该博客是在学习利用FMCW原理进行声源信号追踪过程中的学习笔记。

参考论文

• CAT: High-Precision Acoustic Motion Tracking
• Vernier: Accurate and Fast Acoustic Motion Tracking Using Mobile Devices
• MilliSonic: Pushing the Limits of Acoustic Motion Tracking
• Turning a Mobile Device into a Mouse in the Air

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时域与频域

时域 — 自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号振幅的变化。表示振幅随时间的变化。

频域 — 自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号幅度的峰值。表示振幅峰值随频率的变化。

基于多普勒频移估计速度

当发送端静止而接收端相对运动时，有：

• $$v=\frac{F^s}{F}c$$

其中，F是信号的原始频率；$F^s$ 是接收信号频率与发送信号频率之差，即多普勒频移；c是声波的传播速度；v是接收源相对发送源的移动速度。

因此，通过测量 $F_s$ ,我们就能估计接收端的速度 v 了，这时我们使用STFT（短时傅里叶变换）获得 $F_s$

短时傅里叶变换：采用滑动窗口机制，设定窗口（窗函数，例如汉宁窗）大小和步长，让窗口在时域信号上滑动，分别计算每个窗口的傅立叶变换，形成了不同时间窗口对应的频域信号，拼接起来就成为了频率随时间变化的数据（时频信号）。加窗在时域上表现的是点乘，因此在频域上则表现为卷积。

计算得到的速度的误差由公式 $F^{=}\frac{F_s}{L_w}$ 决定，其中：$L_w$ 是窗口的长度，$F_s$ 是采样率

基于传统的FMCW测距

什么是FMCW

每个 FMCW 都是由若干个相同的 chirp组成，每个 chirp 是一组声波频率按固定斜率变化的声波，如下图：

每个chirp周期内，频率线性地从fmin增加到fmax，频率$f(t)=f_{min}+\frac{Bt}{T}$，其中B为信号的带宽（$B=f_{max}-f_{min}$），T为信号的周期

将若干个 chirp 连接在一起就是 FMCW，如下图：

因为 FMCW 信号是由多个 Chirp 信号组合而成的周期信号，所以FMCW 的频率为：

• $$f(t)=f_{min}+\frac{B}{T}(t-nT)$$

FMCW测距原理

根据频率是相位的微分，相位是频率的积分，又每个chirp的频率为：$f(t)=f_{min}+\frac{Bt}{T}$

对频率按时间积分可得相应的相位：$$u(t)=2\pi (f_{min}t+B\frac{t^2}{2T})$$

在第n次扫描期间（即第n个chirp）传输的信号为：$v_t(t^{\prime })=cos(2\pi f_{min}{t}^{\prime }+\frac{\pi B{t}^{\prime 2}}{T})$，其中t’=t-nT

FMCW波在延迟$t_d$时间后传播到接收端，接收到的信号会衰减： $$v_r(t^{\prime })=\alpha cos(2\pi f_{min}(t^{\prime }-t_d)+\frac{\pi B(t^{\prime }-t_d{)}^2}{T})$$，其中 α为衰减系数

接收方将收到的信号和发送的信号混合，$$v_m(t)=v_r(t)v_t(t)$$；利用cos A cos B = (cos(A − B) + cos(A + B))/2，并过滤掉高频部分cos(A + B)，得：

• $$v_m(t)=\alpha cos(2\pi f_{min}{t}_d+\pi B\frac{(2t^{\prime }{t}_d-t_d^2)}{T})$$

假设发送方与接收方相距R，发送方以v的速度移动，$t_d=\frac{R+v{t}^{\prime }}{c}$，带入上式得：

• $$\alpha cos(2\pi f_{min}\frac{R+v{t}^{\prime }}{c}+(\frac{2\pi B{t}^{\prime }(R+v{t}^{\prime })}{cT}-\frac{\pi B(R+v{t}^{\prime }{)}^2}{c^{2}T}))$$

将上式中的相位部分对 $t^{\prime }$ 求导，常数项可以忽略，关于${\frac{1}{c}}^2$的二次项太小，也可以忽略，t’的平均值为T/2，得到：

• $$f_p=\frac{1}{2\pi }\frac{\delta Phase}{\delta t^{\prime }}=\frac{BR}{cT}+\frac{f_{min}v}{c}+\frac{Bv}{c}$$

当v接近于0时，频谱的第一个峰值为$\frac{BR}{cT}$

如果发送方和接收方之间存在多路径传播，在混合信号的频谱中观察到多个峰值，在这种情况下 $f_p$ 由第一个峰值决定，该峰值对应于直接路径。通过测量第一个峰值 $f_p$ ，距离 $R=\frac{f_{p}cT}{B}$

改进的FMCW

1、使用FMCW相位测距（手机是发送方）

传统FMCW方法在峰值估计上的错误

直接路径的到达时间为$t_1$,对应解调信号的频率为$f_{t_1}$;非直接路径的到达时间为$t_2$,对应解调信号的频率为$f_{t_2}$。

当$|f_{t_1}-f_{t_2}|<1$时，两个峰值在频域内合并成为一个峰值，近似于$(A_2{f}_{t_2}+A_1{f}_{t_1})/(A_2+A_1)$，其中A1和A2分别是直接路径的振幅和剩余非直接路径的总振幅，因此频率的错误为$$(A_2{f}_{t_2}+A_1{f}_{t_1})/(A_2+A_1)-f_{t_1}=(f_{t_2}-f_{t_1})/(1+\frac{A_1}{A_2})$$
随（$f_{t_2}-f_{t_1}$）线性增长，并且随着$\frac{A_1}{A_2}$按比例增长

使用FMCW相位

方法：

1） 在时域应用动态窄带带通滤波器来滤除大部分到达时间较远的多径，这使得我们只剩下了直接路径周围剩余的一小部分间接路径。

2） 从瞬时FMCW相位提取距离信息（具体怎么从相位中获取距离信息论文没提）。

假设在通过滤波器后，剩余的非直接路径的振幅比直接路径的振幅低。蓝色向量：直接路径；红色向量：所有剩下的非直接路径之和；绿色向量：前两个向量之和。

因此，最大相位错误发生在红色向量垂直于绿色向量时，相位错误为$si{n}^{-1}(\frac{A_2}{A_1})$，在$si{n}^{-1}(\frac{A_2}{A_1})$处要增长得慢得多

2、分布式FMCW（手机是接收方）

在传统的FMCW中，发送方和接收方是在一起的并且分享同一个时钟；而在分布式FMCW中，发送方（扬声器）和接收方（麦克风）是分离的和不同步的。因此，传统FMCW中所需的传输时间对于接收方来说是未知的。

分布式FMCW使用如下步骤解决上述问题：

1）找到一个参考点并获知它的绝对位置

2）当发送方移动时，估计它相对于参考点的距离变化

3）推测出发送方和接收方的绝对距离

此时，就无需知道信号的传输时间了，但是，分离的接收方和发送方有不同的采样率

Step1：在接收信号上进行一次近似同步

如上图所示，近似同步保证每个处理周期都与单个chirp对齐，每次处理一个完整的chirp。

具体方法是将接收到的信号与原始chirp信号互相关（correlation），选择检测到最高相关峰的时间作为第一个处理周期的开始时间，同步只需要在开始时执行一次。

如上图，由于互相关通常会显示多个幅度相似的峰，因此同步是近似的。

Step2：引入pseudo-transmission time

由于在每个处理周期中，要将接收信号与发送信号混合，但是我们不知道发送信号开始的具体时间，因此，引入了pseudo-transmission time（接收方假设传输信号开始的时间，下图绿色虚线所示）

t0为第一个chirp中pseudo transmission time和实际发送时间之差，并且对于接收方来说是一个未知的常数，因此，在每个处理周期，估计距离相对于实际距离偏移一个常数：
$$R_n=\frac{cT{f}_n^p}{B}+c{t}_0$$
其中，$R_n$为在第n个处理周期中发送方和接收方的距离，$f_n^p$是第n个处理周期中混合信号的峰值，c是声信号的传播速度，T是chirp的周期，B是信号带宽（$B=f_{max}-f_{min}$）。

根据上述等式，接着考虑两个处理周期：
$$R_n-R_1=(f_n^p-f_1^p)\frac{cT}{B}$$
由于这个常数偏移，我们仅可以测量距离的变化量。要随时获取绝对距离，我们需要知道某个点（称为参考点）的绝对距离，并使用距离变化来获取新位置的绝对距离，即：

$$R_n=(f_n^p-f_1^p)\frac{cT}{B}+R_1$$
其中，R1就是参考点相对于扬声器的绝对距离

Step3：估计参考点

为了获得距离$R_n$，我们需要知道手机在某个点（称之为参考点）上与扬声器之间的绝对距离。

假设两个speaker分别位于（0，0）和（A，0）的位置，让移动设备沿x轴(两个扬声器之间的连线)来回移动。

当移动设备移动向speaker2时，它在接近speaker2并且在x=A之前，经历正多普勒频移；当经过x=A后，并且远离speaker2时，经历负多普勒频移。因此，我们可以检测到多普勒频移改变其符号的时间，并且那时移动设备移动到x = A上的一个点，就是我们的参考点。

假设参考点距离两个speaker的距离分别为D1和D2，我们可以通过让两个speaker相同时间开始发送信号并且使用相同的pseudo-transmission time（此时t0是相同的），然后使用FMCW测距D1与D2之差$\Delta D$：
$$\Delta D=D1-D2=\frac{cT(f_{p,1}-f_{p,2})}{B}$$
又因为勾股定理：$D{1}^2-D{2}^2=A^2$，我们可以得到D1和D2的值。

为了提高精度，我们可以多次扫描，让移动设备穿过参考位置多次，并将平均值用作为D1和D2的估计值。

Step4：考虑接收方运动的影响

为了简便，上述公式忽略了接收方运动的影响，但是不可忽略的速度会导致混合信号的峰值频率的额外频移。

因为$f_p=\frac{BR}{cT}+\frac{f_{min}v}{c}+\frac{Bv}{c}$，并且由于pseudo-transmission时间$t_0$，这个周期中的测量值与实际值$R_n$相差$c{t}_0$，因此得到下式：

• $$f_n^p=\frac{B(R_n-c{t}_0)}{cT}+\frac{f_{min}{v}_n}{c}+\frac{B{v}_n}{c}$$

其中，$v_n$是接收方相对于发送方在第n个处理周期的速度，为了简单，假设在第一个处理周期中是静止的（可以作为参考点）

• $$R_n=(f_n^p-\frac{f_{min}{v}_n}{c}-\frac{B{v}_n}{c}-f_1^p)\frac{cT}{B}+R_1$$

根据上式，绝对距离$R_n$由第1个和第n个处理周期的峰值频率$f_n^p、f_1^p$，基于多普勒频移的第n个处理周期接收方的速度$v_n$，和参考点的距离$R_1$决定

Step5：考虑频率偏移

由于不完美的时钟，发送方和接收方的采样率不完全相同，也就是说发送方和接收方采样相同的点数花费不同的时间，因此也就引入的误差。

如上图，发送方传输一个由1764个采样点构成的chirp，在经历了Delay1的时间后，该chirp被接收方收到。由于接收器的时钟速率略有不同，因此接收器累积这1764个采样所需的时间稍长一些，所以Delay2不仅包括传输延迟还包括不同时钟速率造成的采样时间差。Delay3同理。

如果发送方和接收方是静态的，并且它们的采样率偏移是恒定的，则估计的延迟将随时间线性增加。为了补偿这种影响，我们在开始时引入了一个简短的校准阶段，我们会在校准过程中固定接收器的位置。

如果没有采样频率偏移，则FMCW检测到的峰值频率应固定，采样频率偏移将导致峰值频率随时间稳定变化，我们可以通过绘制随时间变化的峰值频率来估计偏移（对测量数据应用最小二乘拟合）：

图中红虚线的斜率为k，我们按以下方式处理原始测量：
$$f_p^{adjusted}=f_p^{raw}-kt$$
其中$f_p^{adjusted}$和$f_p^{raw}$分别表示调整后的和原始的峰值频率，t是校准阶段经过的时间，k是拟合线的斜率

采样频率偏移可能会随时间缓慢变化，当接收器静止时，重新校准频率偏移。

Step6：优化框架，得到最合适的移动方坐标

结合了多普勒频移和FMCW测量，可进行精确的运动跟踪的优化框架：
$$\begin{gathered} \sum _{i\in [k-n+1..k]}\sum _j\alpha (|z_i-c_j|-|z_0-c_j|-d_{FMCW}^{i,j}{)}^2+ \\ \sum _{i\in [k-n+2..k]}\sum _j\beta (|z_i-c_j|-|z_{i-1}-c_j|-v_{i-1,j}^{doppler}T{)}^2 \end{gathered}$$
其中，k是当前的处理周期，n是用于该优化的周期数，$z_i$表示在i个周期开始的时候移动方的位置，$z_0$表示参考点的位置，$c_j$表示第j个周期扬声器的位置，$d_{FMCW}^{i,j}$表示在第i个周期中相对于第j个扬声器的参考点距离变化，$v_{i,j}^{doppler}$表示在第i个周期中相对于第j个扬声器的速度。

优化框架反映了找到最适合FMCW和Doppler方法的移动方坐标，利用了多个周期来提高准确率。

第一项捕获基于坐标计算的距离应与从FMCW估计的距离相匹配，第二项捕获在从坐标计算的间隔内的行进距离应与从多普勒频移得出的距离相匹配。

上述的优化问题是非凸的，意味着不保证收敛并且计算开销大。上述公式中未知项为移动方的坐标，为了简化该问题，将移动方相对于扬声器的距离作为未知项，即将上述公式中的$|z_i-c_j|$替换成$D_{i,j}$。

在与测距相关的应用中，雷达一般工作在FMCW模式，其原理是将经过调制的连续波信号以较高的载频发射出去，遇到被测目标时，将接收到的回波信号与当下发射的高频信号进行混频得到差频信号。对于线性调频来说，差频的频率即携带着目标的距离信息

雷达和测量目标相对静止

当雷达和测量目标相对静止，回波信号和发射信号相比，在时间上延迟了 $\tau$，可表示为：
$$\tau =\frac{2R}{c}$$
其中，R为雷达与目标物体的距离，c为光速。
下图为发射信号与回波信号的简化模型图。其中实线部分为发射信号频率曲线$f_t$,虚线部分为回波信号频率曲线$f_r$,混频输出的差频信号频率$f_b$为发射信号和回波信号的频率差.

从图中可以得到
$$\tan \theta =\frac{B/2}{T/4}=\frac{f_b}{\tau }$$
可以得到目标物体的距离值R、差频$f_b$、调频带宽B、调制周期T之间的关系：
$$R=\frac{cT}{4B}{f}_b$$
当三角波周期T和带宽B为固定的值时，在雷达与目标相对静止时，目标距离与差频$f_b$成正比。因此，可以通过对差频信号$f_b$的检测来获取目标距离R。

雷达和测量目标之间存在相对运动

多普勒效应指出，波在波源向观察者接近时接收频率变高，而在波源远离观察者时接收频率变低。当观察者移动时也能得到同样的结论。同理，用雷达观测运动目标时也会存在多普勒效应：当目标接近雷达时，雷达的接收频率变高；当目标远离雷达时，雷达的接收频率会变低。
假设雷达和目标接近，在回波信号中包含着由于目标的运动带来的多普勒频移$f_d$信号。可以得出在三角波的上升沿和下降沿差频信号的频率可分别表示如下：
$$f_{b+}=f_b-f_d$$
$$f_{b-}=f_b+f_d$$
其中， $f_b$为雷达和目标物体是相对静止时的差频信号的频率，而$f_d$为目标运动带来的多普勒频移信号。根据多普勒原理，多普勒频移$f_d$可以表示为
$$f_d=\frac{2f_{0}v}{c}$$
其中， $f_0$为发射信号中心频率。

上图为雷达与目标存在相对运动时的（a）发射信号与回波信号（b）差频信号
可以得到三角波上升沿所对应的差频$f_{b+}$和三角波下降沿所对应的差频$f_{b-}$：
$$f_{b+}=\frac{4BR}{cT}-\frac{2f_{0}v}{c}$$
$$f_{b-}=\frac{4BR}{cT}+\frac{2f_{0}v}{c}$$
则目标距离和速度的表达式为
$$R=\frac{cT}{8B}\left(f_{b-}+f_{b+}\right)$$
$$v=\frac{c}{4f_0}\left(f_{b-}-f_{b+}\right)$$
因此，可以通过$f_{b+}$和$f_{b-}$来计算距离$R$和速度$v$的值

单个静止目标回波信号的时域-频域分析

对于同一时刻，在三角波的上升沿，回波信号的频率低于发射信号的频率。在三角波的下降沿，雷达回波信号的频率则会高于发射信号频率。所以，单个目标的差频信号会围绕着三角波的峰顶和峰谷处呈现对称形式。整个差频信号则是一个周期性信号，周期等于三角波的调制周期T。
设$x\left(t\right)$为差频时域信号，$s\left(t\right)$为三角波上升沿所对应的差频时域信号，则三角波下降沿所对应的差频时域信号为$s\left(T-t\right)$。对差频信号进行时域数学建模，即
$$x\left(t\right)=\{\begin{array}{rl}& s\left(t\right),t\in \left[0,\frac{T}{2}\right]+nT,n=0,1,2...\\ & s\left(T-t\right),t\in \left[\frac{T}{2},T\right]+nT,n=0,1,2...\end{array}$$
由于差频信号是周期信号，周期信号可以展开成傅里叶级数的形式
$$x\left(t\right)=\sum _{k=\text{-}\infty }^{\infty }{A}_k{e}^{jk{\Omega }_{T}t}$$
其中，${\Omega }_T=\frac{2\pi }{T}$，$A_k$为傅里叶级数的系数。
系数$A_k$可以通过如下公式来求解
$$A_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x\left(t\right)e^{-jk{\Omega }_{T}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)e^{-jk{\Omega }_{T}t}dt+\frac{1}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{T}s\left(T-t\right)e^{-jk{\Omega }_{T}t}dt$$
对上式的第二项进行变量替换
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{T}s\left(T-t\right)e^{-jk{\Omega }_{T}t}dt\stackrel{t^{\prime }=T-t}{=}-\frac{1}{T}{e}^{-jk{\Omega }_{T}T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{0}s\left(t^{\prime }\right)e^{jk{\Omega }_T{t}^{\prime }}d{t}^{\prime }\\ & \stackrel{t=t^{\prime }}{=}-\frac{1}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{0}s\left(t\right)e^{jk{\Omega }_{T}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)e^{jk{\Omega }_{T}t}dt\end{array}$$
则
$$\begin{array}{rl}& A_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)e^{-jk{\Omega }_{T}t}dt+\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)e^{jk{\Omega }_{T}t}dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)e^{-jk{\Omega }_{T}t}dt+\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)e^{-j\left(-k{\Omega }_T\right)t}dt\end{array}$$
其中，第一项是信号$s\left(t\right)$被时间窗口函数$R_{T/2}=\{\begin{array}{rl}& 1t\in \left[0,\frac{T}{2}\right]\\ & 0t\in other\end{array}$，然后信号做傅里叶变换在$\Omega =k{\Omega }_T$处取值的结果。第二项则是在$\Omega =-k{\Omega }_T$处取值的结果。
上式可以进一步表示为
$$\begin{array}{rl}& A_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)e^{-jk{\Omega }_{T}t}dt+\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)e^{jk{\Omega }_{T}t}dt\\ & =\frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}s\left(t\right)\cos \left(k{\Omega }_{T}t\right)dt\end{array}$$
对于单个检测目标，设差频信号为单一频率的信号，则上升沿所对应的差频时域信号可表示为：
$$s\left(t\right)=\cos \left(2\pi f_{b}t+\phi \right)=\cos \left({\Omega }_{b}t+\phi \right)$$
其中，$\phi$是相位，${\Omega }_b$为差频信号$f_b$所对应的模拟角频率。那么
$$\begin{array}{rl}& A_k=\frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}\cos \left(k{\Omega }_{T}t\right)\cos \left({\Omega }_{b}t+\phi \right)dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}\cos \left[\left(k{\Omega }_T+{\Omega }_b\right)t+\phi \right]dt+\frac{1}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}\cos \left[\left(k{\Omega }_T-{\Omega }_b\right)t-\phi \right]dt\\ & \text{=}\frac{1}{T\left(k{\Omega }_T+{\Omega }_b\right)}\left[\sin \left[\left(k{\Omega }_T+{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}+\phi \right]-\sin \phi \right]\\ & +\frac{1}{T\left(k{\Omega }_T-{\Omega }_b\right)}\left[\sin \left[\left(k{\Omega }_T-{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}-\phi \right]+\sin \phi \right]\end{array}$$
不妨设$\phi \text{=}0$，则
$$\begin{array}{rl}& A_k=\frac{1}{2}\frac{\sin \left[\left(k{\Omega }_T+{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}\right]}{\left(k{\Omega }_T+{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}}+\frac{1}{2}\frac{\sin \left[\left(k{\Omega }_T-{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}\right]}{\left(k{\Omega }_T-{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}}\\ & ={\frac{1}{2}\frac{\sin \left[\left(\Omega +{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}\right]}{\left(\Omega +{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}}|}_{\Omega =k{\Omega }_T}+{\frac{1}{2}\frac{\sin \left[\left(\Omega -{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}\right]}{\left(\Omega -{\Omega }_b\right)\frac{T}{2}}|}_{\Omega =k{\Omega }_T}\end{array}$$
可以看出，系数$A_k$呈现出辛格函数的包络形式。当$\left(k{\Omega }_T-{\Omega }_b\right)\cdot T/2=m\pi ,m=0,1,2...$时，或者$\left(k{\Omega }_T+{\Omega }_b\right)\cdot T/2=m\pi ,m=0,1,2...$时，$A_k=0$。
可以解得${\Omega }_b=\left(k-m\right){\Omega }_T$或${\Omega }_b=\left(m-k\right){\Omega }_T$时，$A_k=0$。当${\Omega }_b>>{\Omega }_T$时候，$A_k$的数值大小的分布如下图所示

当${\Omega }_b=k\cdot {\Omega }_T$时，$A_k$的大小分布如图中的黑色实线所示，${\Omega }_b$恰好落在离散的整数频点上，其所对应的$A_k$为最大值。如果${\Omega }_b$落在两个离散的整数频点中间，如图中的红色虚线所示，相当于辛格函数的峰值落在了两个离散整数频点中间，且距离信号实际频率越近的频点$A_k$越大。
可以看出$A_k$的值的分布随着${\Omega }_b$的变化而变化，且包络呈现辛格函数的形状。因此，FMCW体制雷达的差频信号的傅里叶变换是一个傅里叶级数的形式，频谱上呈现离散状态，且可以通过找寻$A_k$的最大值来确定或者近似确定${\Omega }_b$的值。

雷达距离分辨率

当两个目标位于同一方位角，但与雷达的距离不同时，二者被雷达区分出来的最小距离称为距离分辨率。通常定义为：当较近目标回波脉冲的后沿（下降沿）与较远目标回波的前沿（上升沿）刚好重合时，作为可分辨的极限。此时两目标间的距离就是距离分辨率，常用$△R$表示
$$\Delta R=\frac{cT}{4B}\Delta f_b$$
其中，$\Delta f_b$为差频分辨率。一般情况下，差频信号的周期应该小于三角波周期的一半，即
$$f_b\ge \frac{2}{T}$$
那么
$$\Delta R\ge \frac{cT}{4B}\cdot \frac{2}{T}=\frac{c}{2B}$$
距离分辨率和系统的带宽B有关

雷达差频信号仿真

给出雷达差频信号的仿真，参数设置如下：

参数名称	参数值
三角板周期	1KHz
采样频率	1MHz
中心频率	20KHz
调制带宽	2KHz

可以得到三角波信号如下：

调制后的信号（发射信号为）：

回波信号为：

那么相应的差频信号，即实际低通滤波后的信号，可以表示为：

从仿真的结果也可以看出与上面的分析一致。

无人驾驶传感器融合系列（四）——毫米波雷达测距原理（77GHz FMCW）

本章摘要：介绍什么是调频连续波（FMCW），它是如何进行测距的，测距分辨率分析，测距范围分析。

调频连续波测距的基本原理：
1、发射波TX为高频连续波，其频率随时间按一定规律规律变化。
2、发射波TX遇到物体之后反射，接收器接收到反射波RX。
3、信号的发射到接收，产生一定的时间间隔 t。由这个时间间隔，得到频率差值信号IF signal。
4、对频率差值信号，进行FFT变换，得到对应的频谱。频谱的峰值处对应的频率 f 和距离 d 具有对应关系，进而得到距离d。
5、测距分辨率的分析。
6、测距范围的分析。

上面只是调频连续波测距的整体逻辑，不太清楚没关系，下面逐步进行详细的分析：

一、调频连续波的发射信号TX

发射波为高频连续波，其频率随时间规律变化。一般为锯齿形，三角形，这里介绍锯齿形，其基本组成称为chirp，下面为其性质。

二、接收信号RX

1、合成器生成chirp信号。2、发射天线发射信号TX。3、接收天线接收反射回来的信号RX。4、经过mixer，得到发射信号TX与接收信号RX之间的差值信号IF signal。过程如下：

三、时间差值 t，以及差值信号 IF signal

• 由于雷达到障碍物之间有一定的距离，从信号发射，到返回接收，有一定的距离，这个距离就产生了接收时间差值 t =2d/c，其中d 为雷达到障碍物的距离，c 为光速。
• 将发射/接收信号放在一个图里面，就得到如下的图。从图中可以看出，接收信号与发射信号一样，只是延迟了时间 t。
• 它俩经过mixer得到差值信号 IF signal ，其频率为 f= s*t，s为chirp的斜率，s = B/Tc。
• 由 t =2d/c，f= s*t，s = B/Tc 可以得出障碍物的距离 d 与 IF signal 信号频率 f 之间的关系式: d = f * c * Tc / (2B)。所以分析出了频率f，就可以得到距离d。
  

四、对IF signal 进行FFT变换，得到对应的频率 f，然后求得距离d

傅里叶变换后，得到对应的频率 f，然后根据公式 d = f * c * Tc / (2B)，就可以得到距离d 了。至此就完成了毫米波雷达测距的任务。关于FFT变换可以参考我的另一篇文章快速傅里叶变换FFT进行频谱分析（matlab）

五、测距分辨率

当雷达前面有多个物体的时候，每个物体都会返回信号，所以此时 IF signal 就会有不同的频率成分。和上面一样就行频谱分析，可以得到不同的频率值 f1, f2, f3, 然后的到多个物体的距离d1, d2, d3。

当d1、d2 很接近的时候，那么频率f1, f2也将非常接近，接近到傅里叶变换无法分析出来。如下图所示：
分辨条件：
对时阈信号进行傅里叶变换，得到频域信息。为了能够通过傅里叶变换区分出来时域信号中的不同频率成分，需要满足下面的条件：在采样周期 T 内，信号分量1 与信号分量2 至少错开1个周期。所以两信号分量频率差值满足 Δf >= 1/T。

根据上面的分辨条件，可以得到雷达的测距分辨率为：

六、测距范围分析

雷达发射的信号能量向外发散，随着距离d的增加，能量平方倍的缩小。

对发射信号强度进行增益，提高信号强度，同时发射面也更加窄。

物体反射信号，然后被接收天线接收。

计算信号/噪声比SNR，根据最小信噪比求得测距范围dmax.

后续

从上面的分析可知，当两个物体到雷达的距离相等的时候，采用测距的方式是不能将这两个物体区分开来的。此时就需要考虑物体的速度了，根据物体的速度来进行区分不同的物体。关于雷达测速原理，在下一章毫米波雷达测速原理进行介绍。

参考文献：mmWave系列培训，视频讲的非常好，建议看看视频加深理解。