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  • 微积分下基础题型

    2021-01-26 13:37:04
    求多元函数二阶偏导 先对分母的前一项偏导,再对偏导结果在偏导 偏导对象不变,偏导顺序不改变最终结果 求多元复合函数的偏导 把复杂部分设为u,v等 ---> 套公式 一元函数用d,多元函数用 栗子1 ...

    目录

    偏导

    多元函数求偏导

    求多元函数的二阶偏导

    求多元复合函数的偏导

    求多元隐函数的偏导

    多元函数的全微分

    多元复合函数的全微分

    已知全微分,求未知数

    多元函数求极值

    多元隐函数求极值

    多元函数求最值

    四个小知识点

    空间向量

    求向量的长度

    求向量的点乘

    求向量之间的夹角

    求一个向量在另一个向量方向上的投影

    向量垂直

    向量平行

    空间几何(上)

    求过三点的平面方程

    判断面与面、面与向量的关系

    已知面过一点和其法向量,求面

    求点到面的距离

    求两个面的交线方程

    线与线、线与面的关系

    已知线过一点和其方向向量,求线

    求点到线的距离

    求x=x(t)  y=y(t)  z=z(t)形式的曲线在某点处的切线和法平面

    求x、y、z写在一起的曲线在某点处的切线与法平面

    求曲面在某点处的切平面与法线

    二重积分

    计算形式的二重积分

    交换积分次序

    计算格式的二重积分

    积分区域与圆有关的二重积分

    积分区域对称的二重积分

    三重积分

     第一类曲线积分

    函数在圆上的积分

    函数在y=y(x)上的积分

    利用性质计算

    第二类曲线积分

    两个函数在圆上的积分

    两个函数在线上的积分

    利用性质计算

    第一类曲面积分

    已知面z=z(x,y),计算某一个函数在这个面上的积分

    已知面x=x(y,z),计算某一个函数在这个面上的积分

    已知面y=y(x,z),计算某一个函数在这个面上的积分

    函数在体的表面的积分

    第二类曲面积分函数

    在某一个曲面上关于dydz的积分

    函数在某一个曲面上关于dxdy的积分

    函数在某一个曲面上关于dxdz的积分

    判断级数的敛散性

    判断正项级数的敛散性

    判断交错级数的敛散性

    判断绝对收敛/条件收敛

     幂级数

    已知幂级数在某点收敛/发散,判断其在另一点的敛散性

    求幂级数的收敛域/收敛区间

    求幂级数的收敛半径

    求幂级数在收敛域内的和函数

    展成幂级数


    偏导

    多元函数求偏导

    是把下方的字母当未知数,其它字母当常数,对总函数求导

    在(a,b,c)点的偏导=分别求xyz的偏导,将x=a,y=b,z=c代入求出的三个数

    求多元函数的二阶偏导

    先对分母的前一项求偏导,再对偏导结果在求偏导

    偏导对象不变,偏导顺序不改变最终结果

    求多元复合函数的偏导

    把复杂部分设为u,v等    --->   套公式

    一元函数用d,多元函数用\partial

    栗子1

     栗子2

    栗子2变式

    求多元隐函数的偏导

    无法提出z=。。。,则为多元隐函数

    已知。。。=0

    1. 设F=。。。

    2. 分别求F对x,y,z的偏导

    3. 然后代公式,公式如下

    例子1)求一阶偏导

    例子2)求二阶偏导

    z包含x,就不能把z当成常数

    然后代入红黄框就OK了

    全微分及偏导的应用

    多元函数的全微分

    全微分dZ,有几项就由未知数的个数决定

    dZ=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy

    例子1

    例子2

    多元复合函数的全微分

    公式:dZ=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy

    已知全微分,求未知数

    公式dZ=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy

    公式\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}

    多元函数求极值

    方法:

    1. 求出同时满足z对x的偏导=0和z对y的偏导=0的一对(x,y)

    2. A=\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}     B=\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}    C=\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}  的 值

    3. B^2-AC<0    A<0极大值点  A>0极小值点

    4. B^2-AC=0不确定

    5. B^2-AC>0不是极值点

    例子

    多元隐函数求极值

    方法:

    1. 求出同时满足     z对x的偏导=0     和     z对y的偏导=0   和   原方程    的一对(x,y,z)

    2. A=\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}     B=\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}    C=\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}  的 值

    3. B^2-AC<0    A<0极大值点  A>0极小值点

    4. B^2-AC=0不确定

    5. B^2-AC>0不是极值点

    例子

    多元函数求最值

    四个小知识点

    空间向量

    求向量的长度

    求向量的点乘

    例子1

    例子2

    求向量之间的夹角

    公式:

    例子:

    求一个向量在另一个向量方向上的投影

    公式:

    例子:

    向量垂直

    若向量a和向量b垂直,则其点乘为0

    例子

    向量叉乘

    若向量\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b},则c与a垂直,c与b垂直,c与ab所在平面垂直

    例子

    向量平行

    当向量a和向量b平行,\vec{a}\times \vec{b}=0,每一项成比例

    空间几何(上)

    求过三点的平面方程

    Ax+By+Cz+D=0

    判断面与面、面与向量的关系

    公式

    已知面过一点和其法向量,求面

    例子

    例子

    求点到面的距离

    求两个面的交线方程

    线与线、线与面的关系

    已知线过一点和其方向向量,求线

    例子1

    例子2

    求点到线的距离

    方法一

    方法二

    点线距可用叉乘来求

    1. 取直线上一点和直线外所求点构成向量
    2. 求出直线方向向量
    3. 两向量做叉乘,叉乘结果求长度后除以方向向量长度

    求x=x(t)  y=y(t)  z=z(t)形式的曲线在某点处的切线和法平面

    求x、y、z写在一起的曲线在某点处的切线与法平面

    求曲面在某点处的切平面与法线

    二重积分

    计算\int dx\int dy形式的二重积分

    1. 把未知数集中到后边
    2. 计算后半部分积分
    3. 将计算结果代入前半部分中间

    交换积分次序

    例子1

    例子2

    例子3

    计算\int \int d\sigma格式的二重积分

    积分区域与圆有关的二重积分

    x=rcos\theta   y=rsin\theta  dxdy=rd\theta dr

    积分区域对称的二重积分

    三重积分

    方法

    • 第一步:结合表,表示出\Omega,并用z=?的形式表示出下表面与上表面
    • 下表面:从z坐标轴向上看的面
    • 上表面:从z坐标轴向上看的面
    • 第二步:求出\int_{down}^{up}f(x,y,z)dz,结果记为g(x,y)  
    • up     为  z上表面  
    • down为  z下表面
    • 第三步:求出\Omega在xoy面的投影D
    • 第四步:计算\int \int g(x,y)d\sigma

    例子

     

     第一类曲线积分

    函数在圆上的积分

    L为曲线,f为函数

    公式

    例子

    函数在y=y(x)上的积分

    公式

    例子

    综合变式子

    利用性质计算\int_{L}f(x,y)ds

    例子

    第二类曲线积分

    两个函数在圆上的积分

    公式

    例子

    两个函数在线上的积分

    公式

    例子1

    例子2

    利用性质计算\int _{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy

    例子

    变式

     

    第一类曲面积分

    已知面z=z(x,y),计算某一个函数在这个面上的积分

    公式

    做题步骤

    ①画出\sum,并表示出Dxy
    ②将\sum表示成z=?的形式,并求出f(x,y,z(x,y))
    ③求出\frac{\partial z}{\partial x}   \frac{\partial z}{\partial y}
    ④代入公式,求出答案

    例题1

    例题2

    已知面x=x(y,z),计算某一个函数在这个面上的积分

    公式

    做题步骤

    ①画出\sum,并表示出Dyz
    ②将\sum表示成x=?的形式,并求出f(x(y,z),y,z)
    ③求出\frac{\partial x}{\partial y}   \frac{\partial x}{\partial z}
    ④代入公式,求出答案

    例题

    已知面y=y(x,z),计算某一个函数在这个面上的积分

    公式

    做题步骤

    ①画出\sum,并表示出Dxz
    ②将\sum表示成y=?的形式,并求出f(x,y(x,z),z)
    ③求出\frac{\partial y}{\partial x}   \frac{\partial y}{\partial z}
    ④代入公式,求出答案

    例题

    函数在体的表面的积分

    第二类曲面积分函数

    在某一个曲面上关于dydz的积分

    公式

    例题

    例题

    例题

    函数在某一个曲面上关于dxdy的积分

    公式

    例题

    函数在某一个曲面上关于dxdz的积分

    公式

    例题

    判断级数的敛散性

    判断正项级数的敛散性

    正项级数:好多项相加,每一项都是正的,项项间有关系

    公式:

    进一步判断

    例题

    例题

    例题

    例题

    例题

    判断交错级数的敛散性

    公式

    例题

    判断绝对收敛/条件收敛

    公式

    正项级数

    • 若级数发散,则发散;
    • 若级数收敛,则绝对收敛。

    交错级数

    • 若级数发散,则发散;
    • 若级数收敛,则去掉(-1)的n次方项,变为正项级数:

    交错级数变为正项级数

    • 正项级数收敛,则绝对收敛;
    • 正项级数发散,则条件收敛。

    例题

    例题

     

     幂级数

    已知幂级数在某点收敛/发散,判断其在另一点的敛散性

    公式

    例题

    例题

    求幂级数的收敛域/收敛区间

    公式

    例题

    例题

    求幂级数的收敛半径

    公式

    例题

    例题

    求幂级数在收敛域内的和函数

    公式

    例题

    例题

    例题:乘x或乘x^2

    例题:提1/x或1/(x^2)

    例题:多个n  ->  多次求导或积分

    公式

    例题

    展成幂级数

    方法

    例题

    例题

    例题

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 高数下截图笔记

    2020-06-09 16:51:30
    1.定积分的应用 1.1. 利用定积分求面积 1.2. 利用定积分求体积 ...4.2偏导数,全微分,隐函数求偏导 4.3复合函数求偏导 4.4偏导,连续,可微 4.5梯度,方向导数 第二种情况 4.6多元函数

    1.定积分的应用

    1.1. 利用定积分求面积

    image-20200608082655993

    image-20200608082754108

    1.2. 利用定积分求体积

    image-20200609102701347

    2. 微分方程

    2.1可分离变量的微分方程

    image-20200608083423454

    2.2 齐次微分方程

    image-20200608083530673

    2.3一阶线性微分方程

    image-20200608083622582

    image-20200608083657554

    2.4二阶常系数齐次

    image-20200608083746340

    image-20200608083902533

    2.5二阶常系数非齐次

    image-20200609103047151

    3. 反常积分

    3.1无穷限的反常积分

    image-20200609161838198 image-20200609161859548 image-20200609161914569 image-20200609161933864 image-20200609162020992 image-20200609162045036

    3.2无界函数的反常积分

    image-20200609162306616 image-20200609162336576 image-20200609162353884 image-20200609162423234 image-20200609162443972 image-20200609162512506

    4.多元函数

    4.1重极限

    image-20200609105730438

    image-20200609105911536

    4.2偏导数,全微分,隐函数求偏导

    image-20200609105944056

    image-20200609110158328

    image-20200609110312627

    image-20200609110433948

    image-20200609110519387

    image-20200609110728642

    image-20200609111004482

    image-20200609111246785

    4.3复合函数求偏导

    image-20200609163141140

    image-20200609112421052

    image-20200609113158003

    4.4偏导,连续,可微

    image-20200609112718227

    4.5梯度,方向导数

    image-20200609113346390

    image-20200609113421575

    image-20200609113649702第二种情况

    4.6多元函数的极值

    image-20200609164808107

    image-20200609114558079

    image-20200609114656289

    5.空间几何向量

    5.1向量(点乘,叉乘)

    image-20200609115934137

    image-20200609120128518

    5.2空间平面和直线

    image-20200609120211449

    image-20200609120340721

    !image-20200609120418715

    image-20200609120512821

    image-20200609120600237

    image-20200609120645428

    5.3空间曲线的切线和法平面

    image-20200609120719033

    5.4曲面的切平面与法线

    image-20200609121126032

    重点在如何求上面的方向向量

    image-20200609164932075

    6.二重积分

    6.1直角坐标系下

    image-20200609151146296

    image-20200609151226035

    image-20200609151847306

    image-20200609151928320

    image-20200609152021695

    image-20200609152103420

    6.2极坐标系下

    image-20200609152152202

    image-20200609152305724

    image-20200609152400616

    image-20200609152441737

    image-20200609152532542

    image-20200609152928436

    image-20200609153022641

    7.曲线积分

    7.1第一类曲线积分

    image-20200609153931520

    image-20200609154040965

    image-20200609154119230

    image-20200609154158515

    image-20200609154229193

    7.2第二类曲线积分

    image-20200609154531941

    image-20200609154621075

    image-20200609154702822

    7.3高斯公式

    image-20200609154924050

    image-20200609155004833

    image-20200609155059163

    8.常数项级数

    8.1概念

    image-20200609155438312

    image-20200609155459503

    image-20200609155543939

    8.2审敛法

    image-20200609155621506

    image-20200609155644849

    image-20200609155720361

    image-20200609155751535

    8.3交错级数

    image-20200609155906158

    8.4绝对收敛,条件收敛

    image-20200609155949036

    9.幂级数

    9.1收敛半径,收敛域

    image-20200609160434833

    image-20200609160510617

    image-20200609160557467

    image-20200609160626633

    image-20200609160654592

    9.2和函数

    image-20200609160726983

    image-20200609160754344

    image-20200609160837351

    image-20200609160909619

    9.3幂级数展开

    image-20200609161029184

    展开全文
  • 考研数学

    2019-09-09 21:08:17
    拐点一元函数积分学不定积分反常积分定积分应用微分方程一阶微分方程的解法可降阶的微分方程二阶线性微分方程的解法多元函数的极限 多元函数的偏导数 全微分多元复合函数求导法则 隐函数求导公式多元函...

    极限与连续

    求极限的方法

    间断点的分类

    渐近线

    一元函数微分学

    导数定义

    导数的四则运算法则 反函数求导 复合函数求导

    隐函数求导 参数方程求导 对数求导法则

    微分

    中值定理 闭区间连续函数性质

    单调性 极值 最值 凹凸 拐点

    一元函数积分学

    不定积分

    反常积分

    定积分应用

    微分方程

    一阶微分方程的解法

    可降阶的微分方程

    二阶线性微分方程的解法

    多元函数的极限 多元函数的偏导数 全微分

    多元复合函数求导法则 隐函数求导公式

    多元函数极值及其求法

    二重积分

    利用直角坐标计算二重积分

    利用极坐标计算二重积分

    无穷级数

    常数项级数的审敛法

    幂级数

    函数展开成幂级数

    曲线曲面积分

    三重积分计算

    曲线积分计算 格林公式

    曲面积分 高斯公式

    展开全文
  • 微积分精简版复习目录微分方程n阶微分方程一阶微分方程法可分离变量一阶微分方程y/x形式齐次方程一阶齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程二阶微分方程最常规的二阶没有y的二阶没有x的二阶高阶常系数微分方程齐...

    微分方程

    n阶微分方程

    含有ay(n),a0ay^{(n)},a\ne 0的式子叫做n阶微分方程.

    一阶微分方程求法

    可分离变量一阶微分方程

    dydx=f(x)g(y)dyg(y)=f(x)dx {dy\over dx } = f(x)g(y)\\ {dy\over g(y)} = f(x)dx

    y/x形式齐次方程

    dydx=f(yx)u=yx,y=uxdydx=xdudx+uu+xdudx=f(u)duf(u)u=dxx {dy\over dx} = f({y\over x})\\ 令 u = {y\over x},y = ux\Rightarrow {dy\over dx} = x{du\over dx} + u\\ u + x{du\over dx} = f(u) \Rightarrow {du\over f(u)-u} = {dx\over x}

    一阶齐次线性微分方程

    dydx+P(x)y=0dydx=P(x)ydyy=P(x)dxlny=P(x)dx+Cy=CeP(x)dx {dy\over dx} + P(x)y = 0 \Rightarrow {dy\over dx} = -P(x)y\\ {dy\over y} = -P(x)dx \Rightarrow \ln|y| = -\int P(x)dx + C\\ y = Ce^{-\int P(x)dx}

    一阶非齐次线性微分方程

    dydx+P(x)y=Q(x)y=eP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdx+C]y=CeP(x)dx+eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx:y+,, {dy\over dx} + P(x)y = Q(x)\Rightarrow y = e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]\\ y = Ce^{-\int P(x)dx} + e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\\ 注 : 这个y的形式就是通解 + 特解的形式,前面的为齐次方程通解,后面是个特解

    二阶微分方程

    最常规的二阶

    y=P(x)y=P(x)dx+Cy=P(x)dxdx+C1x+C2 y'' = P(x) \Rightarrow y' = \int P(x)dx + C\Rightarrow y = \iint P(x)dxdx + C_1x + C_2

    没有y的二阶

    y=f(y,x),p=y,dydx=dpdxdpdx=f(p,x)p=P(x)+C1y=Q(x)+C1x+C2 y'' = f(y',x),令p=y',{dy'\over dx} = {dp\over dx}\\ {dp\over dx} = f(p,x) \Rightarrow p = P(x)+C_1\Rightarrow y = Q(x) + C_1x+C_2

    没有x的二阶

    y=f(y,y),p=y,dpdx=dpdydydx=pdpdypdpdy=f(p,y),. y'' = f(y',y),令p=y',{dp\over dx} = {dp\over dy}{dy\over dx} = p{dp\over dy}\\ p{dp\over dy} = f(p,y),然后带入一阶的情况求解即可.

    高阶常系数微分方程

    :exi=sinx+icosx,ea+bi=ea(sinb+icosb) 先补充一个公式:e^{xi} = \sin x + i\cos x,e^{a+bi} = e^a(\sin b + i\cos b)

    齐次形式

    any(n)+an1y(n1)++a0y=0anrn+an1rn1++a0=0r,kr,:{(C1+C2x++Ckxk)erxr,.eax{(C1+C2x++Ckxk)cos(bx)+(D1+D2x++Dkxk)sin(bx)}r=a+bi,abi, a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_0y = 0\\ \Rightarrow_{特征方程}a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_0 = 0\\ 解出很多个r,对于每个是k重根的r,对应的解:\\ \begin{cases} (C_1+C_2x+\cdots+C_kx^k)e^{rx}\\\qquad r为实数,把所有对应的解都加起来即可.\\ e^{ax}\{(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^k)\cos(bx) + (D_1+D_2x+\cdots+D_kx^k)\sin(bx)\}\\ \qquad r=a+bi,a-bi,把所有解加起来 \end{cases}

    非齐次方程

    非齐次方程的解的形式为齐次方程通解+特解.然后来讨论特解的形式
    f(y,y,,y(n))=Pm(x)eax:y=xteaxQm(x)at(0),Qm(x)xm f(y,y',\cdots,y^{(n)}) = P_m(x)e^{ax}\\ 设特解为:\quad y^* = x^te^{ax}Q_m(x)\\ a是对应齐次方程的t重特征根(可以为0),Q_m(x)是x的一个待定m次多项式\\

    f(y,y,,y(n))=eαx[Pm(x)sin(βx)+Qn(x)cos(βx)]kα+βi,j=max(m,n),:xkeαx[Pj(x)sin(βx)+Qj(x)cos(βx)] f(y,y',\cdots,y^{(n)}) = e^{\alpha x}[P_m(x)\sin(\beta x) + Q_n(x)\cos(\beta x)]\\ k 是 \alpha + \beta i的重数,j=\max{(m,n)},则对应的特解为:\\ x^ke^{\alpha x}[P'_j(x)\sin(\beta x) + Q'_j(x)\cos(\beta x)]

    欧拉方程

    xny(n)=f(x),x=et,xny(n)=D(D1)(Dn+1)y,D=ddt \sum x^ny^{(n)} = f(x),令x=e^t,然后转化x^ny^{(n)} = D(D-1)\cdots(D-n+1)y,D={d\over dt}

    多元函数微分学

    多元函数极限,连续,偏导

    极限

    lim(xx0)2+(yy0)2<δf(x,y)A<Δlimxx0yy0f(x,y)=A \lim_{\sqrt{(x-x0)^2+(y-y_0)^2}<\delta} |f(x,y) - A| < \Delta\\ 则\lim_{x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0} f(x,y) = A

    连续

    limxx0,yy0f(x,y)=f(x0,y0), \lim_{x\rightarrow x_0,y\rightarrow y_0} f(x,y) = f(x_0,y_0),那么在这个点连续

    偏导

    limΔy0f(x,y+Δy)f(x,y)Δy=AlimΔx0f(x+Δx,y)f(x,y)Δx=A \lim_{\Delta y \rightarrow 0} {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\over \Delta y} =A\\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\over \Delta x} =A

    可微

    f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)=AΔx+BΔy+o(Δ2x+Δ2y) f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{\Delta^2 x+\Delta^2y})

    它们之间的关系

    偏导连续 \rightarrow 可微 \rightarrow 连续 \rightarrow 有极限\\ 偏导连续 \rightarrow 可微 \rightarrow 可偏导

    偏导数

    计算图法(显式函数)

    z=f(x,y,u,v),u=p(x,y),v=q(x,y)zx=f1+f3ux+f4vxzy=f2+f3uy+f4vy z = f(x,y,u,v),u=p(x,y),v=q(x,y)\\ {\partial z\over \partial x} = f'_1 + f'_3 u'_x + f'_4v'_x\\ {\partial z\over \partial y} = f'_2 + f'_3 u'_y + f'_4v'_y

    隐函数

    {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,z)=0u=p(x,y)v=q(x,y),x{F1+F3ux+F4vx=0G1+G3ux+G4vx=0,Fx,Gx. 已知\begin{cases} F(x,y,u,v) = 0\\ G(x,y,u,z) = 0\\ u = p(x,y)\\ v = q(x,y) \end{cases},以下求对x的导数\\ 首先求出以下两个式子 \begin{cases} F'_1 + F'_3u'_x + F'_4v'_x = 0\\ G'_1 + G'_3u'_x + G'_4v'_x = 0 \end{cases}\\ 然后联立两个式子,就能解出对应的导数F'_x,G'_x.

    极值与最值

    设我们有个F(x,y),Fx,Fy,Fxy,Fyx,Fxx,Fyy函数F(x,y),导数F'_x,F'_y,F''_{xy},F''_{yx},F''_{xx},F''_{yy},然后我们求解下面的极

    没有约束条件的极值问题

    首先求出

    {Fx(x0,y0)=0Fy(x0,y0)=0(x0,y0) \begin{cases} F'_x(x_0,y_0) = 0\\ F'_y(x_0,y_0) = 0 \end{cases} 的点(x_0,y_0)

    如果其对应的

    [FxxFxyFyxFyy]=[ABBC] \begin{bmatrix} F''_{xx} & F''_{xy}\\ F''_{yx} & F''_{yy} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B\\ B & C \end{bmatrix}

    如果正定:A>0,ACB2>0A > 0,AC-B^2 > 0则为极小值,如果负定(A)>0,(A)(C)(B)2>0(-A) > 0,(-A)(-C) - (-B)^2 > 0则为极大值.

    有约束条件的极值

    假设约束条件是T(x,y)T(x,y)然后方程是F(x,y)F(x,y),已知的东西都一样.
    F(x,y)+λT(x,y)=0!T F(x,y) + \lambda T(x,y) = 0\\这个式子的极值就是了!需要单独判断一下T的边界
    推导原理:
    T(x,y),yx=TxTyFx=F1+F2×TxTy=0F1F2=TxTyF1Tx=F2TyFy=F2+F1×TyTx=0F1F2=TxTyF2Ty=λ{F1+λTx=0F2+λTy=0T=0F(x,y)+λT(x,y) 设T(x,y)构成了一个隐函数,那么{\partial y\over \partial x} = -{T'_x \over T'_y}\\ F'_x = F'_1 + F'_2 \times -{T'_x\over T'_y} = 0\Rightarrow {F'_1\over F'_2} = {T'_x\over T'_y}\Rightarrow {F'_1\over T'_x} = {F'_2\over T'_y}\\ F'_y = F'_2 + F'_1 \times -{T'_y\over T'_x} = 0\Leftrightarrow \Rightarrow {F'_1\over F'_2} = {T'_x\over T'_y}\\ 设{F'_2\over T'_y} = -\lambda \Rightarrow \\ \begin{cases} F'_1 + \lambda T'_x = 0\\ F'_2 + \lambda T'_y = 0\\ T = 0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow F(x,y) + \lambda T(x,y) 极值

    方向导数

    方向导数和梯度

    方向导数是指向某个具体方向的导数,如果方向为(cosα,cosβ)(\cos \alpha,\cos \beta),那么方向导数就是Fxcosα+FycosβF'_x\cos \alpha + F'_y \cos \beta,原理推导式子为
    limt0+F(x+tcosα,y+tcosβ)F(x,y)t \lim_{t\rightarrow 0^+}{F(x+t\cos \alpha,y+t\cos \beta) - F(x,y)\over t}
    然后有了梯度
    F=(Fx,Fy) \nabla F = (F'_x,F'_y)
    其中F|\nabla F|是方向导数的最大值,此时方向向量与F\nabla F同向.方向导数可以写成Fe,e={cosα,cosβ,cosγ}\nabla F \cdot e,e=\{\cos \alpha ,\cos \beta,\cos \gamma\}为方向向量.

    切线,法线,切平面,法平面

    切线和法平面是对直线来说的,直线通常可以由两个平面的交线确定.假设我们的两个平面为
    {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 \begin{cases} F(x,y,z) = 0\\ G(x,y,z) = 0 \end{cases}
    那么它的切向量就是
    [ijkFxFyFzGxGyGz]=Ai+Bj+Ck \begin{bmatrix} i & j & k\\ F'_x &F'_y &F'_z\\ G'_x & G'_y &G'_z \end{bmatrix} = Ai + Bj + Ck
    然后我们来搞它的法平面,也就是与切线垂直的平面
    A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0,(x0,y0,z0)线 A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0,(x_0,y_0,z_0)\in 线
    如果这个直线用的是参数方程的形式表示的话,也就是说
    {x=x(t)y=y(t)z=z(t),t \begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t) \end{cases},t为参数
    那么它的切向量就是
    (xt(t),yt(t),zt(t)),t (x'_t(t),y'_t(t),z'_t(t)),t为参数
    然后它的法平面就是
    A=xt(t),B=yt(t),C=zt(t) A = x'_t(t),B=y'_t(t),C=z'_t(t)的情况了
    法线和切平面是对一个平面方程来说的,一个平面方程通常可以写成F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0这个情况,然后我们研究它的法向量:
    (Fx,Fy,Fz) (F'_x,F'_y,F'_z)
    然后它的切平面,也就是跟法向量垂直的那个平面:
    Fx(xx0)+Fy(yy0)+Fz(zz0)=0,(x0,y0,z0) F'_x(x-x_0)+F'_y(y-y_0)+F'_z(z-z_0) = 0,(x_0,y_0,z_0)\in 平面
    这里需要注意这个法向量是朝着F式子增大的方向去的.比如x2+y2+z2=0x^2+y^2+z^2=0在第一象限的法向量是(2x,2y,2z)(2x,2y,2z)全都是正的,也就是往FF增大的方向.

    多元函数积分学

    重积分

    二重积分

    二重积分是对面积微元进行积分,三重积分是对体积微元进行积分.

    二重积分满足好几个性质:

    1. 可比性质fdρ<gdρ,f<g\iint f d\rho < \iint g d\rho,f < g
    2. 估值性质m<f<M,mS<fdρ<MSm<f<M,mS<\iint f d\rho<MS
    3. 中值定理fdρ=f(x0,y0)S\iint f d\rho = f(x_0,y_0)S

    二重积分的积分顺序
    Fdρ=x0x1y0y1dydx=y0y1x0x1dxdy \iint F d\rho = \int_{x_0}^{x_1} \int_{y_0}^{y_1}dydx = \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1}dxdy
    需要注意的是边界的判断,如果是函数的话,要画出区域然后换序.

    当然也可以进行换序到极坐标方程上
    SFds=ρdρdθ,ds=dρ(ρdθ) \iint_S F ds = \int \int \rho d \rho d\theta,ds = d\rho (\rho d\theta)

    三重积分

    对体积微元进行积分啊!Fdv\iiint F dv,上面那几个性质对于连续的F都成立.下面着重介绍换序的东西.换序柱坐标
    dv=dzdρ(ρdθ) dv = dz d\rho (\rho d\theta)
    换序球坐标,γ\gamma是与zz正向的夹角
    dv=dρ(ρdγ)(ρsinγdθ)=ρ2sinγdρdθdγ dv = d\rho (\rho d\gamma)(\rho \sin \gamma d\theta) = \rho^2 \sin \gamma d\rho d\theta d\gamma

    常用重积分公式

    ππcos(nx)dx=ππsin(nx)dx=0ππcos(mx)sin(nx)dx=0ππcos(mx)cos(nx)dx=ππsin(mx)sin(nx)dx={0mnπm=n0πcos(mx)cos(nx)dx=0πsin(mx)sin(nx)dx={0mnπ2m=nIn=0π2sinnxdx=0π2cosnxdx={n1nIn2(n1)!!n!!n=2k+1(n1)!!n!!π2n=2k \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx = 0\\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\sin(nx) dx = 0\\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&m\ne n\\\pi &m=n\end{cases}\\ \int_{0}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&m\ne n\\{\pi\over 2}&m=n\end{cases}\\ I_n = \int_{0}^{\pi\over 2}\sin^n xdx=\int_{0}^{\pi\over 2}\cos^n xdx = \begin{cases}{n-1\over n}I_{n-2}\\{(n-1)!!\over n!!}&n=2k+1\\{(n-1)!!\over n!!}{\pi\over 2}&n=2k\end{cases}

    第一类积分

    第一类曲线积分

    它是对弧长积分.
    Fds={F1+yx2dxy=y(x)F(xt)2+(yt)2dt{x=x(t)y=y(t)Fρ2+ρ2dρρ=ρ(θ) \int F ds = \begin{cases} \int F \sqrt{1+{y'_x}^2}dx&y=y(x)\\ \int F \sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2}dt&\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}\\ \int F \sqrt{\rho^2+\rho'^2}d\rho&\rho = \rho(\theta) \end{cases}
    如果有对称性的话,那么可以利用对称性进行计算

    第一类曲面积分

    这个东西是对面积微元进行积分
    +S/S,z=z(x,y)F(x,y,z)dS=SF(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy \iint_{+S/-S,z=z(x,y)} F(x,y,z) dS = \iint_S F(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}dxdy
    第二种方法是利用积分曲面的对称性和积分函数的奇偶性。具体原理跟上面曲线积分的奇偶性相同。

    第三种方法是利用积分曲线的轮换对称性,只要变量换了区域不变,那么变量换了积分值也不会变。
    Sx2dS,S:x2+y2+z2=1=Sy2dS=z2dS=13SR2dS=4πR43 \iint_S x^2 dS,S:x^2+y^2+z^2=1\\ = \iint_S y^2 dS = \iint z^2 dS = {1\over 3}\iint_S R^2dS = {4\pi R^4 \over 3}

    第二类积分

    第二类积分是有向积分。

    第二类曲线积分

    AB{F(x,y),Q(x,y)}(dx,dy)=BA{F(x,y),Q(x,y)}(dx,dy)=L(Fcosα+Gcosβ)ds(cosα,cosβ)L \int_{AB} \{F(x,y),Q(x,y)\} \cdot ({dx,dy}) = -\int_{BA}\{F(x,y),Q(x,y)\} \cdot(dx,dy) = \int_L (F\cos \alpha+G\cos \beta)ds\\ (\cos \alpha,\cos \beta)是L的方向余弦

    计算方法:

    1. 直接法

    L={x=x(t)y=y(t),t[a,b]LFdx+Gdy=LFxt+Gytdt L = \begin{cases}x = x(t)\\y=y(t)\end{cases},t\in [a,b]\\ \int_L F dx + G dy = \int_L Fx'_t+Gy'_tdt

    1. 格林公式,要求L是正向闭曲线(沿着L前进,区域在其左侧)

    LPdx+Qdy=SQxPydxdy \int_L P dx + Qdy = \iint_S{\partial Q\over \partial x} - {\partial P\over \partial y} dxdy

    1. 利用线积分与路径无关的结论

    Qx=PyLPdx+Qdy=L0P(x,y0)dx+L1Q(x0,y)dy,L0+L1=L 前提:{\partial Q\over \partial x} = {\partial P\over \partial y}\\ 结论:\int_L Pdx+Qdy = \int_{L0} P(x,y_0)dx + \int_{L1}Q(x_0,y)dy,L_0+L_1=L

    三维情况与上面差不多,然后补充一下:

    1. 直接法

    {x=x(t)y=y(t)z=z(t),t[a,b]LPdx+Qdy+Rdz=LPx+Qy+Rzdt \begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases},t\in [a,b]\\ \int_L Pdx+Qdy+Rdz = \int_L Px'+Qy'+Rz' dt

    1. 斯托克斯公式,要求L是S的正向。这个东西叫做旋度

    LPdx+Qdy+Rdz=S[dydzdzdxdxdyxyzPQR] \int_L Pdx + Qdy+Rdz = \iint_S \begin{bmatrix} dydz & dzdx & dxdy\\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z}\\ P & Q &R \end{bmatrix}

    第二类曲面积分

    应该是一个向量{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}分别对dydz,dzdx,dxdydydz,dzdx,dxdy曲面的积分。这个东西叫做散度。方向与曲面选择相关。
    SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=S(Pcosa+Qcosb+Rcosc)dS \iint_S Pdydz + Qdzdx+Rdxdy = \iint_S(P\cos a+Q\cos b+R\cos c)dS
    计算方法:

    1. 直接法

    SP(x,y,z)dydz=+P(x(y,z),y,z)dydz,Sox \iint_S P(x,y,z)dydz = ^+_-\iint P(x(y,z),y,z)dydz,正负号选择与S的法向量与ox夹角有关

    1. 直接法*2

    SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=S[P(zx)+Q(zy)+R]dxdydzdx=zx? \iint_S P dydz + Q dzdx + Rdxdy = \iint_S [P(-{\partial z\over \partial x}) + Q(-{\partial z\over \partial y}) + R]dxdy\\ 可以认为是利用了 {dz\over dx} = -{\partial z\over \partial x}?

    1. 高斯公式,要求S是V的外侧的闭曲面。如果不是的话,可以考虑搞成一个封闭的曲面。这东西就是散度

    SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=VPx+Qy+RzdV \iint_S Pdydz + Qdzdx+Rdxdy = \iiint_V {\partial P\over \partial x} + {\partial Q\over \partial y} + {\partial R\over \partial z} dV

    无穷级数

    常数项级数

    数列a1,a2,,ana_1,a_2,\dots,a_n是一个数列,然后称S=aiS = \sum a_i为无穷奇数。如果它收敛于某个数值,那么就称这个数列收敛于这个数值。如果没有极限,那么就称它发散。

    对于无穷级数,它满足以下几个性质:

    1. kanka_nana_n的敛散性相同。
    2. (an)+(bn)=cn(a_n)^+_- (b_n) = c_n收敛+收敛=收敛。发散+发散=不确定。收敛+发散=发散
    3. 改变前面有限项不影响敛散性
    4. 收敛加括号必收敛,发散加括号可能收敛,加括号发散必发散
    5. 收敛必要条件limn+an=0\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0

    正项级数

    正项级数敛散性判别方法(下面都是充分条件):

    1. 比较判别法

    0anbn,bn,an 0 \leq a_n \leq b_n,\sum b_n,\sum a_n\\ 前收敛后必收敛,后发散前必发散

    1. 比较判别法的比值形式

    常用的几个做b的函数:1np{1\over n^p},p大于1收敛,小于等于1发散。aqnaq^n,q大于等于1发散,小于1收敛。
    limn+anbn=l{l=+,bal=0,bal=e,eR,ba \lim_{n\rightarrow +\infty} {a_n\over b_n} = l\\ \begin{cases} l = +\infty&,b发散a必发散\\ l = 0&,b收敛a必收敛\\ l = e,e\in \R&,b和a同敛散性 \end{cases}

    1. 比值判别法

    常见的是n!n!
    limn+an+1an=l{l>1,l<1,l=1, \lim_{n\rightarrow +\infty} {a_{n+1}\over a_n} = l\\ \begin{cases} l > 1&,发散\\ l < 1&,收敛\\ l = 1&,不一定 \end{cases}

    1. 根值判别法

    常见的是nn,n!,n!n=1n^n,n!,\sqrt[n]{n!} = 1
    limn+ann=l{l>1,l<1,l=1, \lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n} = l\\ \begin{cases} l > 1&,发散\\ l < 1&,收敛\\ l = 1&,不一定 \end{cases}

    交错级数

    (1)nun,un>0(-1)^n u_n,u_n>0

    莱布尼兹判定法则(充分条件),条件为以下两个:

    1. un+1un,nu_{n+1} \leq u_n,n对所有实数都成立
    2. limn+un=0\lim_{n\rightarrow +\infty} u_n = 0

    或者是它是绝对收敛的。

    任意项级数

    绝对值构成的级数收敛,那么称它为绝对收敛。本身收敛,绝对值构成的级数发散,则称为条件收敛。

    绝对收敛级数的原级数必定收敛,条件收敛级数的正项或负项构成的级数一定发散。

    幂级数

    函数项级数是指ui(x)=u1(x)+u2(x)+\sum u_i(x) = u_1(x)+u_2(x)+\dots。如果在x0x_0处收敛,则称这个点为收敛点.收敛点构成的集合称为收敛域.和函数是指在收敛域内的ui(x)\sum u_i(x).

    幂级数是指an(xx0)n\sum a_n(x-x_0)^n称为xx0x-x_0的幂级数.anxn\sum a_n x^n称为x的幂级数.

    收敛半径与收敛域

    阿贝尔引理:关于x的幂级数如果在x10x_1\ne 0处收敛,那么它在x<x1|x|<|x_1|的地方绝对收敛.如果在x2x_2发散,那么在x>x2|x| > |x_2|都发散.

    收敛半径:绝对收敛的开区域.可以为0,也可以为无穷.这两个特殊情况是人为定义的.

    求收敛半径:limn+an+1an=l\lim_{n\rightarrow +\infty} |{a_{n+1}\over a_n}| = l,那么1l1\over l的扩展定义就是R.同样limn+ann=l\lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n} = l也有相同的结论成立.

    收敛区间是(R,R)(-R,R),收敛域需要单独判断端点处的敛散情况.

    四则运算性质

    加减乘之后,收敛半径取两个收敛半径的最小值.

    除法定义为乘法的逆运算

    幂级数展开

    如果f(x)f(x)x=x0x=x_0处任意阶可导,则展开成泰勒级数为
    n=0+f(n)(x0)n!(xx0)n \sum_{n=0}^{+\infty} {f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n
    特殊一点搞到x=0的展开,叫做麦克劳林级数
    n=0+f(n)(0)n!xn \sum_{n=0}^{+\infty}{f^{(n)}(0)\over n!}x^n
    泰勒级数的x1x_1点收敛于原函数的判定条件为
    limn+Rn(x1)=limn+f(n+1)(t)(n+1)!(xx0)(n+1),t[x0,x1] \lim_{n\rightarrow +\infty} R_n(x_1) = \lim_{n\rightarrow +\infty}{f^{(n+1)}(t)\over (n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)},t\in [x_0,x_1]
    常用的麦克劳林展开式
    11x=n=0+xn11+x=n=0(x)nex=n=0+xnn!sinx=n=0+(1)nx2n+1(2n+1)!cosx=n=0+(1)nx2n(2n)!ln(1+x)=0xn=0+(1)ntndt=n=0+(1)nxn+1n+1 {1\over 1-x}= \sum_{n=0}^{+\infty} x^n\\ {1\over 1+x} = \sum_{n=0}^{_\infty} (-x)^n\\ {e^x} = \sum_{n=0}^{+\infty} {x^n\over n!}\\ \sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n {x^{2n+1}\over (2n+1)!}\\ \cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n {x^{2n}\over (2n)!}\\ \ln(1+x) = \int_0^{x} \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n t^n dt = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n {x^{n+1}\over n+1}

    傅里叶级数

    三角函数的正交性

    ππsinnxdx=ππcosnxdx=ππsinnxcosmxdx=0ππsinnxcosmxdx={0mnπm=n \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx = \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx = 0\\ \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx dx = \begin{cases} 0&m\ne n\\ \pi &m=n \end{cases}

    傅里叶级数

    an=1πππf(x)cosnxdx,n=0,1,2,bn=1πππf(x)sinnxdx,n=1,2, a_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx, n = 0,1,2,\dots\\ b_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx,n = 1,2,\dots

    展开所构成的傅里叶级数为
    f(x)a02+n=1+(ancosnx+bnsinnx) f(x) \sim {a_0\over 2} + \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)

    收敛性定理

    如果一个函数在周期区间[π,π][-\pi,\pi]

    1. 除了有限个第一类间断点(两侧极值都有)连续
    2. 仅存在有限个极值点

    则其傅里叶级数在[π,π][-\pi,\pi]上处处收敛于,而且:

    1. f(x)f(x),连续点
    2. f(x)+f(x+)2{f(x^-)+f(x^+)\over 2}间断点
    3. f(π+)+f(π)2f(-\pi^+) + f(\pi^-)\over 2,x=+πx = ^+_- \pi

    一个普通周期函数

    如果这个周期函数的周期区间是[l,l][-l,l],那么有以下的展开
    X=xπl,X[π,π]an=1πππf(x)cosnXdX=πlπllf(x)cosnπxldx=1lllf(x)cosnπxldxbn \begin{aligned} X &= x{\pi \over l},X\in [-\pi,\pi]\\ a_n &= {1\over \pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nX dX\\ &= {\pi\over l\pi}\int_{-l}^{l} f(x) \cos {n\pi x\over l}dx\\ &= {1\over l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos {n\pi x\over l}dx\\ b_n&同理 \end{aligned}

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空空如也

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多元隐函数求二阶偏导