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  • 2021-01-14 09:37:37

    本文基于yhat上Logistic Regression in Python,作了中文翻译,并相应补充了一些内容。本文并不研究逻辑回归具体算法实现,而是使用了一些算法库,旨在帮助需要用Python来做逻辑回归的训练和预测的读者快速上手。

    逻辑回归是一项可用于预测二分类结果(binary outcome)的统计技术,广泛应用于金融、医学、犯罪学和其他社会科学中。逻辑回归使用简单且非常有效,你可以在许多机器学习、应用统计的书中的前几章中找到个关于逻辑回归的介绍。逻辑回归在许多统计课程中都会用到。

    我们不难找到使用R语言的高质量的逻辑回归实例,如UCLA的教程R Data Analysis Examples: Logit Regression就是一个很好的资源。Python是机器学习领域最流行的语言之一,并且已有许多Python的资源涵盖了支持向量积和文本分类等话题,但少有关于逻辑回归的资料。

    本文介绍了如何使用Python来完成逻辑回归。

    简介

    示例代码中使用了一些算法包,请确保在运行这些代码前,你的电脑已经安装了如下包:

    numpy: Python的语言扩展,定义了数字的数组和矩阵

    pandas: 直接处理和操作数据的主要package

    statsmodels: 统计和计量经济学的package,包含了用于参数评估和统计测试的实用工具

    pylab: 用于生成统计图

    逻辑回归的实例

    在此使用与Logit Regression in R相同的数据集来研究Python中的逻辑回归,目的是要辨别不同的因素对研究生录取的影响。

    数据集中的前三列可作为预测变量(predictor variables):

    gpa

    gre分数

    rank表示本科生母校的声望

    第四列admit则是二分类目标变量(binary target variable),它表明考生最终是否被录用。

    加载数据

    使用 pandas.read_csv加载数据,这样我们就有了可用于探索数据的DataFrame。

    import pandas as pd

    import statsmodels.api as sm

    import pylab as pl

    import numpy as np

    # 加载数据

    # 备用地址: http://cdn.powerxing.com/files/lr-binary.csv

    df = pd.read_csv("http://www.ats.ucla.edu/stat/data/binary.csv")

    # 浏览数据集

    print df.head()

    # admit gre gpa rank

    # 0 0 380 3.61 3

    # 1 1 660 3.67 3

    # 2 1 800 4.00 1

    # 3 1 640 3.19 4

    # 4 0 520 2.93 4

    # 重命名'rank'列,因为dataframe中有个方法名也为'rank'

    df.columns = ["admit", "gre", "gpa", "prestige"]

    print df.columns

    # array([admit, gre, gpa, prestige], dtype=object)

    Python

    注意到有一列属性名为rank,但因为rank也是pandas dataframe中一个方法的名字,因此需要将该列重命名为”prestige”.

    统计摘要(Summary Statistics) 以及 查看数据

    现在我们就将需要的数据正确载入到Python中了,现在来看下数据。我们可以使用pandas的函数describe来给出数据的摘要–describe与R语言中的summay类似。这里也有一个用于计算标准差的函数std,但在describe中已包括了计算标准差。

    我特别喜欢pandas的pivot_table/crosstab聚合功能。crosstab可方便的实现多维频率表(frequency tables)(有点像R语言中的table)。你可以用它来查看不同数据所占的比例。

    # summarize the data

    print df.describe()

    # admit gre gpa prestige

    # count 400.000000 400.000000 400.000000 400.00000

    # mean 0.317500 587.700000 3.389900 2.48500

    # std 0.466087 115.516536 0.380567 0.94446

    # min 0.000000 220.000000 2.260000 1.00000

    # 25% 0.000000 520.000000 3.130000 2.00000

    # 50% 0.000000 580.000000 3.395000 2.00000

    # 75% 1.000000 660.000000 3.670000 3.00000

    # max 1.000000 800.000000 4.000000 4.00000

    # 查看每一列的标准差

    print df.std()

    # admit 0.466087

    # gre 115.516536

    # gpa 0.380567

    # prestige 0.944460

    # 频率表,表示prestige与admin的值相应的数量关系

    print pd.crosstab(df['admit'], df['prestige'], rownames=['admit'])

    # prestige 1 2 3 4

    # admit

    # 0 28 97 93 55

    # 1 33 54 28 12

    # plot all of the columns

    df.hist()

    pl.show()

    Python

    运行代码后,绘制的柱状统计图如下所示:

    使用pylab绘制的柱状统计图

    虚拟变量(dummy variables)

    虚拟变量,也叫哑变量,可用来表示分类变量、非数量因素可能产生的影响。在计量经济学模型,需要经常考虑属性因素的影响。例如,职业、文化程度、季节等属性因素往往很难直接度量它们的大小。只能给出它们的“Yes—D=1”或”No—D=0”,或者它们的程度或等级。为了反映属性因素和提高模型的精度,必须将属性因素“量化”。通过构造0-1型的人工变量来量化属性因素。

    pandas提供了一系列分类变量的控制。我们可以用get_dummies来将”prestige”一列虚拟化。

    get_dummies为每个指定的列创建了新的带二分类预测变量的DataFrame,在本例中,prestige有四个级别:1,2,3以及4(1代表最有声望),prestige作为分类变量更加合适。当调用get_dummies时,会产生四列的dataframe,每一列表示四个级别中的一个。

    # 将prestige设为虚拟变量

    dummy_ranks = pd.get_dummies(df['prestige'], prefix='prestige')

    print dummy_ranks.head()

    # prestige_1 prestige_2 prestige_3 prestige_4

    # 0 0 0 1 0

    # 1 0 0 1 0

    # 2 1 0 0 0

    # 3 0 0 0 1

    # 4 0 0 0 1

    # 为逻辑回归创建所需的data frame

    # 除admit、gre、gpa外,加入了上面常见的虚拟变量(注意,引入的虚拟变量列数应为虚拟变量总列数减1,减去的1列作为基准)

    cols_to_keep = ['admit', 'gre', 'gpa']

    data = df[cols_to_keep].join(dummy_ranks.ix[:, 'prestige_2':])

    print data.head()

    # admit gre gpa prestige_2 prestige_3 prestige_4

    # 0 0 380 3.61 0 1 0

    # 1 1 660 3.67 0 1 0

    # 2 1 800 4.00 0 0 0

    # 3 1 640 3.19 0 0 1

    # 4 0 520 2.93 0 0 1

    # 需要自行添加逻辑回归所需的intercept变量

    data['intercept'] = 1.0

    Python

    这样,数据原本的prestige属性就被prestige_x代替了,例如原本的数值为2,则prestige_2为1,prestige_1、prestige_3、prestige_4都为0。

    将新的虚拟变量加入到了原始的数据集中后,就不再需要原来的prestige列了。在此要强调一点,生成m个虚拟变量后,只要引入m-1个虚拟变量到数据集中,未引入的一个是作为基准对比的。

    最后,还需加上常数intercept,statemodels实现的逻辑回归需要显式指定。

    执行逻辑回归

    实际上完成逻辑回归是相当简单的,首先指定要预测变量的列,接着指定模型用于做预测的列,剩下的就由算法包去完成了。

    本例中要预测的是admin列,使用到gre、gpa和虚拟变量prestige_2、prestige_3、prestige_4。prestige_1作为基准,所以排除掉,以防止多元共线性(multicollinearity)和引入分类变量的所有虚拟变量值所导致的陷阱(dummy variable trap)。

    # 指定作为训练变量的列,不含目标列`admit`

    train_cols = data.columns[1:]

    # Index([gre, gpa, prestige_2, prestige_3, prestige_4], dtype=object)

    logit = sm.Logit(data['admit'], data[train_cols])

    # 拟合模型

    result = logit.fit()

    Python

    在这里是使用了statesmodels的Logit函数,更多的模型细节可以查阅statesmodels的文档

    使用训练模型预测数据

    (本小节是博主补充的)通过上述步骤,我们就得到了训练后的模型。基于这个模型,我们就可以用来预测数据,代码如下:

    # 构建预测集

    # 与训练集相似,一般也是通过 pd.read_csv() 读入

    # 在这边为方便,我们将训练集拷贝一份作为预测集(不包括 admin 列)

    import copy

    combos = copy.deepcopy(data)

    # 数据中的列要跟预测时用到的列一致

    predict_cols = combos.columns[1:]

    # 预测集也要添加intercept变量

    combos['intercept'] = 1.0

    # 进行预测,并将预测评分存入 predict 列中

    combos['predict'] = result.predict(combos[predict_cols])

    # 预测完成后,predict 的值是介于 [0, 1] 间的概率值

    # 我们可以根据需要,提取预测结果

    # 例如,假定 predict > 0.5,则表示会被录取

    # 在这边我们检验一下上述选取结果的精确度

    total = 0

    hit = 0

    for value in combos.values:

    # 预测分数 predict, 是数据中的最后一列

    predict = value[-1]

    # 实际录取结果

    admit = int(value[0])

    # 假定预测概率大于0.5则表示预测被录取

    if predict > 0.5:

    total += 1

    # 表示预测命中

    if admit == 1:

    hit += 1

    # 输出结果

    print 'Total: %d, Hit: %d, Precision: %.2f' % (total, hit, 100.0*hit/total)

    # Total: 49, Hit: 30, Precision: 61.22

    Python

    在这里,我是简单的将原始数据再作为待预测的数据进行检验。通过上述步骤得到的是一个概率值,而不是一个直接的二分类结果(被录取/不被录取)。通常,我们可以设定一个阈值,若 predict 大于该阈值,则认为是被录取了,反之,则表示不被录取。

    在上面的例子中,假定预测概率大于 0.5 则表示预测被录取,一共预测有 49 个被录取,其中有 30 个预测命中,精确度为 61.22%。

    结果解释

    statesmodels提供了结果的摘要,如果你使用过R语言,你会发现结果的输出与之相似。

    # 查看数据的要点

    print result.summary()

    Python

    Logit Regression Results

    ==============================================================================

    Dep. Variable: admit No. Observations: 400

    Model: Logit Df Residuals: 394

    Method: MLE Df Model: 5

    Date: Sun, 03 Mar 2013 Pseudo R-squ.: 0.08292

    Time: 12:34:59 Log-Likelihood: -229.26

    converged: True LL-Null: -249.99

    LLR p-value: 7.578e-08

    ==============================================================================

    coef std err z P>|z| [95.0% Conf. Int.]

    ------------------------------------------------------------------------------

    gre 0.0023 0.001 2.070 0.038 0.000 0.004

    gpa 0.8040 0.332 2.423 0.015 0.154 1.454

    prestige_2 -0.6754 0.316 -2.134 0.033 -1.296 -0.055

    prestige_3 -1.3402 0.345 -3.881 0.000 -2.017 -0.663

    prestige_4 -1.5515 0.418 -3.713 0.000 -2.370 -0.733

    intercept -3.9900 1.140 -3.500 0.000 -6.224 -1.756

    ==============================================================================

    Python

    你可以看到模型的系数,系数拟合的效果,以及总的拟合质量,以及一些统计度量。[待补充: 模型结果主要参数的含义]

    当然你也可以只观察结果的某部分,如置信区间(confidence interval)可以看出模型系数的健壮性。

    # 查看每个系数的置信区间

    print result.conf_int()

    # 0 1

    # gre 0.000120 0.004409

    # gpa 0.153684 1.454391

    # prestige_2 -1.295751 -0.055135

    # prestige_3 -2.016992 -0.663416

    # prestige_4 -2.370399 -0.732529

    # intercept -6.224242 -1.755716

    Python

    在这个例子中,我们可以肯定被录取的可能性与应试者毕业学校的声望存在着逆相关的关系。

    换句话说,高排名学校(prestige_1==True)的湘鄂生呗录取的概率比低排名学校(prestige_4==True)要高。

    相对危险度(odds ratio)

    使用每个变量系数的指数来生成odds ratio,可知变量每单位的增加、减少对录取几率的影响。例如,如果学校的声望为2,则我们可以期待被录取的几率减少大概50%。UCLA上有一个对odds ratio更为深入的解释: 在逻辑回归中如何解释odds ratios?。

    # 输出 odds ratio

    print np.exp(result.params)

    # gre 1.002267

    # gpa 2.234545

    # prestige_2 0.508931

    # prestige_3 0.261792

    # prestige_4 0.211938

    # intercept 0.018500

    Python

    我们也可以使用置信区间来计算系数的影响,来更好地估计一个变量影响录取率的不确定性。

    # odds ratios and 95% CI

    params = result.params

    conf = result.conf_int()

    conf['OR'] = params

    conf.columns = ['2.5%', '97.5%', 'OR']

    print np.exp(conf)

    # 2.5% 97.5% OR

    # gre 1.000120 1.004418 1.002267

    # gpa 1.166122 4.281877 2.234545

    # prestige_2 0.273692 0.946358 0.508931

    # prestige_3 0.133055 0.515089 0.261792

    # prestige_4 0.093443 0.480692 0.211938

    # intercept 0.001981 0.172783 0.018500

    Python

    更深入的挖掘

    为了评估我们分类器的效果,我们将使用每个输入值的逻辑组合(logical combination)来重新创建数据集,如此可以得知在不同的变量下预测录取可能性的增加、减少。首先我们使用名为 cartesian 的辅助函数来生成组合值(来源于: 如何使用numpy构建两个数组的组合)

    我们使用 np.linspace 创建 “gre” 和 “gpa” 值的一个范围,即从指定的最大、最小值来创建一个线性间隔的值的范围。在本例子中,取已知的最大、最小值。

    # 根据最大、最小值生成 GRE、GPA 均匀分布的10个值,而不是生成所有可能的值

    gres = np.linspace(data['gre'].min(), data['gre'].max(), 10)

    print gres

    # array([ 220. , 284.44444444, 348.88888889, 413.33333333,

    # 477.77777778, 542.22222222, 606.66666667, 671.11111111,

    # 735.55555556, 800. ])

    gpas = np.linspace(data['gpa'].min(), data['gpa'].max(), 10)

    print gpas

    # array([ 2.26 , 2.45333333, 2.64666667, 2.84 , 3.03333333,

    # 3.22666667, 3.42 , 3.61333333, 3.80666667, 4. ])

    # 枚举所有的可能性

    combos = pd.DataFrame(cartesian([gres, gpas, [1, 2, 3, 4], [1.]]))

    # 重新创建哑变量

    combos.columns = ['gre', 'gpa', 'prestige', 'intercept']

    dummy_ranks = pd.get_dummies(combos['prestige'], prefix='prestige')

    dummy_ranks.columns = ['prestige_1', 'prestige_2', 'prestige_3', 'prestige_4']

    # 只保留用于预测的列

    cols_to_keep = ['gre', 'gpa', 'prestige', 'intercept']

    combos = combos[cols_to_keep].join(dummy_ranks.ix[:, 'prestige_2':])

    # 使用枚举的数据集来做预测

    combos['admit_pred'] = result.predict(combos[train_cols])

    print combos.head()

    # gre gpa prestige intercept prestige_2 prestige_3 prestige_4 admit_pred

    # 0 220 2.260000 1 1 0 0 0 0.157801

    # 1 220 2.260000 2 1 1 0 0 0.087056

    # 2 220 2.260000 3 1 0 1 0 0.046758

    # 3 220 2.260000 4 1 0 0 1 0.038194

    # 4 220 2.453333 1 1 0 0 0 0.179574

    Python

    现在我们已生成了预测结果,接着通过画图来呈现结果。我编写了一个名为 isolate_and_plot 的辅助函数,可以比较给定的变量与不同的声望等级、组合的平均可能性。为了分离声望和其他变量,我使用了 pivot_table 来简单地聚合数据。

    def isolate_and_plot(variable):

    # isolate gre and class rank

    grouped = pd.pivot_table(combos, values=['admit_pred'], index=[variable, 'prestige'],

    aggfunc=np.mean)

    # in case you're curious as to what this looks like

    # print grouped.head()

    # admit_pred

    # gre prestige

    # 220.000000 1 0.282462

    # 2 0.169987

    # 3 0.096544

    # 4 0.079859

    # 284.444444 1 0.311718

    # make a plot

    colors = 'rbgyrbgy'

    for col in combos.prestige.unique():

    plt_data = grouped.ix[grouped.index.get_level_values(1)==col]

    pl.plot(plt_data.index.get_level_values(0), plt_data['admit_pred'],

    color=colors[int(col)])

    pl.xlabel(variable)

    pl.ylabel("P(admit=1)")

    pl.legend(['1', '2', '3', '4'], loc='upper left', title='Prestige')

    pl.title("Prob(admit=1) isolating " + variable + " and presitge")

    pl.show()

    isolate_and_plot('gre')

    isolate_and_plot('gpa')

    Python

    结果图显示了 gre, gpa 和 prestige 如何影响录取。可以看出,随着 gre 和 gpa 的增加,录取可能性如何逐渐增加,并且,不同的学校声望对录取可能性的增加程度相差很大。

    结束语

    逻辑回归是用于分类的优秀算法,尽管有一些更加性感的,或是黑盒分类器算法,如SVM和随机森林(RandomForest)在一些情况下性能更好,但深入了解你正在使用的模型是很有价值的。很多时候你可以使用随机森林来筛选模型的特征,并基于筛选出的最佳的特征,使用逻辑回归来重建模型。

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