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  • 如果再度考虑系统的输入输出行为,这个输入输出变量的稳定性可以由单变量输入单变量输出(Single-Input-Single-Output, SISO)时传递函数以及变量输入输出(Multi-Input-Multi-Output, MIMO)的传递矩阵来描述。...

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    善道:线性系统控制入门(二)状态变量的解和渐近稳定性zhuanlan.zhihu.com
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    渐近稳定是状态变量的特性,如果再度考虑系统的输入输出行为,这个输入输出变量的稳定性可以由单变量输入单变量输出(Single-Input-Single-Output, SISO)时传递函数以及多变量输入输出(Multi-Input-Multi-Output, MIMO)的传递矩阵来描述。

    3.1传递函数和传递矩阵

    时,普通的线性时不变系统退化为SISO系统

    (3.1)

    对其进行拉普拉斯变换,有

    (3.2)

    所以

    (3.3)

    时,比较
    和上式,可得传递函数
    定理3.1 传递函数
    线性时不变的SISO系统的传递函数

    为传递函数的分子多项式,
    是传递函数分母多项式。两者互质,且有微分度
    。而逆矩阵
    可以表示为伴随矩阵和行列式的分式

    (3.4)

    所以传递函数也可以写成以下形式

    (3.5)

    就对应了系统的动态矩阵
    的特征多项式,传递函数的极点恰为矩阵
    的特征值,但是反过来传递函数的极点不一定为动态矩阵的特征值,这一点在之后说明。分母多项式
    最高阶数为
    。分子多项式
    最高阶数为
    ,或当直接控制系数
    , 最高阶数为
    。因为在计算时可知,分子部分计算伴随矩阵时会从原矩阵
    中取出
    行来计算余子式因此最高阶数仅为

    现在我们继续推广到MIMO的情况。

    (3.6)

    易知,上述推导过程类似,所以直接给出当

    时,有传递函数矩阵

    (3.7)

    那么

    传递矩阵为

    (3.8)

    其中有

    3.2 传递函数到状态变量的可实现性

    之前讨论了怎么从状态变量推出传递函数,那么现在能否反过来从传递函数直接推出状态方程表达呢?这就是一个传递函数到状态变量的可实现性的问题,原则上,会有无数种可行的构造,而实践上,应该找到那些最小代价的实现方式,比如最小维度的。状态变量数量尽量少,或者说,问题转化为:想要实现一个传递函数的所需的最少状态变量维数的存在性。

    定理3.2 传递函数的可实现性
    一个传递函数
    是可实现的,当且仅当有正确的微分度,即微分度

    因为实现方式不唯一,所以在本章里只讨论两种规范的最小实现形式。并考察这样的传递函数

    (3.9)

    其中

    互质且
    • 第一标准型/能控标准型(1.Standardform bzw. Regelungsnormalform)

    为了推导出能控标准型,我们引入辅助状态变量

    ,定义

    (3.10)

    (3.11)

    显然(3.10)乘以(3.11)便可得到

    ,(3.11)对应的微分方程为

    (3.12)

    因而选择状态变量

    ,可列出所有一阶微分方程

    (3.13)

    a07afd9dfb2fd851e68bdb4a5dfc3d93.png
    图3.1 能控标准型的信号框图

    式(3.10)对应的时域表达为

    (3.14)

    最后汇总成矩阵形式,应有

    (3.15)

    于是(3.9)代表的传递函数的直接实现方式,即可按照第一标准型或者能控标准型表示。这种表现形式与系统的能控性紧密相关,这会在下一章讨论。

    举个例子,

    ,求其第一标准型的状态方程。

    为了能够直接读出来,先变形为标准形式

    (3.16)

    于是可以直接导出

    (3.17)

    • 第二标准型/能观标准型(2.Standardform bzw. Beobachtungsnormalform)

    为了推导第二种实现方式,我们可以使用传递函数的另一种表达

    (3.18)

    因为

    此时为关于
    的标量有理函数,易知

    (3.19)

    所以我们立刻能求出同一传递函数的另一形式

    (3.20)

    (3.21)

    cb861000ff081c06e254754d7ecf23b0.png
    图3.2 能观标准型的信号框图

    于是(3.9)代表的传递函数的另一种实现方式,即可按照第二标准型或者能观标准型表示,第二种表示方法的系统与第一种的系统对偶。这种表现形式与系统的能观性紧密相关,这也会在下一章讨论。

    3.3输入输出稳定性

    在上一章我们考察了线性时不变系统状态变量的渐近稳定性,实际上还有另一种输入输出的稳定性(Ein-/Ausgangsstabilität)值得探讨,这在英语里又被称为“有界输入有界输出稳定性”(Bounded-Input-Bounded-Output, BIBO),即BIBO稳定性。

    定义3.1 输入输出稳定性
    一个线性时不变的单输入单输出系统被称为输入输出稳定,当初始条件
    时,对每一个受限的输入信号
    ,都有一个受限的输出信号
    。这等价于
    ;

    显然输入输出稳定性可以借助脉冲响应判断分析,而传递函数

    的时域表示,即权重函数

    (3.22)

    定理3.3 输入输出稳定性-脉冲响应判据
    一个线性时不变的单输入单输出系统被称为输入输出稳定,当它的脉冲响应时绝对可积的,即
    (3.23)

    因为输入输出稳定性实际上就是通过传递函数表现的,当传递函数的幅值表现为发散时,系统自然无法稳,当传递函数的幅值收敛时,系统自然可以稳定。而通过传递函数的极点来检验输入输出稳定性是另一种更常用的方法。

    定理3.4 输入输出稳定性-传递函数判据
    一个线性时不变的单输入单输出系统被称为输入输出稳定,当它的传递函数的所有的极点
    有且仅有负的实部,这等价于

    因为传递函数的极点恰好也正为对应的动态矩阵

    的特征值,所以系统状态变量的渐近稳定性也能推出系统输入输出稳定性。而反过来的话,当且仅当系统的传递函数的阶数正好为系统的阶数,会有系统输入输出稳定性则系统状态变量的渐近稳定性的推论。

    3.4 对系统的零点的解释

    传递函数的零点虽然不会影响系统的稳定性,但是会对系统运动的速度和幅值产生影响。

    • 零点的阻断性

    考察传递函数

    (3.24)

    当从频域,即

    域考察时,输入信号的频率正好为一个传递函数的零点
    ,那么自然传递函数的值就为0,系统有输入却没有输出,这即所谓的
    零点的阻断性(Blockade-Eigenschaft)。

    (3.25)

    现在我们继续考察一个确定的实零点

    ,其对应的输入信号为
    或者
    ,那么当常数
    时,这样一个输入信号进来系统对应的响应为

    (3.26)

    显然这样的动态输入

    是不能通过系统传递并输出的。这种零点的阻断性主要会应用在信号技术里,比如说notch filter,为了把一个极窄带宽内的频率给滤掉。

    例3.1 倒立摆小车系统

    让我们再度考察之前第一章里面出现过的倒立摆小车,我们使用在平衡点线性化后的模型,其状态变量为

    ,并且让输出选为
    ,那么其完整线性时不变的状态方程为

    (3.27)

    其传递函数为

    (3.28)

    显然,它有两个共轭零点

    则对应的零点频率为输入信号可选为

    (3.29)

    这样,这个信号输入就不会有有效输出了。特别情况下,还可以通过合适的初始条件

    ,实现输出信号在输入信号为
    时,对小车和摆产生一个持续振荡,而摆的最高处仍然平衡,下图展示了半个周期
    的运动轨迹。

    82400f2b1afadbfd36f8f1f38eeae4b4.png
    图3.3 在零点频率的稳态输出
    • 相反的输入输出行为

    当零点落在复平面右边时,会有一些行为会对控制造成妨碍,即

    。这样的系统被称为
    非最小相位系统(Nichtminimalphasige Systeme),比如只有一个零点且为非最小相位零点
    ,系统的对应的传递函数为

    (3.30)

    其分母用一个Hurwitz多项式表示,代表所有极点/特征根都是渐进稳定的。考虑阶跃响应,并对其使用初值定理

    (3.31)

    易知对于

    阶导数都应有
    ,

    (3.32)

    应有阶跃响应的输出信号

    ,且初值为

    (3.33)

    但是当我们考察这个系统的终值时,它却是负值

    (3.34)

    这意味着初值导数为正

    ,终态却反转为负值了,也就是说系统响应初期会先经历一次正负号反转,而且照这样推论,如果正的零点越多,系统到终态稳定值之前要经历越多次反转和正负号变动。所以这种多次反向的特征行为是非最小相位系统的基本特性。

    例3.2 经历反转的非最小相位系统

    考察一个二阶的传递函数,它有零点

    和极点
    。下面将展示最小相位系统
    和非最小相位系统
    的阶跃响应。归一化以后易知终值
    ,而初始斜率/速度为

    (3.35)

    bc8bcd04dac41483c77aaa0c703d6331.png
    图3.4 不同参数c对应的系统行为

    在多输入多输出的MIMO系统里,系统的输入输出行为由传递矩阵描述,但是考察零点的方法会更加复杂,我们还需要考虑这个零点是不是

    • 传递零点(Übertragungsnullstellen)
    • 不动零点(invariante Nullstellen)
    • 输入输出解耦零点(Ein-/Ausgangs-Entkopplungsnullstellen)

    本章内容到此为止,下一章要继续探讨能控性和能观性。

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    参考文献:

    [1]Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 2019), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen

    Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

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  • 函数

    2016-07-23 13:58:26
    函数代表着这样一个过程:它接受若干输入(参数),并经过一些步骤(语句)的执行之后再返回输出(结果)。特别的是,Go语言中的函数可以返回个结果。    函数类型的字面量由关键字func、由圆括号包裹参数声明...
    在Go语言中,函数是一等(first-class)类型。这意味着,可以把函数作为值来传递和使用。函数代表着这样一个过程:它接受若干输入(参数),并经过一些步骤(语句)的执行之后再返回输出(结果)。特别的是,Go语言中的函数可以返回多个结果
      
        函数类型的字面量由关键字func、由圆括号包裹参数声明列表、空格以及可以由圆括号包裹的结果声明列表组成。其中,参数声明列表中的单个参数声明之间是由英文逗号分隔的。每个参数声明由参数名称、空格和参数类型组成。参数声明列表中的参数名称是可以被统一省略的。结果声明列表的编写方式与此相同。结果声明列表中的结果名称也是可以被统一省略的。并且,在只有一个无名称的结果声明时还可以省略括号。示例如下:


    func(input1 string ,input2 string) string
        这一类型字面量表示了一个接受两个字符串类型的参数且会返回一个字符串类型的结果的函数。如果在它的左边加入type关键字和一个标识符作为名称的话,那就变成了一个函数类型声明,就像这样:


    type MyFunc func(input1 string ,input2 string) string
        函数值(或简称函数)的写法与此不完全相同。编写函数的时候需要先写关键字func和函数名称,后跟参数声明列表和结果声明列表,最后是由花括号包裹的语句列表。例如:


    func myFunc(part1 string, part2 string) (result string) {
        result = part1 + part2
        return
    }
        在这里用到了一个小技巧:如果结果声明是带名称的,那么它就相当于一个已被声明但未被显式赋值的变量。可以为它赋值且在return语句中省略掉需要返回的结果值。至于什么是return语句,就不用多说了吧。显然,该函数还有一种更常规的写法:


    func myFunc(part1 string, part2 string) string {
        return part1 + part2
    }  
        注意,函数myFunc是函数类型MyFunc的一个实现。实际上,只要一个函数的参数声明列表和结果声明列表中的数据类型的顺序和名称与某一个函数类型完全一致,前者就是后者的一个实现。请回顾上面的示例并深刻理解这句话。
      
        可以声明一个函数类型的变量,如:


    var splice func(string, string) string // 等价于 var splice MyFunc
        然后把函数myFunc赋给它:


    splice = myFunc
        如此一来,就可以在这个变量之上实施调用动作了:


    splice("1", "2")
        实际上,这是一个调用表达式。它由代表函数的标识符(这里是splice)以及代表调用动作的、由圆括号包裹的参数值列表组成。
      
        如果觉得上面对splice变量声明和赋值有些啰嗦,那么可以这样来简化它:


    var splice = func(part1 string, part2 string) string {
        return part1 + part2
    }   
        在这个示例中,直接使用了一个匿名函数来初始化splice变量。顾名思义,匿名函数就是不带名称的函数值。匿名函数直接由函数类型字面量和由花括号包裹的语句列表组成。注意,这里的函数类型字面量中的参数名称是不能被忽略的。
      
        其实,还可以进一步简化——索性省去splice变量。既然可以在代表函数的变量上实施调用表达式,那么在匿名函数上肯定也是可行的。因为它们的本质是相同的。后者的示例如下:


    var result = func(part1 string, part2 string) string {
        return part1 + part2
    }("1", "2")
        可以看到,在这个匿名函数之后的即是代表调用动作的参数值列表。注意,这里的result变量的类型不是函数类型,而与后面的匿名函数的结果类型是相同的。
      

      最后,函数类型的零值是nil。这意味着,一个未被显式赋值的、函数类型的变量的值必为nil。


    package main
    
    import (
        "fmt"
    	"strconv"
    	"sync/atomic"
    )
    
    // 员工ID生成器
    type EmployeeIdGenerator func(company string, department string, sn uint32) string
    
    // 默认公司名称
    var company = "Gophers"
    
    // 序列号
    var sn uint32
    
    // 生成员工ID
    func generateId(generator EmployeeIdGenerator, department string) (string, bool) {
    	// 这是一条 if 语句,我们会在下一章讲解它。
    	// 若员工ID生成器不可用,则无法生成员工ID,应直接返回。
    	if generator == nil {
    		return "", false
    	}
    	// 使用代码包 sync/atomic 中提供的原子操作函数可以保证并发安全。
    	newSn := atomic.AddUint32(&sn, 1)
    	return generator(company, department, newSn), true
    }
    
    // 字符串类型和数值类型不可直接拼接,所以提供这样一个函数作为辅助。
    func appendSn(firstPart string, sn uint32) string {
    	return firstPart + strconv.FormatUint(uint64(sn), 10)
    }
    
    func main() {
    	var generator EmployeeIdGenerator
    	generator = func(company string, 
    						department string, sn uint32) string {
    					    	return appendSn(company+"-"+department+"-", sn)
    						}
    	fmt.Println(generateId(generator, "RD"))
    }


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  • MATLAB函数 zp2tf详解

    2021-01-04 22:30:03
    zp2tf: 将零极点增益滤波器参数转换为传递函数的形式 语法格式:[b,a] = zp2tf(z,p,k) ...[b,a] = zp2tf(z,p,k)将单输入/多输出(SIMO)系统的分解式传递函数表示 : 转换为多项式传递函数表示: ...

    zp2tf:
    将零极点增益滤波器参数转换为传递函数的形式
    语法格式:[b,a] = zp2tf(z,p,k)
    例如:

    [b,a] = zp2tf(z,p,k)将单输入/多输出(SIMO)系统的分解式传递函数表示 :

    转换为多项式传递函数表示:

     

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  • 计算输入特征得加权和,然后使用一个函数激活(或传递函数)计算输出。 单个神经元 个神经元 单层神经元缺陷 多层感知器 多层感知器 激活函数 relu:曲线如下图,假如过来的函数是x当x小于0的时候直接屏蔽,...

    多层感知器
    计算输入特征得加权和,然后使用一个函数激活(或传递函数)计算输出。
    单个神经元
    在这里插入图片描述
    多个神经元
    在这里插入图片描述
    单层神经元缺陷
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    多层感知器
    在这里插入图片描述
    多层感知器
    在这里插入图片描述
    激活函数
    relu:曲线如下图,假如过来的函数是x当x小于0的时候直接屏蔽,大于0的时候就原样输出
    在这里插入图片描述
    sigmoid激活:假如输出的x值就会带入下面公式进行计算
    在这里插入图片描述
    tanh激活:-1到1之间
    在这里插入图片描述
    leak relu激活
    在这里插入图片描述

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import os
    os.environ['TF_CPP_MIN_LOG_LEVEL'] = '2' # 修改警告级别,不显示警告
    import tensorflow as tf
    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    data = pd.read_csv("Advertising.csv")
    print(data.head())
    plt.scatter(data.TV,data.sales)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import os
    os.environ['TF_CPP_MIN_LOG_LEVEL'] = '2' # 修改警告级别,不显示警告
    import tensorflow as tf
    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    data = pd.read_csv("Advertising.csv")
    print(data.head())
    plt.scatter(data.radio,data.sales)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import os
    os.environ['TF_CPP_MIN_LOG_LEVEL'] = '2' # 修改警告级别,不显示警告
    import tensorflow as tf
    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    data = pd.read_csv("Advertising.csv")
    print(data.head())
    # plt.scatter(data.radio,data.sales)
    # plt.show()
    # 建立模型 当知道tv,广播,报纸投放广告后预测销量
    x = data.iloc[:,1:-1] # x取值除去第一列和最后一列的值取出所有投放广告的值
    y = data.iloc[:,-1] # y取值最后一列销量的值
    model = tf.keras.Sequential([tf.keras.layers.Dense(10,input_shape=(3,),activation="relu"),
                                 tf.keras.layers.Dense(1)])# 建立顺序模型【输入层:一个多层感知器(隐含层10层Dense(10),形状input_shape=(3,)3维,激活函数activation="relu"),输出层:因为输出是一个值所以维度1】
    print(model.summary())
    
    

    在这里插入图片描述

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import os
    os.environ['TF_CPP_MIN_LOG_LEVEL'] = '2' # 修改警告级别,不显示警告
    import tensorflow as tf
    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    data = pd.read_csv("Advertising.csv")
    # print(data.head())
    # plt.scatter(data.radio,data.sales)
    # plt.show()
    # 建立模型 当知道tv,广播,报纸投放广告后预测销量
    x = data.iloc[:,1:-1] # x取值除去第一列和最后一列的值取出所有投放广告的值
    y = data.iloc[:,-1] # y取值最后一列销量的值
    model = tf.keras.Sequential([tf.keras.layers.Dense(10,input_shape=(3,),activation="relu"),
                                 tf.keras.layers.Dense(1)])# 建立顺序模型【输入层:一个多层感知器(隐含层10层Dense(10),形状input_shape=(3,)3维,激活函数activation="relu"),输出层:因为输出是一个值所以维度1】
    print(model.summary())
    # 优化器
    model.compile(optimizer="adam",loss="mse")
    # 训练模型
    model.fit(x,y,epochs=100)
    # 使用该模型在现有数据上预测前10个的销量
    test = data.iloc[:10,1:-1]
    print(model.predict(test)) 
    # 实际值
    test = data.iloc[:10,-1]
    print(test)
    

    梯度下降
    在这里插入图片描述
    预测值
    在这里插入图片描述
    实际值
    在这里插入图片描述

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  • 激活(传递)函数 计算输出。线性回归,恒等式(值不变)。对数几率回归,sigmoid。输入->权重->求和->传递->输出。softmax分类含C个神经元,每个神经元对应一个输出类别。XOR异或运算,无法通过线性模型解决。sigmoido...
  • 5.2 感知机和多层网络

    2021-02-09 08:52:18
    感知机(perception)由两层神经元组成,如图5.3所示,输入层接受外界输入信号后传递输出层,输出层是M-P神经元,亦称为“阈值逻辑单元“ 感知机能够容易的实现逻辑 AND OR NOT,注意到 y = f(求和wixi - 谁他...
  • 使用一个激活函数计算输出 单个神经元(二分类) 和神经元(分类) 但是单层神经元有缺陷 无法拟合“异或”运算 去官网https://keras.io/zh/看看 因此多层感知器诞生 生物的神经元一层一层连接起来,当神经信号...
  • 归纳一下生物神经元传递信息的过程:生物神经元是一个多输入单输出单元。常用的人工神经元模型可用下图模拟。 当神经元j有多个输入xi(i=1,2,…,m)和单个输出yj时,输入和输出的关系可表示为: 其中j为阈值,wij...
  • 控制系统的5种数学模型: 传递函数模型; 零极点模型; 状态空间模型; 频率响应模型; 离散系统模型;...%单输入单输出 num = [1,0]; den = [1,2,10]; sys = tf(num,den); sys = tf('s'); %多输入多输...
  • 现代控制理论与经典控制理论

    千次阅读 2019-07-06 19:58:13
    输入单输出系统SISO 多输入多输出系统MIMO 初值为0(更切合实际) 初值不为0 结构特性方面 稳定性 稳定性,能控性,能观性 满足被控对象稳定性要求 满足被控对象稳定性要求,解决被控系统存在性的问题 ...
  • 晶振的作用:它结合单片机内部的电路,产生单片机所必须的时钟频率, 片机的一切指令的执行都是建立在这个基础上的,晶振的提供的时钟频率越 高,那单片机的运行速度也就越快。MCS-51 一般晶振的选择范围为1~ 24...
  • 建立了拼接主镜主动控制系统的模型, 采用静态解耦的方式, 将传递函数矩阵对角化, 系统从多输入多输出的形式简化为单输入单输出的形式, 并且建立了简化后的控制系统模型。在此基础上, 完成了控制系统的控制器设计。...
  • 梯度下下降法

    2020-08-23 20:36:15
    上节课提到的线性回归模型是单个神经元:计算输入特征的加权和,然后使用一个激活函数(或传递函数计算输出: 二分类: 分类: 那么,多层感知器可以说是生物的神经元一层一层连接起来,当神经信号达到
  • 感知机原理(Percetron) 1感知机的定义感知机(perceptron)是二类分类的线性分类模型,它的...(1)多输入单输出 (2)激活函数/传递函数为二值,一般为阶跃函数或符号函数 (3)输出为二值:0/1或-1...

空空如也

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多输入单输出传递函数