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  • 多目标函数优化问题
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    2020-03-23 18:09:24

    多目标函数优化
    在这里插入图片描述
    1.定义
    所谓优化就是在某种确定规定下,使得个体的性能最优。多目标优化,多于一个的数值目标在给定区域上的最优化问题称为多目标优化。
    2.解及解的形式
    求解多目标优化问题的过程就是寻找Pareto最优解(非劣解、有效解)的过程。即在多目标优化中对某些子目标的优化不能影响到其它子目标的优化而容许的整个多目标的最优解。所谓多目标优化问题的最优解就是指Pareto最优解,且不再包含其他最优解。
    3. 求解方法
    3.1 产生式方法
    如果没有先验知识,只能采用产生式方法来检验所有的非支配可选解。需要作者从整个Pareto解中做选择来进行必要的价值判断。
    3.2基于偏好的方法
    基于偏好的方法试图得到妥协解或偏好解。基于偏好的方法能够用正式和有结构的方式来清晰表达其偏好。
    (1)权重和方法:权重可以理解为目标之间相对重要性或价值,或者对目标的偏好。
    (2)效用函数法:效用函数是偏好结果的一种数学表示方法,它将目标空间的点影射为实数,数越大表明对该点偏好程度越高
    (3)妥协函数法:寻找与理想点最接近的解
    3.3约束法
    4.适应度分配方法
    4.1 权重和方法:
    权重可以理解为目标之间相对重要性或价值,或者对目标的偏好。
    (优点:通过算中和求得的全局最优解对应Pareto前端的一个解;局部最优解对应局部Pareto最优解;通过改变权值可以搜索到所有凸Pareto解)
    (缺点:不能处理非凸的Pareto;很难找到均匀分布的Pareto解)
    4.2矢量评价法(VEGA)
    循环过程中根据多个目标选出若干下一代中的优秀个体(即子种群),然后将整个种群打乱并执行交叉变异,目的在于不同种群之间进行信息交流,它保护了单个目标上的最优个体的生存,同时为那些多于一个目标上好于平均值的个体提供合理被选择概率。
    优点:简单,适合寻找Pareto front 的端点),
    (缺点:很难处理非凸问题)
    4.3 Pareto等级法:
    根据占优划分等级,对个体适应度的分配策略。
    (优点:可以快速找到Pareto前端,有效保护种群多样性)
    (缺点:非支配排序的时间复杂度很大;不支持精英策略;需要自己指定共享参数)
    4.4贪婪保护法(SPEA)
    在外部群体中对占优解进行排序;个体适应度与外部群体比它性能优的个体数目相关,使用Pareto支配关系保持种群多样性,使用聚类方法减少非支配集。
    (优点:可处理任意的目标函数,可产生解的分布,确定了一种无需参数的共享方法)
    (缺点:因为确定了一个外部解集,故计算量大)
    5.解的评价指标
    5.1多目标优化算法的评级指标通常有以下几项:逼近性GD(Generational Distance)、均匀性SP(Spacing)、宽广性EX、最优解数目ER(Error Ratio)、收敛性度量值γγ和多样性度量值ΔΔ。
    (1) 逼近性GD用来描述算法所获得的非劣最优解与Pareto前端的距离
    - 希望算法找到的Pareto 前端与实际的Pareto 前端的距离应尽可能的接近;
    (2)均匀性SP用来描述非劣解在Pareto前端上的分布范围。
    - 希望找到的Pareto 最优解具有较好的分布(如均匀分布、正态分布);
    (3)宽广性EX用来描述非劣最优解的分布范围。
    - 希望所找到的Pareto 前端的分布范围尽可能的宽广,即尽可能的覆盖每个子目标函数的可能取值范围
    (4)收敛性度量值γγ用来衡量一组已知的Pareto最优解集的收敛范围。
    (5)多样性度量值ΔΔ用来衡量Pareto前端的分布。
    5.2 性能的比较
    (1)- 直接比较法:
    它比较了两个非支配集AA 和BB 直接使用标量测度R(A,B)R(A,B),其中描述了A 比B 好多少。如:AA, BB。计算R(A,B)R(A,B)。
    优点:与独立比较相比,计算量低,不需要知道任何帕累托集;
    缺点:如果两套不同的基数和/或集合的分布是不均匀的,那么C 的度量提供了不可靠的结果。
    (2) - 间接比较法:
    它选择一个参考集,比较两个非支配集与这个参考集,然后比较结果。如:AA, BB。中间变量为Pareto,分别和他进行对比。
    优点:易于理解、计算量低;
    缺点:需要知道Pareto 前端,:度量只适用于有限数量的帕累托最优解。
    (3)- 独立比较法:
    它是衡量某些独立的属性的每个设置,并比较了这两种测量结果。如:S(A)S(A),和S(B)S(B),再比较它们。
    优点:没有必要知道帕累托或其他参考点使用、它是独立的、意义直观;
    缺点:需要非常大的计算量,这使得它完全适合于目标或大非大量支配集。

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    一、问题描述

    利用进化多目标优化算法NSGA-II求解多目标函数优化问题,选择三个多目标优化问题(包括函数表达式、决策变量取值范围)进行求解。本文选取两目标优化ZDT问题集中的三个问题,ZDT问题集均基于以下f1和f2的优化,其表达式如下,其中g(x)一般是收敛的。

    min ⁡ f 1 ( x ) \min f _ { 1 } ( x ) minf1(x)
    min ⁡ f 2 ( x ) = g ( x ) h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) \min f _ { 2 } ( x ) = g ( x ) h \left( f _ { 1 } ( x ) , g ( x ) \right) minf2(x)=g(x)h(f1(x),g(x))

    选取的三个函数分别为:

    ZDT1: f 1 ( x ) = x 1 g ( x ) = 1 + 9 n − 1 ∑ i = 2 n x i h ( f 1 , g ) = 1 − f 1 / g 0 ≤ x i ≤ 1 i = 1 , … , n \begin{aligned} f _ { 1 } ( x ) & = x _ { 1 } \\ g ( x ) & = 1 + \frac { 9 } { n - 1 } \sum _ { i = 2 } ^ { n } x _ { i } \\ h \left( f _ { 1 } , g \right) & = 1 - \sqrt { f _ { 1 } / g } \\ 0 \leq x _ { i } & \leq 1 \quad i = 1 , \ldots , n \end{aligned} f1(x)g(x)h(f1,g)0xi=x1=1+n19i=2nxi=1f1/g 1i=1,,n

    ZDT2: f 1 ( x ) = x 1 g ( x ) = 1 + 9 n − 1 ∑ i = 2 n x i h ( f 1 , g ) = 1 − ( f 1 / g ) 2 0 ≤ x i ≤ 1 i = 1 , … , n \begin{aligned} f _ { 1 } ( x ) & = x _ { 1 } \\ g ( x ) & = 1 + \frac { 9 } { n - 1 } \sum _ { i = 2 } ^ { n } x _ { i } \\ h \left( f _ { 1 } , g \right) & = 1 - \left( f _ { 1 } / g \right) ^ { 2 } \\ 0 \leq x _ { i } & \leq 1 \quad i = 1 , \ldots , n \end{aligned} f1(x)g(x)h(f1,g)0xi=x1=1+n19i=2nxi=1(f1/g)21i=1,,n

    ZDT4: f 1 ( x ) = x 1 g ( x ) = 1 + 10 ( n − 1 ) + ∑ i = 2 n ( x i 2 − 10 cos ⁡ ( 4 π x i ) ) h ( f 1 , g ) = 1 − f 1 / g 0 ≤ x 1 ≤ 1 − 10 ≤ x i ≤ 10 i = 2 , … , n \begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( x ) = } & { x _ { 1 } } \\ { g ( x ) = } & { 1 + 10 ( n - 1 ) + \sum _ { i = 2 } ^ { n } \left( x _ { i } ^ { 2 } - 10 \cos \left( 4 \pi x _ { i } \right) \right) } \\ { h \left( f _ { 1 } , g \right) = 1 - \sqrt { f _ { 1 } / g } } & { } \\ { } & { 0 \leq x _ { 1 } \leq 1 } \\ { - 10 \leq x _ { i } \leq 10 } & { i = 2 , \ldots , n } \end{array} f1(x)=g(x)=h(f1,g)=1f1/g 10xi10x11+10(n1)+i=2n(xi210cos(4πxi))0x11i=2,,n

    二、解决思路和方案

    NSGA-II算法适合应用于复杂的、多目标优化问题,其解决了NSGA的主要缺陷,实现快速、准确的搜索性能。NSGA的非支配排序的时间复杂度很大,在种群规模较大时排序的速度会很慢,而NSGA-II使用带精英策略的快速非支配排序,减小了时间复杂度,排序速度有大幅的提升。同时,精英策略保证找到的最优解不会被抛弃,提高了搜索性能。另一方面NSGA使用共享函数来使解分布均匀,共享函数方法在保持多样性的性能很大程度上依赖于所选择的共享参数;种群中的每个个体都要与其余的个体相比较,共享函数的复杂度很高,NSGA-II重新定义了拥挤距离来代替共享参数。NSGA-II算法步骤如下:

    (1)首先,采用实数编码方法随机产生规模为50的初始种群pop,利用二元锦标赛方法(对pop中个体进行快速非支配排序和拥挤距离比较)产生父代种群P。

    快速非支配排序结果的排序值越小,说明被被其余个体支配的次数越小,有着越大的概率被选择。拥挤距离的计算方法为该个体与相邻的两个个体组成的矩形的长宽和。在排序值相同的情况下,保留拥挤距离更大的个体。

    (2)通过交叉、变异操作得到子代种群Q,将父代种群P与子代种群Q合并为R。

    交叉采用模拟二进制交叉方法(SBX),交叉分布指数设置为1。变异采用单点变异,变异算子设置为0.1。

    (3)利用精英策略产生下一代种群,即对R中个体进行快速非支配排序,同时对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算,根据非支配关系以及个体的拥挤度选取合适的个体组成下一代种群。设置迭代次数为500。

    本文使用python语言进行仿真实现,求解每个最优化函数的最优前端,将其可视化。

    三、仿真结果及分析

    (1)ZDT1 仿真结果

    ZDT1经过500次迭代,最优前端由蓝点绘制而成,绿色的为理论参考集,可以看到求解结果和理论值基本吻合,且前端的分布比较均匀。其他函数同,其他函数便不进行解释,只进行结果展示。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Z4CO5Nmx-1574172455672)(C:\Users\Mr.Hou\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\1574041575122.png)]

    图3.1 ZDT1最优前端

    (2)ZDT2仿真结果

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CotxvvYF-1574172455674)(C:\Users\Mr.Hou\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\1574042236900.png)]

    图3.2 ZDT2最优前端

    (3)ZDT4 仿真结果

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4RvFqRVv-1574172455675)(C:\Users\Mr.Hou\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\1574048068122.png)]
    图3.3 ZDT4最优前端

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  • 多目标优化问题经典测试函数多目标优化问题经典测试函数,用于算法测试,matlab程序
  • 多目标优化问题及求解

    万次阅读 2021-01-08 18:16:29
    目标优化准则决策的一个领域,它是涉及目标函数同时优化的数学问题目标优化已经应用于许多科学领域,包括工程、经济和物流,其中需要在两个或个相互冲突的目标之间进行权衡的情况下作出最优决策。...

    1。多目标优化问题定义

    多目标优化是多准则决策的一个领域,它是涉及多个目标函数同时优化的数学问题。多目标优化已经应用于许多科学领域,包括工程、经济和物流,其中需要在两个或多个相互冲突的目标之间进行权衡的情况下作出最优决策。分别涉及两个和三个目标的多目标优化问题的例子有:在购买汽车时降低成本,同时使舒适性最大化;在使车辆的燃料消耗和污染物排放最小化的同时将性能最大化。在实际问题中,甚至可以有三多个目标。
    对于非平凡多目标优化问题,不存在同时优化每个目标的单个解决方案。在这种情况下,目标函数被说成是冲突的,并且存在一个(可能无限)数量的帕累托最优解。如果目标函数在值上不能改进而不降低其他一些目标值,则解决方案称为非支配、Pareto最优、Pareto有效或非劣解。如果没有额外的主观偏好信息,所有Pareto最优解都被认为是同样好的(因为向量不能完全排序)。研究人员从不同的角度研究多目标优化问题,从而在设置和解决多目标优化问题时存在不同的求解哲学和目标。目标可以是找到帕累托最优解的代表性集合,and/or量化满足不同目标的折衷,and/or找到满足人类决策者decision maker(DM)的主观偏好的单一解决方案。

    介绍: 多目标优化问题是一个涉及多目标函数的优化问题。在数学术语中,可将多目标优化问题化为:

    Image.jpg

    其中整数K>= 2是目标数,并且集合 X是可行的决策向量集。可行集通常由一些约束函数定义。此外,向量值目标函数通常定义为

    Image.jpg

    Image.jpg

    帕累托 (Pareto) 前沿(红色)的例子,帕累托最优解的集合(那些没有被任何其他可行解支配的)。点C不在帕累托边界上,因为它由点A和点B共同支配。点A和B不由任何其他点支配,且不互相支配。像A、B这类解就是多目标优化问题的可执行解,也被称为Pareto最优解。在多目标优化过程中,通常不存在同时最小化所有目标函数的可行解。因此,帕累托最优解;即,在不降低至少一个其他目标的情况下,任何目标都不能改进的解。这些Pareto最优解组成的集合便是最优解集合。

    Image.jpg

    帕累托最优解组成的集合往往是Pareto前沿,也叫Pareto边界。

    image.png 【来源:web; URL:https://en.wikipedia.org/wiki/Multi-objective_optimization

    2. 发展历史

    描述

    理性的人们试图在一组可能的选择中做出“最优”的决定。然而实际上,“最优”这个名词在不同的领域中被赋予不同意义。在经济学中,“最优”指买方和卖方(微观经济学)或政府(宏观经济学),同时优化或平衡若干标准的决策。税收就是一个很好的例子。一个最佳的,平均的税收水平(每美元的经济活动)最大限度地提高了可用于公共利益的收入,同时保持了足够的激励,个人从自己的工作中赚取收入。第一个考虑这种权衡的人是F. Y Edgeworth。

    1881年,在伦敦国王学院(King's College)和之后是在牛津大学(Oxford)的经济学教授 F.Y.Edgeworth 是第一个为多准则经济决策制定最佳方案的人(Edgeworth 1881)。他在两个假设的消费者准则P和π的背景下针对多效用问题做了这样定义:“需要找到一个点(x,y),这样无论我们朝哪个方向迈出无穷小的一步,P和π不会一起增加,而是一个增加,另一个减少。

    1893年,帕雷托成为瑞士洛桑大学政治经济学的主席,在那里他创立了两个最著名的理论:精英的流通和帕雷托最优(Circulation of the Elites and The Pareto Optimum)。虽然第一种观点至今仍存在争议,但第二种观点已得到广泛接受(Pareto 1906):“只要能够使至少一个人在他自己的估计中过得更好,社会资源的最佳分配就不可能实现。像以前一样保持别人的自我评价。

    另一个活动和进展的热点是日本,特别是在多目标优化的理论方面(Sawaragi,Nakayama和Tanino,1985)。 在过去的三十年中,多目标优化的应用在工程和设计的许多领域中稳步增长。 互联网的出现以及关于该主题的一些重点会议也促成了多目标优化的研究人员和从业者社区的形成。 该领域的一个特别值得注意的资源是由(Coello-Coello 2004)创建和维护的网站。

    各种多目标优化算法也是应运而生,Scalarization Methods (如,Andersson 2001);Pareto Methods;Hybrid methods(Miettinen, K,2008)。

    多目标优化算法归结起来有传统优化算法和智能优化算法两大类。

    1. 传统优化算法包括加权法、约束法和线性规划法等,实质上就是将多目标函数转化为单目标函数,通过采用单目标优化的方法达到对多目标函数的求解。 
    2. 智能优化算法包括进化算法(Evolutionary Algorithm, 简称EA)、粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)等。

    从九十年代初开始,进化算法系列算法被统一,如遗传算法(GA)等。进化算法的应用范围很广。

    2002年,Deb, K., Pratap, A., Agarwal, S., & Meyarivan, T. A. M. T应用遗传算法来解决多目标优化问题。优化问题也是进化算法最擅长解的问题之一。

    2009年,Liang等学者针对PSO算法应用在多模态问题(multimodal problem)时容易陷入局部最优解的问题,提出了CLPSO(comprehensive learning particle swarm optimizer)算法来防止算法过早收敛(pre-convergence)。
    【Evolutionary computation/algorithm - Yuanyuan LI】https://www.jiqizhixin.com/graph/technologies/fd0fb517-7786-4fe0-99d3-170d849cdf12

    2018年,在NIPS上的《Multi-task learning as multi-objective optimization》明确将多任务学习视为多目标优化问题,以寻求帕累托最优解。Sener, O., & Koltun, V.提出的方法可以在现实假设下得到帕累托最优解。

    【出处:paper,http://strategic.mit.edu/docs/3_46_CJK-OSM3-Keynote.pdf  】


    主要事件
    年份事件相关论文
    1906Pareto提出核心思想Pareto, V. (1906). Manuale di economia politica (Vol. 13). Societa Editrice.
    1979Stadler, W. 对帕累托最优进一步回顾Stadler, W. (1979). A survey of multicriteria optimization or the vector maximum problem, part I: 1776–1960. Journal of Optimization Theory and Applications, 29(1), 1-52.
    2008Miettinen, K.提出一种混合方法解决多目标问题Miettinen, K., Ruiz, F., & Wierzbicki, A. P. (2008). Introduction to multiobjective optimization: interactive approaches. In Multiobjective Optimization (pp. 27-57). Springer, Berlin, Heidelberg.
    2014Deb, K.对多目标优化进行回顾Deb, K. (2014). Multi-objective optimization. In Search methodologies (pp. 403-449). Springer, Boston, MA.
    2018Sener, O., & Koltun, V.提出多任务学习来作为多目标优化的策略Sener, O., & Koltun, V. (2018). Multi-task learning as multi-objective optimization. In Advances in Neural Information Processing Systems (pp. 524-535).

    3. 发展分析

    瓶颈

    多目标优化算法相对成熟,在不同的问题使用不同的优化算法。NSGA-II, SPEA 或者 MOPSO都是可选项,而到底选择哪一个方法,还需要根据特定的情景选择。

    尽管多目标优化算法应用于动态的制造系统(Dynamic Manufacturing Systems),但是制造系统的复杂特性,使得算法仍然需要完善。

    未来发展方向

    1.因为多种多目标方法已经被提出,混合方法 hybrid method可以被进一步发展。

    2. 现在的动态制造系统中的多目标优化算法需要动态调度的能力

    https://ieeexplore.ieee.org/document/4667864  】

    展开全文
  • 令人头疼的优化问题——多目标规划问题matlab求解

    千次阅读 多人点赞 2021-05-21 14:11:18
    其中,fi(x)f_i(x)fi​(x)为待优化目标函数;x为待优化的变量;lb和ub分别为变量x的下限和上限约束;Aeq∗*∗x=beq为变量x的线性等式约束;A∗*∗x≤\leq≤b为变量x的线性不等式约束。 在该问题中,目标函数f1f_...

    😽 今天我们要来解决一个运筹学中较为头疼的问题,多目标规划问题。

    1.多目标规划问题的描述

    多目标问题可以描述成如下问题:
    在这里插入图片描述
    其中, f i ( x ) f_i(x) fi(x)为待优化的目标函数;x为待优化的变量;lbub分别为变量x的下限和上限约束;Aeq ∗ * x=beq为变量x的线性等式约束;A ∗ * x ≤ \leq b为变量x的线性不等式约束。
    在这里插入图片描述
    在该问题中,目标函数 f 1 f_1 f1 f 2 f_2 f2是相互矛盾的。如上图,因为 A 1 < B 1 A_1<B_1 A1<B1 A 2 > B 2 A_2>B_2 A2>B2也就是说,某一个目标函数的提高需要以另一个目标函数的降低作为代价,我们称这样的解AB是非劣解,或者说是帕累托最优解,多目标规划问题就是要求解这些帕累托最优解。

    2. 求解多目标优化问题方法

    目前求解多目标优化问题方法算法主要有基于数学的规划方法和基于遗传算法的两类方法;其中带精英策略的快速非支配排序算法(NSGA-II)是影响最大和应用范围最广的一种多目标遗传算法。在其出现以后,由于它简单有效以及比较明显的优越性,使得该算法已经成为多目标优化问题中的基本算法之一,该算法主要优点:

    • 提出了快速非支配的排序算法,降低了计算非支配序的复杂度。
    • 引入了精英策略,扩大了采样空间。将父代种群与其产生的子代种群组合在一起,共同通过竞争来产生下一代种群,这有利于是父代中的优良个体得以保持,保证那些优良的个体在进化过程中不被丢弃,从而提高优化结果的准确度。并且通过对种群所有个体分层存放,使得最佳个体不会丢失,能够迅速提高种群水平。
    • 引入拥挤度和拥挤度比较算子,这不但克服了NSGA算法中需要人为指定共享参数的缺陷,而且将拥挤度作为种群中个体之间的比较准则,使得准Pareto域中的种群个体能均匀扩展到整个Pareto域,从而保证了种群的多样性。

    3.matlab求解

    Matlab中提供函数gamultiobj采用的算法就是基于NSGA-II改进的一种多目标优化算法(a variant of NSGA-II),接下来对目标规划中的一些概念进行介绍。

    3.1 支配(dominate)与非劣(non-inferior)

    在多目标规划问题中,如果个体p至少有一个目标比个体q的好,而且个体p的所有目标都不比个体q的差,那么称个体p支配个体q(p dominate q),或者称个体q受个体p支配(q is dominated by p),也可以说,个体p非劣个体q(p is non- inferior to q)。

    3.2 序值(rank)和前端(front)

    如果p支配q,那么p的序值比q低,如果p和q互不支配,或者说,p和q互相非劣,那么p和q有相同的序值,序值为1的个体属于第一前端,序值为2的个体属于第二前端,依此推类。显然,在当前种群中,第一前端是完全不受支配的,第二前端受第一前端中个体是支配,这样,通过排序,可以将种群中的个体分配到不同的前端。

    3.3 拥挤距离(crowding-distance)

    拥挤距离用来计算某前端中的某个体与与该前端中其他个体之间的距离,用以表征个体间的拥挤程度。显然,拥挤距离的值越大,个体间就越不用拥挤,种群的多样性就越好。需要指出的是,只有处于同一前端的个体间才需要计算拥挤距离,不同前端之间计算距离是没有意义的。

    3.4 最优前端个体系数(paretofraction)

    最优前端个体系数定义为最优前端中的个体在种群中所占有的比例,即最优前端个体数=min{paretofraction ∗ * 种群大小,前端中现存的个体数目},其取值范围为[0到1]。

    4.案例

    求解如下问题的解:
    在这里插入图片描述
    使用gamultiobj求解,主要分为两部分

    %%定义求解函数文件
    function f = my_first_multi(x)
     
    f(1) = x(1)^4 - 10*x(1)^2+x(1)*x(2) + x(2)^4 - (x(1)^2)*(x(2)^2);
    f(2) = x(2)^4 - (x(1)^2)*(x(2)^2) + x(1)^4 + x(1)*x(2);
    
    %%求解文件
    clear
    clc
    
    fitnessfcn = @my_first_multi;   % Function handle to the fitness function
    nvars = 2;                      % Number of decision variables
    lb = [-5,-5];                   % Lower bound
    ub = [5,5];                     % Upper bound
    A = []; b = [];                 % No linear inequality constraints
    Aeq = []; beq = [];             % No linear equality constraints
    options = gaoptimset('ParetoFraction',0.3,'PopulationSize',100,'Generations',200,'StallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'PlotFcns',@gaplotpareto);
    
    [x,fval] = gamultiobj(fitnessfcn,nvars, A,b,Aeq,beq,lb,ub,options);
    

    解释一下gamultiobj里面的参数:
    [ x , f v a l ] = g a m u l t i o b j ( f i t n e s s f c n , n v a r s , A , b , A e q , b e d , l b , u b , o p t i o n s ) [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,bed,lb,ub,options) [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,bed,lb,ub,options)
    其中x为函数gamultiobj得到的帕累托最优解集,fval为对应x目标函数;fitnessfcn为目标函数句柄,同函数ga一样,需要编写一个描述目标函数M的文件,navrs为变量数目;A、b、Aeq、bep为线性约束,可以表示为 A ∗ X < = B , A e q ∗ X = b e p A*X<=B,Aeq*X=bep AX<=B,AeqX=bep;ib、ub为上、下限约束,可以表述为 i b < = X < = u b ib<=X<=ub ib<=X<=ub,当每没有约束时,用[ ]表示即可;

    options中需要对多目标优化算法进行一些设置:
    o p t i o n s = g a o p t i m s e t ( ′ p a r a m ′ , v a l u e , ′ p a r a m 2 ′ , v a l u e 2 , . . . . . . ) options=gaoptimset('param',value,'param2',value2,......) options=gaoptimset(param,value,param2,value2,......)
    其中,param,param2等是需要设定的参数,如最优前端个体系数,拥挤距离计算函数,约束条件,终止条件等;value、value2等是param的具体值。param有专门的表达方式,如最优前端个体系数对应paretofraction、拥挤度计算函数对应DistanceMeasureFcn。
    结果如下:
    在这里插入图片描述

    5.参考资料

    《智能算法30个案例》
    链接: 多目标优化问题的算法及其求解.

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