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  • 描述了一个自己设计的GUI界面,主要是用来求解三重积分的值,用的是MonteCarlo方法,并且给出了误差和积分值的置信区间,也给出了不同曲面的三重积分计算方法
  • 一种求解多重定积分的对偶神经网络计算方法,李海滨,李阳天,针对多重定积分数值计算中存在效率低、精度差,甚至难以求解的问题,本文给出了一种基于对偶神经网络的多重积分计算方法。首先
  • 计算多重积分的蒙特卡罗方法与数论网格法 蒙特卡罗方法,数论网格法
  • 浅谈多重积分及其计算

    千次阅读 2017-09-24 11:06:27
    多重积分的定义和简单计算

    P.S.
    大作业系列之五(一二三为手写稿)
    数学分析下列比较简单的内容
    转载请注明出处

    1 多重积分的概念与基本性质

    1.1 多重积分的定义

    对自然数n(n>1),记集合T

    T=[a1,b1)×[a2,b2)××[an,bn)Rn

    将每个区间[aj,bj)划分成有限个不重叠的左闭右开的子区间Ij,记
    C=I1×I2××In

    则所有的C可以看做是T的一个划分(分割),即
    T=C1C2CmCiCj=,ij

    Ci的直径为diamCi.划分C的细度定义为
    ||C||=max1im{diamCi}

    f(x1,x2,,xn)为定义在T上的有界函数,对于任意ϵ>0,存在δ>0,对于T上的任意分割C(||C||<δ),在Ci中任取一点(x1i,x2i,,xni),令V(Ci)表示笛卡尔积为Ci的所有区间的边长之积,若
    i=1mf(x1i,x21,,xni)V(Ci)J<ϵ

    则称函数f黎曼可积,且
    J=lim||C||0i=1mf(x1i,x2i,,xni)V(Ci)

    称为函数fn维超立方体区域上的n重积分.

    利用以上定义的n重积分,可以给出一个定义在n维空间的有界集的超n维体积.

    给出超n维体积定以后,也可以给出另一种形式三重积分数学定义.

    f(x1,x2,,xn)为定义在Rn上可求超n维体积的有界区域D上的有界函数,将其划分成有限个内部互不相交的有超n维体积的子区域D1D2,,Dm,记分割细度

    λ=max1im{diamDi}

    ϵ>0,δ>0,λ<δ使得XiDi都有
    i=1mf(Xi)V(Di)J<ϵ

    则称fDn重(黎曼)可积且积分等于J.

    若函数fD上黎曼可积,则记做

    J=Df(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn=Df(X)dnx

    1.2 多重积分的性质

    若函数fgDn重可积,由极限的性质和运算法可知,

    1. 线性性

      对于任意常数a,b,则

      D(af+bg)=aDf+bDg

    2. 保序性

      若在D上满足fg,则

      DfDg

    3. 区域可加性

      D可分成两个无公共内点的区域D1,D2fD上可积的充要条件是在D1D2上均可积,且

      Df=D1f+D2f

    4. 乘积可积性

      函数fgD上仍可积

    5. 绝对可积性

      函数|f|在D上可积,且

      DfD|f|

    6. 积分中值定理

      f在闭区域D中连续,则存在X0D,记V(D)D的超n维体积,则

      Df(X)dnx=f(X0)V(D)

    1.3 多重积分的存在定理

    将定积分的达布定理和勒贝格定理拓展到多重积分.

    设函数f(x1,x2,,xn)为定义在可求超n维体积的有界闭区域D上的函数.设D可以分割为有限个内部互不相交的子区域C:D1,D2,,Dm,定义

    Mi=supXDif(X),mi=infXDif(X),i=1,2,,mS(C)=i=1mMiV(Di),s(C)=i=1mmiV(Di),||C||=max1im{diamDi}

    则有:

    1. fD上可积,则f在D上必有界.

      证明 反证法.设fD上无界,则对于任何D的分割C,必定存在某个子区域Dk,使得fDk上无界.在ik的各个子区域上取定Xi,并令

      G=i=1,iknf(Xi)V(Di)

      M>0,XkDk使得
      |f(Xk)|>M+GV(Dk)


      i=0mf(Xi)V(Di)|f(Xk)V(Dk)|i=1,iknf(Xi)V(Di)>M+GV(Dk)V(Dk)G=M

      无论分割的细度||C||多么小,上式总成立,这与fD上可积矛盾.

    2. 达布定理

      对于函数f,

      lim||C||0S(C)=J¯,lim||C||0s(C)=JJ¯=inf{S(C)|C},J=sup{s(C)|C}

      其中J¯J分别称为上积分和下积分.

      函数f可积的充要条件是

      lim||C||0S(C)=lim||C||0s(C)J¯=J

      证明 这里先证明
      lim||C||0S(C)=J¯
      ,另一个结论同理.

      根据下确界的定义,ε>0,C:D1,D2,,Dm使得

      S(C)<J¯+ε2

      任取分割C:D1,D2,,Dm满足
      ||C||=max1imV(Di)<min{V(D1),V(D2),,V(Dm),ε2nmω}

      将分割CC合并成一个新的分割C,有
      0S(C)S(C)nmωδ

      ω为函数f的振幅,由于
      0S(C)J¯(S(C)S(C))+(S(C)S(C))+(S(C)J¯)S(C)S(C)0

      因此
      S(C)J¯(S(C)S(C))+(S(C)J¯)nmωδ+ε2<ε

      证毕.函数f的可积性的充要条件的证明显然.

    3. 函数f可积的充要条件是对于任意的ε>0,存在分割C,使得

      S(C)s(C)<ε

    4. 若函数f连续,则f必定可积.

    5. 设函数f为有界函数,f可积的充要条件是不连续点集为零测集.

      证明 这里不妨设函数f的不连续点全部落在n维空间的一个光滑n维超曲面上.对于任意的ε>0,记该超曲面的面积为p,用

      [pεn1]+1
      个边长为εn维超立方体可以将这个曲面完全包含在其中.此部分记为Δ,n维超体积为
      W([pεn1]+1)εn(p+εn)ε

      将区域D分成两部分:D1=DΔ,D2=DD1,由于fD2上连续,则fD2上可积,则存在D2上的分割C2,满足
      S(C2)s(C2)<ε

      MΔ=supXΔf(X),mΔ=infXΔf(X)
      ,C表示由C2Δ的边界组成的分割,则有
      S(C)s(C)<[S(C2)s(C2)]+(MΔmΔ)W<ε+ωW(a+pω+ωεn)ε

      其中ω为函数f的振幅.由于f为有界函数,则ω为一有限值,因而fD上可积.

      fD上可积,ε>0,kN,C:D1,D2,,Dm使得

      i=1mωiV(Di)<εk

      ωi表示fDi上的振幅.记其不连续点的集合为E(f),则有
      E(f)=k=1E1k
      ,对于不连续点X的振幅ω(X),存在kN满足
      ω(X)1k
      因而能取到
      ωi1n

      表示对E1kDi不为空的那些i求和,则有
      εn>i=1mωiV(Di)ωiV(Di)1nV(Di)V(Di)<ε

      E(f)n维超体积为0,因而测度为0,证毕.

    2 多重积分的计算

    2.1 多重积分的计算顺序

    理论上,对于n重积分所化成的累次积分,有n!种不同的计算顺序.这里取一种计算顺序为例.

    若函数f在由下列不等式所确定的有界区域D内是连续的:

    x1x1x′′1x2(x1)x2x′′2(x1)xn(x1,x2,,xn1)xnx′′n(x1,x2,,xn1)

    其中x1x′′1是常数,x2,x′′2,,xn,x′′n,是连续函数,则相应的多重积分可以化为累次积分,即
    Df(X)dnx=x′′1x1dx1x′′2(x1)x2(x1)dx2x′′n(x1,x2,,xn1)xn(x1,x2,,xn1)f(x1,x2,,xn)dxn

    在其他的顺序下,同样成立.

    2.2 多重积分的换元

    设向量值函数F:DD将可求超n维体积的有界区域D一一映射到区域D,即

    F(X)=ϕ1(x1,x2,,xn)ϕ2(x1,x2,,xn)ϕn(x1,x2,,xn)

    FD上具有一阶连续的偏导数,且
    (ϕ1,ϕ2,,ϕn)(x1,x2,,xn)0
    .设fD上可积
    Df(x1,x2,xn)dx1dx2dxn=Df(ϕ1,ϕ2,,ϕn)(x1,x2,,xn)(ϕ1,ϕ2,,ϕn)dϕ1dϕ2dϕn

    证明D分成m个小区域Di,区域D也被相应地分成了m个小区域Di,记其相应的超n维体积为V(Di)V(Di),设分割细度分别为||λ||||λ||.

    由Taylor公式展开并略去高阶无穷小后有

    limV(D)0V(D)V(D)=(ϕ1,ϕ2,,ϕn)(x1,x2,,xn)

    根据中值定理有
    V(Di)=D(ϕ1,ϕ2,,ϕn)(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn=|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

    其中Xi¯¯¯¯Di,记Φi¯¯¯¯=(ϕ1(Xi¯¯¯¯),ϕ2(Xi¯¯¯¯),,ϕn(Xi¯¯¯¯))D,则
    i=1mf(Φi¯¯¯¯)V(Di)=i=1mf(Xi¯¯¯¯)|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

    由于F的连续性,当||λ||0时,有||λ||0.上式两边取极限,得证.

    2.3 球坐标变换

    根据球坐标变换公式

    x1x2xn1xn=rcosϕ1=rsinϕ1cosϕ2=rsinϕ1sinϕ2sinϕn2cosϕn1=rsinϕ1sinϕ2sinϕn2sinϕn1

    将直角坐标(x1,x2,,xn)变换为极坐标(r,ϕ1,ϕ2,,ϕn1).特别地,
    x2!+x22++x2n=1(x1,x2,,xn)(r,ϕ1,ϕ2,,ϕn1)=rn1sinn2ϕ1sinn3ϕ2sinϕn2

    证明 第一式显然,很容易计算.对第二式,有
    cosϕ1sinϕ1cosϕ2sinϕ1sinϕn2cosϕn1sinϕ1sinϕn2sinϕn1rsinϕ1rcosϕ1cosϕ2rcosϕ1sinϕn2cosϕn1rcosϕ1sinϕn2sinϕn1rsinϕ1sinϕ2rsinϕ1sinϕn2sinϕn1rsinϕ1sinϕn2cosϕn1

    (x1,x2,,xn)(r,ϕ1,ϕ2,,ϕn1)=(rcos2ϕ1sinn2ϕ1+rsinn)(x1,x2,,xn1)(r,ϕ2,,ϕn1)=rsinn2(x1,x2,,xn1)(r,ϕ2,,ϕn1)=rn1sinn2ϕ1sinn3ϕ2sinϕn2

    3 多重积分的实例

    例1 计算

    >Ddx1dx2 xn>

    其中
    D={x1+x2++xn1xi0,i=1,2,,n
    .

    解1 转化成累次积分再逐层计算.

    >=====Ddx1dx2 xna0dx1ax10dx2ax1x20dx3ax1x2xn10dxna0dx1ax10dx2ax1x20dx3ax1x2xn2011!(ax1x2xn1)dxn1a0dx1ax10dx2ax1x20dx3ax1x2xn3012!(ax1x2xn2)dxn2a01(n1)!(ax1)n1ann!>

    解2 同样需要转化成累次积分,但是与上一个解法不同,这里做代换.记
    >In(a)=a0dx1ax10dx2ax1x20dx3ax1x2xn10dxn>

    在右端的累次积分做代换x1=ay1,x2=ay2,,xn=ayn,则
    >In(a)=anIn(1)In(1)=10dx1(In1(1x1))=In1(1)10(1x1)n1dx1=1nIn1(1)>

    因而
    >In(a)=ann!>

    例2 计算

    >Dx1+x2++xndx1dx2 xn>

    其中
    D={x1+x2++xn1xi0,i=1,2,,n
    .

    先换元,再将其化为累次积分,则有

    >x1x2xn1xn=y1(1y2)=y1y2(1y3)=y1y2yn1(1yn)=y1y2yn,0yi1,(i=1,2,,n),x1+x2++xn=y1>

    >1y2y2(1y3)y2y3yn1(1yn)y2y3yny1y1(1y3)y1y3yn1(1yn)y1y3yny1y2y1y2yn2(1yn)y1y2yn2yny2y3yn1y1y2yn1