X维度为N,为了能和W0对应,X需要在第一行插入一个全是1的列。
    • Y为因变量
      那么问题就转变成,已知样本X矩阵以及对应的因变量Y的值,求出满足方程的W,一般不存在一个W是整个样本都能满足方程,毕竟现实中的样本有很多噪声。最一般的求解W的方式是最小二乘法。

    最小二乘法

    我们希望求出的W是最接近线性方程的解的,最接近我们定义为残差平方和最小,残差的公式和残差平方和的公式如下:

    282357-20180812104621648-1260933428.png

    上面的公式用最小残差平方和的方式导出的,还有一种思路用最大似然的方式也能推导出和这个一样的公式,首先对模型进行一些假设:

    • 误差等方差不相干假设,即每个样本的误差期望为0,每个样本的误差方差都为相同值假设为σ
    • 误差密度函数为正态分布 e ~ N(0, σ^2)

    简单推导如下:
    282357-20180812104635827-1160637046.png

    由此利用最大似然原理导出了和最小二乘一样的公式。

    最小二乘法求解

    二次函数是个凸函数,极值点就是最小点。只需要求导数=0解出W即可。
    282357-20180823101512671-426252816.jpg

    模拟数据

    我们这里用R语言模拟实践一下,由于我们使用的矩阵运算,这个公式一元和多元都是兼容的,我们为了可视化方便一点,我们就用R语言自带的women数据做一元线性回归,和多元线性回归的方式基本一样。
    women数据如下

    > women
       height weight
    1      58    115
    2      59    117
    3      60    120
    4      61    123
    5      62    126
    6      63    129
    7      64    132
    8      65    135
    9      66    139
    10     67    142
    11     68    146
    12     69    150
    13     70    154
    14     71    159
    15     72    164

    体重和身高具有线性关系,我们做一个散点图可以看出来:
    282357-20180812104651524-1024697287.png

    我们用最小二乘推导出来的公式计算w如下

    X <- cbind(rep(1, nrow(women)), women$height)
    X.T <- t(X)
    w <- solve(X.T %*% X) %*% X.T %*% y
    > w
              [,1]
    [1,] -87.51667
    [2,]   3.45000
    > lm.result <- lm(women$weight~women$height)
    > lm.result
    
    Call:
    lm(formula = women$weight ~ women$height)
    
    Coefficients:
     (Intercept)  women$height  
          -87.52          3.45

    上面的R代码w使我们利用公式计算出来的,下边是R语言集成的线性回归函数拟合出来的,可以看出我们的计算结果是正确的,lm的只是小数点取了两位而已,将回归出来的函数画到图中看下回归的效果。
    282357-20180812104705496-67150394.png
    画图对应的R代码如下,用R的感觉.....太飘逸了。

    > png(file="chart2.png")
    > plot(women$height, women$weight)
    > lines(women$height, X %*% w)
    > dev.off()

    梯度下降法

    除了用正规方程方式求解W,也可以用最常见的梯度下降法求得W,因为最小二乘是个凸函数,所以这里找到的极小点就是最小点。下面这段代码用R写还是非常容易的,但是刚开始step步长参数调的太大了,导致一直不收敛,我还
    以为是程序错误,后来怎么看也没写错,就把参数调了个很小值,结果就收敛了。step的这个取值其实应该是变化的,先大后下比较科学,我这个调的很小,需要接近500万次才能收敛。

    • 初始化W 为全0向量,也可以随机一个向量
    • 设置最大迭代次数,本例为了收敛设置了一个很大的数
    • 设置步长step,小了收敛很慢,大了不收敛.......
    • 求损失函数的梯度
    • W(k+1) 为 W(k) + 损失函数负梯度 * 步长step
    • 循环,直到梯度接近0

    282357-20180823101526678-255938302.jpg

    X <- cbind(rep(1, nrow(women)), women$height)
    Y <- women$weight
    maxIterNum <- 5000000;
    step <- 0.00003;
    W <- rep(0, ncol(X))
    for (i in 1:maxIterNum){
        grad <- t(X) %*% (X %*% W -  Y);
        if (sqrt(as.numeric(t(grad) %*% grad)) < 1e-3){
            print(sprintf('iter times=%d', i));
            break;
        }
        W <- W - grad * step;
    }
    print(W);

    输出

    [1] "iter times=4376771"

    print(W);
    [,1]
    [1,] -87.501509
    [2,] 3.449768

    归一化

    上面的批量梯度下降为什么收敛如此之慢呢?原因很简单,没有做归一化,做了归一化,收敛速度快了非常非常多!!!!
    正确代码如下:

    XScale = scale(women$height)
    Ux = attr(XScale, "scaled:center")
    Dx = attr(XScale, "scaled:scale")
    YScale = scale(women$weight)
    Uy = attr(YScale, "scaled:center")
    Dy = attr(YScale, "scaled:scale")
    X <- cbind(rep(1, nrow(women)), as.matrix(XScale))
    Y <- as.matrix(YScale)
    maxIterNum <- 5000;
    step <- 0.001;
    W <- rep(0, ncol(X))
    for (i in 1:maxIterNum){
        grad <- t(X) %*% (X %*% W -  Y);
        if (sqrt(as.numeric(t(grad) %*% grad)) < 1e-6){
            print(sprintf('iter times=%d', i));
            break;
        }
        W <- W - grad * step;
    }
    print(W);
    W0 = W[1]
    Wn = W[2:length(W)]
    Wn = Dy * Wn / Dx
    W0 = Uy + Dy * W0 - Dy * Ux / Dx
    W  = c(W0, Wn)
    print(W);
    

    输出

    [1] "iter times=1168"

    print(W);
    -88.53154 3.45000

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  • 目录背景多元线性回归常规公式拟合思路最小二乘法的推导将自变量系数与自变量整合为矩阵模拟过程存在误差项误差项符合高斯分布最大似然函数的引入自变量系数的估值求解评估β的估值是否合理 背景 线性回归模型的建立...

    背景

    线性回归模型的建立是为了探究因变量与多个自变量间的关系。举个例子,你想去银行贷款,在贷款前你想知道你大概能贷到多少钱,以便为后期经济开销做进一步规划。那如果此刻有一个贷款预测模型可以使用,这个问题就可以得到快速的解决。因为你只需要向银行提供你的工资,年龄等信息,便可以得到一个贷款金额的预估值。

    一般情况下,只要我们能得到足够数量的观测样本,便可以对现有的数据进行模型拟合,找到一个较为准确的模型来帮助我们预测。

    多元线性回归

    常规公式

    多元线性回归模型的一般形式为:
    Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki+μi (i=1,2,…,n)

    其中,n表示观测样本数,Xk 为模型所包含的自变量,i 表示第i个观测样本,Yi为对应的第i个样本的贷款金额,βj(j=1,2,…,k)称为回归系数,代表着每个自变量对于Y值的影响大小。

    拟合思路

    在拟合过程中,每一个样本都对应着一个回归方程, 我们可以想象年龄和工资是两个特征,分别为x1和x2轴,而贷款金额数展示在Y轴。

    在这里插入图片描述
    图上高低不一的红点就代表着每一个样本所对应的方程式,我们需要在这些高低不一的样本中找到最合适的一条线来拟合这些数据,图中的绿色网格面就是一个假想的拟合平面。

    最小二乘法的推导

    那如何才能找到这条最合适的线呢?下面我们来聊一聊最小二乘法。

    将自变量系数与自变量整合为矩阵

    假设β1是年龄的系数,β2是工资的系数。
    拟合的平面是:Yi=β0+β1iX1i+β2X2i(β0是截距/偏置项,对整体结果上调或下调,跟数据没有关系)

    我们将上述的β,x整合为矩阵,其中为了简化推导公式,X矩阵中加入了x0=1这一项,与截距β0与之对应。
    整合结果变为两个矩阵的乘积:Yβ(x)=i=0Nβixi=βTXY_β(x)=\sum_{i=0}^Nβ_i x_i=β^TX

    模拟过程存在误差项

    从以上的图中我们可以看到,我们理想中的这个平面只能尽量去贴合各个样本点,但是平面的预测值和真实值始终还是存在着误差的。机器学习的理论思想就是,我们的理论模型和现实模型必然是存在差异的,只要我们合理限制这个差异就可以了。ε用于表示该误差。图片上传失败,找到原因后再重新编辑

    对于每个样本:Yi=βTXi+εiY_i=β^TX_i+\varepsilon_i

    误差项符合高斯分布

    我们的样本中有n个观测值就会有n个误差,因为每个样本都是独立的,所以这个误差是独立的。由于每个样本都是找同一家银行贷款,所以样本的误差具有相同的分布,并且是服从均值为0方差为θ2\theta^2的高斯分布( 从实际出发,做出了这样一个假设,实际不会正好是均值为0方差为θ2\theta^2的高斯分布,但结果证明这个假设可以被我们的机器学习模型所接受和认可)。

    在这里插入图片描述

    ① 由于误差符合高斯分布:p(εi)=12πδexp((εi)22δ2)p({\varepsilon_i}) =\dfrac1 {\sqrt{2\pi}\delta}exp(-\dfrac{(\varepsilon_i)^2}{2\delta^2})
    ② 由 Yi=βTXi+εiY_i=β^TX_i+\varepsilon_i 可以得到 YiβTXi=εiY_i-β^TX_i=\varepsilon_i
    ③ 将该公式带入高斯分布式:
    p(yixi;β)=12πδexp((yiβTXi)22δ2)p(y_i|x_i;β)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\delta}exp(-\dfrac{(y_i-β^TX_i)^2}{2\delta^2})

    最大似然函数的引入

    上面我们说到每个样本的残差ε属于正态分布,我们可以将样本的εi\varepsilon_i概率累乘,累乘的结果越大,意味着预测结果成为真实值的概率越大。

    得到结果如下:
    L(β)=i=1mp(yixi;β)=i=1m12πδexp((yiβTXi)22δ2)L(β)={\prod_{i=1}^m}p(y_i|x_i;β) ={\prod_{i=1}^m} \dfrac1{\sqrt{2\pi}\delta}exp(-\dfrac{(y_i-β^TX_i)^2}{2\delta^2})

    然后将以上函数转化为对数似然,这样乘积就可以转化为累加的形式,更方便我们计算:
    log(L(β))=i=1m12πδexp((yiβTXi)22δ2)log(L(β))={\sum_{i=1}^m} \dfrac1{\sqrt{2\pi}\delta}exp(-\dfrac{(y_i-β^TX_i)^2}{2\delta^2})
    =mlog12πδ1δ212i=1m(yiβTXi)2=mlog \dfrac1{\sqrt{2\pi}\delta}- \dfrac1{\delta^2}\dfrac12\sum_{i=1}^m(y_i-β^TX_i)^2

    ② 由于mlog12πδmlog \dfrac1{\sqrt{2\pi}\delta}始终为正,1δ212i=1m(yiβTXi)2- \dfrac1{\delta^2}\dfrac12\sum_{i=1}^m(y_i-β^TX_i)^2 始终为负,只有当i=1m(yiβTXi)2\sum_{i=1}^m(y_i-β^TX_i)^2最小时,log(L(β))才能最大。

    ③ 通过化简,最终只需得到以下公式的最小值即可:
    J(β)=12i=1m(yiβTxi)2J(β)=\dfrac1{2}\sum_{i=1}^{m}(y_i-β^Tx_i)^2 (这就是所谓的最小二乘法)

    自变量系数的估值求解

    接下来我们需要解决什么样的β可以使J(β)这个值最小。

    ① 第一步我们需要对最小二乘公式求偏导
    ② 当偏导等于0时,我们就可以得出β=(XTX)1XTYβ=(X^TX)^{-1}X_TY
    ③ 而样本数据中x和y是已知的,β便可以被求解

    评估β的估值是否合理

    通过上述的推导和计算过程,我们可以得到β的估计值。但如何判断β的估计值的合理性呢,我将在下一部分进行探讨。

    展开全文
  • 什么是多元线性回归– MLR? 多元线性回归(MLR),也简称为多元回归,是一种统计技术,它使用多个解释变量来预测响应变量的结果。 多元线性回归(MLR)的目标是为解释性(独立)变量与响应(因变量)之间的线性关系...

    什么是多元线性回归– MLR?

    多元线性回归(MLR),也简称为多元回归,是一种统计技术,它使用多个解释变量来预测响应变量的结果。 多元线性回归(MLR)的目标是为解释性(独立)变量与响应(因变量)之间的线性关系建模。

    本质上,多元回归是普通最小二乘(OLS)回归的扩展,涉及多个解释变量。

    首先是公式:

    在这里插入图片描述
    y = 是因变量
    x = 解释变量
    β 0 = 截距
    β p = 每个的变量倾斜系数

    解释多元线性回归
    简单的线性回归是允许分析人员或统计人员基于已知的另一变量的信息对一个变量进行预测的功能。仅当线性回归具有两个连续变量时,才可以使用线性回归:自变量和因变量。自变量是用于计算因变量或结果的参数。多元回归模型扩展到几个解释变量。

    多元回归模型基于以下假设:

    因变量和自变量之间存在线性关系。
    自变量彼此之间的相关性不是很高。
    yi观测值是从总体中独立且随机选择的。
    残差的正态分布应为平均值0和方差σ。

    确定系数(R平方)是一种统计量度,用于测量结果变量中的多少可以通过自变量中的变量来解释。 R2总是随着向MLR模型添加更多的预测变量而增加,即使这些预测变量可能与结果变量无关。

    因此,R2本身不能用于识别模型中应包含哪些预测变量,应排除哪些预测变量。 R2只能介于0和1之间,其中0表示结果不能由任何自变量预测,而1表示可以预测结果而自变量没有错误。

    在解释多元回归的结果时,β系数在保持所有其他变量不变(“其他均相等”)的同时有效。多元回归的输出可以水平显示为方程式,也可以垂直显示为表格形式。

    多重线性回归的例子
    例如,分析师可能想知道市场的波动如何影响埃克森美孚(XOM)的价格。在这种情况下,他的线性方程式将以S&P 500指数的值作为自变量或预测变量,以XOM的价格作为因变量。

    实际上,有多种因素可以预测事件的结果。例如,埃克森美孚的价格走势不仅取决于整个市场的表现。其他预测因素,例如石油价格,利率和石油期货价格走势,可能会影响XOM的价格和其他石油公司的股价。为了理解其中存在两个以上变量的关系,使用了多元线性回归。

    多元线性回归(MLR)用于确定许多随机变量之间的数学关系。换句话说,MLR检查多个自变量与一个因变量的关系。一旦确定了每个独立因素以预测因变量,就可以使用有关多个变量的信息来准确预测它们对结果变量的影响程度。该模型以最接近所有单个数据点的直线(线性)形式创建关系。

    在我们的示例中,参考上面的MLR公式:

    在这里插入图片描述

    最小二乘估计值B0,B1,B2…Bp通常由统计软件计算。回归模型中可以包含许多变量,其中每个自变量用数字1,2,3,4 … p进行区分。多元回归模型允许分析师基于在多个解释变量上提供的信息来预测结果。

    尽管如此,该模型并不总是完全准确的,因为每个数据点可能与模型预测的结果略有不同。剩余值E是实际结果与预测结果之间的差,已包含在模型中以说明这种微小变化。

    假设我们通过统计计算软件运行XOM价格回归模型,该模型将返回以下输出:
    在这里插入图片描述

    多元线性回归的输出以预测埃克森美孚的股价
    分析师会将此输出解释为,如果其他变量保持不变,则如果市场上的石油价格上涨1%,XOM的价格将上涨7.8%。该模型还显示,随着利率上升1%,XOM的价格将下降1.5%。 R2表示埃克森美孚股价变化的86.5%可以用利率,石油价格,石油期货和S&P 500指数的变化来解释。

    线性回归与多元回归之间的差异
    线性(OLS)回归比较给定变量在某些说明性变量发生变化时的响应。 但是,很少有因变量仅由一个变量解释。 在这种情况下,分析师使用多元回归,该回归尝试使用多个自变量来解释因变量。 多元回归可以是线性的也可以是非线性的。

    多元回归基于以下假设:因变量和自变量之间都存在线性关系。 它还假设自变量之间没有主要的相关性。

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