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  • 高尔顿发现了“向平均回归”,...函数关系是一一对应的确定关系,因变量y随自变量x的变化而变化,比如销售额和销量之间的关系,就是线性函数关系。 相关关系 但是很多时候变量之间的关系是不确定的,这种不确定的数量关

    高尔顿发现了“向平均回归”,一个总体中在某一时期具有某一极端特征的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性,比如非常矮小的父辈倾向于有偏高的子代,而非常高大的父辈则倾向于有偏矮的子代。这些都是“回归效应”

    之前也写过回归分析的文章,今天再说回归分析:
    细说回归分析

    变量间的度量

    对于数值型自变量和数值型因变量之间的分析方法就要用到相关与回归分析。变量间的关系有两种:函数关系和相关关系。

    函数关系

    函数关系是一一对应的确定关系,因变量y随自变量x的变化而变化,比如销售额和销量之间的关系,就是线性函数关系。

    相关关系

    但是很多时候变量之间的关系是不确定的,这种不确定的数量关系就是相关关系。比如父母身高和子女身高,一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。

    1.画散点图
    通过散点图可以直观地看到变量之间的关系。

    2.计算相关系数
    发现有线性关系后,可以通过计算相关系数得出变量之间相关关系的强度。

    需要注意的是:

    • r=0只能说明变量之间没有线性相关关系,但不能说变量之间没有任何关系。
    • 变量之间的相关关系不等于因果关系

    3.相关系数的显著性检验
    对相关系数进行显著性检验,以此来判断样本所反映的关系能否代表总体。

    这里用t检验

    • 提出假设
      H0:总体相关系数等于0,结果不显著
      H1:总体相关系数不等于0,结果显著
    • 计算检验统计量
    • 决策

    一元线性回归

    前面在讲相关关系如何分析,回归分析主要解决的是:

    • 用数学表达式将变量间的数量关系描述出来
    • 确定一个/几个变量对另一个/几个变量的影响程度
    • 根据一个/几个变量的取值来估计预测另一个变量的取值

    回归模型

    只涉及一个变量的称为一元回归,且变量之间为线性关系的称为一元线性回归,其回归方程可以表示为:

    其图示是一条直线,实际上描述其关系的直线有很多条,究竟用哪条来代表两个变量之间的线性关系呢?这里就需要一个原则,就是最小二乘法。通过最小二乘法得到的回归线能使离差平方和达到最小,但不一定是拟合数据的最佳直线。

    回归分析的计算量很大,通常我们可以依靠Excel、Python等工具来辅助我们计算分析。

    判定系数R平方

    判定系数是对估计的回归方程拟合程度的度量。R平方的取值范围是[0,1],R平方越接近于1,表示回归直线拟合的程度越好。

    显著性检验

    在得到了估计方程后,不能马上用来预测,因为该方程是根据样本数据得到的,它是否能真实地反映总体的关系,还需要进行两方面的检验:
    1.线性关系的检验
    检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著。用F检验。

    • 提出假设
      H0:两个变量之间的线性关系不显著
    • 计算检验统计量F
      significance F用于检验的显著性F,也就是P值
    • 决策
      若significance F小于给定的显著性水平则拒绝H0,两个变量之间的线性关系显著。

    2.回归系数的检验
    检验自变量对因变量的影响是否显著。用t检验

    • 提出假设
      H0:自变量对因变量的影响不显著
      H1:自变量对因变量的影响显著
    • 计算检验统计量t
      P-value,直接与给定的显著性水平比较
    • 决策
      若P-value小于显著性水平,则拒绝H0,自变量对因变量的影响显著。

    多元线性回归

    一个因变量与多个自变量之间的回归关系就是多元回归,若因变量与自变量之间为线性关系,则为多元线性回归。

    回归模型

    多重判定系数

    也用R平方来表示,意义与一元线性回归中的R平方类似,

    显著性检验

    在一元线性回归中,线性关系的检验和回归系数的检验是等价的,因为只有一个自变量。但在多元线性回归中,就不等价了
    1.线性关系的检验
    这里用F检验说明的是总体的显著性,总的多元回归方程是否具有线性关系,若要判断每个自变量对因变量的影响是否显著,则需要分别进行t检验

    2. 回归系数的检验
    t检验分别对每个自变量与因变量进行回归系数的检验,判断其影响程度,如果某个自变量没有通过检验,则说明该自变量对因变量的影响不显著,就没有必要将该自变量放进回归模型当中了。

    举个例子


    多重共线性

    多元线性回归中,可能会遇到自变量之间彼此相关的问题,这就是多重共线性。

    多重共线性导致的主要问题是对单个回归系数的解释和检验

    如何判别多重共线性?

    • 计算自变量之间的相关系数
    • 对相关系数进行显著性检验

    如何处理多重共线性?

    • 将相关的自变量从模型中剔除
    • 若一定要保留,则对因变量的推断应限定在自变量样本值的范围内

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  • 多重线性回归 多元线性回归Video Link 影片连结 We have taken a look at Simple Linear Regression in Episode 4.1 where we had one variable x to predict y, but what if now we have multiple variables, not ...

    多重线性回归 多元线性回归

    Video Link

    影片连结

    We have taken a look at Simple Linear Regression in Episode 4.1 where we had one variable x to predict y, but what if now we have multiple variables, not just x, but x1,x2, x3 … to predict y — how would we approach this problem? I hope to explain in this article.

    我们看了第4.1集中的简单线性回归,其中我们有一个变量x来预测y ,但是如果现在我们有多个变量,不仅是x,而且还有x1,x2,x3 …来预测y ,我们将如何处理?这个问题? 我希望在本文中进行解释。

    简单线性回归回顾 (Simple Linear Regression Recap)

    From Episode 4.1 we had our data of temperature and humidity:

    第4.1集开始,我们获得了温度和湿度数据:

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    We plotted our Data, found and found a linear relationship — making linear regression suitable:

    我们绘制了数据,发现并找到了线性关系,从而使线性回归适用:

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    We then calculated our regression line:

    然后,我们计算了回归线:

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    using gradient descent to find our parameters θ₀ and θ₁.

    使用梯度下降找到我们的参数 θ₀和θ₁。

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    We then used the regression line calculated to make predictions for Humidity given any Temperature value.

    然后,我们使用计算得出的回归线对给定任何温度值的湿度进行预测。

    什么是多元线性回归? (What is Multiple Linear Regression?)

    Multiple linear regression takes the exact same concept as simple linear regression but applies it to multiple variables. So instead of just looking at temperature to predict humidity, we can look at other factors such as wind speed or pressure.

    多元线性回归采用与简单线性回归完全相同的概念,但将其应用于多个变量。 因此,我们不仅可以查看温度来预测湿度,还可以查看其他因素,例如风速或压力

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    We are still trying to predict Humidity so this remains as y.

    我们仍在尝试预测湿度,因此仍为y。

    We rename Temperature, Wind Speed and Pressure to 𝑥¹,𝑥² and 𝑥³.

    我们将温度,风速和压力重命名为𝑥¹𝑥²𝑥³。

    Just as with Simple Linear Regression we must ensure that our variables 𝑥₁,𝑥₂ and 𝑥₃ form a linear relationship with y, if not we will be producing a very inaccurate model.

    就像简单线性回归一样,我们必须确保变量𝑥₁,𝑥_2𝑥₃ 与y形成线性关系 ,否则,我们将生成一个非常不准确的模型。

    Lets plot each of our variables against Humidity:

    让我们针对湿度绘制每个变量:

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    • Temperature and Humidity form a strong linear relationship

      温度和湿度形成很强的线性关系

    • Wind Speed and Humidity form a linear relationship

      风速和湿度形成线性关系

    • Pressure and Humidity do not form a linear relationship

      压力和湿度不是线性关系

    We therefore can not use Pressure (𝑥³) in our multiple linear regression model.

    因此,我们不能在多元线性回归模型中使用压力 (𝑥³)。

    绘制数据 (Plotting our Data)

    Let’s now plot both Temperature (𝑥¹) and Wind Speed (𝑥²) against Humidity.

    现在让我们绘制两个温度(𝑥¹) 以及相对于湿度的风速(𝑥²)。

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    We can see that our data follows a roughly linear relationship, that is we can fit a plane on our data that captures the relationship between Temperature, Wind-speed(𝑥₁, 𝑥₂) and Humidity (y).

    我们可以看到我们的数据遵循大致线性关系,也就是说,我们可以在数据上拟合一个平面 ,以捕获温度,风速(𝑥₁,𝑥²)和湿度(y)之间的关系。

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    计算回归模型 (Calculating the Regression Model)

    Because we are dealing with more than one 𝑥 variable our linear regression model takes the form:

    因为我们要处理多个𝑥变量,所以线性回归模型采用以下形式:

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    Just as with simple linear regression in order to find our parameters θ₀, θ₁ and θ₂ we need to minimise our cost function:

    与简单的线性回归一样,为了找到我们的参数θ₀,θ₁和θ2,我们需要最小化成本函数:

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    We do this using the gradient descent algorithm:

    我们使用梯度下降算法执行此操作:

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    This algorithm is explained in more detail here

    此算法在这里更详细地说明

    After running our gradient descent algorithm we find our optimal parameters to be θ₀ = 1.14 , θ₁ = -0.031 and θ₂ =-0.004

    运行梯度下降算法后,我们发现最优参数为θ₀= 1.14,θ₁= -0.031和θ2= -0.004

    Giving our final regression model:

    给出我们的最终回归模型:

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    We can then use this regression model to make predictions for Humidity (ŷ) given any Temperature (𝑥¹) or Wind speed value(𝑥²).

    然后,我们可以使用该回归模型对给定温度(𝑥¹)或风速值(𝑥²)的湿度(ŷ)进行预测。

    In general models that contain more variables tend to be more accurate since we are incorporating more factors that have an effect on Humidity.

    通常,包含更多变量的模型往往更准确,因为我们纳入了更多会影响湿度的因素。

    _________________________________________

    _________________________________________

    潜在问题 (Potential Problems)

    When including more and more variables in our model we run into a few problems:

    当在模型中包含越来越多的变量时 ,我们会遇到一些问题:

    • For example certain variables may become redundant. E.g look at our regression line above, θ₂ =0.004, multiplying our wind speed (𝑥²) by 0.004 barely changes our predicted value for humidity ŷ, which makes wind speed less useful to use in our model.

      例如,某些变量可能变得多余。 例如,看一下上面的回归线θ2 = 0.004,将我们的风速()²)乘以0.004几乎不会改变我们对湿度predicted的预测值,这使得风速在模型中的用处不大。
    • Another example is the scale of our data, i.e we can expect temperature to have a range of say -10 to 100, but pressure may have a range of 1000 to 1100. Using different scales of data can heavily affect the accuracy of our model.

      另一个例子是我们的数据规模,即我们可以预期温度范围在-10到100之间,但是压力可能在1000到1100之间。使用不同的数据规模会严重影响我们模型的准确性。

    How we solve these issues will be covered in future episodes.

    我们如何解决这些问题将在以后的章节中介绍。

    上一集 - 下一集 (Prev EpisodeNext Episode)

    如有任何疑问,请留在下面! (If you have any questions please leave them below!)

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    翻译自: https://medium.com/ai-in-plain-english/understanding-multiple-linear-regression-2672c955ec1c

    多重线性回归 多元线性回归

    展开全文
  • 线性系统中基于多重特征函数的滤波器设计
  • 如何消除多重线性

    千次阅读 2021-06-13 08:42:13
    介绍 机器学习是一种解决不能明确编码的问题的方法,例如,分类问题。机器学习模型将从数据中学习一种模式,因此我们可以使用它来确定数据属于哪个类。...如果我们不去除多重线性,我们将永远不会知道一个变量对结果

    介绍

    机器学习是一种解决不能明确编码的问题的方法,例如,分类问题。机器学习模型将从数据中学习一种模式,因此我们可以使用它来确定数据属于哪个类。

    但有个问题。这个模型是如何工作的?一些人不能接受一个性能良好的模型,因为它不能被解释。这些人关心可解释性,因为他们想确保模型以合理的方式预测数据。

    在解释ML模型之前,消除多重共线性是一个必要的步骤。多重共线性是指一个预测变量与另一个预测变量相关的情况。多重共线性虽然不影响模型的性能,但会影响模型的可解释性。如果我们不去除多重共线性,我们将永远不会知道一个变量对结果的贡献有多大。因此,我们必须消除多重共线性。

    本文将向您展示如何使用Python消除多重共线性。

    数据源

    为了演示,我们将使用一个名为Rain in Australia的数据集。它描述了不同日期和地点的天气特征。这个数据集也是一个监督学习问题,我们可以使用这些数据来预测明天是否下雨。这个数据集可以在Kaggle上找到,你可以在这里访问它。

    import pandas as pd
    
    df = pd.read_csv('data.csv')
    print(df.shape)
    df.head()
    

    预处理的数据

    加载数据之后,下一步是对数据进行预处理。在本例中,我们将不使用分类列,并删除每个列至少缺少一个值的行。下面是这样做的代码:

    df = df[list(df.columns[2:])]
    df = df.drop(['WindGustDir', 'WindDir9am', 'WindDir3pm'], axis=1)
    df = df.dropna()
    print(df.shape)
    df.head()
    

    计算VIF值

    在我们有了干净的数据之后,让我们计算方差膨胀因子(VIF)值。VIF是什么?

    VIF是一个决定变量是否具有多重共线性的数值。这个数字也代表了一个变量因与其他变量线性相关而被夸大的程度。

    VIF取值从1开始,没有上限。如果这个数字变大,就意味着这个变量有巨大的多重共线性。

    为了计算VIF,我们将对每个变量进行线性回归过程,其中该变量将成为目标变量。在我们完成这个过程之后,我们计算出R的平方。最后,我们用这个公式计算VIF值:

    在Python中,我们可以使用statmodels库中的variance_inflation_factor函数来计算VIF。下面是这样做的代码和结果:

    import statsmodels.api as sm
    from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor
    
    X = df[list(df.columns[:-2])]
    
    vif_info = pd.DataFrame()
    vif_info['VIF'] = [variance_inflation_factor(X.values, i) for i in range(X.shape[1])]
    vif_info['Column'] = X.columns
    vif_info.sort_values('VIF', ascending=False)
    

    从上面可以看到,几乎所有变量的VIF值都大于5。甚至压力变量的VIF值也超过40万。这是一个很大的因素!

    因此,我们需要从数据中清除这些多重共线性。

    消除多重共线性

    为了消除多重共线性,我们可以做两件事。我们可以创建新的特性,也可以从数据中删除它们。

    首先不建议删除特征。因为我们去掉了这个特征,就有可能造成信息丢失。因此,我们将首先生成新特性。

    从数据中,我们可以看到有一些特征有它们对。例如,’ Temp9am ‘加上’ Temp3pm ', ’ Pressure9am ‘加上’ Pressure3pm ', ’ Cloud9am ‘加上’ Cloud3pm ',等等。

    从这些特性中,我们可以生成新的特性。新特性将包含这些对之间的差值。在我们创建这些特性之后,我们可以安全地将它们从数据中删除。

    下面是这样做的代码和结果:

    df['TempDiff'] = df['Temp3pm'] - df['Temp9am']
    df['HumidityDiff'] = df['Humidity3pm'] - df['Humidity9am']
    df['CloudDiff'] = df['Cloud3pm'] - df['Cloud9am']
    df['WindSpeedDiff'] = df['WindSpeed3pm'] - df['WindSpeed9am']
    df['PressureDiff'] = df['Pressure3pm'] - df['Pressure9am']
    
    X = df.drop(['Temp3pm', 'Temp9am', 'Humidity3pm', 'Humidity9am', 'Cloud3pm', 'Cloud9am', 'WindSpeed3pm', 'WindSpeed9am', 'Pressure3pm', 'Pressure9am', 'RainToday', 'RainTomorrow'], axis=1)
    
    X.head()
    

    现在让我们看看数据的VIF值是怎样的:

    vif_info = pd.DataFrame()
    vif_info['VIF'] = [variance_inflation_factor(X.values, i) for i in range(X.shape[1])]
    vif_info['Column'] = X.columns
    vif_info.sort_values('VIF', ascending=False)
    

    正如你从上面看到的,我们仍然得到了具有巨大VIF值的变量。但是,我们仍然从生成新功能中得到了一个很好的结果。

    现在让我们删除VIF值大于5的特性。下面是这样做的代码和结果:

    X = X.drop(['MaxTemp', 'MinTemp', 'TempDiff', 'Sunshine'], axis=1)
    
    vif_info = pd.DataFrame()
    vif_info['VIF'] = [variance_inflation_factor(X.values, i) for i in range(X.shape[1])]
    vif_info['Column'] = X.columns
    vif_info.sort_values('VIF', ascending=False)
    

    好了!现在我们有所有VIF值小于5的变量。有了这些变量,现在我们就可以解释结果了。但首先,让我们建立我们的机器学习模型。

    构建模型

    在这种情况下,我们将使用支持向量机(SVM)算法来建模我们的数据。简而言之,SVM是一种模型,它将创建一个超平面,可以最大限度地分离使用不同标签的数据。

    因为我们的数据属于一个分类任务,所以我们将使用scikit-learn中的SVC对象来创建模型。下面是这样做的代码:

    from sklearn.preprocessing import LabelEncoder
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    from sklearn.svm import SVC
    
    encoder = LabelEncoder()
    y_encoded = encoder.fit_transform(y)
    print(encoder.classes_)
    print(y_encoded)
    
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X.values, y_encoded)
    
    model = SVC()
    model.fit(X.values, y_encoded)
    
    print(model.score(X_test, y_test))
    

    利用排列特征重要性进行解释

    理论上,支持向量机模型是不可解释的。这是因为我们不能仅仅通过查看参数来解释结果。但幸运的是,我们有几种方法可以解释这个模型。我们可以使用的方法之一是排列特征的重要性。

    排列特征重要性通过观察改变特征值后误差增加了多少来衡量一个特征的重要性。如果特征值的变化增加了模型的误差,那么该特征是重要的。

    要实现这个方法,可以使用scikit-learn库中的permutation_importance函数来计算特性的重要性。根据这个结果,我们将创建一个箱线图来可视化特性的重要性。

    下面是这样做的代码和结果:

    from sklearn.inspection import permutation_importance
    
    result = permutation_importance(model, X.values, y_encoded, n_repeats=10, random_state=42)
    
    perm_imp_idx = result.importances_mean.argsort()
    plt.boxplot(result.importances[perm_imp_idx].T, vert=False,
                labels=X.columns[perm_imp_idx])
    plt.title('Feature Importance from Rain in Australia Dataset')
    plt.show()
    

    从上面可以看到,HumanityDiff特性是对最终结果有巨大贡献的最重要的特性。然后是降雨特性,这是第二个最重要的特性。其次是风速(WindGustSpeed)、蒸发(vaporize)、风速差(WindSpeedDiff)、气压差(PressureDiff)和云l量差(CloudDiff)。

    最后总结

    做得好!现在您已经学习了如何使用Python从数据集中删除多重共线性。我希望这篇文章能帮助你消除多重共线性,以及如何解释机器学习模型。

    作者:Irfan Alghani Khalid

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  • :代数,线性,线性函数,多元线性函数,n维(高维)空间,线性映射,线性变换,应用 U2 向量的几何意义 :向量,自由向量,运算(加法,内积,叉积,除法),向量积和张量,变向量,复向量(向量与复数),微积分...

    内容:大多是摘录原书,概括、理解是自己总结的。第一章读的较细,从整体上把握,后面凭个人兴趣摘录。一般是文字内容,图少(推荐有大量图片的原书!)。

    目的:供自己温习使用,有摘录不全或总结不精的部分。他人学习,仅供参考。

    评价(读完时更新):原书写的很精彩,解释细致且生活化,有很多优美的图形帮助理解,强烈推荐这本《线性代数的几何意义》任广千。如果没有时间全部读完,至少前言和第一章可以看看,以助于让你重视这门学科,哈哈。

    豆瓣链接:https://book.douban.com/subject/26651221/

    目录

    书籍目录——各章节要点

    前言

    U1 线性代数

    1. 代数的意义

    2. 线性的意义

    3. 多元线性函数的几何意义

    4. 线性变换的几何意义

    5. 线代的应用

    笔记链接汇总


    书籍目录——各章节要点

    前言:为什么要给出线性代数的几何意义

    U1 什么是线性代数:代数,线性,线性函数,多元线性函数,n维(高维)空间,线性映射,线性变换,应用

    U2 向量的几何意义:向量,自由向量,运算(加法,内积,叉积,除法),向量积和张量,变向量,复向量(向量与复数),微积分(微分,微元),解析几何

    U3 行列式:行列式,行列式化为对角形,行列式乘积项,拉普拉斯展开定理,代数余子式,克莱姆法则,最后一列为1的行列式

    U4 向量组及向量空间:向量组,向量线性表示/组合,线性相关,等价,秩,极大无关组,向量空间(子空间,基、维数及其坐标),欧式空间,标准正交基,施密特正交化

    U5 矩阵:矩阵,运算(矩阵加法、乘法,矩阵与向量乘法),矩阵与线性变换(初等矩阵/初等变换),秩,特征值和特征向量,相似,相似对角化,矩阵行列式,雅可比矩阵,对平面和空间的旋转变换,等价、相似与合同关系,几类矩阵(逆,转置,伴随,正交,分块,三角,对角,平移,复数)

    U6 线性方程组:表示形式,高斯消元法,秩及解的关系,有解判别定理,解结构,数域上的线性方程组(或向量空间),超定方程组的最小二乘解,方程组和矩阵、向量组的关系

    U7 二次型:二次曲线及曲面的图形,二次型,二次型合同对角化,惯性定理,二次型的分类与二次曲面的分类

    附录:1. 线性代数主要内容及发展简史  2. 怎样学习线性代数;参考文献

    后记


    前言

    线性代数是培养抽象思维的。

    数学建模是个从具体到抽象的过程。

    数学问题常来自于几何,而表达于代数。

    数学问题分为线性和非线性问题,而非线性可以转化为线性。(如微积分的基本思想是“以直代曲”,微分方程在某种条件下可近似变为“线性代数方程组”。)


    U1 线性代数

    1. 代数的意义

    代数:是把算术推广到比具体的数更抽象的对象(运算规则)上去,研究的是抽象实体(如复数、集合、向量、矩阵、群、环、域等)以符号形式进行运算,类似于算术运算的性质和关系。

    1.1 从代数的抽象过程看整个线性代数学科的发展

    代数对数字进行抽象,是关于数及运算法则的抽象表达,如用字母表示数。此时不关心具体数值的运算,只关心运算规律。

    进一步抽象,字母可以同时表示数和方向,即代表向量。

    朝另一方向抽象,字母是可变的数,所以是变量。如果固定一些变量为常量(常数),就出现了多项式和方程式。

    某些方程在实数域内无解,抽象出虚数来表示它们的根。

    对运算规律进行抽象的分类,如怎么表示五元方程式,发展出了群、环、域、映射、线性空间等。从局部研究转向系统结构分析。


    2. 线性的意义

    线性函数的几何意义:直线 f(x)=kx+b。

    线性代数中的线性,就是线性空间里的线性变换。f(x)=kx。

    2.1性质:线性函数满足可加性、比例性。

    • 可加性: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),和的函数等于函数的和。

    物理意义:变量叠加后的作用效果,等于各变量作用效果的叠加。(可加性是无相互激励、也无相互内耗的累加。反例:人力资源问题)

    • 比例性:(齐次性) f(kx)=k f(x),比例的函数等于函数的比例。

    物理意义:变量缩放(没有初始值。正例:电路的输入量与信号的关系)

    • 合并为 f(k1x1+k2x2)=k1 f(x1) + k2 f(x2),线性组合的函数,等于函数的线性组合

    2.2  线性函数概念推广

    n元齐次方程组就是线性函数。

    将自变量x、因变量y分别扩展为列向量,系数扩展为系数矩阵。则n元齐次方程组可写成Y=f(x)=AX形式,线性函数的形式。(大写/黑体表示系数和变量)

    矩阵A就是线性方程组的系数,对应着一个线性变换(将向量X变为向量Y)。


    3. 多元线性函数的几何意义

    一元线性函数:一条直线。

    二元线性函数:一个平面,是三维坐标系下的二维图形。

    n元线性函数:低于坐标系一个维数的n元几何图形。坐标系——空间,低于坐标系——子空间/超平面。

    特例:n个n元线性函数组成一个满秩方程组,是表示一条直线。(还没理解)

    3.1 高维空间的理解

    空间的物理解释,是人们抽象所观察的宇宙物体时出现的概念

    银河系外的人,看地球是平面上的一个二维点;他快速逼近地球,这个点逐渐变成三维的空间,也即三维球体,此时地球上的人是他眼中的一个点。如果再深入观察,逐步看到这个人的身体、细胞、染色体、原子、原子核、夸克……看到宇宙结构终结。

    “一粒沙子就是一个世界。”

    宇宙空间里的维轴有无穷多个,都两两正交(因为维轴的尺度范围不同)。

    3.2 物体与空间

    一个三维物体,可看作是四维空间里的“面”。

    n维空间的n维向量多是相对独立的因素,完全独立(垂直/正交),或相对独立(线性无关)。如果取消坐标轴的垂直定义,那么可以从斜坐标系画出n维空间。即n个向量可张成n维空间。


    4. 线性变换的几何意义

    两个含义:变换空间里的向量,空间坐标系不变;变换坐标系,向量不变。说法相对,结果等价。

    4.1 线性变换是从运动的角度看线性

    线性可看作,因变量与自变量间保持组合形式不变的一种对应关系。

    引入运动的思想,把函数看作一种变换,一种映射,一种从自变量集合对应变换到因变量集合的瞬间过程(瞬间变化是只有开始和结果的,初等物理的运动会藐视过程,如电子跃迁)

    线性映射就是把向量映射成向量,即把“线”变成“线”。如把某坐标系的图形,变到另一坐标系中。如果令两坐标系重合,就是线性变换,即一个坐标系内的映射。(书中有图形案例)


    5. 线代的应用

    数学,电子工程(电路、信号分析),软件工程(3D游戏是图形的矩阵运算;电影的后期特效),经济研究(线性方程组构成的经济数学模型),运筹学(线性规划用线性不等式),工程(求解大型线性方程组;营养减肥食谱的有限元;商业等的数学模型马尔可夫链,是一个随机变量矩阵所决定的概率向量序列),动力系统(有振动的地方就有特征值),经济学的效用函数和统计学的置信椭圆体(二次型),最小二乘法实质是超定线性方程组的求解。

    线性代数不只是计算工具,需要掌握应用案例、线性代数的几何及物理意义、矩阵工具,以及真正的软件工具(如MATLAB)。

    扩展:金融危机时期的职业评价top10(基于工作环境、薪资、职业前景、体力要求、压力)

    数学家,保险统计师Actuary,统计学家,生物学家,软件工程师,计算机系统分析师,历史学家,社会学家,工业设计师,会计师。(bottom10都是体力及技术工)

    笔记链接汇总

    【线代】《线性代数的几何意义》——摘录笔记

    (一)目录、前言、U1 线性代数

    (二)U2 向量、U3 行列式、U4 向量组向量空间

    (三)U5 矩阵

    (四)U6 线性方程组、U7 二次型

    (五)附录(线代简史、如何学习)、小结

    展开全文
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