精华内容
下载资源
问答
  • 2021-07-04 02:37:50

    毕业设计(论文)

    开题报告

    论文题目: 重积分的计算方法研究

    学生姓名: 羊丽 学 号: 103121027

    专 业: 数学与应用数学 方 向: 数学分析

    指导教师: 张 吉 刚

    2013年 3 月 2 日

    开题报告填写要求

    1.开题报告作为毕业设计(论文)答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下,由学生在毕业设计(论文)工作前期内完成,经指导教师签署意见及系部审查后生效;

    2.开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写或按教务处统一设计的电子文档标准格式(可从教务处网址上下载)打印,禁止打印在其它纸上后剪贴,完成后应及时交给指导教师签署意见;

    3.学生查阅资料的参考文献应不少于6篇(不包括辞典、手册);

    4.有关年月日等日期的填写,应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求,一律用阿拉伯数字书写。如“2004年12月16日”或“2004-12-16”。

    毕 业 设 计(论文) 开 题 报 告

    1.本课题的研究意义和目的本课题函数的重积分在许多几何、物理以及其他实际问题中应用广泛,在计算过程中通常寻求较为简便的方法。在对《数学分析》教材中二重积分、三重积分、n重积分的学习中,有利用直角坐标、极坐标、换元、化为累次积分方法,但要具体地实现这一点,即需要根据积分区域和被积函数的特点选择不同方法形式,还需要较强的几何直观能力以便于将积分体表示成适当的形式,又需要灵活选择计算公式和方法,以便于计算的可行和尽量简单。其中的方法技巧难以掌握,为更快更好地培养提高这方面的能力,更为全面的在教学中总结出重积分计算中的若干处理方法及其教材以外的计算方法的研究拓展。

    2.本课题的基本内容、重点及难点 基本内容:总结教材函数重积分的计算方法以及介绍教材以外重积分计算方法的汇总。

    重点:二重积分、三重积分处理的若干技巧、方法。

    难点: 根据积分区域和被积函数的特点选择不同形式计算方法及其定限方法。

    毕 业 设 计(论文) 开 题 报 告

    3.本课题的研究方法(或技术路线)本课题的主要研究方法

    通过分析华东师范大学出版的《数学分析》中的函数的重积分,参考他人的论文及各类关于函数重积分的参考书,在总结教材中重积分计算方法的基础上,给出自己的理解,并得出一系列重积分若干处理方法的归纳。

    4.论文提纲论文提纲:

    直角坐标系下二重积分的计算

    二、二重积分的变量变换公式

    三、极坐标下二重积分的计算

    四、二重积分的计算方法总结

    五、化三重积分为累次积分

    六、三重积分的换元法

    七、三重积分计算方法的总结

    5.本课题的参考文献资料[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].3 版.北京:高等教育出版社,2003 ,233-236.

    [2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.

    [3]梅顺治.刘福贵.高等数学方法与应用[M].北京:科学出版社 ,2000.

    [4]同济大学数学系.高等数学 [M].第 6 版.北京:高等教育出版社,2007.

    [5]刘玉涟.傅沛仁.吕风.数学分析讲义学习指导书[M].高等教育出版社,1989.

    [6]林谦.再论“在直角坐标系下三重积分的计算方法”[J].高等数学研究.2008.11(2).

    [7]林承初.二重积分的计算方法与技巧[J].广西财经学院学报.2006.19(6).

    [8]贾建文.三重积分的计算方法[J].高等数学研究.2010.13(2).

    [9]周俊.三重积分求解方法的深入探究[J].荆楚理工学院学报.2010.25(7).

    [10]杨玉敏.三重积分的计算方法小结[J].鞍山师范学院学报.2007.9(2).

    [11]葛广俊.怎样计算二重积分[J].安徽电子信息职业技术学院学报.2003.2(6).

    [12]张慧琴.三重积分的计算方法[J].吕梁高等专科学校学报.2002.18(1).

    [13]钮宏霞.三重积分计算中的一些技巧[J].昌潍师专学报.2000.19(2).

    [14]潘劲松.三重积分变量替换公式的证明及应用[J].怀化学院学报.2008.27(8).

    [15]费时龙.孙善辉.计算三重积分的一种特殊方法[J].安庆师范学院学报.2013.19(1).

    [16]石奇骠.郭继荣 .关于重积分的研究[J] .晋中学

    更多相关内容
  • 描述了一个自己设计的GUI界面,主要是用来求解三重积分的值,用的是MonteCarlo方法,并且给出了误差和积分值的置信区间,也给出了不同曲面的三重积分计算方法
  • 一种求解多重定积分的对偶神经网络计算方法,李海滨,李阳天,针对多重定积分数值计算中存在效率低、精度差,甚至难以求解的问题,本文给出了一种基于对偶神经网络的多重积分计算方法。首先
  • 本书包含了大量科研人员学习多重积分变分问题和双曲偏微分方程问题的材料。书中不仅是作者科研成果的总结,更是同时代该领域或者相关领域的专业人士的巨大贡献。本书无疑会成为该领域科研人员的标准差参考书。本书的...
  • 介绍了拟蒙特卡罗方法计算多重积分的基本原理,对Halton序列和Rand函数产生的序列的均匀性进行了比较,并给出了拟蒙特卡罗方法计算多重积分的步骤、实例、和Matlab语言编写的计算程序.实例充分体现了采用拟蒙特卡罗...
  • 浅谈多重积分及其计算

    万次阅读 2017-09-24 11:06:27
    多重积分的定义和简单计算

    P.S.
    大作业系列之五(一二三为手写稿)
    数学分析下列比较简单的内容
    转载请注明出处

    1 多重积分的概念与基本性质

    1.1 多重积分的定义

    对自然数 n(n>1) ,记集合 T

    T=[a1,b1)×[a2,b2)××[an,bn)Rn

    将每个区间 [aj,bj) 划分成有限个不重叠的左闭右开的子区间 Ij ,记

    C=I1×I2××In

    则所有的 C 可以看做是 T 的一个划分(分割),即
    T=C1C2CmCiCj=,ij

    Ci 的直径为 diamCi .划分 C 的细度定义为
    ||C||=max1im{diamCi}

    f(x1,x2,,xn) 为定义在 T 上的有界函数,对于任意ϵ>0,存在 δ>0 ,对于 T 上的任意分割C(||C||<δ),在 Ci 中任取一点 (x1i,x2i,,xni) ,令 V(Ci) 表示笛卡尔积为 Ci 的所有区间的边长之积,若
    i=1mf(x1i,x21,,xni)V(Ci)J<ϵ

    则称函数 f 黎曼可积,且
    J=lim||C||0i=1mf(x1i,x2i,,xni)V(Ci)

    称为函数 f n维超立方体区域上的 n 重积分.

    利用以上定义的n重积分,可以给出一个定义在 n 维空间的有界集的超n维体积.

    给出超 n 维体积定以后,也可以给出另一种形式三重积分数学定义.

    f(x1,x2,,xn)为定义在 Rn 上可求超 n 维体积的有界区域D上的有界函数,将其划分成有限个内部互不相交的有超 n 维体积的子区域D1D2,,Dm,记分割细度

    λ=max1im{diamDi}

    ϵ>0,δ>0,λ<δ 使得 XiDi 都有
    i=1mf(Xi)V(Di)J<ϵ

    则称 f D n 重(黎曼)可积且积分等于J.

    若函数 f D上黎曼可积,则记做

    J=Df(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn=Df(X)dnx

    1.2 多重积分的性质

    若函数 f g D n重可积,由极限的性质和运算法可知,

    1. 线性性

      对于任意常数 a,b ,则

      D(af+bg)=aDf+bDg

    2. 保序性

      若在 D 上满足fg,则

      DfDg

    3. 区域可加性

      D 可分成两个无公共内点的区域D1,D2 f D上可积的充要条件是在 D1 D2 上均可积,且

      Df=D1f+D2f

    4. 乘积可积性

      函数 fg D 上仍可积

    5. 绝对可积性

      函数|f|在D上可积,且

      DfD|f|

    6. 积分中值定理

      f 在闭区域D中连续,则存在 X0D ,记 V(D) D 的超n维体积,则

      Df(X)dnx=f(X0)V(D)

    1.3 多重积分的存在定理

    将定积分的达布定理和勒贝格定理拓展到多重积分.

    设函数 f(x1,x2,,xn) 为定义在可求超 n 维体积的有界闭区域D上的函数.设 D 可以分割为有限个内部互不相交的子区域C:D1,D2,,Dm,定义

    Mi=supXDif(X),mi=infXDif(X),i=1,2,,mS(C)=i=1mMiV(Di),s(C)=i=1mmiV(Di),||C||=max1im{diamDi}

    则有:

    1. f D上可积,则 f 在D上必有界.

      证明 反证法.设f D 上无界,则对于任何D的分割 C ,必定存在某个子区域Dk,使得 f Dk上无界.在 ik 的各个子区域上取定 Xi ,并令

      G=i=1,iknf(Xi)V(Di)

      M>0,XkDk 使得
      |f(Xk)|>M+GV(Dk)


      i=0mf(Xi)V(Di)|f(Xk)V(Dk)|i=1,iknf(Xi)V(Di)>M+GV(Dk)V(Dk)G=M

      无论分割的细度 ||C|| 多么小,上式总成立,这与 f D上可积矛盾.

    2. 达布定理

      对于函数 f ,

      lim||C||0S(C)=J¯,lim||C||0s(C)=JJ¯=inf{S(C)|C},J=sup{s(C)|C}

      其中 J¯ J 分别称为上积分和下积分.

      函数 f 可积的充要条件是

      lim||C||0S(C)=lim||C||0s(C)J¯=J

      证明 这里先证明

      lim||C||0S(C)=J¯
      ,另一个结论同理.

      根据下确界的定义, ε>0,C:D1,D2,,Dm 使得

      S(C)<J¯+ε2

      任取分割 C:D1,D2,,Dm 满足
      ||C||=max1imV(Di)<min{V(D1),V(D2),,V(Dm),ε2nmω}

      将分割 C C合并成一个新的分割 C ,有
      0S(C)S(C)nmωδ

      ω 为函数 f 的振幅,由于
      0S(C)J¯(S(C)S(C))+(S(C)S(C))+(S(C)J¯)S(C)S(C)0

      因此
      S(C)J¯(S(C)S(C))+(S(C)J¯)nmωδ+ε2<ε

      证毕.函数 f 的可积性的充要条件的证明显然.

    3. 函数f可积的充要条件是对于任意的 ε>0 ,存在分割 C ,使得

      S(C)s(C)<ε

    4. 若函数 f 连续,则f必定可积.

    5. 设函数 f 为有界函数,f可积的充要条件是不连续点集为零测集.

      证明 这里不妨设函数 f 的不连续点全部落在n维空间的一个光滑 n 维超曲面上.对于任意的ε>0,记该超曲面的面积为 p ,用

      [pεn1]+1
      个边长为 ε n 维超立方体可以将这个曲面完全包含在其中.此部分记为Δ, n 维超体积为
      W([pεn1]+1)εn(p+εn)ε

      将区域 D 分成两部分:D1=DΔ,D2=DD1,由于 f D2上连续,则 f D2上可积,则存在 D2 上的分割 C2 ,满足

      S(C2)s(C2)<ε

      MΔ=supXΔf(X),mΔ=infXΔf(X)
      , C 表示由C2 Δ 的边界组成的分割,则有
      S(C)s(C)<[S(C2)s(C2)]+(MΔmΔ)W<ε+ωW(a+pω+ωεn)ε

      其中 ω 为函数 f 的振幅.由于f为有界函数,则 ω 为一有限值,因而 f D上可积.

      f D上可积, ε>0,kN,C:D1,D2,,Dm 使得

      i=1mωiV(Di)<εk

      ωi 表示 f Di上的振幅.记其不连续点的集合为 E(f) ,则有
      E(f)=k=1E1k
      ,对于不连续点 X 的振幅ω(X),存在 kN 满足
      ω(X)1k
      因而能取到
      ωi1n

      表示对 E1kDi 不为空的那些 i 求和,则有
      εn>i=1mωiV(Di)ωiV(Di)1nV(Di)V(Di)<ε

      E(f) n 维超体积为0,因而测度为 0 ,证毕.

    2 多重积分的计算

    2.1 多重积分的计算顺序

    理论上,对于n重积分所化成的累次积分,有 n! 种不同的计算顺序.这里取一种计算顺序为例.

    若函数 f 在由下列不等式所确定的有界区域D内是连续的:

    x1x1x′′1x2(x1)x2x′′2(x1)xn(x1,x2,,xn1)xnx′′n(x1,x2,,xn1)

    其中 x1 x′′1 是常数, x2,x′′2,,xn,x′′n ,是连续函数,则相应的多重积分可以化为累次积分,即
    Df(X)dnx=x′′1x1dx1x′′2(x1)x2(x1)dx2x′′n(x1,x2,,xn1)xn(x1,x2,,xn1)f(x1,x2,,xn)dxn

    在其他的顺序下,同样成立.

    2.2 多重积分的换元

    设向量值函数 F:DD 将可求超 n 维体积的有界区域D一一映射到区域 D ,即

    F(X)=ϕ1(x1,x2,,xn)ϕ2(x1,x2,,xn)ϕn(x1,x2,,xn)

    F D上具有一阶连续的偏导数,且
    (ϕ1,ϕ2,,ϕn)(x1,x2,,xn)0
    .设 f D上可积
    Df(x1,x2,xn)dx1dx2dxn=Df(ϕ1,ϕ2,,ϕn)(x1,x2,,xn)(ϕ1,ϕ2,,ϕn)dϕ1dϕ2dϕn

    证明 D 分成m个小区域 Di ,区域 D 也被相应地分成了m个小区域 Di ,记其相应的超 n 维体积为V(Di) V(Di) ,设分割细度分别为 ||λ|| ||λ|| .

    由Taylor公式展开并略去高阶无穷小后有

    limV(D)0V(D)V(D)=(ϕ1,ϕ2,,ϕn)(x1,x2,,xn)

    根据中值定理有
    V(Di)=D(ϕ1,ϕ2,,ϕn)(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn=|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

    其中 Xi¯¯¯¯Di ,记 Φi¯¯¯¯=(ϕ1(Xi¯¯¯¯),ϕ2(Xi¯¯¯¯),,ϕn(Xi¯¯¯¯))D ,则
    i=1mf(Φi¯¯¯¯)V(Di)=i=1mf(Xi¯¯¯¯)|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

    由于 F 的连续性,当||λ||0时,有 ||λ||0 .上式两边取极限,得证.

    2.3 球坐标变换

    根据球坐标变换公式

    x1x2xn1xn=rcosϕ1=rsinϕ1cosϕ2=rsinϕ1sinϕ2sinϕn2cosϕn1=rsinϕ1sinϕ2sinϕn2sinϕn1

    将直角坐标 (x1,x2,,xn) 变换为极坐标 (r,ϕ1,ϕ2,,ϕn1) .特别地,
    x2!+x22++x2n=1(x1,x2,,xn)(r,ϕ1,ϕ2,,ϕn1)=rn1sinn2ϕ1sinn3ϕ2sinϕn2

    证明 第一式显然,很容易计算.对第二式,有
    cosϕ1sinϕ1cosϕ2sinϕ1sinϕn2cosϕn1sinϕ1sinϕn2sinϕn1rsinϕ1rcosϕ1cosϕ2rcosϕ1sinϕn2cosϕn1rcosϕ1sinϕn2sinϕn1rsinϕ1sinϕ2rsinϕ1sinϕn2sinϕn1rsinϕ1sinϕn2cosϕn1

    (x1,x2,,xn)(r,ϕ1,ϕ2,,ϕn1)=(rcos2ϕ1sinn2ϕ1+rsinn)(x1,x2,,xn1)(r,ϕ2,,ϕn1)=rsinn2(x1,x2,,xn1)(r,ϕ2,,ϕn1)=rn1sinn2ϕ1sinn3ϕ2sinϕn2

    3 多重积分的实例

    例1 计算

    >Ddx1dx2 xn>

    其中
    D={x1+x2++xn1xi0,i=1,2,,n
    .

    解1 转化成累次积分再逐层计算.

    >=====Ddx1dx2 xna0dx1ax10dx2ax1x20dx3ax1x2xn10dxna0dx1ax10dx2ax1x20dx3ax1x2xn2011!(ax1x2xn1)dxn1a0dx1ax10dx2ax1x20dx3ax1x2xn3012!(ax1x2xn2)dxn2a01(n1)!(ax1)n1ann!>

    解2 同样需要转化成累次积分,但是与上一个解法不同,这里做代换.记
    >In(a)=a0dx1ax10dx2ax1x20dx3ax1x2xn10dxn>

    在右端的累次积分做代换 x1=ay1,x2=ay2,,xn=ayn ,则
    >In(a)=anIn(1)In(1)=10dx1(In1(1x1))=In1(1)10(1x1)n1dx1=1nIn1(1)>

    因而
    >In(a)=ann!>

    例2 计算

    >Dx1+x2++xndx1dx2 xn>

    其中
    D={x1+x2++xn1xi0,i=1,2,,n
    .

    先换元,再将其化为累次积分,则有

    >x1x2xn1xn=y1(1y2)=y1y2(1y3)=y1y2yn1(1yn)=y1y2yn,0yi1,(i=1,2,,n),x1+x2++xn=y1>

    >1y2y2(1y3)y2y3yn1(1yn)y2y3yny1y1(1y3)y1y3yn1(1yn)y1y3yny1y2y1y2yn2(1yn)