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  • 2021-02-11 18:18:55

    共回答了11个问题采纳率:81.8%

    只有三个二阶偏导,∂²z/∂x²,∂²z/∂y²,∂²z/(∂x∂y),(∂²z/(∂x∂y)和∂²z/(∂y∂x)是等价的,与求偏次序无关).

    z³ - 2xz + y = 0

    z关于x的一阶偏导数为∂z/∂x

    3z²(∂z/∂x) - 2z - 2x(∂z/∂x) = 0

    ∂z/∂x = 2z/(3z² - 2x)

    关于x的二阶偏导数

    ∂²z/∂x² = {2(∂z/∂x)(3z² - 2x) - 2z[6z((∂z/∂x)-2]}/(3z² - 2x)²

    把(∂z/∂x)代入上式化简计算就得到了z关于x的二阶偏导数

    z关于y的一阶偏导数为∂z/∂y

    3z²(∂z/∂y) - 2x(∂z/∂y) +1 = 0

    ∂z/∂y = -1/(3z² - 2x)

    二阶偏导数

    ∂²z/∂y² = 6z(∂z/∂y)/(3z² - 2x)² = 6z/(3z² - 2x)³

    在z关于y的一阶偏导数的基础上求的二阶混合偏导数∂²z/(∂x∂y)

    ∂²z/(∂x∂y) = ∂²z/(∂y∂x) = [6z(∂z/∂x) - 2]/(3z² - 2x)²

    代入关于x的一阶偏导可得二阶混合偏导

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    摘  要:多元隐函授的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要内容。该文介绍了計算由一个方程所确定的二元隐函数的二阶偏导数的4种方法,旨在对隐函数的偏导数问题有更深的理解和掌握。

    关键词:隐函数  偏导数  链式法则  微分法

    中图分类号:O13    文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2020)01(b)-0222-02

    多元隐函数的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要内容。隐函数存在定理2[1]提供了由一个方程所确定的二元隐函数的偏导数的计算公式,假设三元函数F(x,y,z)具有二阶连续偏导数,在一定条件[1]下,方程F(x,y,z)=0唯一确定一个具有连续偏导数的二元函数z=f(x,y),且有而对于z=f(x,y)二阶偏导数的计算,教材上并没有给出求解方法和公式,同时也是大部分大学一年级学生面临的一个难点问题。为了解决上述问题,该文主要介绍4种计算此二元隐函数z=f(x,y)二阶偏导数的方法,给出相应的求解思路和计算公式,供初学者参考学习。

    从以上4种方法的分析可以看出,微分法在求二元隐函数的二阶偏导数问题中有着显著优点,它比链式法则和偏导数求导法则要方便一些;特别是在变量间的关系较复杂时,微分法无须判断各变量之间的内在关系,只需将各变量一律看作成相互独立的自变量,再对等式两边的表达式同时求解微分或全微分,这样既简化了问题,也不容易出错。事实上,在大学数学课程的学习中,对于同一个具体问题,如果从不同的角度去分析,采用不同的处理方式或途径去解决就能得到不同的求解方法,通过比较可以选择便捷高效的方法,并在不断的分析比较中,使得学生将所学知识融会贯通、熟练掌握。

    参考文献

    [1] 同济大学数学系.高等数学(下册)[M].7版.北京:高等教育出版社,2014.

    [2] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析(下册)[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

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