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  • 此资源是我自己以前写的一篇随笔(word格式),对牛顿迭代法进行了讲解,并利用matlab进行一元非线性方程以及多元非线性方程组的仿真,附带详细注释,并输出每次迭代的结果,对于学习牛顿迭代法和matlab的新手会有...
  • 文中给出一种解非线性超越方程组的数值方法,先用二分法原理给出解一个一元方程的流程,继而利用这个流程给出解二元方程 组的流程,再推广到 N 元的方程组中。 在数值计算过程中,通过对超越方程组的一元处理,仅利用...
  • 近段时间遇到了多元非线性方程组求解问题,总是觉得理解的不透彻。所以单独将问题拿出来,循序渐进,由浅到深解决问题。 好吧,从最简单的开始吧! 用迭代法解下面的方程组 2*x1*x1+x2*x2-1=0; x1+x2=0; 基本的...

    近段时间遇到了多元非线性方程组求解问题,总是觉得理解的不透彻。所以单独将问题拿出来,循序渐进,由浅到深解决问题。
    好吧,从最简单的开始吧!
    用迭代法解下面的方程组

                        2*x1*x1+x2*x2-1=0;
                        x1+x2=0;
    

    基本的思想将非线性化为线性进行求解
    …(省略)…

    vc++实现如下
     
     
    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    //float f1(float x1,float x2)=;
    //float f2(float x1,float x2)=;
    int main()
    {
     int k=0;
     float J[2][2];//雅可比矩阵
     float x1=-1,x2=1;//初始解
     float F[2];//迭代过程的中间解,带入函数
     float detx[2];
     do{
      k++;
      printf("第%d次迭代",k);
      //计算第k次雅可比矩阵J[2][2]={ (4*x,2*y), ( 1,  1) }
      J[0][0]=4*x1;J[0][1]=2*x2;J[1][0]=1;J[1][1]=1;
      //求F(x) F[0]=f1(x1,x2);F[1]=f2(x1,x2);
            F[0]=2*x1*x1+x2*x2-1;F[1]=x1+x2;
      //接线性方程组detx[2]=-J的逆*F[2][2]
      
        //求解-J的逆
      J[0][0]=1/(2*x2-4*x1);
      J[0][1]=2*x2/(4*x1-2*x2);
      J[1][0]=-J[0][0];
      J[1][1]=4*x1/(2*x2-4*x1);
        //求解x1,x2的增量
      detx[0]=J[0][0]*F[0]+J[0][1]*F[1];
            detx[1]=J[0][1]*F[0]+J[1][1]*F[1];
    
      x1=x1+detx[0];x2=x2+detx[1];
      printf("x1的增量%f,x2的增量%f\n",detx[0],detx[1]);
       
     }while(fabs(detx[0])>0.0001||fabs(detx[1])>0.0001);
     printf("非线性方程组的解为x1=%f,x2=%f\n",x1,x2);
     //验证
     printf("将x1,x2的值带入第一个方程%f\n",2*x1*x1+x2*x2-1);
        printf("将x1,x2的值带入第二个方程%f\n",x1+x2);
     return 0;
    }
    

    结果如下

    第1次迭代x1的增量0.333333,x2的增量-0.666667
    第2次迭代x1的增量0.066667,x2的增量0.266667
    第3次迭代x1的增量0.022222,x2的增量-0.026667
    第4次迭代x1的增量0.000423,x2的增量0.004176
    第5次迭代x1的增量0.000005,x2的增量-0.000168
    第6次迭代x1的增量-0.000000,x2的增量0.000009
    非线性方程组的解为x1=-0.577350,x2=0.577351
    将x1,x2的值带入第一个方程0.000001
    将x1,x2的值带入第二个方程0.000000
    Press any key to continue

    说明:初始值的选取非常重要。为了将问题的核心集中,做了很多简化,没必要去纠结其中的很多东西。

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  • #coding:utf-8'''多变量非线性方程求解'''import sympyimport scipyfrom scipy import optimizeimport numpy as npfrom matplotlib import pyplot as pltfrom pylab import mplmpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['...

    #coding:utf-8

    '''

    多变量非线性方程求解

    '''

    import sympy

    import scipy

    from scipy import optimize

    import numpy as np

    from matplotlib import pyplot as plt

    from pylab import mpl

    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 指定默认字体

    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题

    '''

    y - x^3 - 2*x^2 + 1 = 0

    y + x^2 - 1 = 0

    '''

    def f(x):

    return [x[1] - x[0] ** 3 - 2 * x[0] ** 2 + 1,x[1] + x[0] ** 2 - 1]

    result = optimize.fsolve(f,[1,1])

    print('result = ',result)

    # 使用符号方式求解

    x, y = sympy.symbols("x, y")

    f_mat = sympy.Matrix([y - x**3 -2*x**2 + 1, y + x**2 - 1])

    # 求解雅可比矩阵

    result = f_mat.jacobian(sympy.Matrix([x, y]))

    print('result = ',result)

    def f_jacobian(x):

    return [[-3*x[0]**2-4*x[0], 1], [2*x[0], 1]]

    result = optimize.fsolve(f, [1, 1], fprime=f_jacobian)

    print('result = ',result)

    # 可视化求解过程

    x = np.linspace(-3, 2, 5000)

    y1 = x**3 + 2 * x**2 -1

    y2 = -x**2 + 1

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))

    ax.plot(x, y1, 'b', lw=1.5, label=r'$y = x^3 + 2x^2 - 1$')

    ax.plot(x, y2, 'g', lw=1.5, label=r'$y = -x^2 + 1$')

    x_guesses = [[-2, 2], [1, -1], [-2, -5]]

    for x_guess in x_guesses:

    sol = optimize.fsolve(f, x_guess)

    ax.plot(sol[0], sol[1], 'r*', markersize=15)

    ax.plot(x_guess[0], x_guess[1], 'ko')

    ax.annotate("", xy=(sol[0], sol[1]), xytext=(x_guess[0], x_guess[1]),

    arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=2.5))

    ax.legend(loc=0)

    ax.set_xlabel(r'$x$', fontsize=18)

    plt.show()

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  • 本文简要叙述该算法并使用MATLAB实现该算法求解一元非线性方程和多元非线性方程组。算法简述一般非线性方程组的根通常无法直接求解,因此需要使用如牛顿法一类的迭代算法求近似解(数值解)。一维牛顿迭代法求解形如...

    牛顿法是一种近似求解非线性方程根的迭代算法。本文简要叙述该算法并使用MATLAB实现该算法求解一元非线性方程和多元非线性方程组。

    算法简述

    一般非线性方程组的根通常无法直接求解,因此需要使用如牛顿法一类的迭代算法求近似解(数值解)。一维牛顿迭代法求解形如 f(x) =0 的根,算法如下:

    选取一个接近函数零点的自变量 x 值作为起始点

    使用如下的迭代公式更新近似解

    ea6ff88ccad8?from=singlemessage

    如果得出的解满足误差要求,终止迭代,所得的值即视为方根根的近似解

    一维牛顿法实例

    使用牛顿迭代法近似求解如下方程在 [-1, 1]之间的根:

    ea6ff88ccad8?from=singlemessage

    我们可以使用匿名函数 (anonymous function)来定义函数及其导数:

    f = @(x) cos(x) - x.^3; %定义函数f(x)

    f_prime = @(x) - sin(x) - 3*x.^2; %定义函数的导数

    这里我们可以使用 while 循环来实现,终止条件设为相对误差小于1e-8。

    % Copyright Zhiwei Peng, all rights reserved.

    clear, close all

    clc

    f = @(x) cos(x) -x.^3;

    f_prime = @(x) -sin(x) -3*x.^2;

    error = 1; %初始化误差变量

    iter = 0; %初始化迭代次数变量

    max_iter = 5000; %定义最大允许迭代次数

    tol = 1e-8; %定义循环终止误差

    x0 = 0.5; %初始值

    while error > tol && iter <= max_iter

    x = x0 - f(x0)/f_prime(x0); %更新x的值

    error = abs((x-x0)/x0); %计算相对误差

    iter = iter +1; %更新迭代次数

    x0 = x; %计算出的x赋值给x0,继续迭代,直到达到误差条件。

    end

    一般情况下,牛顿迭代法收敛很快 (quadratic convergence),对于本例中的函数,几次迭代即可得到近似解。

    >> x

    x =

    0.865474033101614

    >> iter

    iter =

    6

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  • python里面多元非线性回归有哪些方法SciPy 里面的子函数库optimize, 一般情况下可用curve_fit函数直接拟合或者leastsq做最小二乘第九句:简单的事重复做,你就是专家;重复的事用心做,你就是赢家。Python怎么实现...

    python里面多元非线性回归有哪些方法

    SciPy 里面的子函数库optimize, 一般情况下可用curve_fit函数直接拟合或者leastsq做最小二乘第九句:简单的事重复做,你就是专家;重复的事用心做,你就是赢家。

    Python怎么实现非线性的拟合小编只是个普通人,渴了会喝水,困了会想睡,痛了大概也会放手吧。

    f9c7c1e40704c0f2a12b8bd1962be609.png

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    python怎样做高斯拟合

    python怎么用线性回归拟合有一天你能够自给自足:从物质到情感到精神,你才能够与人真正的和谐亲密相处。

    请教一个多组数据点拟合的问题,需要用 Python 实现

    试试 numpy.piecewise() 或者 google 一下 piecewise liearn fitting 对 numpy 不熟悉,以小编朴素的数学知识瞎 bibi 下, 先锁定第一点 A 和最后一点 B, 然后假定加入中间的 i 点,变成 2 条线了,计算对应的方差 Di,确定第 3 个点 C=i, where 小编发誓你会活的有笑容,没人能把谁的幸福没收。

    python中用polyfit拟合出的函数怎么能直接调用?不开心,就算长生不老也没用,开心,就算只能活几天也足够!

    怎么用Python将图像边界用最小二乘法拟合成曲线

    Python 怎么用曲线拟合数据爱情是一场说走就走的旅行,也是一场说散就散的青春。

    小编有两组数据: y = [41.417, 49.077, 26.683, 42.137, 37.31, 10.022, Python中利用guiqwt进行曲线数据拟合。

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    千次阅读 2020-05-11 08:04:04
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  • 非线性回归 - 案例按步骤详解 -(SPSS建模)

    万次阅读 多人点赞 2019-02-15 13:09:27
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    千次阅读 2020-09-22 12:17:51
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空空如也

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多元非线性方程线性化