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  • 层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称 AHP)是对一些较为复杂、较为模 糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出...
  • 数学建模层次分析法

    千次阅读 2020-12-23 12:39:09
    数学建模层次分析法层次分析法层次分析法就是一种解决目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来,用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度,并...

    数学建模之层次分析法

    层次分析法

    层次分析法就是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析

    方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来

    ,

    用决策者的经验判断各衡量目标

    能否实现的标准之间的相对重要程度

    ,

    并合理地给出每个决策方案的每个标准的

    权数

    ,

    利用权数求出各方案的优劣次序

    ,

    比较有效地应用于那些难以用定量方法

    解决的课题。

    缺点

    :

    (1)

    层次分析法的主观性太强

    ,

    模型的搭建

    ,

    判断矩阵的输入都就是决策者的主

    观判断

    ,

    往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。

    (2)

    层次分析法模型的内部结构太过理想化

    ,

    完全分离、

    彼此独立的层次结构在

    实践中很难做到。

    (5)

    层次分析法只能从给定的决策方案中去选择

    ,

    而不能给出新的、更优的策

    略。

    1

    、模型的应用

    用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。

    (1)

    公司选拔人员

    ,

    (2)

    旅游地点的选取

    ,

    (3)

    产品的购买等

    ,

    (4)

    船舶投资决策问题

    (

    下载文档

    ),

    (5)

    煤矿安全研究

    ,

    (6)

    城市灾害应急能力

    ,

    (7)

    油库安全性评价

    ,

    (8)

    交通安全评价等。

    2

    、步骤

    ①建立层次结构模型

    首先明确决策目标

    ,

    再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的

    结构模型

    ,

    模型如下图所示。

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  • 数学建模方法层次分析法实例题目:当你临近毕业时选择工作,会考虑哪些因素?建立层次分析模型,给出各因素的成对比较阵,计算各因素在目标中的权重。解:很因素都会影响毕业生选择工作,就我个人而言,我重视的...

    数学建模方法层次分析法实例

    题目:

    当你临近毕业时选择工作,会考虑哪些因素?建立层次分析模型,给出各因素的成对比较阵,计算各因素在目标中的权重。

    解:

    很多因素都会影响毕业生选择工作,就我个人而言,我重视的因素为以下几点:

    薪水较高

    与所修专业联系较大

    工作地点为一二线城市

    工作环境不会影响身体健康

    公司比较有发展潜力

    由以上因素建立层次结构模型:

    其中A为目标层,Bi(i=1,2,3,4,5)为准则层

    两两比较Bi(i=1,2,3,4,5)对A的重要程度,构造出准则Bi对目标A的成对比较判断矩阵:

    用MATLAB软件求得矩阵A的最大特征根和相应的特征向量(已经归一化)。

    易得结论:通过检验。

    又因为上面已经求得Bi (i=1,2,3,4,5)对目标A的权重向量为:

    即各个因素在目标中的权重分别为:

    各因素对毕业生选择职业的影响

    影响职业选择的因素

    所占的权重

    B1

    薪水较高

    0.4389

    B2

    与所修专业联系较大

    0.0785

    B3

    工作地点为一二线城市

    0.3242

    B4

    工作环境不会影响身体健康

    0.8203

    B5

    公司比较有发展潜力

    0.1525

    结论:

    由上表可以简单明了地看出学生不再单一的重视收入如何,渐渐重视起来“工作环境对健康的影响”这一问题。在影响学生选择职业的因素中,所占比例最低的是“与所修专业联系是否密切”,可以看出学生对于工作性质、内容并不局限,只要适合自己,什么工作都可以尝试。

    附1:

    RI值参照表格

    .n

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    RI

    0

    0

    0.58

    0.90

    1.12

    1.24

    1.32

    1.41

    1.45

    附2:

    MATLAB软件计算矩阵特征值和特征向量的步骤:

    >> a=[1,5,2,1/3,4;1/5,1,1/6,1/5,1/4;1/2,6,1,1/3,3;3,5,3,1,6;1/4,4,1/3,1/6,1]

    a =

    1.0000 5.0000 2.0000 0.3333 4.0000

    0.2000 1.0000 0.1667 0.2000 0.2500

    0.5000 6.0000 1.0000 0.3333 3.0000

    3.0000 5.0000 3.0000 1.0000 6.0000

    0.2500 4.0000 0.3333 0.1667 1.0000

    >> [v,d]=eig(a)

    v =

    (回车执行操作,每列得到的是矩阵A的特征向量,此处不一一详述)

    d =

    (回车执行操作,主对角线上元素即为与上面求得的特征向量对应的特征值,此处不一一详述)

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  • 数学建模层次分析法实例以及代码

    万次阅读 多人点赞 2020-11-22 22:06:09
    目录层次分析法的思想层次分析法步骤具体案例(市政工程项目建设决策)1.问题提出2.建立递阶层次结构3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)计算权向量一致性检验5.层次总...

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    层次分析法的思想

    层次分析法的思想:将所有要分析的问题层次化
    根据问题的性质和所要到达的总目标,将问题分为不同的组成因素,并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系,将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次分析结构模型
    最后,对问题进行优劣比较排序.

    层次分析法步骤

    1、找准各因素之间的隶属度关系,建立递阶层次结构
    2、构造判断矩阵,并赋值
    3、层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)
    4、层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)
    5、结果分析

    具体案例(市政工程项目建设决策)

    1.问题提出

    市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策,可选择的方案是修建通往旅游区的高速路(简称建高速路)或修建城区地铁(简称建地铁)。除了考虑经济效益外,还要考虑社会效益环境效益等因素,即是多准则决策问题,考虑运用层次分析法解决。

    2.建立递阶层次结构

    1、明确决策目标:“合理建设市政工程,使综合效益最高”。

    2、为了实现这一目标,需要考虑的主要准则有三个,即经济效益社会效益环境效益
    还必须考虑直接经济效益间接经济效益方便日常出行方便假日出行减少环境污染改善城市面貌等因素(准则),从相互关系上分析,这些因素隶属于主要准则,因此放在下一层次考虑,并且分属于不同准则。

    3、解决方案,即建高速路或建地铁,这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。

    这样递阶层次就形成了:
    在这里插入图片描述

    3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值

    1、构造判断矩阵的方法:
    每一个具有向下隶属关系的元素(被称作准则)作为判断矩阵的第一个元素(位于左上角),隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行第一列
    如下图所示:
    在这里插入图片描述
    2、如何对判断矩阵进行赋值:
    向填写人(专家)反复询问:针对判断矩阵的准则,其中两个元素两两比较哪个重要,重要多少,对重要性程度按1-9赋值。
    (可以类比模糊PID中的隶属程度,都是人为设定的,也是被人诟病的一个地方)
    在这里插入图片描述
    设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×n,判断矩阵具有如下性质:

    (1) aij>0
    (2) aji=1/ aji
    (3) aii=1

    判断矩阵具有对称性,因此在填写时,通常先填写aii=1部分,然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。
    在特殊情况下,判断矩阵可以具有传递性,即满足等式:aij*ajk=aik .
    当上式对判断矩阵所有元素都成立时,则称该判断矩阵为一致性矩阵。
    对于上述的例子,可以构造出下面的判断矩阵:
    在这里插入图片描述

    4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)

    计算权向量

    对于专家填写后的判断矩阵,利用一定数学方法进行层次排序。
    层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重,所以本质上是计算权向量。
    这里简要介绍和法:
    对于一致性判断矩阵,每一列归一化后就是相应的权重。
    对于非一致性判断矩阵,每一列归一化后近似其相应的权重,在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。

    公式: 在这里插入图片描述
    在层层排序中,要对判断矩阵进行一致性检验。判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下,并不要求判断矩阵严格满足这一性质。

    但从人类认识规律看,一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的,例如若A比B重要,B又比C重要,则从逻辑上讲,A应该比C明显重要,若两两比较时出现A比C重要的结果,则该判断矩阵违反了一致性准则,在逻辑上是不合理的。

    因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性,需进行一致性检验。只有通过检验,才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的,才能继续对结果进行分析。

    一致性检验

    第一步,计算一致性指标CI
    在这里插入图片描述
    第二步,查表确定相应的平均随机一致性指标RI
    据判断矩阵不同阶数查下表,得到平均随机一致性指标RI:
    在这里插入图片描述
    第三步,计算一致性比例CR并进行判断:
    在这里插入图片描述
    当C.R.<0.1时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,C.R.>0.1时,认为判断矩阵不符合一致性要求,需要对该判断矩阵进行重新修正。

    图1
    图2
    可以看出,所有单排序的C.R.<0.1,认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。

    5.层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)

    总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层(最上层)的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法,逐层合成。
    文字性描述公式如下:
    在这里插入图片描述

    计算过程如下,更好理解过程:
    P(C1/A) = P(C1/B1) * P(B1/A) = 0.5 * 0.1429 = 0.07145
    CR(C1/A) = CR(C/B) * CR(B/A) = 0 * 0 = 0
    P(D1/A) = P(D1/C1) * P(C1/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C2) * P(C2/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C3) * P(C3/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C4) * P(C4/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C5) * P(C5/B3) * P(B3/A)
    + P(D1/C6) * P(C6/B3) * P(B3/A)
    =0.8333 * 0.5 * 0.1429
    +0.75 * 0.5 * 0.1429
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8750 * 0.25 * 0.4286
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8333 * 0.25 * 0.4286

    在这里插入图片描述

    6.结果分析

    从方案层总排序的结果看,建地铁(D2)的权重(0.6592)远远大于建高速路(D1)的权重(0.3408),因此,最终的决策方案是建地铁。
    根据层次排序过程分析决策思路:

    1、对于准则层B的3个因子,直接经济效益(B1)的权重最低(0.1429),社会效益(B2)和环境效益(B3)的权重都比较高(皆为0.4286),说明在决策中比较看重社会效益和环境效益
    2、对于不看重的经济效益,其影响的两个因子直接经济效益(C1)、间接带动效益(C2)单排序权重都是建高速路远远大于建地铁,对于比较看重的社会效益和环境效益,其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路,由此可以推出,建地铁方案由于社会效益和环境效益较为突出,权重也会相对突出
    3、从准则层C总排序结果也可以看出,方便日常出行(C3)、减少环境污染(C5)是权重值较大的,而如果单独考虑这两个因素,方案排序都是建地铁远远大于建高速路。

    由此我们可以分析出决策思路:
    即决策比较看重的是社会效益和环境效益,不太看重经济效益;(总结准则层B)
    因此对于具体因子,方便日常出行和减少环境污染成为主要考虑因素,对于这两个因素,都是建地铁方案更佳,(总结准则层C)由此,最终的方案选择建地铁也就顺理成章了。

    7.层次分析法的优缺点

    优点:
    (1)系统性:层次分析把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
    (2)实用性:层次分析把定性和定量方法结合起来,能处理许多许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广。同时,这种方法将决策者和决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策者的了解和掌握。
    (3)简洁性:具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也非常简便,并且所得的结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。

    缺点:囿旧:只能从原有方案中选优,不能生成新方案;粗略:它的比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;主观:从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然,采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。

    层次分析法的代码实现(matlab)

    disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    使用示例:
    将上面代码保存名为test1,并在点运行的时候添加到路径;
    输入的A矩阵是要以向量的形式输入的;
    之后按下回车即可,可以看到和之前的第4步得到的结果是一样的。
    在这里插入图片描述
    通过不断的使用这个式子计算相应矩阵(准则层B到准则层C、准则层C到方案层D)的权向量,最后可以得到最终的结果。
    简单的修改上面的程序,传入参数为矩阵,免得每次都要打。

    function w= test1(A)
    % disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    % A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    输入:

    Array1=[1 1/3 1/3;3 1 1;3 1 1];
    Array2=[1 1;1 1];
    Array3=[1 3;1/3 1];
    Array4=[1 3;1/3 1];
    Array5=[1 5;1/5 1];
    Array6=[1 3;1/3 1];
    Array7=[1 1/5;5 1];
    Array8=[1 7;1/7 1];
    Array9=[1 1/5;5 1];
    Array10=[1 1/3;7 1];
    
    A=test1(Array1);
    B1=test1(Array2);
    B2=test1(Array3); 
    B3=test1(Array4);
    C1=test1(Array5);
    C2=test1(Array6);
    C3=test1(Array7);
    C4=test1(Array8);
    C5=test1(Array9);
    C6=test1(Array10);
    

    得到相应的矩阵:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 数学建模--层次分析法

    千次阅读 2020-07-19 22:36:09
    层次分析法的求解步骤 1.建立层次结构模型 模型分为三层。分别为最高层(决策问题最终要解决什么,即决策的目的)、中间层(考虑的因素,决策的准则。比如买衣服要考虑价格、尺寸、款式等因素)和最低层(决策时的...

    层次分析法的求解步骤

    1.建立层次结构模型

    模型分为三层。分别为最高层(决策问题最终要解决什么,即决策的目的)、中间层(考虑的因素,决策的准则。比如买衣服要考虑价格、尺寸、款式等因素)和最低层(决策时的备选方案,即有几种选择可以选择)。也叫作目标层、准则层、方案层。
    层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题,按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序,从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。

    2.列出权重表格

    分别由方案、考虑因素、所占权重组成。首先得出准则权重,然后由准则权重确定不同方案的权重。例如:下图旅游选择旅游地点:
    在这里插入图片描述
    图:确定准则权重

    在这里插入图片描述

    图:准则权重确定不同的方案权重(景色)

    3.构造判断矩阵

    直接对权重表格考虑填好,往往会考虑不周,因此分而治之,两个两个指标进行比较,最终由两两比较的结果来推出权重。采用相对尺度,以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难,以提高准确度。
    书上给的解释:
    在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外,当影响某因素的因子较多时,直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据,甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
    ——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》

    两个元素进行比较时,可用于判断权重的标度,以此来对各个考虑因素确定重要程度。(判断矩阵)

    在这里插入图片描述
    两个元素进行比较时,判断权重标度时表格。
    在这里插入图片描述

    (此图有误,为正互反矩阵,但不是一致矩阵)
    此矩阵为正互反矩阵,即矩阵所有元素均大于0,并且aij*aji=1(i为行,j为列)
    注意:𝑎ij表示的意义是,与指标𝑗相比,𝑖的程度。
    当𝑖 = 𝑗时,两个指标相同,因此同等重要记为1,这就解释了主对角线元素为1。

    元素应该是1-9整数或者其倒数,有的写为诸如4/3是不对的。
    然后重复上述步骤,对准则权重确定不同的方案权重同样列出判断矩阵。如:
    在这里插入图片描述

    4.一致矩阵的判断

    若正互反矩阵满足𝑎ij* 𝑎jk =𝑎ik,则我们称其为一致矩阵。(式中i、j、k都为整数,直接取即可)如果第5条中一致矩阵检验不通过,进行修正,可使矩阵满足各行或者各列之间成倍数关系。下图为修正后的一致矩阵:
    在这里插入图片描述
    引理:n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值等于n.并且当正互反矩阵非一致时,一定满足最大特征值大于n.矩阵越不一致时,最大特征值和n相差就越大。

    5.一致性检验

    定义一致性指标CI=(λ−n)/(n−1) CI=0,有完全的一致性;
    CI接近于0,有满意的一致性;CI越大,不一致越严重。
    第一步:计算一致性指标CI CI=(λ−n)/(n−1)
    第二步:查找对应的平均随机一致性指标RI
    在这里插入图片描述

    第三步:计算一致性比例CR
    CR=CI/RI
    如果CR<0.1,则认为判断矩阵的一致性可以接受,否则需要修正。
    注:特征值可用matlab软件进行计算,没学过线性代数的同学也不需要担心。如果特征值中有虚数,则比较的是特征值的模长。

    6.判断矩阵计算权重

    三种方法计算权重:
    (1) 算术平均法(2)几何平均法(3)特征值法
    比赛时尽量三种方法均使用:
    以往的论文利用层次分析法解决实际问题时,都是采用其中某一种方法求权重,而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性,本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值,再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分,并进行排序和综合分析,这样避免了采用单一方法所产生的偏差,得出的结论将更全面、更有效。

    1. 算数平均法求权重
      第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
      第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
      第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
      就像这样:
      在这里插入图片描述
    2. 几何平均法求权重
      第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
      第二步:将新的向量的每个分量开n次方
      第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量
    3. 特征值法求权重
      假如我们的判断矩阵一致性可以接受,那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
      第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
      第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
      最后求解得出权重表:
      如:
      在这里插入图片描述
      (景色)
      在这里插入图片描述

    最终得出总表:
    在这里插入图片描述

    由此来分别计算各个方案的得分,做出决策。

    7.层次分析法的一些缺点

    *–和一般的评价过程, 特别是模糊综合评价相比, AHP客观性提高, 但当因素多 (超过9个) 时, 标度工作量太大, 宜引起标度专家反感和判断混乱.
    *–对判断矩阵的一致性讨论得较多, 而对判断矩阵的合理性考虑得不够, 这是因为对标度专家的数量和质量重视不够
    *–没有充分利用已有定量信息.AHP都是研究专门的定性指标评价问题, 对于既有定性指标也有定量指标的问题 (这种问题更普遍) 讨论得不够.事实上, 为使评价客观, 评价过程中应尽量使用定量指标, 实在没有定量指标再用定性判断
    *–判断矩阵中的各个标度的赋值有很大的随意性, 同时, 这种赋值方式对于单人决策是可行的, 对于多人决策, 可能会出现冲突。虽然也可以通过专家决策法将决策意见进行汇总取权重, 但这个过程周期长且比较复杂
    *–判断矩阵的赋值方式有待斟酌, 即矩阵中对称位置权数取倒数关系。该赋值一方面忽视现实决策中的非理性实际,鉴于此, 层次分析法中提出了一致性 检验, 即找出实际决策环境中的随机判断矩阵的最大特征值 λ , 用公式 (λ-n)/ (n-1)来检验矩阵的一致性指标, 但仅仅是检验, 而不能在决策之前就对决策进行指导。
    *–正反矩阵的这种“倒数”赋值 会在后面的计算标准权重和相对权重中 产生“意见放大”现象
    *–不能为决策提供新方案。层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取,,而不能为决策者提供解决问题的新方案。
    自己总结

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