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  • R是进行统计学研究必备的一个软件,而多元统计分析实际应用中适用范围相当广泛的统计方法,通过对该讲义的学习能够帮助你快速掌握多元统计分析的方法并能予以实现,一举多得。
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    1. 1.1 引言

    多元统计分析(简称多元分析)是运用数理统计的方法来研究多变量(多指标)问题的理论和方法,它是一元统计学的推广.在实际间题中,很多随机现象涉及到的变量不是一个,而经常是多个变量,并且这些变量间又存在一定的联系.

    英国著名统计学家肯德尔(Kendall)在《多元分析》一书中把多元统计分析所研究的内容和方法概括为以下几个方面.

    1.简化数据结构(降维问题)

    简化数据结构即是将某些较复杂的数据结构通过变量变换等方法使相互依赖的变量变成互不相关的;或把高维空间的数据投影到低维空间,使问题得到简化而损失的信息又不太多的.例如主成分分析、因子分析,以及对应分析等多元统计方法就是这样的一类方法.

    2.分类与判别(归类问题)

    归类问题即是对所考察的观测点(或变量)按相似程度进行分类(或归类).例如聚类分析和判别分析等方法就是解决这类问题的统计方法.

    3.变量间的相互联系

    (1)相互依赖关系:分析一个或几个变量的变化是否依赖于另一些变量的变化?如果是,建立变量间的定量关系式,并用于预测或控制一一回归分析.

    (2)变量间的相互关系:分析两组变量间的相互关系-一典型相关分析.

    4.多元数据的统计推断

    这是关于参数估计和假设检验的间题.特别是多元正态分布的均值向量及协方差阵的估计和假设检验等问题.

    5.多元统计分析的理论基础

    多元统计分析的理论基础包括多维随机向量及多维正态随机向量,以及由此定义的各种多元统计量,推导它们的分布并研究其性质,研究它们的抽样分布理论。这些不仅是统计估计和假设检验的基础,也是多元统计分析的理论基础.

    1 .2多元统计分析的应用

    1.3多元统计数据的图表示法

    一、轮廓图

    轮廓图的作图步骤为:

    (1)作直角坐标系,横坐标取p个点,以表示p个变量;

    (2)对给定的一次观测值,在p个点上的纵坐标(即高度)与对应的变量取值成正比;

    (3)连结此p个点得一折线,即为该次观测值的一条轮廓线;

    (4)对于n次观测值,每次都重复上述步骤,可画出n条折线,构成n次观测值的轮廓图.

    二、雷达图

    雷达图的作图步骤是:

    (1)作一圆,并把圆周分为p等分;

    (2)连结圆心和各分点,把这p条半径依次定义为各变量的坐

    标轴,并标以适当的刻度;

    (3)对给定的一次观测值,把p个变量值分别取在相应的坐标

    轴上,然后将它们连结成一个p边形;

    (4) n次观测值可画出n个p边形.

    三、调和曲线图


    四、散布图矩阵

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    主成分分析

    简述

    1. 主成分分析(Principal Component Analysis,PCA), 是一种数学降维的统计方法。
    2. 通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量,转换后的这组变量叫主成分。
    3. 在用统计分析方法研究多变量的课题时,变量个数太多就会增加课题的复杂性。人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。
    4. 主成分分析作为基础的数学分析方法,其实际应用十分广泛,比如人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟、数学建模、数理分析等学科中均有应用,是一种常用的多变量分析方法。

    基本思想

    1. 主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性(比如P个指标),重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。
    2. 主成分分析,是考察多个变量间相关性一种多元统计方法,研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构,即从原始变量中导出少数几个主成分,使它们尽可能多地保留原始变量的信息,且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合,将其线性组合作为新的综合指标。达到降维的目的。

    计算步骤

    原始数据标准化
    计算相关系数矩阵
    计算特征向量和特征值
    选取主成分
    计算综合得分

    原始数据的标准化

    1. 采集m维随机向量 x=x1,x2,,xmTx=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m})^{T}
    2. 抽取n个样品xi=xi1,xi2,,ximT,i=1,2,...,nx_{i}=(x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{im})^{T},i=1,2,...,n。且有n>pn>p
    3. 构造样本数据矩阵x=(x11x12x1mx21x22x2mxn1xn2xnm) x=\begin{pmatrix} x_{11} &x_{12} &\cdots &x_{1m} \\ x_{21} &x_{22} &\cdots &x_{2m} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ x_{n1} &x_{n2} &\cdots &x_{nm} \end{pmatrix}
    4. 标准化变换:xij=xijxjˉsjx_{ij}'=\frac{x_{ij}-\bar{x_{j}}}{s_{j}}其中,xjˉ=1ni=1nxij,sj2=1n1i=1n(xijxjˉ)2\bar{x_{j}}=\frac{1}{n}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{ij},\quad s_{j}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum\limits _{i=1}^{n}(x_{ij}-\bar{x_{j}})^{2}

    计算相关系数矩阵R
    R=(r11r12r1mr21r22r2mrn1rn2rnm)R=\begin{pmatrix} r_{11} &r_{12} &\cdots &r_{1m} \\ r_{21} &r_{22} &\cdots &r_{2m} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ r_{n1} &r_{n2} &\cdots &r_{nm} \end{pmatrix}
    其中,rij=1n1k=1nxkixkj,n>1,i,j=1,2,,mr_{ij}=\frac{1}{n-1}\sum\limits _{k=1}^{n}x_{ki}x_{kj},\quad n>1,\quad i,j=1,2,\cdots,m

    特征向量和特征值

    1. 解特征方程λIR=0|\lambda I-R|=0
    2. 可得特征值λ1λ2λm0\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}\geqslant \cdots \lambda _{m}\geqslant 0
    3. 以及对应的特征向量u1,u2,,um,u_{1},u_{2},\cdots,u_{m},
    4. 其中 uj=(u1j,u2j,,umj)Tu_{j}=(u_{1j},u_{2j},\cdots,u_{mj})^{T}
    5. uj=1,j=1,2,,m\|u_{j}\|=1,j=1,2,\cdots,m
    6. 则第jj个主成分为 yj=u1jx1+u2jx2++umjxm,y_{j}=u_{1j}x_{1}+u_{2j}x_{2}+\cdots+u_{mj}x_{m},其中,xj=(x1j,x2j,,xmj)T,j=1,2,,mx_{j}=(x_{1j},x_{2j},\cdots,x_{mj})^{T},j=1,2,\cdots ,m

    对特征值和特征向量的求解,可以列一个直观的表格。

    选取主成分

    1. jj个成分的贡献率为βj=λjk=1mλk(j=1,2,m)\beta_{j}=\frac{\lambda _{j}}{\sum \limits _{k=1}^{m}\lambda _{k}}\quad \left ( j=1,2,\cdots m \right )
    2. pp个成分的累计贡献率为αp=k=1pλkk=1mλk\alpha_{p}=\frac{\sum \limits _{k=1}^{p}\lambda _{k}}{\sum \limits _{k=1}^{m}\lambda _{k}}
    3. 各成分的方差是递减的,包含的信息也是递减的。实践中一般选取αp85%\alpha_{p}\geqslant85\%

    计算综合得分Z
    Z=j=1pβjyj Z=\sum \limits _{j=1}^{p}\beta _{j}y_{j}

    例题

    下表是我国1984-2000年宏观投资的一些数据,试利用主成分分析对投资效益进行分析和排序
    在这里插入图片描述

    程序

    data=xlsread('data.xlsx');      %导入数据
    X=zscore(data);                 %标准化数据
    R=corrcoef(X);                  %求相关系数矩阵
    [vec,lamba,rate]=pcacov(R);     %主成分分析,vec为R特征向量,lamba为R特征值,rate为各个主成分贡献率
    vec=vec./sign(sum(vec))         %使特征向量和为正
    contr=cumsum(rate)/sum(rate);   %求贡献率
    contr'                          %显示贡献率
    num=input('请输入主成分个数:'); %交互式选取主成分个数
    df=X*vec(:,1:num);              %计算各主成的得分
    tf=df*rate(1:num)/100;          %计算综合得分
    [stf,ind]=sort(tf,'descend');   %把得分按照降序排列
    [ind,stf]                       %显示排名
    
    

    程序理解

    X=zscore(data);
    来自知乎

    在这里插入图片描述

    R=corrcoef(X);
    12、13函数

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    matlab中princomp,pcacov,pcares,barttest四大分析函数的应用如下:

    1.princomp

    1. 功能:主成分分析
    2. 格式:PC=princomp(X)
       [PC,SCORE,latent,tsquare]=princomp(X)
    

    说明:[PC,SCORE,latent,tsquare]=princomp(X)对数据矩阵X进行主成分分析,给出各主成分(PC)、所谓的Z-得分
    (SCORE)、X的方差矩阵的特征值(latent)和每个数据点的HotellingT2统计量(tsquare)。

    2.pcacov

    1.功能:运用协方差矩阵进行主成分分析
    格式:PC=pcacov(X)

    [PC,latent,explained]=pcacov(X)
    

    说明:[PC,latent,explained]=pcacov(X)
    通过协方差矩阵X进行主成分分析
    返回主成分(PC)、协方差矩阵X的特征值(latent)和每个特征向量表征在观测量总方差中所占的百分数(explained)。

    3.pcares

    1. 功能:主成分分析的残差
    2. 格式:residuals=pcares(X,ndim)

    说明:pcares(X,ndim)返回保留X的ndim个主成分所获的残差。
    注意,ndim是一个标量,必须小于X的列数。
    而且,X是数据矩阵,而不是协方差矩阵。

    4.barttest

    1. 功能:主成分的巴特力特检验
    2. 格式:ndim=barttest(X,alpha)
     [ndim,prob,chisquare]=barttest(X,alpha)
    

    说明:巴特力特检验是一种等方差性检验。
    ndim=barttest(X,alpha)是在显著性水平alpha下,给出满足数据矩阵X的非随机变量的n维模型,ndim即模型维数,它由一系列假设检验所确定,ndim=1表明数据X对应于每个主成分的方差是相同的;ndim=2表明数据X对应于第二成分及其余成分的方差是相同的。

    因子分析

    相关性分析

    回归分析

    一元回归例题

    在这里插入图片描述

    clc,clear
    x=[594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530];
    y=[800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500];
    plot(x,y,'*') %画出y-x散点图
    x=x';Y=y';
    X=[ones(10,1),x]; %构造回归分析的数据矩阵
    [beta,betaint,r,rint,st]=regress(Y,X)  %计算回归系数和统计量
    %beta:回归系数,betaint:回归系数置信区间,r:残差,rint:残差0.95的置信区间
    %st:x统计量,其分量对应R?、F 、P 、s?
    
    

    聚类分析

    展开全文
  • 本书系统论述多元统计分析的基本理论和方法,力求理论与实际应用并重.只要具有一元统计的知识就可阅读本书.  本书主要内容是:多元正态分布、方差分析、回归分析、因子分析与线性模型、聚类分析和统计量的分布....
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    多元统计基础知识

    线性代数,微积分,概率论,

    概率论:理论

    统计:实际  

    以应用为主,不注重理论推导

    scilkit-learn ,scipy numpy,

     讨论多维随机向量的理论和统计方法的总称

    多元统计数据的图表表示方法

    • 简化数据(降维数据)(主成分析,因子分析,对应分析)
    • 分类与判别(归类问题),聚类分析(不知道有几类)和判别分析(以上指标分析)
    • 变量间的相互联系
    1.  相互依赖分析
    2. 变量间的相互关系,典型回归分析
    3. 两组变量间的相互依赖关系(偏最小二乘回归分析) 

    图:pandas mat

    轮廓图(在聚类分析中颇有帮助)

    做直角坐标系

     

     

     

     

    雷达图

    做一个圆,有几个变量做几等分p

    连接圆心和各分点,

    对给定的一次观测值,把p个变量值分别点在相应的坐标轴上,然后连成一个p边型

    调和曲线图

    最好先标准化再做图

     

    散布图矩阵

    ···············································

    em算法

    极大似然估计

    联合分布函数与密度函数

    边际分布

     

    分类:

    logist+朴素贝叶斯方法改进

    不计成本,以下

    随机森林+支持向量机(高斯核函数,但大量数据不太行)

     

    展开全文
  • 统计分析与软件SAS

    2009-11-27 15:22:19
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    直方图通常比较理想的状态是对称分布,而实际业务时则会出现如下情况:
    1、陡壁型,这种情况通常是在外面数据中,起点一般就是10多元,没有小数据。
    2、偏锋型,这种情况通常出现在薪资、销售数据等数据,因为存在28法则。
    3、孤岛型,这种可能是存在异常数据,需要具体业务具体分析
    4、锯齿形,这种可能是数据收集存在问题,导致不稳定
    5、双峰型,这种可能是因为数据由两种特征。

    展开全文
  • 主成分分析、因子分析、聚类分析是三种比较有价值的多元统计方法, 但同时也是在使用过程中容易误用或混淆的几种方法。 本文从基本思想、数据的标准化、应用上的优缺点等方面, 详细地探讨了三者的异同, 并且举例说明...
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空空如也

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多元统计分析实际应用