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  • 系统稳定性判别方法

    2012-05-31 20:14:01
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  • function [routh_list,conclusion] = Routh(chara_equ)% =======================================================% 自编劳斯判据求解系统稳定性函数% 输入:% chara_equ = 特征方程向量% 输出:% routh_list = ...

    function [routh_list,conclusion] = Routh(chara_equ)

    % =======================================================

    % 自编劳斯判据求解系统稳定性函数

    % 输入:

    % chara_equ = 特征方程向量

    % 输出:

    % routh_list = 劳斯表

    % conclusion = 给出系统是否稳定或存在多少个不稳定的根的结论

    % example:

    % [routh_list,con] = Routh([1 2 3 4 5]);

    % return:

    % routh_list =

    %

    %      1     3     5

    %      2     4     0

    %      1     5     0

    %     -6     0     0

    %      5     0     0

    % con =

    %

    % There is 2 unstable roots!

    % =========================================================

    n=length(chara_equ);

    chara_equ=reshape(chara_equ,1,n);

    if mod(n,2)==0

    n1=n/2;

    else

    n1=(n+1)/2;

    chara_equ=[chara_equ,0];

    end

    routh=reshape(chara_equ,2,n1);

    routh_list=zeros(n,n1);

    routh_list(1:2,:)=routh;

    i=3;

    while 1;

    %  =========特殊情况1(第一列为0,其余列不为0)=====================

    if routh_list(i-1,1)==0 & sum(routh_list(i-1,2:n1))~=0

    chara_equ = conv(chara_equ,[1 3]);

    n=length(chara_equ);

    if mod(n,2)==0

    n1=n/2;

    else

    n1=(n+1)/2;

    chara_equ=[chara_equ,0];

    end

    routh=reshape(chara_equ,2,n1);

    routh_list=zeros(n,n1);

    routh_list(1:2,:)=routh;

    i=3;

    end

    % ==========计算劳斯表===========================================

    ai=routh_list(i-2,1)/routh_list(i-1,1);

    for j=1:n1-1

    routh_list(i,j)=routh_list(i-2,j+1)-ai*routh_list(i-1,j+1);

    end

    % ==========特殊情况2(全0行)======================================

    if sum(routh_list(i,:))==0

    k=0;

    l=1;

    F=zeros(1,n1);

    while n-i-k>=0

    F(l)=n-i+1-k;

    k=k+2;

    l=l+1;

    end

    routh_list(i,:)=routh_list(i-1,:).*F(1,:);

    end

    % =========更新==================================================

    i=i+1;

    if i>n

    break;

    end

    end

    % =============outhput===========

    r=find(routh_list(:,1)<0);

    if isempty(r)==1

    conclusion='The system is stable!';

    else

    n2=length(r);

    m=n2;

    for i=1:n2-1

    if r(i+1)-r(i)==1

    m=m-1;

    end

    end

    str1='There is ';

    if r(n2)==n

    str2=num2str(m*2-1);

    else

    str2=num2str(m*2);

    end

    str3=' unstable roots!';

    conclusion = [str1,str2,str3];

    end

    有点错误     很急  高手帮个忙吧     谢谢   真心感谢

    展开全文
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    有很多同学反应,现代控制理论就是学数学(矩阵),控制在哪里?

    其实这样的理解与教学和教材枯燥有关:

    现代控制理论是一门用数学(矩阵)方法对物理(真实)系统进行建模、求解、分析、配置和优化的理论课程;

    用矩阵是因为现代控制理论涉及的线性系统通常是多输入多输出的。

    依据书中定理和前两篇介绍:A为系统矩阵,B为控制(输入)矩阵,C为输出(感知)矩阵

    能控性:需要考虑A 和 B;

    能观性:需要考虑C 和 A。

     对于上述示例,系统状态是否由左右轮速度组合可控;

    系统状态可否由传感器测量已知,干扰误差这节不涉及。

    推荐阅读:机器人感知(视觉部分)讲座:https://blog.csdn.net/ZhangRelay/article/details/81352622


    以上述内容为基础,思考系统的稳定性,与控制(B)有关吗,与感知(C)有关吗,还是只与系统状态(A)相关呢?

    依据书中讲解,分析上述两轮机器人模型的稳定性。


    此文为初稿,待完善。

     

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  • 关于自抗扰控制的稳定性分析

    千次阅读 2019-10-03 16:21:57
    前面3篇博客分析了扩张状态观测器(ESO)收敛性分析的套路,基本上...文献[1]首次给出了多输入多输出系统ADRC稳定性的完整证明,但其使用的符号比较多,且数学味过于浓厚,毕竟文献[1]对应的期刊其实是一本数学期刊,...

    前面3篇博客分析了扩张状态观测器(ESO)收敛性分析的套路,基本上是过了一遍原文献的证明步骤,穿插一些说明,目的在于让人看清证明背后的思想。考虑到ESO是自抗扰控制(ADRC)的核心,因此ADRC的稳定性证明套路其实在一定程度上也借鉴了ESO收敛性套路。文献[1]首次给出了多输入多输出系统ADRC稳定性的完整证明,但其使用的符号比较多,且数学味过于浓厚,毕竟文献[1]对应的期刊其实是一本数学期刊,不太容易吸引人阅读,不过其证明的实质套路一直得到了传承和发扬,此后一连串的文献都沿袭了文献[1]的套路,比如文献[2]。因此,如果想知道ADRC的稳定性证明套路,文献[2]值得推荐,比文献[1]的可读性强一些。

    这里不打算再像之前博客那样过一遍文献[2]的证明步骤了,仅仅分析其思想,因此只罗列部分公式以对套路进行辅助说明,感兴趣的读者可以直接找来文献[2]仔细研读。文献[2]考虑下面的下三角形式的系统:
    {x˙1(t)=x2(t)+h1(x1(t),ζ(t),w(t)),x˙2(t)=x3(t)+h2(x1(t),x2(t),ζ(t),w(t)),x˙n(t)=f(t,x(t),ζ(t),w(t))+b(t,w(t))u(t),ζ˙(t)=f0(x1(t),,ζ(t),w(t)),y(t)=x1(t),(1) \left\{\begin{aligned} &\dot{x}_1(t)=x_2(t)+h_1(x_1(t),\zeta(t),w(t)),\\ &\dot{x}_2(t)=x_3(t)+h_2(x_1(t),x_2(t),\zeta(t),w(t)),\\ &\vdots\\ &\dot{x}_n(t)=f(t,x(t),\zeta(t),w(t))+b(t,w(t))u(t),\\ &\dot{\zeta}(t)=f_0(x_1(t),,\zeta(t),w(t)),\\ &y(t)=x_1(t), \end{aligned}\right.\tag{1}
    其中,x(t)=(x1(t),,xn(t))Rnx(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))\in\mathbb{R}^n为系统状态,ζ(t)Rm\zeta(t)\in\mathbb{R}^m为所谓的零动态(控制理论喜欢玩的一套,这里仅仅为了增加公式表面复杂性来装B),y(t)y(t)为输出,u(t)u(t)为控制输入,w(t)w(t)为外部干扰,bb为不知道准确值的控制系数,但是有一个比较接近的名义值b0b_0,事实上,要是bb完全未知,那么理论推导导相当复杂,可以说,ADRC里面最关键的参数就是这个bb了。

    直接考虑系统(1)的ADRC不太容易,考虑一般ADRC的文章喜欢积分形式的系统,因此ADRC设计的第一步就是利用坐标变换把系统(1)转化为积分形式,文献[2]采用了反馈线性化里面的常规操作:

    {xˉ1(t)=x1(t),xˉ2(t)=x2(t)+h1(x1(t),ζ(t),w(t)),xˉi(t)=xi(t)+j=1i1hij(j1)(x1(t),,xij(t),ζ(t),w(t)),3jn,(2) \left\{\begin{aligned} &\bar{x}_1(t)=x_1(t),\\ &\bar{x}_2(t)=x_2(t)+h_1(x_1(t),\zeta(t),w(t)),\\ &\bar{x}_i(t)=x_i(t)+\sum_{j=1}^{i-1}h_{i-j}^{(j-1)}(x_1(t),\ldots,x_{i-j}(t),\zeta(t),w(t)),3\leq j\leq n,\end{aligned}\right.\tag{2}
    其中,hij(j1)()h_{i-j}^{(j-1)}(\cdot)hij()h_{i-j}(\cdot)对时间变量tt(j1)(j-1)阶导数,这样转换后,利用新的状态变量xˉ(t)=(xˉ1(t),,xˉn(t))\bar{x}(t)=(\bar{x}_1(t),\ldots,\bar{x}_n(t)),系统可写为如下的积分链形式:
    {xˉ˙1(t)=xˉ2(t),xˉ˙2(t)=xˉ3(t),xˉ˙n(t)=xˉn+1(t)+b0(t)u(t),y(t)=xˉ1(t),(3) \left\{\begin{aligned} &\dot{\bar{x}}_1(t)=\bar{x}_2(t),\\ &\dot{\bar{x}}_2(t)=\bar{x}_3(t),\\ &\vdots\\ &\dot{\bar{x}}_n(t)=\bar{x}_{n+1}(t)+b_0(t)u(t),\\ &y(t)=\bar{x}_1(t), \end{aligned}\right.\tag{3}
    系统(3)单独提取出了b0(t)u(t)b_0(t)u(t)这一项以方便控制器设计,因此总扰动xˉn+1(t)\bar{x}_{n+1}(t)的表达式为
    xˉn+1(t)=f(t,x(t),ζ(t),w(t))+(b(t,w(t))b0(t))u(t)+j=1n1hnj(j)(x1(t),,xnj(t),ζ(t),w(t)).(4)\begin{aligned} \bar{x}_{n+1}(t)=&f(t,x(t),\zeta(t),w(t))+(b(t,w(t))-b_0(t))u(t)\\ &+\sum_{j=1}^{n-1}h_{n-j}^{(j)}(x_1(t),\ldots,x_{n-j}(t),\zeta(t),w(t)).\end{aligned}\tag{4}
    这样一来,系统形式整理完毕,控制目标是在初值有界的前提下,状态(x(t),ζ(t))(x(t),\zeta(t))始终有界,输出y(t)y(t)能跟踪给定的有界参考信号r(t)r(t),且r(t)r(t)的各阶导数r˙(t)\dot{r}(t)r¨(t)\ddot{r}(t)\ldotsr(n)(t)r^{(n)}(t)均有界,并记为
    (r1(t),r2(t),,rn+1(t))=(r(t),r˙(t),,r(n)(t)).(5) (r_1(t),r_2(t),\ldots,r_{n+1}(t))=(r(t),\dot{r}(t),\ldots,r^{(n)}(t)).\tag{5}
    接下来可以给出ADRC的结构了,ESO的形式为
    {xˉ^˙1(t)=xˉ^2(t)+εn1g1(η1(t)),xˉ^˙2(t)=xˉ^3(t)+εn2g2(η1(t)),xˉ^˙n(t)=xˉ^n+1(t)+gn(η1(t))+b0(t)u(t),xˉ^˙n+1(t)=1εgn+1(η1(t)),η1(t)=y(t)xˉ^1(t)εn,(6) \left\{\begin{aligned} &\dot{\hat{\bar{x}}}_1(t)=\hat{\bar{x}}_2(t)+\varepsilon^{n-1}g_1(\eta_1(t)),\\ &\dot{\hat{\bar{x}}}_2(t)=\hat{\bar{x}}_3(t)+\varepsilon^{n-2}g_2(\eta_1(t)),\\ &\vdots\\ &\dot{\hat{\bar{x}}}_n(t)=\hat{\bar{x}}_{n+1}(t)+g_n(\eta_1(t))+b_0(t)u(t),\\ &\dot{\hat{\bar{x}}}_{n+1}(t)=\frac{1}{\varepsilon}g_{n+1}(\eta_1(t)),\eta_1(t)=\frac{y(t)-\hat{\bar{x}}_1(t)}{\varepsilon^n},\end{aligned}\right.\tag{6}
    还是熟悉的配方,giC(R;R)g_i\in C(\mathbb{R};\mathbb{R})i=1,2,,n+1i=1,2,\ldots,n+1为设计函数,ε>0\varepsilon>0为调节参数。与单独ESO收敛性分析不同的是,这里还需要给出u(t)u(t)的表达式,由于系统已经转换为了积分链形式,因此可以直接给出
    u(t)=1b0(t)[ρ(satQ1(xˉ^1(t)r1(t)),,satQn(xˉ^n(t)rn(t)))satQn+1(xˉ^n+1(t))+rn+1(t)],(7) u(t)=\frac{1}{b_0(t)}\left[\rho\left(\mathrm{sat}_{Q_1}(\hat{\bar{x}}_1(t)-r_1(t)),\ldots,\mathrm{sat}_{Q_n}(\hat{\bar{x}}_n(t)-r_n(t))\right)\right.\\ -\left.\mathrm{sat}_{Q_{n+1}}(\hat{\bar{x}}_{n+1}(t))+r_{n+1}(t)\right],\tag{7}
    其中,xˉ^n+1(t)\hat{\bar{x}}_{n+1}(t)用于补偿总扰动xˉn+1(t)\bar{x}_{n+1}(t)ρ(satQ1(xˉ^1(t)r1(t)),,satQn(xˉ^n(t)rn(t)))+rn+1(t)\rho\left(\mathrm{sat}_{Q_1}(\hat{\bar{x}}_1(t)-r_1(t)),\ldots,\mathrm{sat}_{Q_n}(\hat{\bar{x}}_n(t)-r_n(t))\right)+r_{n+1}(t)用于输出跟踪,采用饱和函数satQi()\mathrm{sat}_{Q_i}(\cdot)是为了防止所谓的峰值现象,文献[3]对此有专门的论述。我们可以看到的是,ADRC中ESO和控制器的形式比较直接,其复杂性主要体现在稳定性证明上。这里有两类误差:ESO的观察误差η(t)\eta(t)和系统对参考信号的跟踪误差e(t)e(t)。首先给出两类误差的定义:
    {ηi(t)=xˉi(t)xˉ^i(t)εn+1i  (i=1,2,,n+1),η(t)=(η1(t),,ηn+1(t)),ei(t)=xˉi(t)ri(t)  (i=1,2,,n),e(t)=(e1(t),,en(t)),Δ(t)=ρ(satQ1(xˉ^1(t)r1(t)),,satQn(xˉ^n(t)rn(t)))ρ(e(t)),(8) \left\{\begin{aligned} &\eta_i(t)=\frac{\bar{x}_i(t)-\hat{\bar{x}}_i(t)}{\varepsilon^{n+1-i}}\;(i=1,2,\ldots,n+1),\\ &\eta(t)=(\eta_1(t),\ldots,\eta_{n+1}(t)),\\ &e_i(t)=\bar{x}_i(t)-r_i(t)\;(i=1,2,\ldots,n),\\ &e(t)=(e_1(t),\ldots,e_n(t)),\\ &\varDelta(t)=\rho\left(\mathrm{sat}_{Q_1}(\hat{\bar{x}}_1(t)-r_1(t)),\ldots,\mathrm{sat}_{Q_n}(\hat{\bar{x}}_n(t)-r_n(t))\right)-\rho(e(t)),\end{aligned}\right.\tag{8}
    进而可以写出η(t)\eta(t)e(t)e(t)满足的微分方程:
    {e˙1(t)=e2(t),e˙2(t)=e3(t),e˙n(t)=ρ(e(t))+Δ(t)+xˉn+1(t)satQn+1(xˉ^n+1(t)),η˙1(t)=1ε[η2(t)g1(η1(t))],η˙n(t)=1ε[ηn+1(t)gn(η1(t))],η˙n+1(t)=1εgn+1(η1(t))+xˉ˙n+1(t).(9) \left\{\begin{aligned} &\dot{e}_1(t)=e_2(t),\\ &\dot{e}_2(t)=e_3(t),\\ &\vdots\\ &\dot{e}_n(t)=\rho(e(t))+\varDelta(t)+\bar{x}_{n+1}(t)-\mathrm{sat}_{Q_{n+1}}(\hat{\bar{x}}_{n+1}(t)),\\ &\dot{\eta}_1(t)=\frac{1}{\varepsilon}[\eta_2(t)-g_1(\eta_1(t))],\\ &\vdots\\ &\dot{\eta}_n(t)=\frac{1}{\varepsilon}[\eta_{n+1}(t)-g_n(\eta_1(t))],\\ &\dot{\eta}_{n+1}(t)=-\frac{1}{\varepsilon}g_{n+1}(\eta_1(t))+\dot{\bar{x}}_{n+1}(t).\end{aligned}\right.\tag{9}
    然后就可以根据式(9)开展ADRC稳定性分析了,证明一般分三步走:

    第一步:证明跟踪误差e(t)e(t)的有界性。具体来说,存在ε2>0\varepsilon_2>0使得对所有ε(0,ε2)\varepsilon\in(0,\varepsilon_2),集合{e(t):t[0,)}\{e(t):t\in[0,\infty)\}有界。通过研究时间区间[t1,t2][t_1,t_2]上系统的性质,利用反证法证明,这里比较关键的有4个细节:

    1. 利用不等式放缩证明ei(t)\vert e_i(t)\vert的上界和ε\varepsilon无关;
    2. xˉ˙n+1(t)\dot{\bar{x}}_{n+1}(t)表达式的计算,没有实际难度,只是需要注意各项的展开,结合论文的各种假设获得xˉ˙n+1(t)\vert\dot{\bar{x}}_{n+1}(t)\vert上界的形式;
    3. 在反证法的前提下,计算观察误差η(t)\eta(t)系统对应的Laypunov函数V2(η(t))V_2(\eta(t))对时间的导数,以表明观察误差η(t)\eta(t)的界小于某一表达式,即观测误差足够小;
    4. 计算跟踪误差e(t)e(t)系统对应的Laypunov函数V1(e(t))V_1(e(t))对时间的导数,以表明时间区间[t1,t2][t_1,t_2]V1(e(t))V_1(e(t))是随时间递减的,导出矛盾。

    第二步:证明观测误差η(t)\eta(t)ε0\varepsilon\rightarrow 0而趋于0,也就是ESO的收敛性。其实第一步已经完成大部分推导工作了,因此第二步比较直接:

    1. 在第一步证明结论的基础上,改写xˉ˙n+1(t)\vert\dot{\bar{x}}_{n+1}(t)\vert上界的形式;
    2. 计算观察误差η(t)\eta(t)系统对应的Laypunov函数V2(η(t))V_2(\eta(t))对时间的导数,然后对η(t)\Vert\eta(t)\Vert的上界进行放缩,获得结论。

    第三步:证明跟踪误差e(t)e(t)的收敛性,也就是ADRC的稳定性。具体来说,对任意σ>0\sigma>0,存在ε>0\varepsilon^*>0使得对所有ε(0,ε)\varepsilon\in(0,\varepsilon^*)e(t)σ\Vert e(t)\Vert\leq \sigma对所有t[tε,)t\in[t_\varepsilon,\infty)均成立,tεt_\varepsilon为与ε\varepsilon有关的常数。

    这一步就比较直接了,结合第一步和第二步的结论,直接计算跟踪误差e(t)e(t)系统对应的Laypunov函数V1(e(t))V_1(e(t))对时间的导数,得到最终的结论。

    至此可以看到ADRC的稳定性分析思路,而不是被其表明复杂的公式唬住。这里想指出的是,ADRC的稳定性分析需要先把系统转换为积分形式,因此当结合具体的应用对象时需要小心,毕竟实际系统不太容易满足ADRC稳定性分析必要的假设条件。相比之下,结合具体的应用对象设计特定形式的ESO,再在控制器设计上做点小改动,然后稳定性分析中利用ESO的分析套路,反倒相对容易产生一篇自己的论文。

    总的来说,这里的ADRC的稳定性分析仅具备理论意义(主要用来写论文),因为这里暗含了一个条件,即ε\varepsilon可以任意小,但任何的实际系统都存在时延,而在考虑时延的前提下,ε\varepsilon是不能过小的。此外,这里并没有给出ADRC设计参数的指导准则,对于控制工程师来说没有参考价值(所以PID真香)。其实更有意义的是从频域角度分析ESO和ADRC,毕竟ADRC参数选择并不容易,这一方面的工作可以参考高志强老师的相关工作。此外,ADRC并不是万能的,比如当实际系统的扩张状态和系统状态相关时,问题就变复杂了,此时ESO的效果到底如何还真不好说。总之,一旦考虑工程实际,如何将ADRC利用好是个技术活。

    参考文献

    [1]Guo B Z, Zhao Z L. On convergence of the nonlinear active disturbance rejection control for MIMO systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2013, 51(2): 1727-1757.

    [2]Guo B Z, Wu Z H. Output tracking for a class of nonlinear systems with mismatched uncertainties by active disturbance rejection control[J]. Systems & Control Letters, 2017, 100: 21-31.

    [3]Khalil H K. Nonlinear systems[M]. Prentice-Hall, 2001.

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空空如也

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多输入多输出系统稳定性