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  • 2021-01-24 22:55:34

    多重背包

    每件物品的个数有限制

    朴素算法

    与完全背包的朴素算法类似 时间复杂度 O ( N ∗ V ∗ S ) O(N*V*S) O(NVS)

    状态转移方程 f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − k ∗ v [ i ] ] + k ∗ w [ i ] ) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i1][jkv[i]]+kw[i])

    优化成一维时需要从大到小枚举 j j j

    for (int i = 1;i <= n;++i) {
    	for (int j = 0;j <= m;++j) {
    		for (int k = 0;k * v[i] <= j && k <= s[i];++k) {
    			f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    		}
    	}
    }
    

    二进制优化

    先对s件物品分组,再做01背包问题 时间复杂度 O ( N ∗ V ∗ l o g 2 S ) O(N*V*log_{2}S) O(NVlog2S)

    s分组成: 1 , 2 , 4 , 8 , 16... 2 k , s − 2 k + 1 1,2,4,8,16...2^{k},s-2^{k+1} 1,2,4,8,16...2k,s2k+1 可以证明 0 − s 0-s 0s的每一个数都可以被以上数字表示出来 所以01背包对于每组物品的的选与不选 就表示所有可能的s的取值

    int cnt = 0;
    for (int i = 1;i <= n;++i) {
       int a, b, s;
       cin >> a >> b >> s;
       int k = 1;
       while (k <= s) {
       	cnt++;
       	v[cnt] = a * k;
       	w[cnt] = b * k;
       	s -= k;
       	k *= 2;
       }
       if (s > 0) {
       	++cnt;
       	v[cnt] = a * s;
       	w[cnt] = b * s;
       }
    }
    n = cnt;
    
    for (int i = 1; i <= n;++i) {
       for (int j = m;j >= v[i];--j) {
       	f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
       }
    }
    
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    一、方差分析基本原理

    1、方差分析(analysis of variance):k(k>=3)个样本平均数假设测验方法。

     

    与j无关的变量都看成常数,此时summation代表的是次数

        方差分析基本步骤:

      (1)将资料总变异的自由度和平方和分解为各变异原因的自由度和平方和,并算的其均方

      (2)计算均方比,做出F测验,以明了各变异因素的重要程度

      (3)对各平均数进行多重比较

    2、F分布与F测验(比较两个事物变异大小)

    在一个平均数为\mu、方差为\sigma ^{2}的正态总体中,随机抽取两个独立样本,分别求得其均方s_{1}^{2}s_{2}^{2},将其比值定义为F:

                                                                    F_{(v1,v2)}=s_{1}^{2}s_{2}^{2}

    在给定的v1,v2下按上述方法从正态总体中进行一系列抽样,可得一系列的F值而作成一个F分布。

    统计研究证明:

    (1)F分布是具有平均数为1 ,取值空间为[0,\infty]一组曲线

    (2)某一特定曲线的形状仅取决于参数v1和v2,v1=1或2时,曲线是严重倾斜成反向J曲线,v1>=3时,曲线转为偏态。

                                            

    在方差体系中,F测验可用于检测某项变异因素的效用或方差是否真实存在。在计算F分布时,总是将要测验的那一项变异因素的均方作为分子,另一项变异(如试验误差项)的均方作为分母。这个问题与方差分析的模型和各项变异来源的期望均方有关。在此测验中,若分子的均方小于分母的均方,则F<1,不用查表即可确定P>0.05,接受无效假设,所以分子必须是大均方。

    F测验需具备:

    (1)变数y遵循正态分布N(\mu\sigma ^{2}

    (2)s_{1}^{2}s_{2}^{2}必须彼此独立

    当资料不符合这些条件时,需做适当转换。

    对一组处理的重复试验数据经对总平方和与总自由度的分解估计出   处理间均方与处理内均方(误差均方),通过F=MSt/MSe测验处理间所表示出的差异是否真实(比误差大),这一方法为方差分析法。所用统计假设H0:\sigma _{t}^{2}=\sigma _{e}^{2} or \mu _{A}=\mu _{B}=\mu _{C}或HA:\sigma _{t}^{2}>\sigma _{e}^{2} or \mu _{A},\mu _{B},\mu _{C}间存在差异(不一定三者都不等,可能部分不等)。

     

    二、多重比较

    对一组试验数据通过平方和与自由度的分解,将所估计的处理均方与误差均方作比较,由F测验推论处理间有显著差异,对有些试验方差分析已算告一段落,但对有些试验其目的不仅在于了解一组处理间总体上有无实质性差异,更在于了解哪些处理间存在真实差异,需进一步做处理平均数间的比较。一个试验中K个处理可能有K(K-1)/2个比较,这种比较是复式比较亦称多重比较(multiple comparisions)。

    通过方差分析后进行平均数间的多重比较,不同于处理间两两单独比较。原因:

    (1)误差由多个处理内的变异合并估计,自由度增大了,因而比较的精确度也增大了

    (2)由于F测验显著,证实处理间总体上有真实差异后再做两两平均数的比较,不大会像单独比较时那样将个别偶然性的差异无误判为真实差异。在F测验基础上再做的平均数间多重比较称为Fisher氏保护下的多重比较(Fisher's protected multiple comparisons)。 在无F测验保护时,处理间两两比较,每一比较的显著水平\alpha=0.05,若处理间总体上无差异,每一比较误判为有差异的概率为0.05,则6个比较中至少有一个被误判的概率为\alpha'=1-0.95^{6}=0.2649;若处理数k=10,则 \alpha'=1-0.95^{45}=0.9006,因而尽管单个比较的显著水平为0.05,但从试验总体上 \alpha' (至少有一个误判的概率)是很大的,说明通过F测验做保护是非常必要的。                                                                                                                                                         

    多重比较的方法:最小显著差数法,复极差法(q法),Duncan氏新复极极差法。

    方法一: 最小显著差数法(least significant difference,LSD法),实质是t测验(成组)。

    程序:在处理间的F测验为显著的前提下,计算出显著水平为 \alpha 的最小显著差数LSD_{\alpha };任何两个平均数的差数(\bar{y}_{i}-\bar{y}_{j}),其绝对值\geq  LSD_{\alpha },即为在\alpha水平上差异显著;反之在\alpha水平上不显著。该法又称在F测验保护下的最小显著差数法。                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

    方法二: q法(极差)

    LSD法的t测验是根据两个样本平均数差数(k=2)的抽样分布提出的,但是一组处理(k>2)是同时抽取k个样本的结果。抽样理论指出k=2时与k>2,例如k=10时其随机极差是不同的,随着k的增大而增大,k=2时的t测验有可能夸大了k=10时最大与最小两个样本平均数差数的显著性。基于极差的抽样分布理论,Student-Newman-Keul提出了q测验或称负极差测验(SNK/NK测验)。

    q测验方法是一组k个平均数由大到小排列后,根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差LSD_{\alpha }的值。

    q测验根据极差抽样分布原理,其各个 比较都保证同一个\alpha显著水平,其尺度值构成为:

                              LSD_{\alpha }=\alpha _{(\alpha;df,p)}SE      SE=sqrt(MSe/n)   

    式中2\leqslantp\leqslantk,p是所有比较的平均数按大到小顺序排列所计算出的两极差范围内所包含的平均数个数(称为秩次距),SE是平均数的标准误。每一显著水平下有k-1个尺度值。平均数比较时,尺度值随秩次距的不同而异。 

    方法三: 新复极差法

    不同秩次距P下的最小显著极差变幅比较大,因此,D.B.Duncan提出新复极差法,又称最短显著极差法(shortest significant ranges,SSR)。与q法相似,其区别在于计算最小显著极差LSD_{\alpha }时不是查q表而是查SSR表,所得最小显著极差值随k增大通常比q测验时减小。

                                                   LSD_{\alpha }=SE*SSR_{\alpha ,P}

    在不同秩次距p下,平均数间比较的显著水平按两两比较是  \alpha ,但按p个秩次距则为保护水平\alpha'=1-(1-\alpha)^(p-1)     

    二、多重比较结果的表示方法

    (1)列梯形表法

    (2)划线法 

    (3)标记字母法

            首先将全部平均数从大到小依次排序,然后再最大的平均数标上字母a;并将该平均数与以下各平均数相比,凡相差不显著的都标上字母a,直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b(向下过程);再以标有该字母b的最大平均数为标准,与以下未标记的平均数比,凡不显著的继续标以字母b,直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c。……如此重复下去,直至最小的一个平均数有了标记且与以上平均数进行了比较为止。各个平均数间,凡有一个相同标记字母的即为差异不显著,没有相同标记的即为差异显著。

    三、多重比较方法的选择

    参考原则:

    (1)试验事先确定比较的标准,凡与对照相比较,或与预定要比较,或与预定要比较的对象比较,一般可选用最小显著差数法

    (2)根据否定一个正确的H0与接受一个不正确的H0的相对重要性来决定。   

    四、方差分析的线性模型与期望均方              

    方差分析是建立在一定线性可加模型基础上。线性可加模型是指总体每一个变量可以按其变异的原因分解成若干个线性组成部分,是方差分析的理论依据。

    五、单项分组资料的方差分析

    单项分组资料是指观察值仅按一个方向分组的资料。

    (1)组内观察值数目相等

    (2)组内观察值数目不等

    (3)组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,

    每组又分若干个亚组,每个亚组内又有若干个观察值,则为组内分亚组的单项分组资料,或称系统分组资料。系统分组并仅限于组内分亚组,亚组内还可分小组,小组内还可分亚组,……,如此一环套一环地分下去---巢式试验。       

                                               

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    作者:kervin

    微信号:kervin_zhao

    在科学研究的统计分析中,我们往往会遇到多重比较校正问题。多重比较校正的方法很多,如Bonferroni、False Discovery Rate(FDR)、Random-field Theory (RFT)等等,各种校正方法各有优劣,具体应用时要根据自己的统计分析的数据特点进行选择。本文,笔者对Bonferroni和False Discovery Rate(FDR)两种校正方法进行论述,特别是对于应用比较广的FDR校正方法,笔者用具体的例子详细阐述了其原理,并给出其Matlab程序。

    为什么要进行多重比较校正

    当在同一个数据集上进行多次统计检验时,就需要进行多重比较校正。举个简单的例子,A、B两组被试,我们从每个被试身上得出10个指标。如果我们要研究A、B两组被试的某一个指标是否存在显着差异,那么此时我们只做一次统计分析就行;假设这个指标的p值小于0.05,我们会认为这个指标在A、B两组之间存在显着差异,此时,我们犯错的概率(或者称为假阳性率)是5%。假设我们把这10个指标都进行了统计分析,即使每个独立的指标的p值都小于0.05,此时我们犯错的概率不再是5%,而是1-(0.95)^10=0.4013,也就是说此时我们犯错的概率达到40%多,这在统计学上是不可接受的。因此,需要进行多重比较校正。

    Bonferroni 校正方法

    Bonferroni校正方法非常简单,若单次显着性水平为0.05,那么Bonferroni 校正后的p值应该为0.05/n,其中n为统计比较的次数。Bonferroni 校正方法应该属于最严格的一种校正方法,当统计比较的次数比较多时,Bonferroni 校正后的p值会非常小,此时不推荐使用这种校正方法。当统计比较的次数较小时,如小于几十个时,可以尝试使用。

    FDR 校正方法

    这里,笔者主要对FDR校正方法的原理进行论述。FDR校正方法是Benjamini和Hochberg于1995年提出了一种多重比较校正的方法。其实,FDR具体的算法也有多种,如Storey法(由Storey等人提出)、Benjamini-Hochberg法(简称BH法)等。其中BH法目前应用最广,这里主要介绍这种方法的基本原理。

    基于BH法的FDR校正过程:

    第一步:将我们单独统计得到的一系列的p=[p1,p2,…,pn]从大到小进行重新排序,计为P=[P1,P2,…,Pn];

    第二步:按照以下公式计算每个P值所对应的校正前的FDR值,这里称之为Q值:Q = Pi* (n/r),Pi表示P中元素值,n是P值个数,r依次为n,n-1,…,1。

    第三步:对Q进行校正,得到FDR值。对于计算出来的Q=[Q1,Q2,…,Qn],若某一个Qi值大于前一位Qi-1值,则把Qi的值赋值为Qi-1;反之则保留相应的Q值。最终得到Q值称之为校正后的FDR值。

    第四步:按照重排序之前的顺序返回各个p值对应的校正后的FDR值。

    例子:假设p=[0.01, 0.005, 0.03, 0.03, 0.02, 0.04, 0.05],计算相应的校正后的FDR值。

    笔者按照上述步骤,自行编制相应的Matlab程序,计算过程和结果如下:

    按照上述第一步步骤,计算得到P=[0.0500, 0.0400, 0.0300, 0.0300, 0.0200, 0.0100, 0.0050];

    按照第二步中的方法,计算得到Q=[0.0500, 0.0467, 0.0420, 0.0525, 0.0467, 0.0350, 0.0350];

    按照第三步:得到校正后的FDR值为:FDR=[ 0.0500, 0.0467, 0.0420, 0.0420, 0.0420, 0.0350, 0.0350];

    最后,转换成原来的顺序:FDR=[0.0350, 0.0350, 0.0420, 0.0420, 0.0420, 0.0467, 0.0500].

    对于本例来说,如果总体的显着性水平设置为0.05,那么从得到的最后的FDR值来说,这几个p值都具有显着性差异。

    总结

    本文,笔者对为什么要进行多重比较校正做了简单介绍,并重点论述了FDR多重比较校正方法。关于本文中FDR校正对应的Matlab程序,如有朋友需要,请先转发本文到您的朋友圈,然后截图发给我(微信号:kervin_zhao),我会把相应代码发给您(原创不易,请大家理解)。对于多重比较校正遇到的问题,也可以加笔者进行交流。如果各位朋友觉得本文对您有帮助,也烦请各位积极转发本文到您的朋友圈,并点击文末右下方的“在看”。

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  • 多重比较LSD-t值的计算问题的提出:向学术期刊投稿时,“变态”的审稿人向你“索要”LSD-t值,可是SPSS的输出结果中没有这个值——是不是有点悲催?!另外,大家还会有一个常见的疑问:采用LSD-t法进行两两比较之后...

    多重比较LSD-t值的计算

    问题的提出:

    向学术期刊投稿时,“变态”的审稿人向你“索要”LSD-t值,可是SPSS的输出结果中没有这个值——是不是有点悲催?!另外,大家还会有一个常见的疑问:采用LSD-t法进行两两比较之后得出来的p值,需不需要调整显著性水平?

    我们先把原始数据和答案给出来,然后再讲一讲其中的数理逻辑。

    本例使用的原始数据如下图所示,有兴趣的读者可以用本数据进行对照学习(本例采用单因素方差分析,具体的步骤就不再列出了):

    55dacceb0513f9e91c4f49ed43599743.png

    通过单因素方差分析并采用LSD-t法进行多重比较(即在“事后比较(Post Hoc)”次对话框中勾选“LSD”),在SPSS中得到的多重比较结果如下图:

    d0be3061d7c49a61e45e4875a66f32cb.png

    现在,我们来回答前述两个问题的答案:

    1、关于LSD-t值的计算:LSD-t=Mean Difference(I-J)/Std. Error(即LSD-t=均值差/标准误差)

    在实际操作中,为了求得具体的LSD-t值,我们可以将上表复制到EXCEL中,并且对均值差这一列进行数据整理(因为其中有些数据后面标着星号,其此时已经不是数值格式),然后再将均值差除以标准误差,即可得到各对两两比较之间的Lsd-t值,如下图最右侧红色框中所示:

    d6f9825969c2353c7f5f5dcf93bd98f8.png

    2、关于显著性水平的问题:由LSD-t多重比较法得到的p值就是上表中绿框内Sig.值,此时,不需要再进行显著性水平的调整,以0.05作为显著性水平即可。

    ==============我是分割线,下面进入数理逻辑的讲解=====================

    LSD-t法的基本思想:

    我们知道,当只有两个独立样本时,可以采用独立样本t检验来进行两组的比较。当组别大于等于三时,应进行方差分析。如果方差分析的p值小于0.05,则说明组间存在显著性的差异,这时我们就需要通过多重比较(又称“两两比较”)来找出到底是哪两组或者哪几组之间存在显著性差异。如果再通过各组别间的独立样本t检验来做多重比较的话,首先是麻烦,它需要进行N多次的两两比较(显得有点“傻大笨”),更重要的是它会增大犯Ⅰ类错误的概率。

    综上,统计学家们为了解决三组或三组以上数据之间两两比较的问题,发挥个人主观能动性,研究出了各种算法(SPSS中就集成了十几种算法),LSD就是其中之一。

    LSD-t法是采用的是t检验的基本逻辑,其核心思想是在保持显著性水平不变的情况下,寻找新的统计量(即LSD-t值)代替t统计量(即t值)来进行t检验,所以其本质上依然是t检验,故而我们经常把它写成”LSD-t检验"。但是,与独立样本t检验相比,LSD-t法在统计量(LSD-t)、自由度(v)等方面做了调整,它充分利用了样本信息,故而相比之下更为精确和可靠。

    下图是LSD-t值的公式:

    8a6c5033ce0a4b271dfadccdae6cbd9c.png

    531be506ffac93dbb8558a4eeb1ff608.png

    54ebd38f905415d5f0a5c8f9473340b1.png

    好了,原理大致说完了,下面我们根据上述数学原理来手动计算LSD-t值。

    ================我是分割线,下面进入LSD-t值的计算===================

    首先,我们到SPSS输出的方差分析表中去寻找后续计算中会用到的数据,方差分析表如下:

    db51da5869f2e426d2383aed6f46fef5.png

    由上表可知:

    5354190ec5fb786879f7aa4e835ae6f9.png

    此时,我们再来看一下SPSS输出的LSD-t多重比较表中的标准误差值:

    6040b0aba141d9a05456a12f8a049ec1.png

    SPSS计算出来的标准误差是0.20930,而我们手工计算的是0.209165,略有差异。那么,问题出在哪儿呢?

    在上面的方差分析表中(ANOVA表),组内均方值0.175是机显值,而并非真实值,如下图所示:

    38ff349e21b6bb9c3395910b0aef42f6.png

    此时我们发现,组内均方值应为0.175221,我们以该值代入标准误差的公式再计算一遍:

    6465cf00c35be1ee0f8b86009495a5e7.png

    为了满足好奇心,我们以0.175220代入标准误差的公式再计算一遍:

    d4154ff240ad843bc452853a88bc634a.png

    综合上述三次计算,整理后可得下表:

    6814a13b32dd9a2ca88ec1321398a7fd.png

    由上表可见,我们手动计算出来的p值与SPSS为我们计算的p值是一致的,我们看上去的不一致只是机显值和四舍五入等原因带来的,并不是我们计算有误。

    由此,我们就可以确定一点:SPSS输出的LSD-t多重比较表(Multiple Comparisons)中的标准误差(Std. Error)就是根据LSD-t法的数学公式计算出来标准误差,我们可以直接把它拿过来用于参与LSD-t值的计算,而不需要手动计算标准误差了。

    书接上文,咱们继续手动计算LSD-t值,这就很简单了:将数据复制到EXCEL中,根据LSD-t的计算公式,我们只需要将均值差除以标准误差(标准误差采用SPSS输出的值)就可以得到 LSD-t值了。

    a5ebbe886eb5874f3824a3abd01427cd.png

    至此,我们就可以得出第一个重要的结论:LSD-t值等于LSD多重比较表格中的均值差除以该表中的标准误差。

    ================我是分割线,下面进入LSD-t检验p值的计算=================

    我们再来温习一下关于是否需要调整显著性水平的问题,这就又一次回到LSD-t检验的数学思想——在保持显著性水平不变的前提下,弃用独立样本t检验,转而寻找新的统计量(即LSD-t)代替独立样本t检验的t统计量来进行组间的比较(依然使用t检验)。关于LSD-t检验与t检验的区别,前面已经讲了,LSD-t检验充分利用了样本信息来进行两两比较,如组内均方、组内自由度、组内观测值数量等等,不再过多叙述。

    我们下面再进一步利用EXCEL来计算LSD-t检验的p值。具体方法是利用TDIST函数,其函数表达式如下:

    f(x)=TDIST(X,Deg_freedom,Tails)

    TDIST函数的对话框如下所示:

    0679499d4ff4338ecdcba820c45e9ca7.png

    对于本案例中TDIST函数参数的说明:

    1.使用LSD-t值来计算t分布的数值(即p值);同时,由于该函数要求X值必须是正值,所以需要先对LSD-t求绝对值,然后再用其绝对值参与计算。

    2.本例中,自由度为32-4 =28。

    3.使用双尾检验,故TDIST函数第三个参数值为2。

    运算过程和运算结果如下图所示:

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    为了验证计算的正确性,我们将手动计算的p值与SPSS为我们算出来的p值进行对照,如下图所示:

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    可以看到,甲组和乙组两两比较时手工计算出来的p值(0.0017)和SPSS计算出来的p值(0.002)不一致,其他的组别在两两比较时的p值都是一致的。关于这个问题的原因,也是机显值和四舍五入等原因造成的。我们可以再进行进一步的验证——如下图所示,p=0.002对应的实际p值为0.001652,其也可近似认为是0.017。

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    至此,我们可以得出第二个重要结论:LSD-t多重比较表中的p值,就是对于LSD-t统计量(即LSD-t值)进行双尾t检验的p值(只不过SPSS没有为我们输入LSD-t值),我们可以放心使用,并且无需调整显著性水平。

    ====================我是分割线,下面进入时间====================

    最后,我们再总结一下:采用LSD-t法进行多重比较时,LSD-t值就是用多重比较表(Multiple Comparisons)中的均值差/标准误差;同时,不必调整显著性水平,因为LSD-t法的数学思想就是在不改变显著性水平的前提下,寻找新的t值(即LSD-t值)来进行t检验。

    以上公式和计算过程只是为了向大家确认LSD-t值的计算和是否需要调整显著性水平而写的,只是为了让大家不再纠结,大家也不必记住公式和计算过程,只要记住最终的结论就好了。

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