一、算法原理

对于多目标优化问题，matlab提供了fminimax函数。

1、目标函数：    ，Z为多目标优化函数

             s.t  

                   

                   

                   

                   

2、调用格式

x = fminimax(fun,x0)  

x = fminimax(fun,x0,A,b)

x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x = fminimax(problem)

fun为多目标函数文件，x0为初始点，A为等式约束系数矩阵，Aeq为等式约束稀疏矩阵，lb,ub分别为最优解x的下限和上限，nonlcon为非线性约束，option为选项设置，返回值x为最优点。

[x,fval] = fminimax(...)，返回解x处目标函数fun的值。

[x,fval,maxfval] = fminimax(...)，返回在解x中求值的输入fun中目标函数的最大值。

[x,fval,maxfval,exitflag] = fminimax(...)，返回一个值exitflag，该值描述了fminimax的退出条件。

[x,fval,maxfval,exitflag,output] = fminimax(...)，返回包含有关优化信息的结构输出。

[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda] = fminimax(...)，返回结构lambda，其字段包含解x处的拉格朗日乘数。

3、 如图所示，求到A,B,C,D,E五个点的距离都比较近的点。



例二、存在不等式约束，其解的范围为[5,6]即x1∈(5,6)  x2∈(5,6)。

例三、存在等式约束，其解在x1-x2+1=0这条直线上。

例四、存在非线性约束，其解在x1^2-x1-x2+2=0,圆心为（5，5）半径为3的圆内。

matlab代码

%% 最大最小化
function d=demo_9_23_1(x) %目标函数文件
d(1)=sqrt((x(1)-2)^2+(x(2)-10)^2);
d(2)=sqrt((x(1)-5)^2+(x(2)-13)^2);
d(3)=sqrt((x(1)-8)^2+(x(2)-9)^2);
d(4)=sqrt((x(1)-3)^2+(x(2)-8)^2);
d(5)=sqrt((x(1)-6)^2+(x(2)-6)^2);

%% x = fminimax(fun,x0)
x0=[5;5];
[x,fval]=fminimax(@demo_9_23_1,x0)

%例二，存在不等式约束
%% x = fminimax(fun,x0,A,b)  有线性不等式约束 
x0=[5.5;5.5];
A=[1 0;
   -1 0;
   0 1;
   0 -1;];
b=[6;-5;6;-5];
[x,fval]=fminimax(@demo_9_23_1,x0,A,b)
%例三 粗壮乃等式约束
%% x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq) %线性等式约束
x0=[5.5;5.5];
Aeq=[1 -1;];
beq=[-1];
[x,fval]=fminimax(@demo_9_23_1,x0,[],[],Aeq,beq)
%例二的不等式约束也可以写成如下形式
%% x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %解向量的上下限
x0=[5.5;5.5];
[x,fval]=fminimax(@demo_9_23_1,x0,[],[],[],[],[5;5],[6;6])
%例四。非线性约束
%% x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) %非线性约束
%nonlcon存放非线性约束
x0=[5.5;5.5];
[x,fval]=fminimax(@demo_9_23_1,x0,[],[],[],[],[],[],@demo_9_23_2)

 

多个优化目标量值如果差的太大，会影响优化精度，例如要同时优化半长轴和偏心率，半长轴范围可能是几千千米，偏心率可能是千分乃至万分之几，量值差的就太大了，因此需要对量值范围进行处理，不要相差太大。

NSGA-II是一种著名的多目标优化算法。
NSGA-II is a very famous multi-objective optimization algorithm.
相应的函数为nsga_2(pop,gen)。
The function is nsga_2(pop,gen).
输入参数pop为种群大小，gen为进化代数。
The input arguments for the function are population size and number of generations.
用户可以根据需要灵活修改优化目标函数evaluate_objective.m。
For customization purposes the user is free to modify the objective function (function of several decision variables) by modifying an m file (evaluate_objective.m).
本文件中已经提供了一些目标函数示例。
Couple of sample objective functions is already described in the file.
用户还可以自定义判决空间。
The user also has the freedom to define the decision space.
完整源码下载地址：
http://page5.dfpan.com/fs/flbcdj5232817259166/
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之前利用matlab做多目标优化的时候查了很多书，没有找到matlab多目标优化函数，所以就对多目标进行组合加权变成了单目标，然后利用matlab单目标优化函数例如fmincon等进行优化。后来发现matlab里面集成了一个多目标优化函数，挺好用的，函数名字为fgoalattain，具体用法此处不具体介绍，有兴趣的可以help查询一下。