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  • 多元统计因子分析

    2014-03-24 21:07:33
    它也是将具有错综复杂关系的变量(或样品)综合为数量较少的几个因子,以再现原始变量与因子之间的相互关系,同时根据不同因子还可以对变量进行分类,它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。
  • 多元统计分析课程中因子分析讲解,多元统计分析在众多课程门类中都有较大的应用,可用于机器学习,统计学习基础。因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术。
  • 多元统计因子分析

    2020-06-27 01:18:10
    多元统计因子分析1.因子分析的主要应用2.因子分析与主成分分析的联系与区别3.因子分析模型与线性回归模型的区别与联系4.因子旋转5.习题介绍6.例子实现 1.因子分析的主要应用 因子分析是一种通过显在变量测评潜在...

    1.因子分析的主要应用

    因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量,通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。具体来说:

    ①因子分析可以用于分类。如用考试分数将学生的学习状况予以分类;用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等

    ②因子分析可以用于探索潜在因素。即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么,起的作用如何等。对我们进一步研究与探讨指示方向。在社会调查分析中十分常用。

    ③因子分析的另一个作用是用于时空分解。如研究几个不同地点的不同日期的气象状况,就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。

    2.因子分析与主成分分析的联系与区别

    因子分析与主成分分析的联系是:①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。②两种分析的求解过程是类似的,都是从一个协方差阵出发,利用特征值、特征向量求解。因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇,将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。如果说主成分分析是将原指标综合、归纳,那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。

    因子分析与主成分分析的主要区别是:主成分分析本质上是一种线性变换,将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止,突出数据变异的方向,归纳重要信息。而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。此外,主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。

    3.因子分析模型与线性回归模型的区别与联系

    因子分析模型是一种通过显在变量测评潜在变量,通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法的模型。而线性回归模型回归分析的目的是设法找出变量间的依存(数量)关系, 用函数关系式表达出来。
    因子分析模型中每一个变量都可以表示成公共因子的线性函数与特殊因子之和。即

    在这里插入图片描述因子模型满足:

    在这里插入图片描述
    而回归分析模型满足
    在这里插入图片描述

    两种模型的联系在于都是线性的。因子分析的过程就是一种线性变换。

    4.因子旋转

    因子分析的目标之一就是要对所提取的抽象因子的实际含义进行合理解释。但有时直接根据特征根、特征向量求得的因子载荷阵难以看出公共因子的含义。这种因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的,也很难对因子的实际背景进行合理的解释。这时需要通过因子旋转的方法,使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷,而在其余的公共因子上的载荷比较小。

    最大方差旋转法是一种正交旋转的方法,其基本思路为:
    在这里插入图片描述

    5.习题介绍

    6.例子实现

    问题提出:
    对企业经济效益体系的8项指标建立因子分析模型(附表数据)。这8项指标分别为:x1-固定资产利税率,x2-资金利税率,x3-销售收入利税率,x4-资金利润率,x5-固定资产利润率,x6-资金周转天数,x7-万元产值能耗,x8-全员劳动生产率。
    在分析过程中,提取因子的方法为“主成分”法,并以数据的“相关阵”为分析矩阵,并且提取3个因子,采用“最大方差旋转法”进行因子旋转。
    (1)则这3个因子的累积方差贡献率为多少?
    (2)请写出原始变量x1和x2的因子表达式;
    (3)所提取的3个公共因子分别在8个指标中的哪些指标上有较大载荷?并据此说明所提取的公因子概括了企业的何种能力?
    (4)分别写出因子得分表达式,并计算“大同”企业的综合因子得分。

    导入数据如下:
    在这里插入图片描述

    进行因子分析后得到以下结果:

    表一:特征根与方差贡献率
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    结果分析:
    (1)则这3个因子的累积方差贡献率为多少?
    由表一可知,我从中提取了3个主成分,这3个因子的累积方差贡献率为87.086%
    (2)请写出原始变量x1和x2的因子表达式;
    由表二旋转后的因子载荷矩阵可知:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (3)所提取的3个公共因子分别在8个指标中的哪些指标上有较大载荷?并据此说明所提取的公因子概括了企业的何种能力?
    在这里插入图片描述

    由上图可知,第一个公共因子在变量x1-固定资产利税率,x2-资金利税率,x3-销售收入利税率,x4-资金利润率,
    x5-固定资产利润率上有较大载荷,说明这五个变量具有很强的相关性,归为一类 将其命名为利率型因子。

    第二个公共因子在变量x1-固定资产利税率,x3-销售收入利税率,x8-全员劳动生产率上有较大载荷明这三个变量具有很强的相关性,归为一类 将其命名为收入型因子,概括了企业的盈利能力。

    第三个公共因子在变量x6-资金周转天数,x7-万元产值能耗上有较大载荷明这两个变量具有很强的相关性,归为一类 将其命名为资金流动型因子,概括了企业的资金流动能力

    (4)分别写出因子得分表达式,并计算“大同”企业的综合因子得分。
    因子得分表达式:
    F1=0.159ZX1+0.331ZX2+0.091ZX3+0.311ZX4+0.139ZX5+0.217ZX6-0.187ZX7-0.195ZX8
    F2=0.259ZX1-0.173ZX2+0.381ZX3-0.081ZX4-0.075ZX5-0.123ZX6+0.429ZX7+0.654ZX8
    F3=0.16ZX1+0.068ZX2+0.208ZX3+0.122ZX4-0.248ZX5+0.696ZX6+0.514ZX7-0.007ZX8

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

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  • 多元统计分析教程 介绍常用的各种多元统计分析方法,包括判别分析、聚类分析、主成分分析、相关分析因子分析等……
  • 它也是利用降维的思想,由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发,把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法 相比主成分分析因子分析更倾向于描述原始变量之...

    鄙人学习笔记



    因子分析

    因子分析( factor analysis)模型是主成分分析的推广。它也是利用降维的思想,由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发,把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法

    相比主成分分析,因子分析更倾向于描述原始变量之间的相关关系,因此,因子分析的出发点是原始变量的相关矩阵。

    基本理论

    • 因子分析的基本思想

    因子分析的基本思想是根据相关性大小把原始变量分组,使得同组内的变量之间相关性较高,而不同组的变量间的相关性则较低。每组变量代表一个基本结构,并用一个不可观测的综合变量表示,这个基本结构就称为公共因子。
    对于所研究的某一具体问题,原始变量可以分解成两部分之和的形式,一部分是少数几个不可测的所谓公共因子的线性函数,另一部分是与公共因子无关的特殊因子。
    因子分析还可用于对变量或样品的分类处理,我们在得出因子的表达式之后,可以把原始变量的数据代入表达式得出因子得分值,根据因子得分在因子所构成的空间中把变量或样品点画出来,形象直观地达到分类的目的。
    因子分析不仅可以用来研究变量之间的相关关系,还可以用来研究样品之间的相关关系,通常将前者称为 R型因子分析,后者称为 Q型因子分析。

    • 一般因子分析模型

    设有 n个样品,每个样品观测 p个指标,这 p个指标之间有较强的相关性(要求 p个指标相关性较强的理由是很明确的,只有相关性较强才能从原始变量中提取出“公共”因子)
    为了消除由于观测量纲的差异及数量级不同所造成的影响,将样本观测数据进行标准化处理,使标准化后的变量均值为0,方差为1。
    为方便,把原始变量及标准化后的变量向量均用X 表示,用F1,F2,…,Fm(m <p)表示标准化的公共因子。

    如果:

    (1)X =(X1,X2,…,Xp)′是可观测随机向量,且均值向量E(X)=0,协方差矩阵cov(X)=∑,且协方差矩阵∑ 与相关阵R 相等;

    (2)F =(F1,F2,…,Fm)′(m <p)是不可观测的变量,其均值向量E(F)=0,协方差矩阵cov(F)=I,即向量F 的各分量是相互独立的
    (3)ε =(ε1,ε2,…,εp)′与F 相互独立,且E(ε)=0,ε 的协方差阵∑ ε 是对角方阵

    ε 的各分量之间也是相互独立的.

    则模型:

    称为因子模型


    其中:

    公共因子F1,F2,…,Fm 相互独立且不可测,是在原始变量的表达式中都出现的因子。公共因子的含义,必须结合实际问题的具体意义确定。

    ε1,ε2,…,εp 叫做特殊因子,是向量X的分量Xi(i =1,2,…,p)所特有的因子。各特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间也都是相互独立的。
    矩阵A 中的元素aij 称为因子载荷,aij 的绝对值越大(∣ aij ∣ ≤ 1),表明Xi 与Fj 的相依程度越大,或称公共因子Fj 对于Xi 的载荷量越大,进行因子分析的目的之一就是要求出各个因子载荷的值。
    经过后面的分析会看到,因子载荷的概念与上一章主成分分析中的因子负荷量相对等,实际上,由于因子分析与主成分分析非常类似,在上面的因子模型中,若把εi 看做ai(m+1)F(m+1) +ai(m+2)F(m+2) +…+aipFp 的综合作用,则除了此处的因子为不可测变量这一区别,因子载荷与主成分分析中的因子负荷量是一致的。很多人对这两个概念并不加以区分而都称作因子载荷。矩阵A 称为因子载荷矩阵

    为了更好地理解因子分析方法,有必要讨论一下载荷矩阵A的统计意义以及公共因子与原始变量之间的关系。
    (1)因子载荷aij 的统计意义:

    即aij 是Xi 与Fj 的协方差,而注意到,Xi 与Fj(i =1,2,…,p;j =1,2,…,m)都是均值为0,方差为1 的变量,因此,aij 同时也是Xi 与Fj 的相关系数。

    (2)变量共同度与剩余方差:
    称ai12+ai22+ … +aim2为变量Xi 的共同度,记为hi2(i =1,2,…,p)
    由因子分析模型的假设前提,易得:

    易得记var(ε i)=σi2,则:

    上式表明共同度hi2与剩余方差σi2有互补的关系,越大表明Xi 对公共因子的依赖程度越大,公共因子能解释Xi 方差的比例越大,因子分析的效果也就越好。

    (3)考虑某一个公共因子Fj 与所有原始变量X1,X2,…,Xp 的关系。记:

    则gj2表示的是公共因子Fj 对于X 的每一分量Xi(i =1,2,…,p)所提供的方差的总和,称为公共因子Fj 对原始变量向量X 的方差贡献,它是衡量公共因子相对重要性的指标。gj2越大,表明公共因子Fj 对X 的贡献越大,或者说对X 的影响和作用就越大。
    如果将因子载荷矩阵A 的所有gj2(j =1,2,…,m)都计算出来,并按其大小排序,就可以依此提炼出最有影响的公共因子。

    因子载荷的求解

    有很多方法可以完成求解因子载荷这项工作,如主成分法、主轴因子法、最小二乘法、极大似然法、 α因子提取法等。

    • 主成分法

    用主成分法确定因子载荷是在进行因子分析之前先对数据进行一次主成分分析,然后把前几个主成分作为未旋转的公共因子。
    但是,由于用这种方法所得的特殊因子 ε1, ε2,…, εp之间并不相互独立,因此,用主成分法确定因子载荷不完全符合因子模型的假设前提,也就是说所得的因子载荷并不完全正确。
    当共同度较大时,特殊因子所起的作用较小,特殊因子之间的相关性所带来的影响几乎可以忽略。
    事实上,很多有经验的分析人员在进行因子分析时,总是先用主成分法进行分析,然后再尝试其他的方法

    • 主轴因子法

    主轴因子法也比较简单,且在实际应用中比较普遍。用主轴因子法求解因子载荷矩阵的方法,其思路与主成分法有类似的地方,两者均是从分析矩阵的结构入手,不同的地方在于,主成分法是在所有的p个主成分都能解释标准化原始变量所有方差的基础之上进行分析的,而主轴因子法中,假定 m个公共因子只能解释原始变量的部分方差,利用公共因子方差(或共同度)来代替相关矩阵主对角线上的元素 1,并以新得到的这个矩阵(称为调整相关矩阵)为出发点,对其分别求解特征根与特征向量,从而得到因子解。

    • 极大似然法

    如果假定公共因子F和特殊因子ε服从正态分布,则能够得到因子载荷和特殊因子方差的极大似然估计。

    因子旋转

    不管用何种方法确定初始因子载荷矩阵A,它们都不是唯一的。设F1,F2,…,Fm 是初始公共因子,则可以建立它们的如下线性组合得到新的一组公共因子F1′,F2′,…,Fm′,使得F1′,F2′,…,Fm′彼此相互独立,同时也能很好地解释原始变量之间的相关关系。

    这样的线性组合可以找到无数组,由此便引出了因子分析的第二个步骤——因子旋转。

    建立因子分析模型的目的不仅在于找到公共因子,更重要的是知道每一个公共因子的意义,以便对实际问题进行分析。然而,我们得到的初始因子解各主因子的典型代表变量不是很突出,容易使因子的意义含糊不清,不便于对实际问题进行分析。出于这种考虑,可以对初始公共因子进行线性组合,即进行因子旋转,以期找到意义更为明确、实际意义更明显的公共因子。
    经过旋转后,公共因子对Xi 的贡献hi2并不改变,但由于载荷矩阵发生变化,公共因子本身就可能发生很大的变化,每一个公共因子对原始变量的贡献gj2不再与原来相同,经过适当的旋转,我们就可以得到比较令人满意的公共因子。

    • 正交旋转和斜交旋转

    因子旋转分为正交旋转与斜交旋转。正交旋转由初始载荷矩阵A 右乘一正交阵而得到。经过正交旋转而得到的新的公共因子仍然保持彼此独立的性质。而斜交旋转则放弃了因子之间彼此独立这个限制,因而可能达到更为简洁的形式,其实际意义也更容易解释。但不论是正交旋转还是斜交旋转,都应当使新的因子载荷系数要么尽可能地接近于零,要么尽可能地远离零。
    对于一个具体问题要做因子旋转,有时需要进行多次才能得到满意效果。每一次旋转后,矩阵各列平方的相对方差之和总会比上一次有所增加。如此继续下去,当总方差的改变不大时,就可以停止旋转,这样就得到了新的一组公共因子及相应的因子载荷矩阵,使得其各列元素平方的相对方差之和最大。

    因子得分

    顾名思义,因子得分就是公共因子F1,F2,…,Fm在每一个样品点上的得分。

    这需要我们给出公共因子用原始变量表示的线性表达式,这样的表达式一旦能够得到,就可以很方便地把原始变量的取值代入表达式中,求出各因子的得分值。在此处,公共因子用原始变量线性表示的关系式并不易得到。

    在此处,公共因子用原始变量线性表示的关系式并不易得到。在主成分分析中,主成分是原始变量的线性组合,当取p 个主成分时,主成分与原始变量之间的变换关系是可逆的,只要知道了原始变量用主成分线性表示的表达式,就可以方便地得到用原始变量表示主成分的表达式;

    在因子模型中,公共因子的个数少于原始变量的个数,且公共因子是不可观测的隐变量,载荷矩阵A不可逆,因而不能直接求得公共因子用原始变量表示的精确线性组合。

    解决该问题的一种方法是用回归的思想求出线性组合系数的估计值,即建立如下以公共因子为因变量、原始变量为自变量的回归方程:


    此处因为原始变量与公共因子变量均为标准化变量,因此回归模型中不存在常数项。在最小二乘意义下,可以得到F的估计值:

    A 为因子载荷矩阵;R 为原始变量的相关阵;X 为原始变量

    主成分分析与因子分析的区别

    (1)因子分析把展示在我们面前的诸多变量看成由对每一个变量都有作用的一些公共因子和一些仅对某一个变量有作用的特殊因子线性组合而成。因此,我们的目的就是要从数据中探查能对变量起解释作用的公共因子和特殊因子,以及公共因子和特殊因子组合系数。主成分分析则简单一些,它只是从空间生成的角度寻找能解释诸多变量绝大部分变异的几组彼此不相关的主成分。

    (2)因子分析中,把变量表示成各因子的线性组合,而主成分分析中,把主成分表示成各变量的线性组合。

    (3)主成分分析中不需要有一些专门假设,因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括:各个公共因子之间不相关,特殊因子之间不相关,公共因子和特殊因子之间不相关。

    (4)提取主因子的方法不仅有主成分法,还有极大似然法等,基于这些不同算法得到的结果一般也不同。而主成分只能用主成分法提取。

    (5)主成分分析中,当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值唯一时,主成分一般是固定的;而因子分析中,因子不是固定的,可以旋转得到不同的因子。

    (6)在因子分析中,因子个数需要分析者指定,随指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中,主成分的数量是一定的,一般有几个变量就有几个主成分。

    (7)和主成分分析相比,由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子,在解释方面更加有优势。

    因子分析的步骤与逻辑框图

    步骤

    进行因子分析应包括如下几步:
    (1)根据研究问题选取原始变量。
    (2)对原始变量进行标准化并求其相关阵,分析变量之间的相关性。
    (3)求解初始公共因子及因子载荷矩阵。
    (4)因子旋转。
    (5)因子得分。
    (6)根据因子得分值进行进一步分析。

    逻辑框图

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  • 因子分析  因子分析是将数据进行降维处理  但能说出每一维的意义  设源数据为X(p维),降维后的数据为F(m维) m<p  对于原始数据的第i位,我们有  Xi =Σaij* Fj + e  那么aij 就可以组成一个一个p*m的...

    因子分析

      因子分析是将数据进行降维处理

      但能说出每一维的意义

      设源数据为X(p维),降维后的数据为F(m维)  m<p

      对于原始数据的第i位,我们有

      Xi = Σaij * Fj + e

      那么aij 就可以组成一个一个p*m的矩阵,即为因子载荷阵

    因子载荷阵

      求出协方差矩阵的特征值和特征向量,去掉特别小的一部分特征值

      A = (sqrt(λ1) * u1, sqrt(λ2) * u2,,,,,,,,,sqrt(λm) * um)

      ui = (ai1 / hi)2 - (ai2 / hi)2  一共p个

      vi = 2 (ai1 / hi) (ai2 / hi)  一共p个

     

      A = Σui

      B= Σvi

      C = Σ(ui2 - vi2)  

      D = 2 Σuivi

      tan (4*Φ) = (   D - 2AB/p   ) / (C - (A2 - B2) / p)

      T = cosΦ    -sinΦ

        sinΦ    cosΦ

     

      每次旋转时,取因子载荷阵的两列进行这样的组成A'p*2  然后A‘’ = A‘ * T  用A’代替A‘’

      因为一共有m列,每两列做一次旋转一共是m*(m-1) / 2次旋转

     

    共同度的计算:

      A按行计算共同度

      hi2 = Σaij2

    Fj对X的贡献为

      sj = Σaij2按列计算贡献

    因子得分

      不考

    转载于:https://www.cnblogs.com/shensobaolibin/p/10168590.html

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  • b站看【厦门大学MOOC】多元统计分析,因为老师很好看。 参考: 【厦门大学MOOC】多元统计分析 https://www.bilibili.com/video/BV1v7411E7PB 课程大纲: 一、多元统计分析概述 二、多元数据的描述与展示 三、多元...

    〇、前情提要

    b站看【厦门大学MOOC】多元统计分析,因为老师很好看。
    参考:

    1. 【厦门大学MOOC】多元统计分析
      https://www.bilibili.com/video/BV1v7411E7PB

    课程大纲:
    一、多元统计分析概述
    二、多元数据的描述与展示
    三、多元正态分布
    四、均值向量的检验
    五、判别分析和分类分析
    六、主成分分析
    七、因子分析
    八、聚类分析


    一、多元统计分析概述

    在这里插入图片描述


    1.1 多元分析的定义

    多元统计分析是什么?

    多元统计分析定义

    在这里插入图片描述

    多元数据

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    例子

    鸢尾花例子

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    行:样本 列:信息维度
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    ->研究变量之间的相关性、做回归

    购物网站例子

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    -> 维度之间的关系
    -> 业务问题


    1.2 多元分析的方法简介

    在这里插入图片描述

    数据描述

    多元数据特征和可视化、多元正态分布

    1. 怎么从特征上面去描述:多元数据波动性、平均情况、变量与变量之间的相关性
    2. 怎么用图形表示
    3. 多元正态分布情况

    第二章、第三章

    统计推断

    多元数据的统计检验

    1. 假设检验(数理统计 一个变量时均值的检验、两样本t检验)

    第四章

    经典降维

    简化数据结构

    1. 具体怎么做

    第六章、第七章

    目标归类

    根据数据特征构造归类模式

    1. 特征 聚类问题
    2. 标签 分类 判别分析问题

    第八章、第五章


    在这里插入图片描述

    数据描述

    将从四个部分来讲(第二章)
    在这里插入图片描述
    数据都是有分布的,多元正态(第三章)
    二元正态
    在这里插入图片描述

    顾客满意度评分

    平均、波动性、相关性
    在这里插入图片描述

    微博活跃程度

    在这里插入图片描述

    统计推断

    μ=μ0的推广(第四章)
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    经典降维

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    不是所有的信息都有用
    用少数代替多数
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    主成分分析

    样本/个体之间差异 最大化方差

    因子分析

    综合指标/公共因子 变量与变量之间的相关性 有公共因素

    数据减肥

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    目标归类

    对新的样本分类
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    多种信息维度分类
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    监督学习-分类问题

    分类问题
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    第五章
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    无监督学习-聚类问题

    聚类问题
    在这里插入图片描述
    第八章
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    1.3 多元分析的应用领域

    用统计学原理,研究各种感兴趣领域的知识。
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    不同行业的应用

    聚类 分类 判别问题

    市场营销

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    银行业

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    金融行业

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    医疗行业

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    分子生物学

    在这里插入图片描述

    天文学

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    法务会计

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    如何使数据驱动价值

    有原始数据
    ->直观有效信息(二三章 可视化 波动性 平均情况 分布性)
    ->提取有用的知识(统计推断 显著)
    ->统计建模(回归 分类)
    在这里插入图片描述


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  • 多元统计分析.zip

    2019-10-12 21:39:23
    多元统计分析包括 多元分析、聚类分析、主成分分析因子分析、判别分析。 这个资料包括这些内容的具体介绍和MATLAB代码实现。
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  • 多元统计分析资料

    2018-09-07 15:32:41
    包括多元分析,聚类分析,判别分析因子分析以及主成分分析
  • 多元统计分析

    2020-08-27 16:16:32
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    2020-08-28 14:23:35
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    2019-06-09 21:07:19
    多元系统分析中定理原理的仿真,matlab代码,供理工科学生学习借鉴使用。配套的书籍为《应用多元统计分析》。代码供参考,还有程序说明以及附带资料。
  • 主成分分析因子分析,聚类分析等,结合spss讲常用多元统计分析

空空如也

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