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  • 多重线性回归分析

    2012-04-24 16:31:38
    多重线性回归分析ppt 讲得易懂,可以下下来看看
  • 利用SPSS进行多重线性回归分析-基础篇

    千次阅读 多人点赞 2020-09-16 11:56:00
    多重线性回归分析简介: 简单线性回归是只考虑单因素影响的预测模型,事实上,影响因变量的因素往往不止一个,可能会有多个影响因素,也就是研究一个因变量与多个自变量的线性回归问题,就用到多重线性回归分析了。 ...

    多重线性回归分析简介:

    简单线性回归是只考虑单因素影响的预测模型,事实上,影响因变量的因素往往不止一个,可能会有多个影响因素,也就是研究一个因变量与多个自变量的线性回归问题,就用到多重线性回归分析了

    多重线性回归的作用:

    1、探索对于因变量具有影响作用的因素;
    2、控制混杂因素,评价多个自变量对因变量的独立效应;
    3、用已知的自变量来估计和预测因变量的值及其变化。

    多重线性回归与多元线性回归

    • 多重线性回归:是指包含两个或两个以上自变量的线性回归模型;
    • 多元线性回归:是指包含两个或两个以上因变量的线性回归模型

    多重线性回归模型为:

    Y = a + b1X1 + b2X2 + … + bnXn + ε
    🎈🎈
    Y:因变量 Xn:第n个自变量
    a:常数项,是回归直线在纵坐标轴上的截距
    bn:第n个偏回归系数
    ε:随机误差,即随机因素对因变量所产生的影响

    偏回归系数b1指在其他变量保持不变的的情况下,自变量X1每变动一个单位所引起的因变量Y的平均变化,b2…bn依次类推。

    多重回归系数——偏回归系数

    建立多重线性回归方程的✨✨关键
    求出各个偏回归系数bn,同样使用最小二乘法估算相应的偏回归系数。

    多重线性回归分析实践

    多重线性回归在SPSS中操作与简单线性回归类似,区别🎁🎁在于变量纳入模型的方法以及对输出结果的解读不同

    我们继续使用“超市销售数据”进行分析练习:
    按照之前说的步骤🎈

    1、根据预测目标,确定自变量和因变量

    在这里插入图片描述

    将“广告费用”、“客流量”这两个变量当做自变量;
    将“销售额”当做“因变量”;
    预测广告费用和客流量两个自变量对超市销售额的影响。

    2、绘制散点图,确定回归模型类型

    观察两个变量之间是否存在线性关系
    【图形】——【旧对话框】——【散点图/点图】——【矩形散点图】——【定义】
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在弹出的【散点图矩阵】——将“广告费用”、“客流量”、“销售额”3个变量移至右侧的【矩阵变量】框中,其它选项保持默认设置,单击【确定】,即可完成矩阵散点图的绘制。
    在这里插入图片描述
    从图中我们可以看出,广告费用、客流量两个自变量分别与因变量销售额存在明显的线性相关关系。
    广告费用与客流量之间也存在一定的线性关系。

    3、估计模型参数,建立线性回归模型

    【分析】——【回归】——【线性】——【线性回归】
    设置因变量、自变量及选择变量的方法。在【线性回归】对话框中,将销售额变量移至【因变量】框中,将广告费用、客流量移至【自变量】框中,自变量步进【方法】下拉框,采用默认的【输入】方法。
    在这里插入图片描述

    🧡💛💚线性回归中方法的解析:

    输入——强制将所选择的自变量纳入回归模型中;
    步进——将自变量逐个引入模型并进行统计显著性检验,直至再也没有不显著的自变量从回归模型中剔除为止;
    除去——根据设定条件,直接剔除一部分自变量;
    后退——根据设定条件,每次剔除一个自变量直至不能剔除;
    前进——根据设定条件,每次纳入一个自变量直至无法继续纳入。

    在本例中,因为自变量只有两个,并且从业务角度判断“广告费用”“客流量”均是影响“销售额”变化的因素,所以可以采用【输入】将两个变量都纳入模型中,两个变量是否适合参与建模,通过后续输出的模型结果进行判断即可。
    如果有较多的自变量且无法选择判断,那么就采用【步进】的方法,让SPSS根据检验结果进行选择。

    💜💙💚设置回归系数及拟合度:
    【统计】——【线性回归:统计】
    ①勾选【回归系数】框中的【估算值】复选框,作用是估计出回归系数;②勾选【模型拟合】复选框,作用是输出判定系数 R²。其他选项保持默认设置即可,单击【继续】——【线性回归】
    💜💙💚设置自变量步数标准及常数项:
    【线性回归】——【选项】——【线性回归:选项】——确认勾选【在方程中包括常量】复选框,即输出拟合直线的截距a,其他选项保持默认设置即可——【继续】——【线性回归】——【确定】,完成多重线性回归分析。

    4、对回归模型进行检验

    SPSS输出4张结果表:
    (1)线性回归模型输入/除去变量表
    在这里插入图片描述

    因变量:销售额
    自变量:客流量、广告费用
    自变量步进方法:输入
    第3列除去的变量指的是:因为自变量步进方法为“输入”,所以“广告费用”、“客流量”两个变量全部纳入模型中,没有移出的变量。

    (2)线性回归模型汇总表
    在这里插入图片描述
    多重线性回归模型的拟合效果主要看第4列。

    调整后R²:主要衡量在多重线性回归模型建立过程中加入其它自变量后模型拟合优度的变化。
    调整后R²:0.747,代表“广告费用”和“客流量”两个自变量合起来能够解释模型变化的73.2%,模型拟合效果良好。

    (3)线性回归方差分析表
    模型1 的方差分析结果:
    在这里插入图片描述
    F检验的显著性(P值)=0.000<0.01,即认为模型1 在0.01显著性水平下,由自变量“客流量”、“广告费用”和因变量“销售额” 建立起来的线性关系具有显著的统计学意义。
    (4)线性回归模型回归系数表
    在这里插入图片描述
    第1列为常量、广告费用、客流量,分别为回归模型中的常量与自变量X1、X2。
    第2列为B分别为常量a(截距)、偏回归系数b1和b2,据此可以写出多重线性回归模型:

    Y=363.31+7.22 X1+16.381 X2

    第4列为标准化系数:用来测量自变量对因变量的重要性,本例中,X1和X2标准化系数分别为0.407、0.499,也就是说,客流量对销售额的影响要大于广告费用对销售额的影响。
    第5、6列分别为回归系数 t 检验和相应的显著性(P值),显著性(P值)同样与显著性水平 α 进行比较,本例中偏回归系数b1显著性(P值)=0.012<0.05,说明偏回归系数b1具有显著的统计学意义;偏回归系数b2显著性(P值)=0.003<0.01,说明偏回归系数b2具有极其显著的统计学意义,即因变量“销售额”和自变量“广告费用”“客流量”之间至少存在显著的线性关系。

    5、利用回归模型进行预测

    例如,接下来要投入20万的广告费用,根据超市往年客流量数据预估下一个月客流量可达10万人次,假设在其他因素稳定的情况下,下一个月的销售额预估达到多少万元?

    将预估的自变量数据代入我们刚才得到的多重线性回归模型中,最终我们预测销售额可达671.7万元左右。

    若需要预测的数据较多,可以用**【线性回归:保存】——勾选【预测值】框中的【未标准化】复选框,运行后就可以在原数据集中新增一列预测值变量,这样就得到了新增自变量对应的因变量预测值。**

    在这里插入图片描述

    学习参考:多重线性回归,你用对了吗?
    《谁说菜鸟不会数据分析-SPSS篇》

    展开全文
  • 基于机器学习统计思想实现多重线性回归分析.pdf
  • function stats = reglm(y,X,model,varnames)% 多重线性回归分析或广义线性回归分析%% reglm(y,X),产生线性回归分析的方差分析表和参数估计结果,并以表格形式显示在屏幕上. 参% 数X是自变量观测值矩阵,它是n行p列...

    function stats = reglm(y,X,model,varnames)

    % 多重线性回归分析或广义线性回归分析

    %

    % reglm(y,X),产生线性回归分析的方差分析表和参数估计结果,并以表格形式显示在屏幕上. 参

    % 数X是自变量观测值矩阵,它是n行p列的矩阵. y是因变量观测值向量,它是n行1列的列向量.

    %

    % stats = reglm(y,X),还返回一个包括了回归分析的所有诊断统计量的结构体变量stats. %

    % stats = reglm(y,X,model),用可选的model参数来控制回归模型的类型. model是一个字符串,

    % 其可用的字符串如下

    % 'linear' 带有常数项的线性模型(默认情况)

    % 'interaction' 带有常数项、线性项和交叉项的模型

    % 'quadratic' 带有常数项、线性项、交叉项和平方项的模型

    % 'purequadratic' 带有常数项、线性项和平方项的模型

    %

    % stats = reglm(y,X,model,varnames),用可选的varnames参数指定变量标签. varnames

    % 可以是字符矩阵或字符串元胞数组,它的每行的字符或每个元胞的字符串是一个变量的标签,它的行

    % 数或元胞数应与X的列数相同. 默认情况下,用X1,X2,…作为变量标签.

    %

    % 例:

    % x = [215 250 180 250 180 215 180 215 250 215 215

    % 136.5 136.5 136.5 138.5 139.5 138.5 140.5 140.5 140.5 138.5 138.5]';

    % y = [6.2 7.5 4.8 5.1 4.6 4.6 2.8 3.1 4.3 4.9 4.1]';

    % reglm(y,x,'quadratic')

    %

    % ------------------------------------方差分析表------------------------------------

    % 方差来源自由度平方和均方F值p值

    % 回归 5.0000 15.0277 3.0055 7.6122 0.0219

    % 残差 5.0000 1.9742 0.3948

    % 总计10.0000 17.0018

    %

    % 均方根误差(Root MSE) 0.6284 判定系数(R-Square) 0.8839

    % 因变量均值(Dependent Mean) 4.7273 调整的判定系数(Adj R-Sq) 0.7678

    %

    % -----------------------------------参数估计-----------------------------------

    % 变量估计值标准误t值p

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  • 基于多重线性回归分析的独立学院大学生英语写作的影响因素研究
  • 多重线性回归分析的四大纪律三项注意 鉴于多重线性回归已经到了滥用的程度,特总结一下在使用线性回归时需要注意的问题,总结为四大纪律加三项注意。 四大纪律 四大纪律之一: 自变量与因变量之间要存在线性关系...

    多重线性回归分析的四大纪律三项注意

    鉴于多重线性回归已经到了滥用的程度,特总结一下在使用线性回归时需要注意的问题,总结为四大纪律加三项注意。

    四大纪律

    四大纪律之一: 自变量与因变量之间要存在线性关系,可以通过绘制散点图矩阵来考察,若不符合,需要进行变量的变换予以修正。

    四大纪律之二: 各个观测值y1\y2\y3......要相互独立,可通过残差图或durbin-watson检验予以考察。

    四大纪律之三: 残差服从正态分布,可以通过标准化残差图考察

    四大纪律之四: 方差齐性,也可以通过标准化残差考察

    三项注意

    三项注意之一: 样本量为自变量个数的5倍以上,要想效果好一些,最好20倍以上。

    三项注意之二: 判断有误强影响点,如有应该改正数据或者剔除或采用稳健回归。

    三项注意之三: 判断自变量之间有无强相关性,如有改用岭回归等方法。

    例题说明:

    某个公司计划在国内在开设几家分店,收集了目前分店的销售数据y以及分店所在城市的16岁以下人数x1,人均可支配收入x2,试进行分析

    1.数据

    两个自变量,21个样本含量,符合20倍原则

    绘制散点图矩阵

    从图中可以看出,因变量与每个自变量都有线性关系


    上图分别检查共线性,独立性和异常点

    做残差图,横坐标为因变量,纵坐标为标准化残差

    调整r的平方越近与1,回归效果越好,0.907效果不错,durbin watson值在2左右说明残差独立性较好。

    p=0.000小于0.05,线性回归为显著

    回归方程为y=-6.886+0.009人均支配收入+1.455人数,vif为方差膨胀因子一般只要不超过10,认为不存在共线性

    pp图,点在直线附近分布,近似一条直线,说明残差服从正态分布

    残差图,三点在零的附近均匀分布,而且没有超过正负3,认为残差服从正态分布且方差齐,且没有强影响点。

    展开全文
  • 多重线性回归

    2012-12-20 20:44:30
    多重线性回归
  • 多重线性回归 多元线性回归Video Link 影片连结 We have taken a look at Simple Linear Regression in Episode 4.1 where we had one variable x to predict y, but what if now we have multiple variables, not ...

    多重线性回归 多元线性回归

    Video Link

    影片连结

    We have taken a look at Simple Linear Regression in Episode 4.1 where we had one variable x to predict y, but what if now we have multiple variables, not just x, but x1,x2, x3 … to predict y — how would we approach this problem? I hope to explain in this article.

    我们看了第4.1集中的简单线性回归,其中我们有一个变量x来预测y ,但是如果现在我们有多个变量,不仅是x,而且还有x1,x2,x3 …来预测y ,我们将如何处理?这个问题? 我希望在本文中进行解释。

    简单线性回归回顾 (Simple Linear Regression Recap)

    From Episode 4.1 we had our data of temperature and humidity:

    第4.1集开始,我们获得了温度和湿度数据:

    Image for post

    We plotted our Data, found and found a linear relationship — making linear regression suitable:

    我们绘制了数据,发现并找到了线性关系,从而使线性回归适用:

    Image for post

    We then calculated our regression line:

    然后,我们计算了回归线:

    Image for post

    using gradient descent to find our parameters θ₀ and θ₁.

    使用梯度下降找到我们的参数 θ₀和θ₁。

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    We then used the regression line calculated to make predictions for Humidity given any Temperature value.

    然后,我们使用计算得出的回归线对给定任何温度值的湿度进行预测。

    什么是多元线性回归? (What is Multiple Linear Regression?)

    Multiple linear regression takes the exact same concept as simple linear regression but applies it to multiple variables. So instead of just looking at temperature to predict humidity, we can look at other factors such as wind speed or pressure.

    多元线性回归采用与简单线性回归完全相同的概念,但将其应用于多个变量。 因此,我们不仅可以查看温度来预测湿度,还可以查看其他因素,例如风速或压力

    Image for post

    We are still trying to predict Humidity so this remains as y.

    我们仍在尝试预测湿度,因此仍为y。

    We rename Temperature, Wind Speed and Pressure to 𝑥¹,𝑥² and 𝑥³.

    我们将温度,风速和压力重命名为𝑥¹𝑥²𝑥³。

    Just as with Simple Linear Regression we must ensure that our variables 𝑥₁,𝑥₂ and 𝑥₃ form a linear relationship with y, if not we will be producing a very inaccurate model.

    就像简单线性回归一样,我们必须确保变量𝑥₁,𝑥_2𝑥₃ 与y形成线性关系 ,否则,我们将生成一个非常不准确的模型。

    Lets plot each of our variables against Humidity:

    让我们针对湿度绘制每个变量:

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    • Temperature and Humidity form a strong linear relationship

      温度和湿度形成很强的线性关系

    • Wind Speed and Humidity form a linear relationship

      风速和湿度形成线性关系

    • Pressure and Humidity do not form a linear relationship

      压力和湿度不是线性关系

    We therefore can not use Pressure (𝑥³) in our multiple linear regression model.

    因此,我们不能在多元线性回归模型中使用压力 (𝑥³)。

    绘制数据 (Plotting our Data)

    Let’s now plot both Temperature (𝑥¹) and Wind Speed (𝑥²) against Humidity.

    现在让我们绘制两个温度(𝑥¹) 以及相对于湿度的风速(𝑥²)。

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    We can see that our data follows a roughly linear relationship, that is we can fit a plane on our data that captures the relationship between Temperature, Wind-speed(𝑥₁, 𝑥₂) and Humidity (y).

    我们可以看到我们的数据遵循大致线性关系,也就是说,我们可以在数据上拟合一个平面 ,以捕获温度,风速(𝑥₁,𝑥²)和湿度(y)之间的关系。

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    计算回归模型 (Calculating the Regression Model)

    Because we are dealing with more than one 𝑥 variable our linear regression model takes the form:

    因为我们要处理多个𝑥变量,所以线性回归模型采用以下形式:

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    Just as with simple linear regression in order to find our parameters θ₀, θ₁ and θ₂ we need to minimise our cost function:

    与简单的线性回归一样,为了找到我们的参数θ₀,θ₁和θ2,我们需要最小化成本函数:

    Image for post

    We do this using the gradient descent algorithm:

    我们使用梯度下降算法执行此操作:

    Image for post

    This algorithm is explained in more detail here

    此算法在这里更详细地说明

    After running our gradient descent algorithm we find our optimal parameters to be θ₀ = 1.14 , θ₁ = -0.031 and θ₂ =-0.004

    运行梯度下降算法后,我们发现最优参数为θ₀= 1.14,θ₁= -0.031和θ2= -0.004

    Giving our final regression model:

    给出我们的最终回归模型:

    Image for post

    We can then use this regression model to make predictions for Humidity (ŷ) given any Temperature (𝑥¹) or Wind speed value(𝑥²).

    然后,我们可以使用该回归模型对给定温度(𝑥¹)或风速值(𝑥²)的湿度(ŷ)进行预测。

    In general models that contain more variables tend to be more accurate since we are incorporating more factors that have an effect on Humidity.

    通常,包含更多变量的模型往往更准确,因为我们纳入了更多会影响湿度的因素。

    _________________________________________

    _________________________________________

    潜在问题 (Potential Problems)

    When including more and more variables in our model we run into a few problems:

    当在模型中包含越来越多的变量时 ,我们会遇到一些问题:

    • For example certain variables may become redundant. E.g look at our regression line above, θ₂ =0.004, multiplying our wind speed (𝑥²) by 0.004 barely changes our predicted value for humidity ŷ, which makes wind speed less useful to use in our model.

      例如,某些变量可能变得多余。 例如,看一下上面的回归线θ2 = 0.004,将我们的风速()²)乘以0.004几乎不会改变我们对湿度predicted的预测值,这使得风速在模型中的用处不大。
    • Another example is the scale of our data, i.e we can expect temperature to have a range of say -10 to 100, but pressure may have a range of 1000 to 1100. Using different scales of data can heavily affect the accuracy of our model.

      另一个例子是我们的数据规模,即我们可以预期温度范围在-10到100之间,但是压力可能在1000到1100之间。使用不同的数据规模会严重影响我们模型的准确性。

    How we solve these issues will be covered in future episodes.

    我们如何解决这些问题将在以后的章节中介绍。

    上一集 - 下一集 (Prev EpisodeNext Episode)

    如有任何疑问,请留在下面! (If you have any questions please leave them below!)

    Image for post

    翻译自: https://medium.com/ai-in-plain-english/understanding-multiple-linear-regression-2672c955ec1c

    多重线性回归 多元线性回归

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多重线性回归分析