python绘制正态分布及三大抽样分布的概率密度图像
2020-12-22 09:12:04
3、正态分布的概率密度函数及其图象 1）正态分布的概率密度函数及其图象 2）python绘制正态分布的概率密度函数图象 4、卡方分布的概率密度函数及其图象 1）卡方分布的概率密度函数...
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概率机器人——多元正态分布的密度函数

千次阅读 2020-05-26 13:26:58

首先，已知有一个满足一维正态分布的概率密度函数为： p(x) = exp{} 在多元正态分布下，其数据为x =，对应的均值方差分别为 =，=，则其概率密度可由一下展开表示： p(x) = =exp{} *exp{} *exp{}...exp{} ...

首先，已知有一个满足 $\mathcal N(x; \mu ,{_{\sigma}}^{2})$ 一维正态分布的概率密度函数为：

$p(x)={(2\pi {_{ \sigma}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x-\mu)}}^{2}}{{_{\sigma }}^{2}}}$

在多元正态分布下：

其数据为： $\boldsymbol{x}=[x_{0},x_{1},x_{2},...x_{n}]^{T}$ ，

均值为： $\boldsymbol{\mu}= [\mu_{0},\mu_{1},\mu_{2},...\mu_{n}]$ ，

方差为： $\boldsymbol{\sigma}=[\sigma_{0}^2,\sigma_{1}^2,\sigma_{2}^2,...\sigma_{n}^2]$ 。

则其概率密度可由一下展开表示：

$p(x)=p(x_{0})p(x_{1})p(x_{2})...p(x_{n})$

$={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{{_{\sigma_{0}}}^{2}}}*{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{{_{\sigma_{1}}}^{2}}}*{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{{_{\sigma_{2}}}^{2}}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{{_{\sigma_{n}}}^{2}}}$

$={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}*exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{{_{\sigma_{0}}}^{2}}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{{_{\sigma_{1}}}^{2}}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{{_{\sigma_{2}}}^{2}}}...exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{{_{\sigma_{n}}}^{2}}}$

$={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}*exp^{-\frac{1}{2}(\frac{{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{{_{\sigma_{0}}}^{2}} + \frac{{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{{_{\sigma_{1}}}^{2}} + \frac{{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{{_{\sigma_{2}}}^{2}}+...\frac{{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{{_{\sigma_{n}}}^{2}})}$

令，

${\sum}=\left [ \begin{matrix} \sigma_{0}^{2} & & &\\ & \sigma_{1}^{2} & &\\ & & \sigma_{2}^{2} &\\ & & & ...\\ & & & & \sigma_{n}^{2}\\ \end{matrix} \right ]$ ， ${\sum}^{-1} =\left [ \begin{matrix} \frac{1}{\sigma_{0}^{2}} & & &\\ & \frac{1}{\sigma_{1}^{2}} & &\\ & & \frac{1}{\sigma_{2}^{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & \frac{1}{\sigma_{n}^{2}}\\ \end{matrix} \right ]$ ，

则有，

${(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}$

$=det(\left [ \begin{matrix} (2\pi\sigma_{0}^{2})^{-\frac{1}{2}} & & &\\ & (2\pi\sigma_{1}^{2})^{-\frac{1}{2}} & &\\ & & (2\pi\sigma_{2}^{2})^{-\frac{1}{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & (2\pi\sigma_{n}^{2})^{-\frac{1}{2}}\\ \end{matrix} \right ])$

$=det(2\pi\sum)^{-\frac{1}{2}}$

$exp^{-\frac{1}{2}(\frac{{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{{_{\sigma_{0}}}^{2}} + \frac{{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{{_{\sigma_{1}}}^{2}} + \frac{{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{{_{\sigma_{2}}}^{2}}+...\frac{{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{{_{\sigma_{n}}}^{2}})}$

$=exp^{-\frac{1}{2}\left [ \begin{matrix} x_{0}-\mu_{0} \\ x_{1}-\mu_{1} \\ x_{2}-\mu_{2} \\ ... \\ x_{n}-\mu_{n} \\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} \frac{1}{\sigma_{0}^{2}} & & &\\ & \frac{1}{\sigma_{1}^{2}} & &\\ & & \frac{1}{\sigma_{2}^{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & \frac{1}{\sigma_{n}^{2}}\\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} x_{0}-\mu_{0} & x_{1}-\mu_{1} & x_{2}-\mu_{2} & ... & x_{n}-\mu_{n} \end{matrix} \right ]}$

$=exp^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{T}\sum^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})}$

因此求得多元正态分布的概率密度函数为：

$p(x)=det(2\pi\sum)^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{T}\sum^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})}$

特别地，当x是一维的时候， $\sum = \sigma^2$ ， ${\sum}^{-1} = \frac{1}{\sigma^2}$ ，

则有，

$p(x)={(2\pi {_{ \sigma}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x-\mu)}}^{2}}{{_{\sigma }}^{2}}}$

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人工智能

多维正态分布的边缘概率与条件概率的公式（只有结论，无推导）

千次阅读 2020-03-04 17:14:20

设XXX为服从多维正态分布的随机变量，即X∼N(μ,Σ)X\sim N(\mu,\Sigma)X∼N(μ,Σ) 将XXX分成两个部分：Xa,XbX_a,X_bXa,Xb，μ\muμ分成两个部分：μa,μb\mu_a, \mu_bμa,μb，Σ\SigmaΣ分成四个部分：Σ...

设 $X$ 为服从多维正态分布的随机变量，即 $X\sim N(\mu,\Sigma)$ 
 将 $X$ 分成两个部分： $X_a,X_b$ ， $\mu$ 分成两个部分： $\mu_a, \mu_b$ ， $\Sigma$ 分成四个部分： $\Sigma_{aa},\Sigma_{ab},\Sigma_{ba},\Sigma_{bb}$ 
 目标：求解 $P(X_a)$ 与 $P(X_b|X_a)$ 
 定理：
 已知 $X\sim N(\mu, \Sigma)$ ， $Y = A X + B$ 
 则 $Y\sim N(A\mu +B, A\Sigma A^T)$  
结论：
  $X_a\sim N(\mu_a,\Sigma_{aa})$ 
 令：
  $X_{b\cdot a}=X_b-\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}X_a$ 
  $\mu_{b\cdot a}=\mu_b-\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}\mu_a$ 
  $\Sigma_{bb\cdot a}=\Sigma_{bb}-\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}\Sigma_{ab}$ 
 结论：
  $X_b|X_a\sim N(\mu_{b\cdot a}+\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}X_a,\Sigma_{bb\cdot a})$

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概率论笔记（六）一维正态分布/二维正态分布/多维正态分布

千次阅读 2020-11-10 16:29:58

文章目录一：一维正态分布二：二维正态分布/多维正态分布三：各向同性正态分布一：一维正态分布二：二维正态分布/多维正态分布 三：各向同性正态分布各向同性的高斯分布（球形高斯分布）指的是各个方向方差...

一：一维正态分布

在这里插入图片描述

二：二维正态分布/多维正态分布

三：各向同性正态分布

各向同性的高斯分布（球形高斯分布）指的是各个方向方差都一样的多维高斯分布，协方差为正实数与identity matrix（单位矩阵）相乘。
在这里插入图片描述
注：即方差都是一样的，均值不一样，方差的值可以单独用标量表示。

参考链接：
https://www.cnblogs.com/jiangkejie/p/12939776.html
https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/92842869#comments_13760339

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协方差

概率笔记12——多维正态分布的最大似然估计
万次阅读 多人点赞 2019-08-19 19:33:18
我们在前面的章节中见识过二维正态分布，(X,Y)服从参数为μ1, μ2, σ1, σ2, ρ的二维正态分布，记作(X, Y)~N(μ1, μ2, σ1, σ2, ρ)，它的密度函数：　其中μ1是第1维度的均值，σ12是第1维度的方差，ρ是将...
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最大似然估计
matlab练习程序（生成多维高斯分布概率密度函数）
千次阅读 2017-12-19 21:45:08
clear all; close all; clc; randn('seed',0); %%一维高斯函数 mu=0; sigma=1; x=-6:0.1:6; y=normpdf(x,mu,sigma);...%%二维或多维高斯函数 mu=[0 0]; sigma=[0.3 0;0 0.35]; [x y]=meshgrid(linspace(-8,8,80)
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机器学习
正态分布密度函数的系数
2021-06-10 19:08:09
事实上，如果某个多维随机变量的密度函数可以写成该形式，那么它就服从正态分布。其中bbb是均值，正定矩阵AAA是协方差矩阵的逆，它们共同决定了正态分布的形式。而另外一个字母kkk，仅仅是归一化系数，它是使得整个...
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数学统计学
关于多元正态分布的条件概率密度
万次阅读 2017-01-10 21:16:23
原文来自师兄的博客：...多元正态分布多元正态分布的密度函数如下： fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))f_{x}(x_{1},...x_{n})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{
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多元正态分布多元正态分布
热门讨论 2012-11-20 23:01:10
多元正态分布一些性质的证明，比较详细。有兴趣的可以下去看看多元正态分布一些性质的证明，比较详细。有兴趣的可以下去看看多元正态分布一些性质的证明，比较详细。有兴趣的可以下去看看
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机器学习（十六）——多元正态分布（The multivariate normal distribution）
万次阅读 多人点赞 2018-05-15 22:30:14
原文：http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes2.pdfn维的多元正态分布，也称为多元高斯分布，是用均值向量和协方差矩阵参数化的，其中Σ≥0是对称的和正半定的。也被写作，它的密度函数为在上面的方程中，“|...
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机器学习5 多维正态分布(高斯分布)
千次阅读 2016-07-30 23:45:14
概率密度p(x)=1(2π)n2|β|12exp(−12(x−α)Tβ−1(x−α))p(x) = {1 \over {{{\left( {2\pi } \right)}^{{n \over 2}}}{{\left| \beta \right|}^{{1 \over 2}}}}}\exp \left( { - {1 \over 2}{{\left( {x - \alpha...
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mvnfast:多元正态分布的快速方法-源码
2021-05-12 00:27:15
mvnfast ：快速多元正态分布和学生t... dmvn() ：评估多元正态分布的概率密度函数。 dmvt() ：评估多元学生t分布的概率密度函数。 maha() ：计算马哈拉诺比斯距离。有关mvnfast的介绍和一些性能基准测试，请参见。
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R
多维正态随机变量的条件概率密度函数推导
2021-11-18 13:26:29
有关 多维正态随机变量的条件概率密度函数推导过程以及条件期望和条件方差的表达式。
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数学
matlab:画二维正态分布密度函数图
万次阅读 2013-07-11 11:20:32
首先，把二维正态分布密度函数的...但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式，那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵，其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷，但是用在matlab里画图不太方面，下面换一个
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Matlab二维正态分布可视化
千次阅读 多人点赞 2019-04-22 13:11:44
高维分布一直都是一个很抽象的概念，本人在学... 图中x,y为两个变量的取值，z为出现的概率密度。图1 三维图1 图2 俯视图1 变量x的均值为0，方差为2，变量y的均值为0，方差为2，相关系数为0。 ...
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Matlab
coursera机器学习第九周Anomaly Detection（异常检测）多元高斯分布的概率密度函数推导
千次阅读 2018-04-23 19:22:52
在一般的高斯分布模型中，我们计算高斯分布概率密度函数p(x),回顾高斯分布的基本知识。通常如果我们认为变量 x 符合高斯分布 x~N(μ,σ2)则其概率密度函数为：，其中，μ,σ2分别表示如下：。 ...
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吴恩达
正态分布的条件分布与边缘分布
2021-04-14 12:58:48
本文总结多元正态分布的条件分布与边缘分布，证明不难，但都比较繁琐，故不做详细证明，有兴趣可以参考Pattern Recognition and Machine Learningy一书。 1 正态分布的条件分布对于联合正态分布变量x∼N(μ,Σ)x\...
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线性代数数学
python 多维高斯分布数据生成方式
2020-12-23 11:15:36
我就废话不多说了，直接上代码吧！ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def gen_clusters(): mean1 = [0,0] cov1 = [[1,0],[0,10]] data = np.random.multivariate_normal(mean1,cov1,100) ...
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多元正态分布的四种定义
千次阅读 2020-10-21 16:12:49
提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考...若ppp维随机向量X=(X1,X2,…,Xp)′X=(X_1,X_2,…,X_p)'X=(X1,X2,…,Xp)′的概率密度函数为KaTeX parse error: Invalid delimiter: '\Sigma' after '\lef
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概率论：高斯/正态分布
万次阅读 多人点赞 2015-10-30 20:31:21
正态分布（高斯分布）若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ...其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。正态随机变量概率密度函数 [正态分布- 维基百科] 皮皮blog
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高斯分布
正态分布模式下的贝叶斯分类
热门讨论 2012-12-20 18:54:53
用MatLab编写的正态分布模式下的贝叶斯分类器。很多模式识别的课设就有相关题目。不仅有样本分类而且会在二维坐标系下画出，正确分类与错误分类的点都会有不同的标志。
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多维高斯概率密度函数对协方差矩阵求导
2020-05-21 15:07:14
转载https://www.cnblogs.com/ccienfall/archive/2016/11/09/6049021.html
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使用最大后验概率学习正态分布的参数
千次阅读 2019-10-30 11:23:42
最近在看计算机视觉：模型学习与推理，第四章将了使用最大后验概率来学习正态分布的参数。 1维正态分布的先验概率是正态逆伽马分布，N维正态分布的先验概率是正态逆维系特分布。这里生成的数据是满足1维正态分布。 1...
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机器学习计算机视觉 C++
协方差矩阵与多元正态分布
2021-10-21 12:32:02
文章目录协方差矩阵协方差协方差矩阵多元正态分布协方差矩阵的特征值分解协方差矩阵协方差在统计学中，方差用来度量单个随机变量的离散程度，而协方差用来刻画两个随机变量的相似程度，方差的计算公式 σx2=1n−1...
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矩阵机器学习
概率与数理统计学习总结五--高维正态随机变量的概率密度
千次阅读 2017-07-28 10:52:57
高维正态随机变量的概率密度 协方差矩阵为学习高维连续变量模型的处理打开了一扇大门 1维正态随机变量的概率密度 n维正态随机变量的概率密度 马尔科夫不等式如果X为非负的随机变量,那么大数定理大数定律...
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多元正态分布的条件概率分布(一)
万次阅读 多人点赞 2014-06-04 12:25:20
多元正态分布的条件概率分布假设分别有两个多维向量和其中那么的协方差矩阵为：那么的协方差矩阵为：那么的协方差矩阵为：那么的协方差矩阵为...
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多元正态分布最大似然估计
千次阅读 2020-09-15 12:48:15
多元正态分布的概率密度函数 N维随机向量如果服从多变量正态分布，必须满足下面的三个等价条件：任何线性组合服从正态分布。存在随机向量 ( 它的每个元素服从独立标准正态分布），向量及矩阵A满足存在和一...
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正态分布3σ原则
千次阅读 2021-06-23 09:14:26
正态分布 也称高斯分布（Gaussian distribution）正态分布是一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ（数学期望）...正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ
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python绘制正态分布及三大抽样分布的概率密度图像

多维正态分布与图形识别

多维正态分布与图形识别

目录

写在前面

从图形识别的角度对正态分布的理解

什么是正态分布？

一维正态分布下的识别与匹配

二维正态分布下的识别与匹配

多维正态分布

一个图形匹配实际问题

写在后面

概率机器人——多元正态分布的密度函数

多维正态分布的边缘概率与条件概率的公式（只有结论，无推导）

概率论笔记（六）一维正态分布/二维正态分布/多维正态分布

文章目录

一：一维正态分布

二：二维正态分布/多维正态分布

三：各向同性正态分布

概率笔记12——多维正态分布的最大似然估计

matlab练习程序（生成多维高斯分布概率密度函数）

正态分布密度函数的系数

关于多元正态分布的条件概率密度

多元正态分布多元正态分布

机器学习（十六）——多元正态分布（The multivariate normal distribution）

机器学习5 多维正态分布(高斯分布)

mvnfast:多元正态分布的快速方法-源码

多维正态随机变量的条件概率密度函数推导

matlab:画二维正态分布密度函数图

Matlab二维正态分布可视化

coursera机器学习第九周Anomaly Detection（异常检测）多元高斯分布的概率密度函数推导

正态分布的条件分布与边缘分布

python 多维高斯分布数据生成方式

多元正态分布的四种定义

概率论：高斯/正态分布

正态分布模式下的贝叶斯分类

多维高斯概率密度函数对协方差矩阵求导

使用最大后验概率学习正态分布的参数

协方差矩阵与多元正态分布

概率与数理统计学习总结五--高维正态随机变量的概率密度

多元正态分布的条件概率分布(一)

多元正态分布最大似然估计

正态分布3σ原则

多维正态分布概率密度