P.S.
大作业系列之五（一二三为手写稿）
数学分析下列比较简单的内容
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1 多重积分的概念与基本性质

1.1 多重积分的定义

对自然数$n(n>1)$,记集合$T$

$$T=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\cdots\times[a_n,b_n)\subseteq R^n$$
将每个区间$[a_j,b_j)$划分成有限个不重叠的左闭右开的子区间$I_j$,记

$$C=I_1\times I_2\times\cdots\times I_n$$
则所有的 $C​$可以看做是 $T​$的一个划分(分割),即
$$T=C_1\cup C_2\cup\cdots\cup C_m\\C_i\cap C_j=\emptyset,i\neq j$$
记 $C_i$的直径为 $diamC_i$.划分 $C$的细度定义为
$$||C||=\max_{1\le i\le m}\{diam C_i\}$$
设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为定义在 $T$上的有界函数,对于任意$\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,对于 $T$上的任意分割$C(||C||<\delta)$,在 $C_i$中任取一点 $(x_{1i},x_{2i},\cdots,x_{ni})$,令 $V(C_i)$表示笛卡尔积为 $C_i$的所有区间的边长之积,若
$$\left|\sum_{i=1}^mf(x_{1i},x_{21},\cdots,x_{ni})V(C_i)-J\right|<\epsilon$$
则称函数 $f$黎曼可积,且
$$J=\lim _{||C||\to0}\sum_{i=1}^mf(x_{1i},x_{2i},\cdots,x_{ni})V(C_i)$$
称为函数 $f$在$n$维超立方体区域上的 $n$重积分.

利用以上定义的$n$重积分,可以给出一个定义在 $n$维空间的有界集的超$n$维体积.

给出超$n$维体积定以后,也可以给出另一种形式三重积分数学定义.

设$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为定义在$R^n$上可求超$n$维体积的有界区域$D$上的有界函数,将其划分成有限个内部互不相交的有超$n$维体积的子区域$D_1D_2,\cdots,D_m$,记分割细度

$$\lambda=\max_{1\le i\le m}\{diam D_i\}$$
$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\lambda<\delta$使得 $\forall X_i\in D_i$都有
$$\left|\sum_{i=1}^mf(X_i)V(D_i)-J\right|<\epsilon$$
则称 $f$在$D$上 $n$重(黎曼)可积且积分等于$J$.

若函数$f$在$D$上黎曼可积,则记做

$$J=\int\cdots\int_Df(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_1dx_2\cdots dx_n=\int_Df(X)d^nx$$

1.2 多重积分的性质

若函数$f$和$g$在$D$上$n$重可积,由极限的性质和运算法可知,

1. 线性性

   对于任意常数$a,b$,则
   

   $$\int_D(af+bg)=a\int_Df+b\int_Dg$$

2. 保序性

   若在$D$上满足$f\le g$,则
   

   $$\int_Df\le\int_Dg$$

3. 区域可加性

   若$D$可分成两个无公共内点的区域$D_1,D_2$则$f$在$D$上可积的充要条件是在$D_1$和$D_2$上均可积,且
   

   $$\int_Df=\int_{D_1}f+\int_{D_2}f$$

4. 乘积可积性

   函数$fg$在$D$上仍可积

5. 绝对可积性

   函数|f|在$D$上可积,且
   

   $$\left|\int_Df\right|\le\int_D|f|$$
   ​

6. 积分中值定理

   若$f$在闭区域$D$中连续,则存在$X_0\in D$,记$V(D)$为$D$的超$n$维体积,则
   

   $$\int_Df(X)d^nx=f(X_0)V(D)$$

1.3 多重积分的存在定理

将定积分的达布定理和勒贝格定理拓展到多重积分.

设函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为定义在可求超$n$维体积的有界闭区域$D$上的函数.设$D$可以分割为有限个内部互不相交的子区域$C: D_1,D_2,\cdots,D_m$,定义

$$M_i=\sup_{X\in D_i}f(X),m_i=\inf_{X\in D_i}f(X),i=1,2,\cdots,m\\S(C)=\sum_{i=1}^mM_iV(D_i),s(C)=\sum_{i=1}^mm_iV(D_i),||C||=\max_{1\le i\le m}\{diamD_i\}$$
则有:

1. 若$f$在$D$上可积,则$f$在D上必有界.

   证明 反证法.设$f$在$D$上无界,则对于任何$D$的分割$C$,必定存在某个子区域$D_k$,使得$f$在$D_k$上无界.在$i\neq k$的各个子区域上取定$X_i$,并令
   

   $$G=\left|\sum_{i=1,i\neq k}^{n}f(X_i)V(D_i)\right|$$
   $\forall M>0,\exists X_k\in D_k$使得
   $$|f(X_k)|>\frac{M+G}{V(D_k)}$$
   则
   $$\left|\sum_{i=0}^mf(X_i)V(D_i)\right|\ge|f(X_k)V(D_k)|-\left|\sum_{i=1,i\neq k}^{n}f(X_i)V(D_i)\right|>\frac{M+G}{V(D_k)}V(D_k)-G=M$$
   无论分割的细度$||C||$多么小,上式总成立,这与$f$在$D$上可积矛盾.

2. 达布定理

   对于函数$f$,
   

   $$\lim_{||C||\to0}S(C)=\overline{J},\lim_{||C||\to0}s(C)=\underline{J}\\\overline{J}=\inf\{S(C)|\forall C\},\underline{J}=\sup\{s(C)|\forall C\}$$
   其中$\overline{J}$和$\underline{J}$分别称为上积分和下积分.

   函数$f$可积的充要条件是
   

   $$\lim_{||C||\to0}S(C)=\lim_{||C||\to0}s(C)\Leftrightarrow\overline{J}=\underline{J}$$
   证明 这里先证明
   $$\lim_{||C||\to0}S(C)=\overline{J}$$ ,另一个结论同理.

   根据下确界的定义,$\forall\varepsilon>0,\exists C':D'_1,D_2',\cdots,D_{m'}'$使得
   

   $$S(C')<\overline{J}+\frac{\varepsilon}{2}$$
   任取分割$C:D_1,D_2,\cdots,D_m'$满足
   $$||C||=\max_{1\le i\le m}V(D_i)<\min\{ V(D_1'),V(D_2'),\cdots,V(D_{m'}'),\frac{\varepsilon}{2n^{m'}\omega}\}$$
   将分割$C$和$C'$合并成一个新的分割$C^*$,有
   $$0\le S(C)-S(C^*)\le n^{m'}\omega\delta$$
   $\omega$为函数$f$的振幅,由于
   $$0\le S(C)-\overline{J}\le(S(C)-S(C^*))+(S(C^*)-S(C'))+(S(C')-\overline{J})\\S(C^*)-S(C')\le0$$
   因此
   $$S(C)-\overline{J}\le(S(C)-S(C^*))+(S(C')-\overline{J})\le n^{m'}\omega\delta+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$$
   证毕.函数$f$的可积性的充要条件的证明显然.

3. 函数$f$可积的充要条件是对于任意的$\varepsilon>0$,存在分割$C$,使得
   

   $$S(C)-s(C)<\varepsilon$$

4. 若函数$f$连续,则$f$必定可积.

5. 设函数$f$为有界函数,$f$可积的充要条件是不连续点集为零测集.

   证明 这里不妨设函数$f$的不连续点全部落在$n$维空间的一个光滑$n$维超曲面上.对于任意的$\varepsilon>0$,记该超曲面的面积为$p$,用

   $$\left[\frac{p}{\varepsilon^{n-1}}\right]+1$$ 个边长为$\varepsilon$的$n$维超立方体可以将这个曲面完全包含在其中.此部分记为$\Delta,其$$n$维超体积为
   $$W\le\left(\left[\frac{p}{\varepsilon^{n-1}}\right]+1\right)\varepsilon^n\le(p+\varepsilon^n)\varepsilon$$
   将区域$D$分成两部分:$D_1=D\cap\Delta,D_2=D-D_1$,由于$f$在$D_2$上连续,则$f$在$D_2$上可积,则存在$D_2$上的分割$C_2$,满足
   
   $$S(C_2)-s(C_2)<\varepsilon$$
   记 $$M_\Delta=\sup_{X\in\Delta}f(X),m_\Delta=\inf_{X\in\Delta}f(X)$$ ,$C$表示由$C_2$和$\Delta$的边界组成的分割,则有
   $$S(C)-s(C)<[S(C_2)-s(C_2)]+(M_\Delta-m_\Delta)W<\varepsilon+\omega W\le(a+p\omega+\omega\varepsilon^n)\varepsilon$$
   其中$\omega$为函数$f$的振幅.由于$f$为有界函数,则$\omega$为一有限值,因而$f$在$D$上可积.

   若$f$在$D$上可积,$\forall \varepsilon>0,\forall k\in N^*,\exists C:D_1,D_2,\cdots,D_m$使得
   

   $$\sum_{i=1}^m\omega_i V(D_i)<\frac{\varepsilon}{k}$$
   $\omega_i$表示$f$在$D_i$上的振幅.记其不连续点的集合为$E(f)$,则有 $$E(f)=\cup_{k=1}^\infty E_{\frac{1}{k}}$$ ,对于不连续点$X$的振幅$\omega(X)$,存在$k'\in N^*$满足 $$\omega(X)\ge\frac{1}{k'}$$ 因而能取到
   $$\omega_i\ge\frac{1}{n}$$
   用$\sum'$表示对$E_{\frac{1}{k}}\cap D_i$不为空的那些$i$求和,则有
   $$\frac{\varepsilon}{n}>\sum_{i=1}^m\omega_iV(D_i)\ge\sum'\omega_iV(D_i)\ge\frac{1}{n}\sum'V(D_i)\\\sum'V(D_i)<\varepsilon$$
   即$E(f)$的$n$维超体积为$0$,因而测度为$0$,证毕.

2 多重积分的计算

2.1 多重积分的计算顺序

理论上,对于$n$重积分所化成的累次积分,有$n!$种不同的计算顺序.这里取一种计算顺序为例.

若函数$f$在由下列不等式所确定的有界区域$D$内是连续的:

$$\begin{cases}x_1'\le x_1\le x_1''\\x_2'(x_1)\le x_2\le x_2''(x_1)\\\vdots\\x_n'(x1,x2,\cdots,x_{n-1})\le x_n\le x_n''(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})\end{cases}$$
其中$x_1'$和$x_1''$是常数,$x_2',x_2'',\cdots,x_n',x_n''$,是连续函数,则相应的多重积分可以化为累次积分,即
$$\int_Df(X)d^nx=\int_{x_1'}^{x_1''}dx_1\int_{x_2'(x_1)}^{x_2''(x_1)}dx_2\cdots\int_{x_n'(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})}^{x_n''(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_n$$
在其他的顺序下,同样成立.

2.2 多重积分的换元

设向量值函数$F:D\to D^*$将可求超$n$维体积的有界区域$D$一一映射到区域$D^*$,即

$$F(X)=\begin{pmatrix}\phi_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\\phi_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\\vdots\\\phi_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)\end{pmatrix}$$
$F$在$D$上具有一阶连续的偏导数,且 $$\frac{\partial(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\neq0$$ .设$f$在$D$上可积
$$\int\cdots\int_Df(x_1,x_2\cdots,x_n)dx_1dx_2\cdots dx_n=\int\cdots\int_{D^*}f(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)\frac{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)}d\phi_1d\phi_2\cdots d\phi_n$$
证明 将$D$分成$m$个小区域$D_i$,区域$D^*$也被相应地分成了m个小区域$D^*_i$,记其相应的超$n$维体积为$V(D_i)$和$V(D^*_i)$,设分割细度分别为$||\lambda||$和$||\lambda^*||$.

由Taylor公式展开并略去高阶无穷小后有

$$\lim_{V(D)\to0}\frac{V(D^*)}{V(D)}=\frac{\partial(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}$$
根据中值定理有
$$V(D^*_i)=\int\cdots\int_D\left|\frac{\partial(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\right|dx_1dx_2\cdots dx_n=|J(\overline{X_i})|V(D_i)$$
其中$\overline{X_i}\in D_i$,记$\overline{\Phi_i}=(\phi_1(\overline{X_i}),\phi_2(\overline{X_i}),\cdots,\phi_n(\overline{X_i}))\in D^*$,则
$$\sum_{i=1}^mf(\overline{\Phi_i})V(D_i^*)=\sum_{i=1}^mf(\overline{X_i})|J(\overline{X_i})|V(D_i)$$
由于$F$的连续性,当$||\lambda||\to0$时,有$||\lambda^*||\to0$.上式两边取极限,得证.

2.3 球坐标变换

根据球坐标变换公式

$$\begin{aligned}x_1&=r\cos\phi_1\\x_2&=r\sin\phi_1\cos\phi_2\\\vdots\\x_{n-1}&=r\sin\phi_1\sin\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}\\x_n&=r\sin\phi_1\sin\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}\end{aligned}$$
将直角坐标$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$变换为极坐标$(r,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})$.特别地,
$$x_!^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\\\frac{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial(r,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})}=r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}$$
证明 第一式显然,很容易计算.对第二式,有
$$\begin{pmatrix}\cos\phi_1&-r\sin\phi_1\\\sin\phi_1\cos\phi2&r\cos\phi_1\cos\phi2&-r\sin\phi_1\sin\phi_2\\\vdots\\\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}&r\cos\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}&\cdots&-r\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}\\\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}&r\cos\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}&\cdots&r\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}\end{pmatrix}$$

$$\begin{aligned}\frac{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial(r,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})}&=\left(r\cos^2\phi_1\sin^{n-2}\phi_1+r\sin^n\right)\frac{\partial(x_1',x_2',\cdots,x_{n-1}')}{\partial(r,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})}\\&=r\sin^{n-2}\frac{\partial(x_1',x_2',\cdots,x_{n-1}')}{\partial(r,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})}\\&\cdots\\&=r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}\end{aligned}$$

3 多重积分的实例

例1 计算

$$> \int\cdots\int_Ddx_1dx_2\cdots\ x_n >$$
其中 $$D=\begin{cases}x_1+x_2+\cdots+x_n\le1\\x_i\ge0,i=1,2,\cdots,n\end{cases}$$ .

解1 转化成累次积分再逐层计算.

$$> \begin{aligned}&\int\cdots\int_Ddx_1dx_2\cdots\ x_n\\=&\int_0^adx_1\int_0^{a-x_1}dx_2\int_0^{a-x_1-x_2}dx_3\cdots\int_0^{a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-1}}dx_n\\=&\int_0^adx_1\int_0^{a-x_1}dx_2\int_0^{a-x_1-x_2}dx_3\cdots\int_0^{a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-2}}\frac{1}{1!}(a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-1})dx_{n-1}\\=&\int_0^adx_1\int_0^{a-x_1}dx_2\int_0^{a-x_1-x_2}dx_3\cdots\int_0^{a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-3}}\frac{1}{2!}(a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-2})dx_{n-2}\\&\cdots\\=&\int_0^a\frac{1}{(n-1)!}(a-x_1)^{n-1}\\=&\frac{a^n}{n!}\end{aligned} >$$
解2 同样需要转化成累次积分,但是与上一个解法不同,这里做代换.记
$$> I_n(a)=\int_0^adx_1\int_0^{a-x_1}dx_2\int_0^{a-x_1-x_2}dx_3\cdots\int_0^{a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-1}}dx_n >$$
在右端的累次积分做代换 $x_1=ay_1,x_2=ay_2,\cdots,x_n=ay_n$,则
$$> I_n(a)=a^nI_n(1)\\I_n(1)=\int_0^1dx_1\left(I_{n-1}(1-x_1)\right)=I_{n-1}(1)\int_0^1(1-x_1)^{n-1}dx_1=\frac{1}{n}I_{n-1}(1) >$$
因而
$$> I_n(a)=\frac{a^n}{n!} >$$

例2 计算

$$> \int\cdots\int_D\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_n}dx_1dx_2\cdots\ x_n >$$
其中 $$D=\begin{cases}x_1+x_2+\cdots+x_n\le1\\x_i\ge0,i=1,2,\cdots,n\end{cases}$$ .

解 先换元,再将其化为累次积分,则有

$$> \begin{aligned}x_1&=y_1(1-y_2)\\x_2&=y_1y_2(1-y_3)\\\vdots\\x_{n-1}&=y_1y_2\cdots y_{n-1}(1-y_n)\\x_n&=y_1y_2\cdots y_n\end{aligned},0\le y_i\le1,(i=1,2,\cdots,n),x_1+x_2+\cdots+x_n=y_1 >$$

>∣∣∣∣∣∣∣∣1−y2y2(1−y3)⋮y2y3⋯yn−1(1−yn)y2y3⋯yn−y1y1(1−y3)y1y3⋯yn−1(1−yn)y1y3⋯yn−y1y2⋯⋯y1y2⋯yn−2(1−yn)