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  • 2020-10-22 16:41:48

    1 概念:

    层次贝叶斯模型是具有结构化层次的统计模型,它可以用来为复杂的统计问题建立层次模型从而避免参数过多导致的过拟合问题。

    通过贝叶斯方法来估计后验分布的参数。

    2 推断过程:

    我们对层次贝叶斯推断的策略与一般的多参数问题一样,但由于在实际中层次模型的参数很多,所以比较困难,在实际中我们很难画出联合后联合概率分布的图形。但是可以使用近似的基于仿真的方法.运用层次贝叶斯模型主要需要计算所有参赛在已知观察量下的条件后验概率,其推导过程主要包含三个步骤:

    1) 写出联合后验密度,p(θ, φ|y),其非正规化的形式是超先验分布p(φ),总体分布 p(θ|φ) 和似然函数p(y|θ) 的乘积。

    2), 在给定超参数φ 的情况下,确定θ 的条件后验密度,固定观测值y的情况下,它是φ 的函数,p(θ|φ, y)。

    3) 使用贝叶斯分析范例估计φ。 也就是要获取边缘后验分布,p(φ|y)。

    应用: 很多统计模型都有多个参数,这些参数也可以通过某种方式变成具有结构的问题,意味着这些参数的联合概率模型应当反应出它们之间的依赖关系。举个例子:在研究心脏病治疗效果的时候,医院j的存活率为θj,那么 估计θj 应当是相互联系的。我们可以看到使用先验分布把θj 当作一个总体分布的样本是很自然的事情,这样的应用有一个很关键的点是观测数据yij,其中观测的结果是在某些参数下的条件模型,这些参数称为超参数。 这样的层次模型可以帮助我们理解多参数问题,并且在寻找计算策略时提供重要帮助。

      实际上,简单的非层次模型可能并不适合层次数据,在很少参数的情况下,它们并不能准确适配大规模数据集,然而过多的参数则可能导致过拟合的问题. 相反层次模型有足够的参数来拟合数据,同时使用总体分布将参数的依赖结构话,从而避免过拟合问题。

    3 贝叶斯和层次贝叶斯的比较

    https://blog.csdn.net/lee813/article/details/53446560

     

     

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    1、贝叶斯定理P(A∣B)=P(A)P(B∣A)P(B)P(A|B)是已知B发生后A的条件概率,也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。P(B|A)是已知A发生后B的条件概率,也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。P(A)是A的先验概率或边缘...

    1、贝叶斯定理

    P(A∣B)=P(A)P(B∣A)P(B)

    P(A|B)是已知B发生后A的条件概率,也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。

    P(B|A)是已知A发生后B的条件概率,也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。

    P(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为”先验”是因为它不考虑任何B方面的因素。

    P(B)是B的先验概率或边缘概率。

    贝叶斯定理可表述为:后验概率 = (相似度 * 先验概率) / 标准化常量

    也就是说,后验概率与先验概率和相似度的乘积成正比。

    比例P(B|A)/P(B)也有时被称作标准相似度,贝叶斯定理可表述为:后验概率 = 标准相似度 * 先验概率

    假设{Ai}是事件集合里的部分集合,对于任意的Ai,贝叶斯定理可用下式表示:

    2、贝叶斯网络

    贝叶斯网络,由一个有向无环图(DAG)和条件概率表(CPT)组成。

    贝叶斯网络通过一个有向无环图来表示一组随机变量跟它们的条件依赖关系。它通过条件概率分布来参数化。每一个结点都通过P(node|Pa(node))来参数化,Pa(node)表示网络中的父节点。

    如图是一个简单的贝叶斯网络,其对应的全概率公式为:

    P(a,b,c)=P(c∣a,b)P(b∣a)P(a)

    较复杂的贝叶斯网络,其对应的全概率公式为:

    P(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=P(x1)P(x2)P(x3)P(x4∣x1,x2,x3)P(x5∣x1,x3)P(x6∣x4)P(x7∣x4,x5)

    3、贝叶斯网络Student模型

    一个学生拥有成绩、课程难度、智力、SAT得分、推荐信等变量。通过一张有向无环图可以把这些变量的关系表示出来,可以想象成绩由课程难度和智力决定,SAT成绩由智力决定,而推荐信由成绩决定。该模型对应的概率图如下:

    4、通过概率图python类库pgmpy构建Student模型

    代码如下:

    代码如下:

    from pgmpy.models import BayesianModel

    from pgmpy.factors.discrete import TabularCPD

    # 通过边来定义贝叶斯模型

    model = BayesianModel([('D', 'G'), ('I', 'G'), ('G', 'L'), ('I', 'S')])

    # 定义条件概率分布

    cpd_d = TabularCPD(variable='D', variable_card=2, values=[[0.6, 0.4]])

    cpd_i = TabularCPD(variable='I', variable_card=2, values=[[0.7, 0.3]])

    # variable:变量

    # variable_card:基数

    # values:变量值

    # evidence:

    cpd_g = TabularCPD(variable='G', variable_card=3,

    values=[[0.3, 0.05, 0.9, 0.5],

    [0.4, 0.25, 0.08, 0.3],

    [0.3, 0.7, 0.02, 0.2]],

    evidence=['I', 'D'],

    evidence_card=[2, 2])

    cpd_l = TabularCPD(variable='L', variable_card=2,

    values=[[0.1, 0.4, 0.99],

    [0.9, 0.6, 0.01]],

    evidence=['G'],

    evidence_card=[3])

    cpd_s = TabularCPD(variable='S', variable_card=2,

    values=[[0.95, 0.2],

    [0.05, 0.8]],

    evidence=['I'],

    evidence_card=[2])

    # 将有向无环图与条件概率分布表关联

    model.add_cpds(cpd_d, cpd_i, cpd_g, cpd_l, cpd_s)

    # 验证模型:检查网络结构和CPD,并验证CPD是否正确定义和总和为1

    model.check_model()

    获取上述代码构建的概率图模型:

    In[1]:model.get_cpds()

    Out[1]:

    [,

    ,

    ,

    ,

    ]

    获取结点G的概率表:

    获取结点G的概率表:

    In[2]:print(model.get_cpds('G'))

    ╒═════╤═════╤══════╤══════╤═════╕

    │ I │ I_0 │ I_0 │ I_1 │ I_1 │

    ├─────┼─────┼──────┼──────┼─────┤

    │ D │ D_0 │ D_1 │ D_0 │ D_1 │

    ├─────┼─────┼──────┼──────┼─────┤

    │ G_0 │ 0.3 │ 0.05 │ 0.9 │ 0.5 │

    ├─────┼─────┼──────┼──────┼─────┤

    │ G_1 │ 0.4 │ 0.25 │ 0.08 │ 0.3 │

    ├─────┼─────┼──────┼──────┼─────┤

    │ G_2 │ 0.3 │ 0.7 │ 0.02 │ 0.2 │

    ╘═════╧═════╧══════╧══════╧═════╛

    获取结点G的基数:

    In[3]: model.get_cardinality('G')

    Out[3]: 3

    新数据节点值的预测跟计算条件概率非常相似,我们需要查询预测变量的其他全部特征。困难在于通过分布概率去代替更多可能的变量状态。

    In[7]: infer.map_query('G')

    Out[7]: {'G':

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  • 多项贝叶斯模型在GPU环境上的实践

    之前在一次跟“某Fish”客户进行交谈时,我在的需求下学习了多项贝叶斯(Multinomial Naive Bayes)这个模型。

    在了解多项贝叶斯模型之前,我们首先来了解一下朴素贝叶斯(Naive Bayes)模型。

    贝叶斯定理所描述的,即为一个抽象事件A在抽象事件B发生的前提下,有多大概率会发生抽象事件A,其概率记为:

    P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

    其中`P(B)`记为抽象事件B本身发生的概率,因此贝叶斯定理正好计算的是`抽象事件AB同时发生`概率与抽象事件B单独发生的概率之比,这也能证明其抽象事件发生的先后顺序。

    文字太过生涩难懂?我这里有一张图可以供大家参考:

    可以通过上述流程我们看到:事件A为确定发生的事件,在A事件发生后,其有可能诱导了事件B的发生,也可能诱导失败了。

    抛开诱导失败的情况,我们只谈及诱导成功的情况。虽然我们这里说事件A成功诱导了事件B,但是作为一个独立的实体,事件B本身发生的概率也是一个不确定值,因此这里需要贝叶斯模型进行自动推理,去计算前置的因素是否有可能诱导了后一事件的发生。

    我们来看例子,这里我有一个数据框,我们来展示一下的现有列

    ModelData.columns
    
    Index(['全局水平', '大气温度 [℃]', '风冷温度 [℃]', '露点温度 [℃]', '相对湿度 [%]', '平均十米内风速 [m/s]',
           '站点压力 [mBar]', '降水量 [mm]', '定点角度 [°]', '方位角度 [°]', '气团大小', '气团变化'],
          dtype='object')

    在这份模型数据。我们需要对气团变化进行研究,其中我使用cuDF内置的.to_pandas()函数将GPU数据框转换为Pandas数据框,并使用.apply()+lambda隐函数对气团大小的变化进行类分类,

    这里因为使用了DecisionTree决策树来训练第二个模型,因此数据被命名为了df_train_Tree,最终模型仍然为多项贝叶斯模型。

    # 使用.apply()函数来实现来为气团变化进行标签化处理
    df_train_Tree['气团变化'] = df_train_Tree['气团大小'].to_pandas().apply(lambda x:0 if x == 0 else 1 if x < 0 else 2 if x > 0 else None)

    对数据进行处理,并使用cuML继承自sklearn的train_test_split()函数对数据进行分割

    # 进行绝对值翻转处理,以防止存在负值无法训练模型
    ModelData = df_train_Tree.iloc[:,2:].to_pandas().apply(lambda x: x.abs())
    ModelData = cf.DataFrame(ModelData)
    # 构建训练集和测试集
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(ModelData,ModelData['气团变化'], test_size=0.2, random_state=42)

    通过sklearn.metrics下的plot_roc_curve()函数绘制的ROC曲线和roc_auc_score()函数我们发现,此时的决策树模型处于了过拟合的情况,在树中我没有指定明确的二值化数据(即树判断需要的最基本的真和假),因此使得树在判断时全部当成了真的条件,所以树已经严重过拟合了。

    通过之前的一些列的线性校验,我们也得知了:前置的一切属性均为`可能`诱导气团大小的`诱因`

    因此在完全不确定的情况下,我们将使用全部属性进行模型的初步测试。

    因此我们最终需要使用多项贝叶斯模型来进行模型构建,以下是多项贝叶斯在GPU环境上的实现

    # 因为属性众多,因此我们需要引入多项分布朴素贝叶斯(Multinomial NB)
    from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB
    clf = MultinomialNB()
    # 将训练集进行训练
    clf.fit(X_train.to_pandas(), y_train.to_numpy())
    MultinomialNB()
    # 绘制ROC曲线以验证预测结果
    plot_roc_curve(clf, X_test.to_pandas(), y_test.to_numpy())
    plt.title('ROC Curve')
    plt.plot([0, 1], [0, 1], '--',color='orange')
    plt.text(0.5, 0.5, 'ROC = %.2f' % roc_auc_score(y_test.to_pandas(),cp.asnumpy(y_pred)), ha='center', va='center', fontsize=14)

     可以看到,在多项贝叶斯模型下,我们的成绩表现已经非常不错了,roc_auc_score分数表现为:0.92,这也得以证明我们之前训练过的模型它是一个显著过拟合的模型。

    总结:

    在皮尔森系数过低,但又存在微弱线性相关的分类问题,我们可以尝试使用推测的手段:即贝叶斯类模型,在我们能够肯定前置因素可能会诱导后一事件的这一前提下,我们就可以进行贝叶斯魔性的尝试了

    展开全文
  • 贝叶斯网络三个结构

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    贝叶斯网络 一、 贝叶斯网络,由一个有向无环图(DAG)和条件概率表(CPT)组成。 贝叶斯网络通过一个有向无环图来表示一组随机变量跟它们的条件依赖关系。它通过条件概率分布来参数化。每一个结点都通过P(node|Pa(node)...

    贝叶斯网络
    一、

    贝叶斯网络,由一个有向无环图(DAG)和条件概率表(CPT)组成。

    贝叶斯网络通过一个有向无环图来表示一组随机变量跟它们的条件依赖关系。它通过条件概率分布来参数化。每一个结点都通过P(node|Pa(node))来参数化,Pa(node)表示网络中的父节点。

    在这里插入图片描述

    一个简单的贝叶斯网络,其对应的全概率公式为:

    P(a,b,c)=P(c∣a,b)P(b∣a)P(a)

    在这里插入图片描述

    较复杂的贝叶斯网络,其对应的全概率公式为:

    P(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=P(x1)P(x2)P(x3)P(x4∣x1,x2,x3)P(x5∣x1,x3)P(x6∣x4)P(x7∣x4,x5)

    二、

    三种形式

    head-to-head
    贝叶斯网络的第一种结构形式如下图

    在这里插入图片描述

    P(a,b,c) = P(a)*P(b)*P(c|a,b)成立,化简后可得:

    在这里插入图片描述

    在c未知的条件下,a、b被阻断(blocked),是独立的,称之为head-to-head条件独立

    tail-to-tail

    第二种结构形式如下图

    在这里插入图片描述

    考虑c未知,跟c已知这两种情况:

    在c未知的时候,有:P(a,b,c)=P©*P(a|c)*P(b|c),此时,没法得出P(a,b) = P(a)P(b),即c未知时,a、b不独立。
    在c已知的时候,有:P(a,b|c)=P(a,b,c)/P©,然后将P(a,b,c)=P©*P(a|c)*P(b|c)带入式子中,得到:P(a,b|c)=P(a,b,c)/P© = P©*P(a|c)*P(b|c) / P© = P(a|c)*P(b|c),即c已知时,a、b独立。

    所以,在c给定的条件下,a,b被阻断(blocked),是独立的,称之为tail-to-tail条件独立

    head-to-tail
    贝叶斯网络的第三种结构形式如下图

    在这里插入图片描述

    还是分c未知跟c已知这两种情况:
    c未知时,有:P(a,b,c)=P(a)*P(c|a)*P(b|c),但无法推出P(a,b) = P(a)P(b),即c未知时,a、b不独立。
    c已知时,有:P(a,b|c)=P(a,b,c)/P©,且根据P(a,c) = P(a)*P(c|a) = P©*P(a|c),可化简得到:

    在这里插入图片描述

    在c给定的条件下,a,b被阻断(blocked),是独立的,称之为head-to-tail条件独立。

    head-to-tail是一个链式网络

    在这里插入图片描述

    xi+1的分布状态只和xi有关,和其他变量条件独立。通俗点说,当前状态只跟上一状态有关,跟上上或上上之前的状态无关。这种顺次演变的随机过程,就叫做马尔科夫链(Markov chain)

    在这里插入图片描述

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空空如也

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多层贝叶斯网络模型